Ondícula de Daubechies

Ondículas ortogonales

Wavelet bidimensional de Daubechies 20 (función Wavelet x función de escala)

Las wavelets de Daubechies , basadas en el trabajo de Ingrid Daubechies , son una familia de wavelets ortogonales que definen una transformada wavelet discreta y se caracterizan por un número máximo de momentos de desaparición para un soporte determinado . Con cada tipo de wavelet de esta clase, existe una función de escala (denominada wavelet padre ) que genera un análisis multirresolución ortogonal .

Propiedades

En general, las wavelets de Daubechies se eligen para tener el mayor número A de momentos de desaparición (esto no implica la mejor suavidad) para un ancho de soporte dado (número de coeficientes) 2 A . ^[1] Hay dos esquemas de nombres en uso, D N que utiliza la longitud o el número de tomas, y db A que hace referencia al número de momentos de desaparición. Por lo tanto, D4 y db2 son la misma transformada wavelet.

Entre las 2 ^{A −1} posibles soluciones de las ecuaciones algebraicas para las condiciones de momento y ortogonalidad, se elige aquella cuyo filtro de escalamiento tenga fase extremal. La transformada wavelet también es fácil de poner en práctica utilizando la transformada wavelet rápida . Las wavelets de Daubechies se utilizan ampliamente para resolver una amplia gama de problemas, por ejemplo, propiedades de autosimilitud de una señal o problemas fractales , discontinuidades de señales, etc.

Las wavelets de Daubechies no están definidas en términos de las funciones de escala y wavelet resultantes; de hecho, no es posible escribirlas en forma cerrada . Los gráficos a continuación se generan utilizando el algoritmo en cascada , una técnica numérica que consiste en transformar inversamente [1 0 0 0 0 ... ] una cantidad apropiada de veces.

Tenga en cuenta que los espectros que se muestran aquí no son la respuesta de frecuencia de los filtros de paso alto y paso bajo, sino más bien las amplitudes de las transformadas de Fourier continuas de las funciones de escala (azul) y wavelet (rojo).

Las wavelets ortogonales de Daubechies D2–D20 respectivamente db1–db10 se utilizan comúnmente. Cada wavelet tiene un número de momentos cero o momentos de desaparición igual a la mitad del número de coeficientes. Por ejemplo, D2 tiene un momento de desaparición, D4 tiene dos, etc. Un momento de desaparición limita la capacidad de las wavelets para representar el comportamiento polinomial o la información en una señal. Por ejemplo, D2, con un momento de desaparición, codifica fácilmente polinomios de un coeficiente o componentes de señal constantes. D4 codifica polinomios con dos coeficientes, es decir, componentes de señal constantes y lineales; y D6 codifica 3-polinomios, es decir, componentes de señal constantes, lineales y cuadráticos . Esta capacidad para codificar señales está, no obstante, sujeta al fenómeno de fuga de escala y a la falta de invariancia de desplazamiento, que surgen de la operación de desplazamiento discreto (abajo) durante la aplicación de la transformada. Las subsecuencias que representan componentes de señal lineales, cuadráticos (por ejemplo) son tratadas de manera diferente por la transformada dependiendo de si los puntos se alinean con ubicaciones pares o impares en la secuencia. La falta de la importante propiedad de invariancia de desplazamiento ha llevado al desarrollo de varias versiones diferentes de una transformada wavelet invariante de desplazamiento (discreta) .

Construcción

Aquí , tanto la secuencia de escala (filtro de paso bajo) como la secuencia wavelet (filtro de paso de banda) (ver wavelet ortogonal para conocer los detalles de esta construcción) se normalizarán para que la suma sea igual a 2 y la suma de los cuadrados sea igual a 2. En algunas aplicaciones, se normalizan para que la suma sea igual a 2 , de modo que ambas secuencias y todos los desplazamientos de ellas por un número par de coeficientes sean ortonormales entre sí. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Utilizando la representación general para una secuencia de escala de una transformada wavelet discreta ortogonal con orden de aproximación A ,

${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z),}$

con N = 2 A , p teniendo coeficientes reales, p (1) = 1 y deg( p ) =  A  − 1, se puede escribir la condición de ortogonalidad como

${\displaystyle a(Z)a\left(Z^{-1}\right)+a(-Z)a\left(-Z^{-1}\right)=4,}$

o igualmente como

${\displaystyle (2-X)^{A}P(X)+X^{A}P(2-X)=2^{A}\qquad (*),}$

con el polinomio de Laurent

${\displaystyle X:={\frac {1}{2}}\left(2-Z-Z^{-1}\right)}$

generando todas las secuencias simétricas y además, P ( X ) representa el polinomio de Laurent simétrico ${\displaystyle X(-Z)=2-X(Z).}$

${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right).}$

Desde

${\displaystyle X(e^{iw})=1-\cos(w)}$

${\displaystyle p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}}$

P toma valores no negativos en el segmento [0,2].

La ecuación (*) tiene una solución mínima para cada A , que se puede obtener por división en el anillo de series de potencias truncadas en X ,

${\displaystyle P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}{\binom {A+k-1}{A-1}}2^{-k}X^{k}.}$

Obviamente, esto tiene valores positivos en (0,2).

La ecuación homogénea para (*) es antisimétrica respecto de X = 1 y, por lo tanto, tiene la solución general

${\displaystyle X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right),}$

con R algún polinomio con coeficientes reales. Que la suma

${\displaystyle P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right)}$

debe ser no negativo en el intervalo [0,2] se traduce en un conjunto de restricciones lineales sobre los coeficientes de R. Los valores de P en el intervalo [0,2] están limitados por alguna cantidad que maximiza r da como resultado un programa lineal con infinitas condiciones de desigualdad. ${\displaystyle 4^{A-r},}$

Para resolver

${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right)}$

Para p se utiliza una técnica llamada factorización espectral o algoritmo de Fejér-Riesz. El polinomio P ( X ) se divide en factores lineales.

${\displaystyle P(X)=(X-\mu _{1})\cdots (X-\mu _{N}),\qquad N=A+1+2\deg(R).}$

Cada factor lineal representa un polinomio de Laurent

${\displaystyle X(Z)-\mu =-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}}$

que se puede factorizar en dos factores lineales. Se puede asignar cualquiera de los dos factores lineales a p ( Z ), por lo que se obtienen 2 ^N posibles soluciones. Para la fase extremal se elige la que tiene todas las raíces complejas de p ( Z ) dentro o sobre el círculo unitario y, por lo tanto, es real.

Para la transformada wavelet de Daubechie, se utiliza un par de filtros lineales. Cada filtro del par debe ser un filtro de espejo en cuadratura . Al resolver el coeficiente del filtro lineal utilizando la propiedad del filtro de espejo en cuadratura, se obtiene la siguiente solución para los valores de coeficiente para el filtro de orden 4. ${\displaystyle c_{i}}$

${\displaystyle c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}.}$

Las secuencias de escala de orden de aproximación más bajo

A continuación se muestran los coeficientes de las funciones de escala para D2-20. Los coeficientes wavelet se derivan invirtiendo el orden de los coeficientes de la función de escala y luego invirtiendo el signo de cada segundo (es decir, wavelet D4 {−0,1830127, −0,3169873, 1,1830127, −0,6830127}). Matemáticamente, esto se ve así donde k es el índice del coeficiente, b es un coeficiente de la secuencia wavelet y a un coeficiente de la secuencia de escala. N es el índice wavelet, es decir, 2 para D2. ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}}$

Partes de la construcción también se utilizan para derivar las wavelets biortogonales de Cohen-Daubechies-Feauveau (CDF).

Implementación

Aunque programas como Mathematica admiten wavelets de Daubechies directamente ^[2], es posible una implementación básica en MATLAB (en este caso, Daubechies 4). Esta implementación utiliza periodización para manejar el problema de las señales de longitud finita. Hay otros métodos más sofisticados disponibles, pero a menudo no es necesario utilizarlos ya que solo afectan a los extremos de la señal transformada. La periodización se logra en la transformada directa directamente en la notación vectorial de MATLAB, y en la transformada inversa mediante la circshift()función:

Transformar, D4

Se supone que S , un vector columna con un número par de elementos, ha sido predefinido como la señal a analizar. Nótese que los coeficientes D4 son [1 +  √ 3 , 3 +  √ 3 , 3 −  √ 3 , 1 −  √ 3 ]/4.

N = longitud ( S ); sqrt3 = sqrt ( 3 ); s_odd = S ( 1 : 2 : N - 1 ); s_even = S ( 2 : 2 : N );        s = ( sqrt3 + 1 ) * s_impar + ( 3 + sqrt3 ) * s_siete + ( 3 - sqrt3 ) * [ s_impar ( 2 : N / 2 ); s_impar ( 1 )] + ( 1 - sqrt3 ) * [ s_siete ( 2 : N / 2 ); s_siete ( 1 )]; d = ( 1 - sqrt3 ) * [ s_impar ( N ​​/ 2 ); s_impar ( 1 : N / 2 - 1 )] + ( sqrt3 - 3 ) * [ s_siete ( N / 2 ); s_siete ( 1 : N / 2 - 1 )] + ( 3 + sqrt3 ) * s_impar + ( - 1 - sqrt3 ) * s_siete s = s / ( 4 * sqrt ( 2 )); d = d / ( 4 * sqrt ( 2 ));                        

Transformada inversa, D4

d1 = d * (( raíz cuadrada ( 3 ) - 1 ) / raíz cuadrada ( 2 )); s2 = s * (( raíz cuadrada ( 3 ) + 1 ) / raíz cuadrada ( 2 )); s1 = s2 + desplazamiento circular ( d1 , - 1 ); S ( 2 : 2 : N ) = d1 + raíz cuadrada ( 3 ) / 4 * s1 + ( raíz cuadrada ( 3 ) - 2 ) / 4 * desplazamiento circular ( s1 , 1 ); S ( 1 : 2 : N - 1 ) = s1 - raíz cuadrada ( 3 ) * S ( 2 : 2 : N );                                               

MQF binomial

Ali Akansu demostró en 1990 que el banco de filtros de espejo en cuadratura binomial (QMF binomial) es idéntico al filtro wavelet de Daubechies, y su rendimiento se clasificó entre las soluciones de subespacio conocidas desde una perspectiva de procesamiento de señales de tiempo discreto. ^{[3] [4]} Fue una extensión del trabajo previo sobre coeficientes binomiales y polinomios de Hermite lo que condujo al desarrollo de la Transformación de Hermite Modificada (MHT) en 1987. ^{[5] [6]} Las funciones de magnitud al cuadrado de los filtros QMF binomiales son las únicas funciones máximamente planas en una formulación de diseño QMF de reconstrucción perfecta de dos bandas (PR-QMF) que está relacionada con la regularidad wavelet en el dominio continuo. ^{[7] [8]}

Aplicaciones

• La aplicación de la transformada wavelet de Daubechies como esquema de marca de agua ha demostrado ser eficaz. Este enfoque opera en un dominio de frecuencia multirresolución competente, lo que permite la incorporación de un logotipo digital cifrado en formato de códigos QR. ^[9]

• La aproximación wavelet de Daubechies se puede utilizar para analizar el comportamiento de las grietas de Griffith en la propagación de ondas de corte horizontales magnetoelásticas no locales (SH) dentro de una franja isótropa homogénea infinitamente larga y de espesor finito. ^[10]

• Los coeficientes cepstrales de wavelets de Daubechies pueden ser útiles en el contexto de la detección de la enfermedad de Parkinson. Los wavelets de Daubechies, conocidos por su eficiente análisis multirresolución, se utilizan para extraer características cepstrales de los datos de señales vocales. Estos coeficientes basados ​​en wavelets pueden actuar como características discriminantes para identificar con precisión patrones indicativos de la enfermedad de Parkinson, lo que ofrece un enfoque novedoso para las metodologías de diagnóstico. ^[11]

• Cuando se trata del análisis y la detección de neumonía adquirida en la comunidad (NAC), se pueden utilizar ondículas de Daubechies complejas para identificar detalles intrincados de las áreas afectadas por NAC en los pulmones infectados para producir resultados precisos. ^[12]

• El problema de la lubricación elastohidrodinámica implica el estudio de regímenes de lubricación en los que la deformación de las superficies en contacto influye significativamente en la película lubricante. Las wavelets de Daubechies pueden abordar los desafíos asociados con el modelado y simulación precisos de fenómenos de lubricación tan intrincados. Las wavelets de Daubechies permiten una exploración más detallada y refinada de las interacciones entre el lubricante y las superficies en contacto. ^[13]

• El espectro Wavelet de Daubechies puede extraer detalles y características intrincados de las señales vibroacústicas, lo que ofrece un enfoque de diagnóstico integral para evaluar el estado y el rendimiento de los motores diésel en las cosechadoras. El espectro Wavelet de Daubechies sirve como una poderosa herramienta analítica que permite a los investigadores identificar patrones, anomalías y firmas características dentro de las señales asociadas con diferentes condiciones del motor. Este análisis espectral detallado ayuda a mejorar la precisión de las evaluaciones de diagnóstico, lo que permite una comprensión más matizada de las características vibratorias y acústicas que indican el estado del motor o problemas potenciales. ^[14]

• En términos prácticos, las ondículas de Daubechies facilitan un examen preciso de las características temporales y espaciales de las ondas dinámicas en materiales elásticos. Este enfoque permite una comprensión más matizada de cómo los sólidos elásticos responden a condiciones dinámicas variables a lo largo del tiempo. La integración de las ondículas de Daubechies en el método de dominio finito de ondículas probablemente contribuya a un marco analítico más versátil y sólido para estudiar las ondas dinámicas transitorias en sólidos elásticos. ^[15]

• El problema de la braquistócrona se puede formular y expresar como un problema variacional, enfatizando la importancia de encontrar la curva óptima que minimice el tiempo de descenso. Al introducir las ondículas de Daubechies en el marco matemático, las funciones de escala asociadas con estas ondículas pueden construir una aproximación de la curva óptima. Las ondículas de Daubechies, con su capacidad para capturar componentes de alta y baja frecuencia de una función, resultan fundamentales para lograr una representación detallada de la curva de la braquistócrona. ^[16]

Véase también

• Transformada wavelet rápida

Referencias

1. I. Daubechies, Diez conferencias sobre wavelets, SIAM, 1992, pág. 194.
2. Wavelet de Daubechies en Mathematica. Nótese que en el texto n es n/2.
3. AN Akansu, Una estructura QMF-Wavelet eficiente (Binomial-QMF Daubechies Wavelets), Proc. 1er Simposio NJIT sobre Wavelets, abril de 1990.
4. AN Akansu, RA Haddad y H. Caglar, Transformada QMF-Wavelet binomial de reconstrucción perfecta, Proc. SPIE Comunicaciones visuales y procesamiento de imágenes, págs. 609–618, vol. 1360, Lausana, septiembre de 1990.
5. AN Akansu, Codificación de señales de voz mediante transformada adaptativa estadística. Tesis doctoral. Universidad Politécnica, 1987.
6. RA Haddad y AN Akansu, "Una nueva transformada ortogonal para la codificación de señales", IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, vol. 36, n.º 9, págs. 1404-1411, septiembre de 1988.
7. H. Caglar y AN Akansu, Una técnica de diseño PR-QMF paramétrica generalizada basada en la aproximación polinomial de Bernstein, IEEE Trans. Signal Process., págs. 2314-2321, julio de 1993.
8. O. Herrmann, Sobre el problema de aproximación en el diseño de filtros digitales no recursivos, IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-18, núm. 3, págs. 411–413, mayo de 1971.
9. Umer, Aziz Waqas; Majid, Khan; Syeda, Iram Batool (18 de diciembre de 2019). "Un nuevo esquema de marca de agua basado en wavelet de Daubechies y mapa caótico para imágenes de código de respuesta rápida". Herramientas y aplicaciones multimedia . 79 (9–10): 6891–6914. doi :10.1007/s11042-019-08570-5.
10. Jyotirmoy, Mouley; Nantu, Sarkar; Soumen, De (5 de enero de 2023). "Análisis de grietas de Griffith en una banda magnetoelástica no local utilizando wavelets de Daubechies". Ondas en medios aleatorios y complejos : 1–19. doi :10.1080/17455030.2022.2163060.
11. Soumaya, Zayrit; Taoufiq, Belhoussine Drissi; Abdelkrim, Ammoumou (2020). "Coeficientes cepstrales de wavelet de Daubechies para la detección de la enfermedad de Parkinson" (PDF) . Sistemas complejos .
12. Natzina, Juanita SRF; Nadine, Suzanne SRF; Shojaa, Ayed Aljasar; Yubin, Xu; Muhammad, Saqib (2020). "Análisis y detección de neumonía adquirida en la comunidad mediante PSPNET con wavelets de Daubechies complejos". Revista india de ciencias de la computación e ingeniería (IJCSE) .
13. SC, Shiralashetti; SI, Hanaji; Sharada, S. Naregal (28 de julio de 2020). "Método numérico basado en wavelets de Daubechies para la solución del problema de lubricación elastohidrodinámica de grasas". Conferencia internacional sobre ciencias matemáticas y aplicaciones .
14. LL, Titova; Yu, M Chernik; Yu O, Gumenyuk; MM, Korobko (2020). "Investigación del espectro Wavelet de Daubechies de señales vibroacústicas para el diagnóstico de motores diésel de cosechadoras". Serie de conferencias IOP: Ciencias de la Tierra y del Medio Ambiente . 548 : 032030. doi : 10.1088/1755-1315/548/3/032030 .
15. Christos, V.Nastos; Dimitris, A. Saravanos (7 de septiembre de 2021). "Método de dominio wavelet finito de Daubechies multirresolución para análisis de ondas dinámicas transitorias en sólidos elásticos". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 122 (23): 7078–7100. doi :10.1002/nme.6822.
16. Azad, Kasnazani; Amjad, AliPanah (2021). "Resolución del problema de la braquistócrona mediante funciones de escala de wavelets de Daubechies". Métodos computacionales para ecuaciones diferenciales .

Enlaces externos

• Ingrid Daubechies: Diez conferencias sobre wavelets , SIAM 1992.
• Actas del 1er Simposio NJIT sobre Wavelets, Subbandas y Transformadas, abril de 1990.
• Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992), Descomposición de señales multirresolución: transformadas, subbandas y wavelets , Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
• AN Akansu, Bancos de filtros y wavelets en el procesamiento de señales: una revisión crítica, Proc. SPIE Video Communications and PACS for Medical Applications (artículo invitado), págs. 330-341, vol. 1977, Berlín, octubre de 1993.
• Carlos Cabrelli, Ursula Molter: "Autosimilitud generalizada", Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones , 230: 251–260, 1999.
• Implementación de hardware de wavelets
• "Ondículas de Daubechies", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• I. Kaplan, La transformada wavelet D4 de Daubechies.
• Jensen y la Cour-Harbo (2001). Ripples in Mathematics. Berlín: Springer. pp. 157–160. ISBN 3-540-41662-5Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2008. Consultado el 10 de diciembre de 2008 .
• Jianhong (Jackie) Shen y Gilbert Strang , Análisis armónico computacional y aplicado , 5 (3), Asintótica de filtros Daubechies, funciones de escala y wavelets.