Teorema de Frobenius (topología diferencial)

Sobre la búsqueda de un conjunto máximo de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas de primer orden

La forma 1 d z − y d x . en R ³ viola al máximo el supuesto del teorema de Frobenius. Estos planos parecen girar a lo largo del eje y . No es integrable, como se puede verificar dibujando un cuadrado infinitesimal en el plano xy y siguiendo el camino a lo largo de las formas 1. El camino no volvería a la misma coordenada z después de un circuito.

En matemáticas , el teorema de Frobenius proporciona condiciones necesarias y suficientes para encontrar un conjunto máximo de soluciones independientes de un sistema sobredeterminado de ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas de primer orden . En términos geométricos modernos , dada una familia de campos vectoriales , el teorema proporciona condiciones de integrabilidad necesarias y suficientes para la existencia de una foliación por variedades integrales máximas cuyos fibrados tangentes están abarcados por los campos vectoriales dados. El teorema generaliza el teorema de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias, que garantiza que un solo campo vectorial siempre da lugar a curvas integrales ; Frobenius proporciona condiciones de compatibilidad bajo las cuales las curvas integrales de r campos vectoriales se engranan en cuadrículas de coordenadas en variedades integrales r -dimensionales. El teorema es fundamental en topología diferencial y cálculo en variedades .

La geometría de contacto estudia las 1-formas que violan al máximo los supuestos del teorema de Frobenius. A la derecha se muestra un ejemplo.

Introducción

Versión de un solo formato

Supongamos que queremos encontrar la trayectoria de una partícula en un subconjunto del espacio 3D, pero no conocemos su fórmula de trayectoria. En cambio, solo sabemos que su trayectoria satisface , donde son funciones suaves de . Por lo tanto, nuestra única certeza es que si en algún momento en el tiempo la partícula está en la ubicación , entonces su velocidad en ese momento está restringida dentro del plano con ecuación ${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ $${\displaystyle a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0}$$

En otras palabras, podemos dibujar un "plano local" en cada punto del espacio 3D y sabemos que la trayectoria de la partícula debe ser tangente al plano local en todo momento.

Si tenemos dos ecuaciones , podemos dibujar dos planos locales en cada punto, y su intersección es genéricamente una línea, lo que nos permite resolver de manera única la curva que comienza en cualquier punto. En otras palabras, con dos formas 1, podemos foliar el dominio en curvas. $${\displaystyle {\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}}$$

Si tenemos una sola ecuación , entonces podríamos ser capaces de realizar la foliación en superficies, en cuyo caso, podemos estar seguros de que una curva que comienza en una determinada superficie debe estar restringida a deambular dentro de esa superficie. Si no, entonces una curva que comienza en cualquier punto podría terminar en cualquier otro punto en . ${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Podemos imaginar que empezamos con una nube de pequeños planos y los unimos para formar una superficie completa. El principal peligro es que, si acolchamos los planos de dos en dos, podríamos entrar en un ciclo y volver al punto de partida, pero con un pequeño desplazamiento. Si esto sucede, no obtendremos una superficie bidimensional, sino una mancha tridimensional. En el diagrama de la derecha se muestra un ejemplo.

Si la forma unitaria es integrable, entonces los bucles se cierran exactamente sobre sí mismos y cada superficie sería bidimensional. El teorema de Frobenius establece que esto sucede precisamente cuando en todo el dominio, donde . La notación se define en el artículo sobre formas unitarias . ${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega :=adx+bdy+cdz}$

Durante su desarrollo de la termodinámica axiomática, Carathéodory demostró que si es una forma unidimensional integrable en un subconjunto abierto de , entonces para algunas funciones escalares en el subconjunto. Esto se suele llamar teorema de Carathéodory en termodinámica axiomática. ^{[1] [2]} Se puede demostrar esto intuitivamente construyendo primero los pequeños planos según , uniéndolos para formar una foliación y luego asignando a cada superficie de la foliación una etiqueta escalar. Ahora, para cada punto , defina que es la etiqueta escalar de la superficie que contiene al punto . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega =fdg}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\displaystyle p}$

Para cada punto p, la forma única se visualiza como una pila de planos paralelos. Los planos están acolchados entre sí, pero con un "grosor desigual". Con una escala en cada punto, tendría un "grosor uniforme" y se convertiría en un diferencial exacto. ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle \omega }$

Ahora bien, es una forma unitaria que tiene exactamente los mismos planos que . Sin embargo, tiene un "grosor uniforme" en todas partes, mientras que podría tener un "grosor desigual". Esto se puede solucionar con un escalamiento escalar mediante , lo que da . Esto se ilustra a la derecha. ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =fdg}$

Varias formas de uno

En su forma más elemental, el teorema aborda el problema de encontrar un conjunto máximo de soluciones independientes de un sistema regular de ecuaciones diferenciales parciales homogéneas lineales de primer orden . Sea

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}$

sea ​​una colección de funciones C 1 , con r < n , y tal que la matriz (  f^Yo
_sé ) tiene rango r cuando se evalúa en cualquier punto de R ⁿ . Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una función C ² u  : R ⁿ → R :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}}$

Se buscan condiciones sobre la existencia de una colección de soluciones u ₁ , ..., u _{n − r} tales que los gradientes ∇ u ₁ , ..., ∇ u _{n − r} sean linealmente independientes .

El teorema de Frobenius afirma que este problema admite una solución localmente ^[3] si, y sólo si, los operadores L _k satisfacen una cierta condición de integrabilidad conocida como involutividad . En concreto, deben satisfacer relaciones de la forma

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

para 1 ≤ i , j ≤ r , y todas las funciones C ² u , y para algunos coeficientes c ^k _ij ( x ) que pueden depender de x . En otras palabras, los conmutadores [ L _i , L _j ] deben estar en el espacio lineal de L _k en cada punto. La condición de involutividad es una generalización de la conmutatividad de las derivadas parciales. De hecho, la estrategia de demostración del teorema de Frobenius es formar combinaciones lineales entre los operadores L _i de modo que los operadores resultantes conmuten, y luego demostrar que hay un sistema de coordenadas y _i para el cual estas son precisamente las derivadas parciales con respecto a y ₁ , ..., y _r .

Del análisis a la geometría

Aunque el sistema esté sobredeterminado, normalmente existen infinitas soluciones. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

permite claramente múltiples soluciones. Sin embargo, estas soluciones aún tienen suficiente estructura como para que puedan describirse completamente. La primera observación es que, incluso si f ₁ y f ₂ son dos soluciones diferentes, las superficies de nivel de f ₁ y f ₂ deben superponerse. De hecho, las superficies de nivel para este sistema son todas planos en R ³ de la forma x − y + z = C , para C una constante. La segunda observación es que, una vez que se conocen las superficies de nivel, todas las soluciones pueden darse en términos de una función arbitraria. Dado que el valor de una solución f en una superficie de nivel es constante por definición, defina una función C ( t ) mediante:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.}$

Por el contrario, si se da una función C ( t ) , entonces cada función f dada por esta expresión es una solución de la ecuación original. Por lo tanto, debido a la existencia de una familia de superficies de nivel, las soluciones de la ecuación original están en correspondencia biunívoca con funciones arbitrarias de una variable.

El teorema de Frobenius permite establecer una correspondencia similar para el caso más general de soluciones de (1). Supóngase que u ₁ , ..., u _n−r son soluciones del problema (1) que satisfacen la condición de independencia en los gradientes. Considérense los conjuntos de nivel ^[4] de ( u ₁ , ..., u _n−r ) como funciones con valores en R ^n−r . Si v ₁ , ..., v _n−r es otra colección de soluciones de este tipo, se puede demostrar (utilizando algo de álgebra lineal y el teorema del valor medio ) que ésta tiene la misma familia de conjuntos de nivel pero con una elección posiblemente diferente de constantes para cada conjunto. Así, aunque las soluciones independientes de (1) no son únicas, la ecuación (1) determina no obstante una familia única de conjuntos de nivel. Tal como en el caso del ejemplo, las soluciones generales u de (1) están en una correspondencia biunívoca con funciones (continuamente diferenciables) en la familia de conjuntos de nivel. ^[5]

Los conjuntos de niveles correspondientes a los conjuntos de soluciones independientes máximas de (1) se denominan variedades integrales porque las funciones en el conjunto de todas las variedades integrales corresponden en algún sentido a constantes de integración . Una vez que se conoce una de estas constantes de integración, también se conoce la solución correspondiente.

El teorema de Frobenius en lenguaje moderno

El teorema de Frobenius se puede reformular de forma más económica en lenguaje moderno. La versión original del teorema de Frobenius se enunciaba en términos de sistemas pfaffianos , que hoy en día se pueden traducir al lenguaje de las formas diferenciales . Una formulación alternativa, algo más intuitiva, utiliza campos vectoriales .

Formulación utilizando campos vectoriales

En la formulación del campo vectorial, el teorema establece que un subfibrado del fibrado tangente de una variedad es integrable (o involutivo) si y sólo si surge de una foliación regular . En este contexto, el teorema de Frobenius relaciona la integrabilidad con la foliación; para enunciar el teorema, ambos conceptos deben estar claramente definidos.

Se comienza por notar que un campo vectorial arbitrario y suave en una variedad define una familia de curvas , sus curvas integrales (para intervalos ). Estas son las soluciones de , que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden , cuya resolubilidad está garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf . Si el campo vectorial no es cero en ninguna parte, entonces define un subfibrado unidimensional del fibrado tangente de , y las curvas integrales forman una foliación regular de . Por lo tanto, los subfibrados unidimensionales son siempre integrables. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u:I\to M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Si el subfibrado tiene dimensión mayor que uno, se debe imponer una condición. Se dice que un subfibrado del fibrado tangente es integrable (o involutivo ), si, para dos cuerpos vectoriales cualesquiera y que toman valores en , el corchete de Lie también toma valores en . Esta noción de integrabilidad solo necesita definirse localmente; es decir, la existencia de los cuerpos vectoriales y y su integrabilidad solo necesitan definirse en subconjuntos de . ${\displaystyle E\subset TM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

Existen varias definiciones de foliación . Aquí utilizamos las siguientes:

Definición. Una foliación p -dimensional de clase C ^r de una variedad n -dimensional M es una descomposición de M en una unión de subvariedades disjuntas conexas { L _α } _{α∈ A} , llamadas hojas de la foliación, con la siguiente propiedad: Cada punto en M tiene una vecindad U y un sistema de coordenadas locales de clase C ^r x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿ tal que para cada hoja L _α , los componentes de U ∩ L _α se describen por las ecuaciones x ^{p +1} =constante, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constante. Una foliación se denota por ={ L _α } _{α∈ A} . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Trivialmente, cualquier foliación de define un subfibrado integrable, ya que si y es la hoja de la foliación que pasa por entonces es integrable. El teorema de Frobenius establece que el recíproco también es cierto: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$

Dadas las definiciones anteriores, el teorema de Frobenius establece que un subfibrado es integrable si y sólo si el subfibrado surge de una foliación regular de . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Formulación de formas diferenciales

Sea U un conjunto abierto en una variedad M , Ω ¹ ( U ) el espacio de 1-formas suaves y diferenciables en U , y F un submódulo de Ω ¹ ( U ) de rango r , siendo el rango constante en valor sobre U . El teorema de Frobenius establece que F es integrable si y solo si para cada p en U el tallo F _p es generado por r formas diferenciales exactas .

Geométricamente, el teorema establece que un módulo integrable de 1 -formas de rango r es lo mismo que una foliación de codimensión r . La correspondencia con la definición en términos de campos vectoriales dada en la introducción se desprende de la estrecha relación entre formas diferenciales y derivadas de Lie . El teorema de Frobenius es una de las herramientas básicas para el estudio de campos vectoriales y foliaciones.

Existen, pues, dos formas del teorema: una que opera con distribuciones , es decir, subfibrados suaves D del fibrado tangente TM ; y la otra que opera con subfibrados del anillo graduado Ω( M ) de todas las formas en M . Estas dos formas están relacionadas por dualidad. Si D es una distribución tangente suave en M , entonces el aniquilador de D , I ( D ) consiste en todas las formas (para cualquier ) tales que ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

para todo . El conjunto I ( D ) forma un subanillo y, de hecho, un ideal en Ω( M ) . Además, utilizando la definición de la derivada exterior , se puede demostrar que I ( D ) es cerrado bajo diferenciación exterior (es un ideal diferencial ) si y solo si D es involutivo. En consecuencia, el teorema de Frobenius toma la forma equivalente de que I ( D ) es cerrado bajo diferenciación exterior si y solo si D es integrable. ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$

Generalizaciones

El teorema puede generalizarse de diversas maneras.

Dimensiones infinitas

Una generalización de dimensión infinita es la siguiente. ^[7] Sean X e Y espacios de Banach , y A ⊂ X , B ⊂ Y un par de conjuntos abiertos .

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

sea ​​una función continuamente diferenciable del producto cartesiano (que hereda una estructura diferenciable de su inclusión en X × Y ) en el espacio L ( X , Y ) de transformaciones lineales continuas de X en Y . Una aplicación diferenciable u  : A → B es una solución de la ecuación diferencial

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

si

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

La ecuación (1) es completamente integrable si para cada , existe un entorno U de x ₀ tal que (1) tiene una solución única u ( x ) definida en U tal que u ( x ₀ )= y ₀ . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$

Las condiciones del teorema de Frobenius dependen de si el campo subyacente es R o C . Si es R , entonces suponga que F es continuamente diferenciable. Si es C , entonces suponga que F es dos veces continuamente diferenciable. Entonces (1) es completamente integrable en cada punto de A × B si y solo si

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

para todo s ₁ , s ₂ ∈ X . Aquí D ₁ (resp. D ₂ ) denota la derivada parcial con respecto a la primera (resp. segunda) variable; el producto escalar denota la acción del operador lineal F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) , así como las acciones de los operadores D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y )) y D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

Variedades de Banach

La versión de dimensión infinita del teorema de Frobenius también se cumple en las variedades de Banach . ^[8] El enunciado es esencialmente el mismo que la versión de dimensión finita.

Sea M una variedad de Banach de clase al menos C ² . Sea E un subfibrado del fibrado tangente de M . El fibrado E es involutivo si, para cada punto p ∈ M y par de secciones X e Y de E definidos en un entorno de p , el corchete de Lie de X e Y evaluado en p , se encuentra en E _p :

${\displaystyle [X,Y]_{p}\in E_{p}}$

Por otra parte, E es integrable si, para cada p ∈ M , existe una subvariedad inmersa φ  : N → M cuya imagen contiene a p , tal que la diferencial de φ es un isomorfismo de TN con φ ⁻¹ E .

El teorema de Frobenius establece que un subfibrado E es integrable si y sólo si es involutivo.

Formas holomorfas

El enunciado del teorema sigue siendo válido para 1-formas holomorfas en variedades complejas (variedades sobre C con funciones de transición biholomorfas ) . ^[9]

Específicamente, si son r 1-formas holomorfas linealmente independientes en un conjunto abierto en C ⁿ tales que ${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

para algún sistema de 1-formas holomorfas ψ^yo
_yo, 1 ≤ i , j ≤ r , entonces existen funciones holomorfas f _i ^j y g ⁱ tales que, en un dominio posiblemente más pequeño,

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

Este resultado se cumple localmente en el mismo sentido que las otras versiones del teorema de Frobenius. En particular, el hecho de que se haya enunciado para dominios en C ⁿ no es restrictivo.

Formas de grado superior

El enunciado no se puede generalizar a formas de grado superior, aunque hay una serie de resultados parciales como el teorema de Darboux y el teorema de Cartan-Kähler .

Historia

A pesar de que el nombre se debe a Ferdinand Georg Frobenius , el teorema fue demostrado por primera vez por Alfred Clebsch y Feodor Deahna . Deahna fue el primero en establecer las condiciones suficientes para el teorema, y ​​Clebsch desarrolló las condiciones necesarias . Frobenius es responsable de aplicar el teorema a los sistemas pfaffianos , allanando así el camino para su uso en topología diferencial.

Aplicaciones

• En la mecánica clásica , la integrabilidad de las ecuaciones de restricción de un sistema determina si el sistema es holonómico o no holonómico .
• En teoría microeconómica , el teorema de Frobenius puede utilizarse para demostrar la existencia de una solución al problema de integrabilidad de las funciones de demanda .

La termodinámica axiomática de Carathéodory

En la termodinámica clásica , el teorema de Frobenius se puede utilizar para construir la entropía y la temperatura en el formalismo de Carathéodory. ^{[1] [10]}

En concreto, Carathéodory consideró un sistema termodinámico (concretamente, podemos imaginar un pistón de gas) que puede interactuar con el mundo exterior mediante conducción de calor (como prendiendo fuego al pistón) o trabajo mecánico (empujando el pistón). Luego definió "proceso adiabático" como cualquier proceso que el sistema pueda experimentar sin conducción de calor, y definió una relación de " accesibilidad adiabática " de la siguiente manera: si el sistema puede pasar del estado A al estado B después de un proceso adiabático, entonces es adiabáticamente accesible desde . Escríbalo como . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\succeq B}$

Ahora supongamos que

• Para cualquier par de estados , al menos uno de y se cumple. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$
• Para cualquier estado y cualquier vecindario de , existe un estado en el vecindario, tal que es adiabáticamente inaccesible desde . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Luego, podemos dividir el espacio de estados en subconjuntos de estados que son mutuamente accesibles adiabáticamente. Con suposiciones moderadas sobre la suavidad de , cada subconjunto es una variedad de codimensión 1. Llamemos a estas variedades "superficies adiabáticas". ${\displaystyle \succeq }$

Según la primera ley de la termodinámica , existe una función escalar ("energía interna") en el espacio de estados, tal que donde son las posibles formas de realizar trabajo mecánico en el sistema. Por ejemplo, si el sistema es un tanque de gas ideal, entonces . ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q}$$ ${\displaystyle X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}}$ ${\displaystyle \delta W=-pdV}$

Ahora, definamos la forma única en el espacio de estados Ahora, dado que las superficies adiabáticas son tangentes a en cada punto del espacio de estados, es integrable, por lo que, por el teorema de Carathéodory, existen dos funciones escalares en el espacio de estados, tales que . Estas son las funciones de temperatura y entropía, hasta una constante multiplicativa. $${\displaystyle \omega :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T,S}$ ${\displaystyle \omega =TdS}$

Si introducimos las leyes de los gases ideales y observamos que la expansión de Joule es un proceso adiabático (irreversible), podemos fijar el signo de y encontrar que significa . Es decir, la entropía se conserva en los procesos adiabáticos reversibles y aumenta durante los procesos adiabáticos irreversibles. ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle S(A)\leq S(B)}$

Véase también

• Condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales
• Teorema de enderezamiento del dominio
• Teorema de Newlander-Nirenberg

Notas

1. Buchdahl, HA (abril de 1949). "Sobre el teorema irrestricto de Carathéodory y su aplicación en el tratamiento de la segunda ley de la termodinámica". American Journal of Physics . 17 (4): 212–218. Bibcode :1949AmJPh..17..212B. doi :10.1119/1.1989552. ISSN  0002-9505.
2. Carathéodory, C. (1909). "Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik". Annalen Matemáticas . 67 (3): 355–386. doi :10.1007/BF01450409. ISSN  0025-5831.
3. Aquí , localmente significa dentro de subconjuntos suficientemente pequeños y abiertos de R ⁿ . De aquí en adelante, cuando hablamos de una solución, nos referimos a una solución local.
4. Un conjunto de niveles es un subconjunto de R ⁿ correspondiente al lugar geométrico de:

   ( u ₁ , ..., u _{n − r} ) = ( c ₁ , ..., c _{n − r} ) ,

   para algunas constantes c _i .
5. La noción de una función continuamente diferenciable en una familia de conjuntos de niveles puede hacerse rigurosa mediante el teorema de la función implícita .
6. Lawson, H. Blaine (1974), "Foliaciones", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 80 (3): 369–418, ISSN  0040-9383, Zbl  0293.57014
7. Dieudonné, J (1969). "Cap. 10.9". Fundamentos del análisis moderno . Academic Press. ISBN 9780122155307.
8. Lang, S. (1995). "Cap. VI: El teorema de Frobenius". Variedades diferenciales y riemannianas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.
9. Kobayashi, S .; Nomizu, K. (2009) [1969]. "Apéndice 8". Fundamentos de geometría diferencial . Biblioteca clásica de Wiley. Vol. 2. Wiley. ISBN 978-0-471-15732-8. Número de serie  0175.48504.
10. Buchdahl, HA (1 de marzo de 1960). "Los conceptos de la termodinámica clásica". American Journal of Physics . 28 (3): 196–201. Código Bibliográfico :1960AmJPh..28..196B. doi :10.1119/1.1935102. ISSN  0002-9505.

Referencias

• Lawson, HB (1977). La teoría cualitativa de las foliaciones . Serie CBMS de la American Mathematical Society. Vol. 27. AMS.
• Abraham, Ralph. ; Marsden, Jerrold E. (2008) [1978]. "2.2.26 Teorema de Frobenius". Fundamentos de mecánica (2.ª ed.). American Mathematical Society. pág. 93. ISBN 9780821844380.
• Clebsch, A. (1866). "Ueber die simultane Integration linearer parteller Differentialgleichungen". J. Reina. Angélica. Matemáticas. (Crelle) . 1866 (65): 257–268. doi :10.1515/crll.1866.65.257. S2CID  122439486.
• Deahna, F. (1840). "Über die Bedingungen der Integrabilitat ..." J. Reine Angew. Matemáticas . 20 : 340–350. doi :10.1515/crll.1840.20.340. S2CID  120057555.
• Frobenius, G. (1877). "El problema de Über das Pfaffsche". J. Reina Angew. Matemáticas . 1877 (82): 230–315. doi :10.1515/crll.1877.82.230. S2CID  119848431.