Integrabilidad de la demanda

Problema en microeconomía

En la teoría microeconómica , el problema de la integrabilidad de las funciones de demanda trata de recuperar una función de utilidad (es decir, las preferencias del consumidor ) a partir de una función de demanda walrasiana dada . ^[1] La "integrabilidad" en el nombre proviene del hecho de que se puede demostrar que las funciones de demanda satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en precios, y resolver (integrar) este sistema es un paso crucial para recuperar la función de utilidad subyacente que genera la demanda.

El problema fue considerado por Paul Samuelson en su libro Fundamentos del análisis económico , y las condiciones para su solución fueron dadas por él en un artículo de 1950. ^[2] Condiciones más generales para una solución fueron dadas posteriormente por Leonid Hurwicz y Hirofumi Uzawa . ^[3]

Formulación matemática

Dado un espacio de consumo y una función de demanda walrasiana conocida , resolver el problema de integrabilidad de la demanda consiste en encontrar una función de utilidad tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:\mathbb {R} _{++}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}$ ${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle x(p,w)=\operatorname {argmax} _{x\in X}\{u(x):p\cdot x\leq w\}}$

Es decir, se trata esencialmente de “revertir” el problema de maximización de la utilidad del consumidor .

Condiciones suficientes para la solución

Básicamente, hay dos pasos para resolver el problema de integrabilidad de una función de demanda. Primero, se recupera una función de gasto para el consumidor. Luego, con las propiedades de las funciones de gasto, se puede construir un conjunto al menos tan bueno como el de la función de demanda. ${\displaystyle e(p,u)}$

${\displaystyle V_{u}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u\}}$

lo que equivale a encontrar una función de utilidad . ${\displaystyle u(x)}$

Si la función de demanda es homogénea de grado cero, satisface la Ley de Walras y tiene una matriz de sustitución semidefinida negativa , entonces es posible seguir esos pasos para encontrar una función de utilidad que genere demanda . ^[4] ${\displaystyle x(p,w)}$ ${\displaystyle S(p,w)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x(p,w)}$

Demostración : si se cumplen las dos primeras condiciones (homogeneidad de grado cero y ley de Walras), entonces la dualidad entre el problema de minimización del gasto y el problema de maximización de la utilidad nos dice que

${\displaystyle x(p,w)=h(p,v(p,w))}$

donde es la función de utilidad indirecta de los consumidores y es la función de demanda hicksiana de los consumidores . Fijemos un nivel de utilidad ^{[nb 1]} . A partir del lema de Shephard y con la identidad anterior tenemos ${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w))}$ ${\displaystyle h(p,u)}$ ${\displaystyle u_{0}=v(p,w)}$

donde omitimos el nivel de utilidad fijo para mayor concisión. ( 1 ) es un sistema de EDP en el vector de precios , y el teorema de Frobenius se puede utilizar para demostrar que si la matriz ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle D_{p}x(p,w)+D_{w}x(p,w)x(p,w)}$

es simétrica, entonces tiene una solución. Observe que la matriz anterior es simplemente la matriz de sustitución , que asumimos como simétrica de primera mano. Por lo tanto, ( 1 ) tiene una solución y es posible (al menos teóricamente) encontrar una función de gasto tal que . ${\displaystyle S(p,w)}$ ${\displaystyle e(p)}$ ${\displaystyle p\cdot x(p,e(p))=e(p)}$

Para el segundo paso, por definición,

${\displaystyle e(p)=e(p,u_{0})=\min\{p\cdot x:x\in V_{u_{0}}\}}$

donde . Por las propiedades de , no es demasiado difícil demostrar ^[4] que . Haciendo alguna manipulación algebraica con la desigualdad , se puede reconstruir en su forma original con . Si se hace eso, se ha encontrado una función de utilidad que genera la demanda del consumidor . ${\displaystyle V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u_{0}\}}$ ${\displaystyle e(p,u)}$ ${\displaystyle V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:p\cdot x\geq e(p,u_{0})\}}$ ${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u_{0})}$ ${\displaystyle V_{u_{0}}}$ ${\displaystyle u(x)\geq u_{0}}$ ${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x(p,w)}$

Notas

1. Esta elección arbitraria es válida porque los niveles de utilidad no tienen sentido ya que las preferencias se conservan bajo transformaciones monótonas de las funciones de utilidad.

Referencias

1. https://core.ac.uk/download/pdf/14705907.pdf
2. Samuelson, Paul (1950). "El problema de la integrabilidad en la teoría de la utilidad". Economía . 17 (68): 355–385. doi :10.2307/2549499.
3. Hurwicz, Leonid; Uzawa, Hirofumi (1971). "Capítulo 6: Sobre la integrabilidad de las funciones de demanda". En Chipman, John S.; Richter, Marcel K.; Sonnenschein, Hugo F. (eds.). Preferencias, utilidad y demanda: un simposio de Minnesota . Nueva York: Harcourt, Brace, Jovanovich. págs. 114-148.
4. Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Micheal D. ; Green, Jerry R. (1995). Teoría microeconómica . Oxford University Press. págs. 75–80. ISBN 978-0195073409.