En microeconomía , la función de gasto proporciona la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita gastar para lograr cierto nivel de utilidad , dada una función de utilidad y los precios de los bienes disponibles.
Formalmente, si existe una función de utilidad que describe las preferencias sobre n productos, la función de gasto
indica qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad si los n precios están dados por el vector de precios . Esta función está definida por
dónde
es el conjunto de todos los paquetes que proporcionan una utilidad al menos tan buena como .
Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto sujeto a la restricción de utilidad mínima que da cantidades óptimas para consumir de los diversos bienes como función de y de los precios; entonces la función de gasto es
Características de las funciones de gasto
- (Propiedades de la función de gasto) Supongamos que u es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no satisfecha º en Rn+. Entonces e(p, u) es
- 1. Homogéneo de grado uno en p: para todos y ,
- 2. Continuo en y
- 3. No decreciente en y estrictamente creciente en siempre que
- 4. Cóncava en
- 5. Si la función de utilidad es estrictamente cuasi-cóncava, existe el lema de Shephard
Prueba
(1) Como en la proposición anterior, nótese que
(2) Continuar en el dominio :
(3) Sea y supongamos . Entonces , y . Se sigue inmediatamente que .
Para la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunos , Entonces, para algunos , lo que contradice la conclusión de que "no hay utilidad en exceso" de la proposición anterior.
(4)Sea y supongamos . Entonces, y , por lo que .
(5)
Gasto y utilidad indirecta
La función de gasto es la inversa de la función de utilidad indirecta cuando los precios se mantienen constantes, es decir, para cada vector de precios y nivel de ingresos : [1] : 106
Existe una relación dual entre la función de gasto y la función de utilidad. Si se da una función de utilidad regular cuasi-cóncava específica, el precio correspondiente es homogéneo y la utilidad aumenta monótonamente; a la inversa, el precio dado es homogéneo y la utilidad aumenta monótonamente; la función de gasto generará la función de utilidad regular cuasi-cóncava. Además de la propiedad de que los precios son homogéneos y la utilidad aumenta monótonamente, la función de gasto generalmente asume
(1) es una función no negativa, es decir,
(2) Para P, no es decreciente, es decir, ;
(3)E(Pu) es una función cóncava. Es decir,
La función de gasto es un método teórico importante para estudiar el comportamiento del consumidor. La función de gasto es muy similar a la función de costo en la teoría de la producción. El problema de minimización de costos es un problema dual al de maximización de la utilidad [2] [3]
Ejemplo
Supongamos que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas que genera las funciones de demanda [4]
donde es el ingreso del consumidor. Una forma de hallar la función de gasto es hallar primero la función de utilidad indirecta y luego invertirla. La función de utilidad indirecta se halla reemplazando las cantidades en la función de utilidad por las funciones de demanda, de la siguiente manera:
donde Entonces, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto:
Alternativamente, la función de gasto se puede encontrar resolviendo el problema de minimizar sujeto a la restricción. Esto produce funciones de demanda condicionales y y la función de gasto es entonces
Véase también
Referencias
- ^ Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (tercera edición). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
- ^ Jing ji xue da ci dian. Xiaomin Liang, 梁小民. (Di 1 prohibición ed.). Beijing Shi: Tuan jie chu ban she. 1994.ISBN 7-80061-954-0.OCLC 34287945 .
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: CS1 maint: others (link) - ^ "ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR Y DUALIDAD" (PDF) .
- ^ Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3.ª ed.). Nueva York: WW Norton., pág. 111, tiene la fórmula general.
Lectura adicional
- Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (2007). Teoría microeconómica . págs. 59–60. ISBN 978-0-19-510268-0.
- Mathis, Stephen A.; Koscianski, Janet (2002). Teoría microeconómica: un enfoque integrado . Upper Saddle River: Prentice Hall. págs. 132-133. ISBN 0-13-011418-9.
- Varian, Hal R. (1984). Análisis microeconómico (segunda edición). Nueva York: WW Norton. pp. 121–123. ISBN 0-393-95282-7.