Función de demanda hicksiana

Concepto en microeconomía

En microeconomía , la función de demanda hicksiana de un consumidor o función de demanda compensada de un bien es la cantidad demandada como parte de la solución para minimizar su gasto en todos los bienes y al mismo tiempo ofrecer un nivel fijo de utilidad . Esencialmente, una función de demanda de Hicks muestra cómo reaccionaría un agente económico ante el cambio en el precio de un bien, si el ingreso del agente fuera compensado para garantizarle la misma utilidad antes del cambio en el precio del bien: el agente permanecen en la misma curva de indiferencia antes y después del cambio en el precio del bien. La función lleva el nombre de John Hicks .

Matemáticamente, ^[1]

${\displaystyle h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle {\rm {subject~to}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}}}$.

donde h ( p , u ) es la función de demanda de Hicks, o paquete de bienes demandado, en el vector de precios p y el nivel de utilidad . Aquí p es un vector de precios y x es un vector de cantidades demandadas, por lo que la suma de todos los p _i x _i es el gasto total en todos los bienes. (Obsérvese que si hay más de un vector de cantidades que minimiza el gasto para la utilidad dada, tenemos una correspondencia de demanda hicksiana en lugar de una función ). ${\displaystyle {\bar {u}}}$

Las funciones de demanda de Hicks son útiles para aislar el efecto de los precios relativos sobre las cantidades demandadas de bienes, en contraste con las funciones de demanda marshallianas , que combinan eso con el efecto de que el ingreso real del consumidor se reduzca por un aumento de precio, como se explica a continuación.

Relación con otras funciones

Las funciones de demanda hicksianas suelen ser convenientes para la manipulación matemática porque no requieren que se representen ingresos o riqueza. Además, la función a minimizar es lineal en , lo que da un problema de optimización más simple. Sin embargo, las funciones de demanda marshallianas de la forma que describen la demanda dados los precios p y el ingreso son más fáciles de observar directamente. Los dos están relacionados por ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x(p,w)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle h(p,u)=x(p,e(p,u)),\ }$

¿Dónde está la función de gasto (la función que da la riqueza mínima requerida para llegar a un nivel de utilidad determinado), y por ${\displaystyle e(p,u)}$

${\displaystyle h(p,v(p,w))=x(p,w),\ }$

donde está la función de utilidad indirecta (que da el nivel de utilidad de tener una riqueza determinada bajo un régimen de precios fijos). Sus derivadas están relacionadas más fundamentalmente mediante la ecuación de Slutsky . ${\displaystyle v(p,w)}$

Mientras que la demanda marshalliana proviene del problema de maximización de la utilidad, la demanda hicksiana proviene del problema de minimización del gasto. Los dos problemas son duales matemáticos y, por tanto, el teorema de la dualidad proporciona un método para demostrar las relaciones descritas anteriormente.

La función de demanda de Hicks está íntimamente relacionada con la función de gasto . Si la función de utilidad del consumidor es localmente no saciada y estrictamente convexa , entonces según el lema de Shephard es cierto que ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle h(p,u)=\nabla _{p}e(p,u).}$

Demanda hicksiana y cambios de precios compensados

Las curvas de demanda marshallianas muestran el efecto de los cambios de precios sobre la cantidad demandada. A medida que aumenta el precio de un bien, normalmente la cantidad demandada de ese bien disminuirá, pero no en todos los casos. El aumento de precios tiene tanto un efecto sustitución como un efecto ingreso . El efecto sustitución es el cambio en la cantidad demandada debido a un cambio de precio que altera la pendiente de la restricción presupuestaria pero deja al consumidor en la misma curva de indiferencia (es decir, en el mismo nivel de utilidad). El efecto sustitución siempre es comprar menos de ese bien. El efecto renta es el cambio en la cantidad demandada debido al efecto del cambio de precio sobre el poder adquisitivo total del consumidor. Dado que para la función de demanda marshalliana la renta nominal del consumidor se mantiene constante, cuando un precio sube su renta real cae y es más pobre. Si el bien en cuestión es un bien normal y su precio aumenta, el efecto ingreso de la caída del poder adquisitivo refuerza el efecto sustitución. Si el bien es inferior , el efecto renta compensará en cierta medida el efecto sustitución. Si el bien es un bien Giffen , el efecto renta es tan fuerte que la cantidad demandada marshalliana aumenta cuando aumenta el precio.

La función de demanda hicksiana aísla el efecto sustitución suponiendo que el consumidor es compensado con un ingreso adicional exactamente suficiente después del aumento de precios para comprar algún paquete en la misma curva de indiferencia. ^[2] Si la función de demanda de Hicks es más pronunciada que la demanda marshalliana, el bien es un bien normal; de lo contrario, el bien es inferior. La demanda hicksiana siempre tiene una pendiente descendente.

Propiedades matemáticas

Si la función de utilidad del consumidor es continua y representa una relación de preferencia localmente no saciada , entonces la correspondencia de demanda de Hicks satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle h(p,u)}$

i. Homogeneidad de grado cero en p : Para todos , . Esto se debe a que la misma x que minimiza también minimiza sujeta a la misma restricción. ^[3] ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle h(ap,u)=h(p,u)}$ ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}x_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i}ap_{i}x_{i}}$

ii. Sin exceso de demanda: la restricción se cumple con estricta igualdad, . Esto se deriva de la continuidad de la función de utilidad. De manera informal, simplemente podrían gastar menos hasta que la utilidad fuera exactamente . ${\displaystyle u(hx)\geq {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u(x)={\bar {u}}}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$

Ver también

• Función de demanda marshalliana
• Preferencias convexas
• Problema de minimización del gasto.
• Ecuación de Slutsky
• Dualidad (optimización)
• Leyes de Hicks-Marshall de la demanda derivada

Referencias

1. Jonathan Levin; Pablo Milgrom. "Teoría del consumidor" (PDF) . pag. 12.
2. Varian, Hal R. "Capítulo 8: Ecuación de Slutsky". Ensayo. En Microeconomía intermedia con cálculo, 1ª ed., 155–56. Nueva York, Nueva York: WW Norton, 2014.
3. Silberberg E. (2008) Demandas hicksianas y marshallianas. En: Palgrave Macmillan (eds) El Diccionario de Economía New Palgrave. Palgrave Macmillan, Londres. https://doi.org/10.1057/978-1-349-95121-5_2702-1

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael y Green, Jerry (1995). Teoría Microeconómica . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-507340-1.