Ecuación de Slutsky

Ecuación en economía

En microeconomía , la ecuación de Slutsky (o identidad de Slutsky ), llamada así en honor a Eugen Slutsky , relaciona cambios en la demanda marshalliana (no compensada) con cambios en la demanda hicksiana (compensada) , la cual se conoce como tal ya que compensa para mantener un nivel fijo de utilidad.

Hay dos partes de la ecuación de Slutsky, a saber, el efecto sustitución y el efecto ingreso . En general, el efecto sustitución puede ser negativo para los consumidores, ya que puede limitar las opciones. Diseñó esta fórmula para explorar la respuesta del consumidor a medida que cambia el precio. Cuando el precio aumenta, el presupuesto establecido se mueve hacia adentro, lo que también hace que la cantidad demandada disminuya. Por el contrario, cuando el precio disminuye, el presupuesto establecido se mueve hacia afuera, lo que conduce a un aumento en la cantidad demandada. El efecto sustitución se debe al efecto del cambio de precio relativo, mientras que el efecto ingreso se debe al efecto de la liberación de ingreso. La ecuación demuestra que el cambio en la demanda de un bien, causado por un cambio de precio, es el resultado de dos efectos:

• un efecto de sustitución : cuando el precio de un bien cambia, a medida que se vuelve relativamente más barato, si hipotéticamente el consumo del consumidor sigue siendo el mismo, se liberaría ingreso que podría gastarse en una combinación de cada uno o más de los bienes.
• un efecto ingreso : el poder adquisitivo de un consumidor aumenta como resultado de una disminución del precio, por lo que el consumidor ahora puede permitirse mejores productos o más de los mismos productos, dependiendo de si el producto en sí es un bien normal o un bien inferior .

La ecuación de Slutsky descompone el cambio en la demanda del bien i en respuesta a un cambio en el precio del bien j :

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

donde es la demanda hicksiana y es la demanda marshalliana, en el vector de niveles de precios , nivel de riqueza (o, alternativamente, nivel de ingresos) y nivel de utilidad fija dado por maximizar la utilidad al precio y el ingreso originales, formalmente dados por la utilidad indirecta función . El lado derecho de la ecuación es igual al cambio en la demanda del bien i manteniendo la utilidad fija en u menos la cantidad demandada del bien j , multiplicado por el cambio en la demanda del bien i cuando cambia la riqueza. ${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

El primer término del lado derecho representa el efecto sustitución y el segundo término representa el efecto ingreso. ^[1] Tenga en cuenta que, dado que la utilidad no es observable, el efecto de sustitución no es directamente observable, pero puede calcularse con referencia a los otros dos términos de la ecuación de Slutsky, que son observables. Este proceso a veces se conoce como descomposición de Hicks de un cambio de demanda. ^[2]

La ecuación se puede reescribir en términos de elasticidad :

${\displaystyle \varepsilon _{p,ij}=\varepsilon _{p,ij}^{h}-\varepsilon _{w,i}b_{j}}$

donde ε _p es la elasticidad precio (no compensada) , ε _p ^h es la elasticidad precio compensada, ε _w,i la elasticidad ingreso del bien i y b _j la participación presupuestaria del bien j .

En general, en palabras simples, la ecuación de Slutsky establece que el cambio total en la demanda consiste en un efecto ingreso y un efecto sustitución y ambos efectos en conjunto deben igualar el cambio total en la demanda.

${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}$

La ecuación anterior es útil ya que representa la fluctuación de la demanda y es indicativa de diferentes tipos de bienes. El efecto sustitución siempre resultará negativo ya que las curvas de indiferencia siempre tienen pendiente negativa. Sin embargo, no se aplica lo mismo al efecto ingreso , ya que depende de cómo cambia el consumo de un bien con el ingreso.

El efecto renta sobre un bien normal es negativo y, si el precio disminuye, en consecuencia, el poder adquisitivo o la renta aumentan. Lo contrario ocurre cuando el precio aumenta y el poder adquisitivo o el ingreso disminuyen, como resultado de lo cual también lo hace la demanda.

Generalmente no todos los bienes son "normales". Aunque en el sentido económico algunos son inferiores. Sin embargo, eso no equivale a que sean pobres desde el punto de vista de la calidad, sino que establece un perfil de ingresos negativo: a medida que aumentan los ingresos, el consumo del bien por parte de los consumidores disminuye.

Por ejemplo, los consumidores que se están quedando sin dinero para comprar alimentos compran fideos instantáneos; sin embargo, el producto generalmente no se considera algo que la gente normalmente consumiría a diario. Esto se debe a las limitaciones en términos de dinero; A medida que aumenta la riqueza, disminuye el consumo. En este caso, el efecto sustitución es negativo, pero el efecto renta también es negativo.

En cualquier caso el efecto sustitución o efecto renta son positivos o negativos cuando los precios aumentan depende del tipo de bien:

Sin embargo, es imposible saber si el efecto total será siempre negativo si se mencionan bienes complementarios inferiores. Por ejemplo, el efecto sustitución y el efecto ingreso van en direcciones opuestas. El efecto total dependerá de qué efecto sea finalmente más fuerte.

Derivación

Si bien hay varias formas de derivar la ecuación de Slutsky, el siguiente método es probablemente el más simple. Comience observando la identidad donde es la función de gasto y u es la utilidad obtenida al maximizar la utilidad dados p y w . Totalmente diferenciando con respecto a p _j se obtiene lo siguiente: ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$ ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}}$.

Aprovechando el hecho de que según el lema de Shephard y que en el estado óptimo, ${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$¿Dónde está la función de utilidad indirecta ? ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

se puede sustituir y reescribir la derivación anterior como la ecuación de Slutsky.

La matriz Slutsky

La ecuación de Slutsky se puede reescribir en forma matricial:

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

donde D _p es el operador derivado con respecto a los precios y D _w es el operador derivado con respecto a la riqueza.

La matriz se conoce como matriz de sustitución de Hicks y se define formalmente como: ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}\end{bmatrix}}}$

La matriz de Slutsky viene dada por:

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\end{array}}\right)}$

Cuándo es la utilidad máxima que logra el consumidor a precios e ingresos , es decir , la ecuación de Slutsky implica que cada elemento de la matriz de Slutsky es exactamente igual al elemento correspondiente de la matriz de sustitución de Hicks . La matriz de Slutsky es simétrica y, dado que la función de gasto es cóncava, la matriz de Slutsky también es semidefinida negativa . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u=v(\mathbf {p} ,w)}$ ${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

Ejemplo

Una función de utilidad Cobb-Douglas (ver función de producción Cobb-Douglas ) con dos bienes e ingresos genera una demanda marshalliana de los bienes 1 y 2 de y reordena la ecuación de Slutsky para colocar la derivada de Hicks en el lado izquierdo produce el efecto de sustitución: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

Volviendo a la ecuación original de Slutsky, se muestra cómo los efectos sustitución e ingreso se suman para dar el efecto total del aumento de precios sobre la cantidad demandada:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

Así, de la disminución total de la cantidad demandada cuando aumenta, 21/70 se debe al efecto sustitución y 49/70 al efecto ingreso. El bien 1 es el bien en el que este consumidor gasta la mayor parte de su ingreso ( ), razón por la cual el efecto ingreso es tan grande. ${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$

Se puede comprobar que la respuesta de la ecuación de Slutsky es la misma que derivando directamente la función de demanda de Hicks, que aquí es ^[3]

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

¿Dónde está la utilidad? La derivada es ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

entonces, dado que la función de utilidad indirecta de Cobb-Douglas es y cuando el consumidor usa las funciones de demanda especificadas, la derivada es: ${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$ ${\displaystyle u=v}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

que es de hecho la respuesta de la ecuación de Slutsky.

La ecuación de Slutsky también se puede aplicar para calcular el efecto de sustitución cruzada de precios. Se podría pensar que aquí era cero porque cuando aumenta, la cantidad demandada marshalliana del bien 1 no se ve afectada ( ), pero eso es incorrecto. Reordenando nuevamente la ecuación de Slutsky, el efecto de sustitución cruzada de precios es: ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$ ${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

Esto dice que cuando aumenta, hay un efecto de sustitución de hacia el bien 1. Al mismo tiempo, el aumento de tiene un efecto ingreso negativo sobre la demanda del bien 1, un efecto opuesto de exactamente el mismo tamaño que el efecto de sustitución, por lo que el aumento neto el efecto es cero. Ésta es una propiedad especial de la función Cobb-Douglas. ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle -.21w/(p_{1}p_{2})}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Cambios en múltiples precios a la vez

Cuando hay dos bienes, la ecuación de Slutsky en forma matricial es: ^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Aunque estrictamente hablando, la ecuación de Slutsky solo se aplica a cambios infinitesimales en los precios, se usa estándar como una aproximación lineal para cambios finitos. Si los precios de los dos bienes cambian por y , el efecto sobre las demandas de los dos bienes es: ${\displaystyle \Delta p_{1}}$ ${\displaystyle \Delta p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

Multiplicando las matrices, el efecto sobre el bien 1, por ejemplo, sería

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

El primer término es el efecto sustitución. El segundo término es el efecto ingreso, compuesto por la respuesta del consumidor a la pérdida de ingreso multiplicada por el tamaño de la pérdida de ingreso por cada aumento de precio.

Productos Giffen

Un bien Giffen es un producto que tiene mayor demanda cuando el precio aumenta, lo que también son casos especiales de bienes inferiores. ^[5] En el caso extremo de inferioridad del ingreso, el tamaño del efecto ingreso supera el tamaño del efecto sustitución, lo que lleva a un cambio general positivo en la demanda en respuesta a un aumento en el precio. La descomposición que hace Slutsky del cambio en la demanda en un efecto sustitución puro y un efecto ingreso explica por qué la ley de la demanda no se cumple para los bienes de Giffen.

Ver también

• Elección del consumidor
• Lema de Hotelling
• Función de demanda hicksiana
• Función de demanda marshalliana
• Función de producción Cobb-Douglas
• Productos Giffen
• Poder adquisitivo
• Bien normal
• Buenos sustitutos
• Bienes inferiores
• Bienes complementarios

Referencias

1. Nicholson, W. (2005). Teoría microeconómica (10ª ed.). Mason, Ohio: Thomson Higher Education.
2. Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: WW Norton.
3. Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: WW Norton., pag. 121.
4. Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: WW Norton., págs. 120-121.
5. Varian, Hal R. "Capítulo 8: Ecuación de Slutsky". Ensayo. En Microeconomía intermedia con cálculo, 1.ª ed., 137. Nueva York, NY: WW Norton, 2014.

Referencias

Varian, Recursos Humanos (2020). Microeconomía intermedia: un enfoque moderno (Novena edición). WW Norton & Company.