Preferencias convexas

Concepto en economía

En economía , las preferencias convexas son la ordenación de varios resultados por parte de un individuo, generalmente con respecto a las cantidades de diversos bienes consumidos, con la propiedad de que, en términos generales, "los promedios son mejores que los extremos". El concepto corresponde aproximadamente al concepto de utilidad marginal decreciente sin requerir funciones de utilidad .

Notación

Comparable a la relación de orden mayor que o igual a para números reales, la siguiente notación se puede traducir como: "es al menos tan bueno como" (en satisfacción de preferencia ). ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \succeq }$

De manera similar, puede traducirse como "es estrictamente mejor que" (en satisfacción de preferencias), y de manera similar, puede traducirse como "es equivalente a" (en satisfacción de preferencias). ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \sim }$

Definición

Utilice x , y y z para denotar tres paquetes de consumo (combinaciones de varias cantidades de diversos bienes). Formalmente, una relación de preferencia sobre el conjunto de consumo X se llama convexa si siempre que ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y,z\in X}$dónde y , ${\displaystyle y\succeq x}$ ${\displaystyle z\succeq x}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succeq x}$.

es decir, para dos paquetes cualesquiera que se consideren al menos tan buenos como un tercer paquete, se considera que un promedio ponderado de los dos paquetes es al menos tan bueno como el tercer paquete.

Una relación de preferencia se llama estrictamente convexa si siempre que ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y,z\in X}$dónde y ,​ ${\displaystyle y\succeq x}$ ${\displaystyle z\succeq x}$ ${\displaystyle y\neq z}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succ x}$

es decir, para dos paquetes distintos que se consideran al menos tan buenos como un tercer paquete, un promedio ponderado de los dos paquetes (incluida una cantidad positiva de cada paquete) se considera estrictamente mejor que el tercer paquete. ^{[1] [2]}

Definición alternativa

Utilice x e y para indicar dos paquetes de consumo. Una relación de preferencia se llama convexa si para cualquier ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y\in X}$dónde ${\displaystyle y\succeq x}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succeq x}$.

Es decir, si se prefiere un paquete y a un paquete x , entonces cualquier combinación de y con x sigue prefiriéndose a x . ^[3]

Una relación de preferencia se llama estrictamente convexa si siempre que

${\displaystyle x,y\in X}$dónde y , ${\displaystyle y\sim x}$ ${\displaystyle x\neq y}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ x}$.

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ y}$.

Es decir, para dos paquetes cualesquiera que se consideren equivalentes, un promedio ponderado de los dos paquetes es mejor que cada uno de estos paquetes. ^[4]

Ejemplos

1. Si hay un solo tipo de producto, entonces cualquier relación de preferencia que aumente débilmente y monótonamente es convexa. Esto se debe a que, si , entonces cada promedio ponderado de y y ס también es . ${\displaystyle y\geq x}$ ${\displaystyle \geq x}$

2. Considere una economía con dos tipos de bienes, 1 y 2. Considere una relación de preferencia representada por la siguiente función de utilidad de Leontief :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\min(x_{1},x_{2})}$

Esta relación de preferencia es convexa. Prueba : supongamos que xey son dos paquetes equivalentes, es decir . Si la cantidad mínima del bien en ambas cestas es la misma (por ejemplo, el bien 1), entonces esto implica . Entonces, cualquier promedio ponderado también tiene la misma cantidad de producto 1, por lo que cualquier promedio ponderado es equivalente a y . Si el bien mínimo en cada paquete es diferente (por ejemplo, pero ), entonces esto implica . Entonces y así . Esta relación de preferencia es convexa, pero no estrictamente convexa. ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=y_{1}\leq x_{2},y_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=y_{2}\leq x_{2},y_{1}}$ ${\displaystyle \theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}}$ ${\displaystyle \theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}}$ ${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\succeq x,y}$

3. Una relación de preferencia representada por funciones de utilidad lineales es convexa, pero no estrictamente convexa. Siempre que , toda combinación convexa de sea equivalente a cualquiera de ellas. ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x,y}$

4. Considere una relación de preferencia representada por:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\max(x_{1},x_{2})}$

Esta relación de preferencia no es convexa. Prueba : deja y . Entonces , dado que ambos tienen utilidad 5, sin embargo, la combinación convexa es peor que ambos ya que su utilidad es 4. ${\displaystyle x=(3,5)}$ ${\displaystyle y=(5,3)}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle 0.5x+0.5y=(4,4)}$

Relación con curvas de indiferencia y funciones de utilidad

Un conjunto de curvas de indiferencia de forma convexa muestra preferencias convexas: Dada una curva de indiferencia convexa que contiene el conjunto de todas las cestas (de dos o más bienes) que se consideran igualmente deseadas, el conjunto de todas las cestas de bienes que se consideran en menos tan deseado como los de la curva de indiferencia es un conjunto convexo .

Las preferencias convexas con su mapeo de indiferencia convexo asociado surgen de funciones de utilidad cuasi cóncavas , aunque no son necesarias para el análisis de las preferencias. Por ejemplo, las funciones de utilidad de elasticidad constante de sustitución (CES) describen preferencias homotéticas convexas. Las preferencias CES son autoduales y tanto las preferencias CES primarias como las duales producen sistemas de curvas de indiferencia que pueden exhibir cualquier grado de convexidad. ^[5]

Ver también

• función convexa
• Ajuste de nivel
• Función cuasi convexa
• Función semicontinua
• Lema de Shapley-Folkman

Referencias

1. Hal R. Varian ; Microeconomía intermedia: un enfoque moderno . Nueva York: WW Norton & Company. ISBN  0-393-92702-4
2. Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael ; y Verde, Jerry (1995). Teoría Microeconómica . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-507340-9 
3. Junta, Simon (6 de octubre de 2009). «Preferencias y Utilidad» (PDF) . Economía 11. Teoría microeconómica. Otoño de 2009 . Universidad de California, Los Angeles.
4. Sanders, Nicholas J. "Preferencia y utilidad: revisión básica y ejemplos" (PDF) . Colegio de William y Mary . Archivado desde el original (PDF) el 20 de marzo de 2013.
5. Baltas, George (2001). "Sistemas de demanda de marca coherentes con la utilidad con consumo de categoría endógena: principios y aplicaciones de marketing". Ciencias de la decisión . 32 (3): 399–422. doi :10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x.