Restricciones holonómicas

Tipos de restricciones para sistemas mecánicos

En la mecánica clásica , las restricciones holonómicas son relaciones entre las variables de posición (y posiblemente el tiempo) ^[1] que pueden expresarse de la siguiente forma:

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0}$$

donde son n las coordenadas generalizadas que describen el sistema (en un espacio de configuración sin restricciones ). Por ejemplo, el movimiento de una partícula restringida a permanecer sobre la superficie de una esfera está sujeto a una restricción holonómica, pero si la partícula puede caerse de la esfera bajo la influencia de la gravedad, la restricción se vuelve no holonómica. Para el primer caso, la restricción holonómica puede estar dada por la ecuación ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}=0}$$

donde es la distancia desde el centro de una esfera de radio , mientras que el segundo caso no holonómico puede darse por ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0}$$

Restricciones dependientes de la velocidad (también llamadas restricciones semiholonómicas) ^[2] como

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},{\dot {u}}_{1},{\dot {u}}_{2},\ldots ,{\dot {u}}_{n},t)=0}$$

no suelen ser holonómicos. ^{[ cita requerida ]}

Sistema holonómico

En mecánica clásica, un sistema puede definirse como holonómico si todas las restricciones del sistema son holonómicas. Para que una restricción sea holonómica, debe poder expresarse como una función : es decir, una restricción holonómica depende solo de las coordenadas y, tal vez, del tiempo . ^[1] No depende de las velocidades ni de ninguna derivada de orden superior con respecto a  t . Una restricción que no se puede expresar en la forma que se muestra arriba es una restricción no holonómica . $${\displaystyle f(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0,\,}$$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle t}$

Introducción

Como se describió anteriormente, un sistema holonómico es (simplemente hablando) un sistema en el que se puede deducir el estado de un sistema conociendo solo el cambio de posiciones de los componentes del sistema a lo largo del tiempo, pero sin necesidad de conocer la velocidad o en qué orden se movieron los componentes entre sí. Por el contrario, un sistema no holonómico es a menudo un sistema en el que se deben conocer las velocidades de los componentes a lo largo del tiempo para poder determinar el cambio de estado del sistema, o un sistema en el que una parte móvil no puede estar ligada a una superficie de restricción, real o imaginaria. Ejemplos de sistemas holonómicos son las grúas pórtico, los péndulos y los brazos robóticos. Ejemplos de sistemas no holonómicos son los Segways , los monociclos y los automóviles.

Terminología

El espacio de configuración enumera el desplazamiento de los componentes del sistema, uno por cada grado de libertad . Un sistema que se puede describir mediante un espacio de configuración se denomina escleronómico . ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

El espacio de eventos es idéntico al espacio de configuración, excepto por la adición de una variable para representar el cambio en el sistema a lo largo del tiempo (si es necesario para describir el sistema). Un sistema que debe describirse utilizando un espacio de eventos, en lugar de solo un espacio de configuración, se llama reonómico . Muchos sistemas pueden describirse escleronómicamente o reonómicamente. Por ejemplo, el movimiento total permisible de un péndulo puede describirse con una restricción escleronómica, pero el movimiento a lo largo del tiempo de un péndulo debe describirse con una restricción reonómica. ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}&t\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

El espacio de estados es el espacio de configuración, más los términos que describen la velocidad de cada término en el espacio de configuración. ${\displaystyle \mathbf {q} }$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

El espacio estado-tiempo añade tiempo . ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&t&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Ejemplos

Grúa de pórtico

Gráfico de una grúa pórtico, con ejes marcados.

Como se muestra a la derecha, una grúa pórtico es una grúa aérea que puede mover su gancho en 3 ejes como lo indican las flechas. Intuitivamente, podemos deducir que la grúa debería ser un sistema holonómico ya que, para un movimiento dado de sus componentes, no importa el orden o la velocidad a la que se muevan los componentes: siempre que el desplazamiento total de cada componente a partir de una condición de partida dada sea el mismo, todas las partes y el sistema en su conjunto terminarán en el mismo estado. Matemáticamente podemos demostrarlo de la siguiente manera:

Podemos definir el espacio de configuración del sistema como: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

Podemos decir que la desviación de cada componente de la grúa desde su posición "cero" es , , y , para los componentes azul, verde y naranja, respectivamente. La orientación y la ubicación del sistema de coordenadas no importan para determinar si un sistema es holonómico, pero en este ejemplo los componentes se mueven en paralelo a sus ejes. Si el origen del sistema de coordenadas está en la parte inferior trasera izquierda de la grúa, entonces podemos escribir la ecuación de restricción de posición como: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$$

¿Dónde está la altura de la grúa? Opcionalmente, podemos simplificar a la forma estándar donde todas las constantes se colocan después de las variables: ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$$

Como hemos derivado una ecuación de restricción en forma holonómica (específicamente, nuestra ecuación de restricción tiene la forma donde ), podemos ver que este sistema debe ser holonómico. ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$

Péndulo

Un péndulo simple

Como se muestra a la derecha, un péndulo simple es un sistema compuesto por un peso y una cuerda. La cuerda está unida en el extremo superior a un pivote y en el extremo inferior a un peso. Al ser inextensible, la longitud de la cuerda es constante. Este sistema es holonómico porque obedece a la restricción holonómica

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

donde es la posición del peso y es la longitud de la cuerda. ${\displaystyle (x,\ y)}$ ${\displaystyle L}$

Cuerpo rígido

Las partículas de un cuerpo rígido obedecen la restricción holonómica

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

donde , son respectivamente las posiciones de las partículas y , y es la distancia entre ellas. Si un sistema dado es holonómico, la adición rígida de partes adicionales a los componentes del sistema en cuestión no puede hacerlo no holonómico, suponiendo que los grados de libertad no se reducen (en otras palabras, suponiendo que el espacio de configuración no cambia). ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle L_{ij}}$

Forma pfaffiana

Consideremos la siguiente forma diferencial de una restricción:

$${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

donde son los coeficientes de las diferenciales para la i -ésima ecuación de restricción. Esta forma se denomina forma pfaffiana o forma diferencial . ${\displaystyle A_{ij},A_{i}}$ ${\displaystyle du_{j},dt}$

Si la forma diferencial es integrable, es decir, si existe una función que satisface la igualdad ${\displaystyle f_{i}(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0}$

$${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

entonces esta restricción es una restricción holonómica; de lo contrario, es no holonómica. Por lo tanto, todas las restricciones holonómicas y algunas no holonómicas se pueden expresar utilizando la forma diferencial. Ejemplos de restricciones no holonómicas que no se pueden expresar de esta manera son aquellas que dependen de velocidades generalizadas. ^{[ aclaración necesaria ]} Con una ecuación de restricción en forma pfaffiana, si la restricción es holonómica o no holonómica depende de si la forma pfaffiana es integrable. Vea la prueba universal para restricciones holonómicas a continuación para obtener una descripción de una prueba para verificar la integrabilidad (o falta de) de una restricción en forma pfaffiana.

Prueba universal para restricciones holonómicas

Cuando la ecuación de restricción de un sistema se escribe en forma de restricción Pfaffiana , existe una prueba matemática para determinar si el sistema es holonómico.

Para una ecuación de restricción, o un conjunto de ecuaciones de restricción (tenga en cuenta que se pueden incluir variables que representan el tiempo, como se muestra arriba y en la siguiente forma): ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}\in A_{ij}}$ ${\displaystyle \,dt\in du_{j}}$ $${\displaystyle \sum _{j}^{n}\ A_{ij}\,du_{j}=0;\,}$$

Podemos utilizar la ecuación de prueba: donde en combinaciones de ecuaciones de prueba por ecuación de restricción, para todos los conjuntos de ecuaciones de restricción. $${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$ $${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\ldots n}$$ ${\textstyle {\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}}$ ${\displaystyle i}$

En otras palabras, un sistema de tres variables tendría que ser probado una vez con una ecuación de prueba con los términos siendo términos en la ecuación de restricción (en cualquier orden), pero para probar un sistema de cuatro variables la prueba tendría que ser realizada hasta cuatro veces con cuatro ecuaciones de prueba diferentes, con los términos siendo términos , , , y en la ecuación de restricción (cada uno en cualquier orden) en cuatro pruebas diferentes. Para un sistema de cinco variables, tendrían que realizarse diez pruebas en un sistema holonómico para verificar ese hecho, y para un sistema de cinco variables con tres conjuntos de ecuaciones de restricción, treinta pruebas (asumiendo que no se puede realizar una simplificación como un cambio de variable para reducir ese número). Por esta razón, es aconsejable cuando se utiliza este método en sistemas de más de tres variables usar el sentido común en cuanto a si el sistema en cuestión es holonómico, y solo continuar con las pruebas si es probable que el sistema no lo sea. Además, también es mejor usar la intuición matemática para tratar de predecir qué prueba fallará primero y comenzar con esa, saltándose al principio las pruebas que parezcan tener probabilidades de éxito. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle 1,2,4}$ ${\displaystyle 1,3,4}$ ${\displaystyle 2,3,4}$

Si cada ecuación de prueba es verdadera para todo el conjunto de combinaciones de todas las ecuaciones de restricción, el sistema es holonómico. Si no es verdadera ni siquiera para una combinación de prueba, el sistema es no holonómico.

Ejemplo

Consideremos este sistema dinámico descrito por una ecuación de restricción en forma Pfaffiana. $${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

El espacio de configuración, por inspección, es . Debido a que solo hay tres términos en el espacio de configuración, solo se necesitará una ecuación de prueba. Podemos organizar los términos de la ecuación de restricción como tal, en preparación para la sustitución: ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$ $${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$ $${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$ $${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$ $${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$ $${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$ $${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

Sustituyendo los términos, nuestra ecuación de prueba se convierte en: $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

Después de calcular todas las derivadas parciales, obtenemos: $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

Simplificando, encontramos que: Vemos que nuestra ecuación de prueba es verdadera y, por lo tanto, el sistema debe ser holonómico. $${\displaystyle 0=0}$$

Hemos terminado nuestra prueba, pero ahora que sabemos que el sistema es holonómico, podemos desear encontrar la ecuación de restricción holonómica. Podemos intentar encontrarla integrando cada término de la forma pfaffiana e intentando unificarlos en una sola ecuación, de la siguiente manera: $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$ $${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$ $${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

Es fácil ver que podemos combinar los resultados de nuestras integraciones para encontrar la ecuación de restricción holonómica: donde C es la constante de integración. $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$

Restricciones de coeficientes constantes

Para una restricción pfaffiana dada donde cada coeficiente de cada diferencial es una constante, en otras palabras, una restricción en la forma: $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }$$

La restricción debe ser holonómica.

Podemos demostrarlo de la siguiente manera: consideremos un sistema de restricciones en forma Pfaffiana donde cada coeficiente de cada diferencial es una constante, como se describió directamente arriba. Para probar si este sistema de restricciones es holonómico, utilizamos la prueba universal. Podemos ver que en la ecuación de prueba, hay tres términos que deben sumar cero. Por lo tanto, si cada uno de esos tres términos en cada ecuación de prueba posible es cero, entonces todas las ecuaciones de prueba son verdaderas y el sistema es holonómico. Cada término de cada ecuación de prueba tiene la forma: donde: $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$

• ${\displaystyle A_{1}}$, , y son alguna combinación (con combinaciones totales) de y para una restricción dada . ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$ ${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle u_{1}}$, , y son la combinación correspondiente de y . ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle u_{3}}$ ${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle dt}$

Además, hay conjuntos de ecuaciones de prueba. ${\displaystyle i}$

Podemos ver que, por definición, todas son constantes. Es bien sabido en cálculo que cualquier derivada (total o parcial) de cualquier constante es . Por lo tanto, podemos reducir cada derivada parcial a: ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

y por lo tanto cada término es cero, el lado izquierdo de cada ecuación de prueba es cero, cada ecuación de prueba es verdadera y el sistema es holonómico.

Espacios de configuración de dos o una variable

Cualquier sistema que pueda describirse mediante una restricción pfaffiana y que tenga un espacio de configuración o un espacio de estados de sólo dos variables o una variable es holonómico.

Podemos demostrarlo de la siguiente manera: consideremos un sistema dinámico con un espacio de configuración o espacio de estados descrito como: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Si el sistema se describe mediante un espacio de estados, simplemente decimos que es igual a nuestra variable de tiempo . Este sistema se describirá en forma pfaffiana: ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

con conjuntos de restricciones. El sistema se probará mediante la prueba universal. Sin embargo, la prueba universal requiere tres variables en la configuración o el espacio de estado. Para ello, simplemente agregamos una variable ficticia a la configuración o al espacio de estado para formar: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Como la variable ficticia , por definición, no es una medida de nada en el sistema, su coeficiente en la forma de Pfaffian debe ser . Por lo tanto, revisamos nuestra forma de Pfaffian: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

Ahora podemos utilizar la prueba como tal, para una restricción dada si hay un conjunto de restricciones: ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

Al darnos cuenta de que: debido a que la variable ficticia no puede aparecer en los coeficientes utilizados para describir el sistema, vemos que la ecuación de prueba debe ser verdadera para todos los conjuntos de ecuaciones de restricción y, por lo tanto, el sistema debe ser holonómico. Se puede realizar una prueba similar con una variable real en la configuración o espacio de estados y dos variables ficticias para confirmar que los sistemas de un grado de libertad descriptibles en forma pfaffiana también son siempre holonómicos. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

En conclusión, nos damos cuenta de que si bien es posible modelar sistemas no holonómicos en forma Pfaffiana, cualquier sistema modelable en forma Pfaffiana con dos o menos grados de libertad (el número de grados de libertad es igual al número de términos en el espacio de configuración) debe ser holonómico.

Nota importante: tenga en cuenta que la ecuación de prueba falló porque la variable ficticia, y por lo tanto el diferencial ficticio incluido en la prueba, diferenciará cualquier cosa que sea una función de la configuración real o las variables del espacio de estados a . Tener un sistema con una configuración o espacio de estados de: ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

y un conjunto de restricciones donde una o más restricciones están en la forma Pfaffiana: $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

no garantiza que el sistema sea holonómico, ya que aunque un diferencial tiene un coeficiente de , todavía hay tres grados de libertad descritos en la configuración o espacio de estados. ${\displaystyle 0}$

Transformación a coordenadas generalizadas independientes

Las ecuaciones de restricción holonómicas pueden ayudarnos a eliminar fácilmente algunas de las variables dependientes de nuestro sistema. Por ejemplo, si queremos eliminar , que es un parámetro en la ecuación de restricción , podemos reorganizar la ecuación en la siguiente forma, suponiendo que se pueda hacer, ${\displaystyle x_{d}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t),\,}$$

y reemplazar en cada ecuación del sistema usando la función anterior. Esto siempre se puede hacer para sistemas físicos generales, siempre que la derivada de sea continua, entonces por el teorema de la función implícita , la solución , está garantizada en algún conjunto abierto. Por lo tanto, es posible eliminar todas las ocurrencias de la variable dependiente . ${\displaystyle x_{d}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle x_{d}}$

Supongamos que un sistema físico tiene grados de libertad. Ahora, se imponen restricciones holonómicas al sistema. Entonces, el número de grados de libertad se reduce a . Podemos utilizar coordenadas generalizadas independientes ( ) para describir completamente el movimiento del sistema. La ecuación de transformación se puede expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m=N-h}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad i=1,\ 2,\ \ldots N.\,}$$

Clasificación de los sistemas físicos

Para estudiar la física clásica de forma rigurosa y metódica, necesitamos clasificar los sistemas. Con base en la discusión anterior, podemos clasificar los sistemas físicos en sistemas holonómicos y sistemas no holonómicos . Una de las condiciones para la aplicabilidad de muchos teoremas y ecuaciones es que el sistema debe ser un sistema holonómico. Por ejemplo, si un sistema físico es un sistema holonómico y un sistema monogénico , entonces el principio de Hamilton es la condición necesaria y suficiente para la corrección de la ecuación de Lagrange . ^[3]

Véase también

• Sistema no holonómico
• La cima de Goryachev y Chaplygin
• Restricción de Pfaffian
• Ecuación de Udwadia-Kalaba

Referencias

1. Goldstein, Herbert (2002). "1.3 Restricciones". Mecánica clásica (tercera edición). Pearson India: Addison-Wesley. págs. 12-13. ISBN 9788131758915.OCLC 960166650  .
2. Goldstein, Herbert (2002). Mecánica clásica . Estados Unidos de América: Addison-Wesley. pág. 46. ISBN. 978-0-201-65702-9.
3. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (3.ª ed.). Estados Unidos de América: Addison Wesley. pág. 45. ISBN 0-201-65702-3.