En mecánica clásica , los parámetros que definen la configuración de un sistema se denominan coordenadas generalizadas , y el espacio definido por estas coordenadas se denomina espacio de configuración del sistema físico . A menudo, estos parámetros satisfacen restricciones matemáticas, de modo que el conjunto de configuraciones reales del sistema es una variedad en el espacio de coordenadas generalizadas. Esta variedad se denomina variedad de configuración del sistema. Obsérvese que se trata de una noción de espacio de configuración "sin restricciones", es decir, en el que diferentes partículas puntuales pueden ocupar la misma posición. En matemáticas, en particular en topología, se utiliza principalmente una noción de espacio de configuración "restringido" , en el que se eliminan las diagonales, que representan partículas "en colisión".
La posición de una partícula individual que se mueve en el espacio euclidiano ordinario de 3 dimensiones está definida por el vector , y por lo tanto su espacio de configuración es . Es convencional utilizar el símbolo para un punto en el espacio de configuración; esta es la convención tanto en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica como en la mecánica lagrangiana . El símbolo se utiliza para denotar momentos; el símbolo se refiere a velocidades.
Una partícula puede estar restringida a moverse en una variedad específica . Por ejemplo, si la partícula está unida a un enlace rígido, libre de oscilar alrededor del origen, está efectivamente restringida a permanecer sobre una esfera. Su espacio de configuración es el subconjunto de coordenadas en que definen puntos sobre la esfera . En este caso, se dice que la variedad es la esfera, es decir ,
Para n partículas puntuales desconectadas y que no interactúan, el espacio de configuración es . Sin embargo, en general, uno está interesado en el caso en que las partículas interactúan: por ejemplo, son ubicaciones específicas en algún conjunto de engranajes, poleas, bolas rodantes, etc., a menudo limitadas para moverse sin resbalar. En este caso, el espacio de configuración no es todo , sino el subespacio (subvariedad) de posiciones permitidas que los puntos pueden tomar.
El conjunto de coordenadas que definen la posición de un punto de referencia y la orientación de un marco de coordenadas unido a un cuerpo rígido en el espacio tridimensional forman su espacio de configuración, a menudo denotado donde representa las coordenadas del origen del marco unido al cuerpo, y representa las matrices de rotación que definen la orientación de este marco con respecto a un marco de tierra. Una configuración del cuerpo rígido se define mediante seis parámetros, tres de y tres de , y se dice que tiene seis grados de libertad .
En este caso, el espacio de configuración es de seis dimensiones, y un punto es simplemente un punto en ese espacio. La "ubicación" de en ese espacio de configuración se describe utilizando coordenadas generalizadas ; por lo tanto, tres de las coordenadas podrían describir la ubicación del centro de masa del cuerpo rígido, mientras que otras tres podrían ser los ángulos de Euler que describen su orientación. No hay una elección canónica de coordenadas; también se podría elegir alguna punta o punto final del cuerpo rígido, en lugar de su centro de masa; se podría optar por utilizar cuaterniones en lugar de ángulos de Euler, y así sucesivamente. Sin embargo, la parametrización no cambia las características mecánicas del sistema; todas las diferentes parametrizaciones describen en última instancia la misma variedad (de seis dimensiones), el mismo conjunto de posibles posiciones y orientaciones.
Algunas parametrizaciones son más fáciles de manejar que otras, y se pueden hacer muchas afirmaciones importantes trabajando de manera libre de coordenadas. Algunos ejemplos de afirmaciones libres de coordenadas son que el espacio tangente corresponde a las velocidades de los puntos , mientras que el espacio cotangente corresponde a los momentos. (Las velocidades y los momentos se pueden conectar; para el caso más general y abstracto, esto se hace con la noción bastante abstracta de la forma unitaria tautológica ).
En el caso de un brazo robótico formado por numerosos enlaces rígidos, el espacio de configuración consiste en la ubicación de cada enlace (considerado como un cuerpo rígido, como en la sección anterior), sujeto a las restricciones de cómo se unen los enlaces entre sí y su rango de movimiento permitido. Por lo tanto, para los enlaces, se podría considerar el espacio total, excepto que todas las diversas conexiones y restricciones significan que no todos los puntos en este espacio son alcanzables. Por lo tanto, el espacio de configuración es necesariamente un subespacio del espacio de configuración del cuerpo rígido.
Sin embargo, cabe señalar que en robótica, el término espacio de configuración también puede referirse a un subconjunto aún más reducido: el conjunto de posiciones alcanzables por el efector final de un robot . [1] Sin embargo, esta definición conduce a complejidades descritas por la holonomía : es decir, puede haber varias formas diferentes de organizar un brazo robótico para obtener una ubicación particular del efector final, e incluso es posible hacer que el brazo robótico se mueva mientras se mantiene estacionario el efector final. Por lo tanto, una descripción completa del brazo, adecuada para su uso en cinemática, requiere la especificación de todas las posiciones y ángulos de las articulaciones, y no solo de algunos de ellos.
Los parámetros articulares del robot se utilizan como coordenadas generalizadas para definir configuraciones. El conjunto de valores de los parámetros articulares se denomina espacio articular . Las ecuaciones cinemáticas directa e inversa de un robot definen mapas entre las configuraciones y las posiciones del efector final, o entre el espacio articular y el espacio de configuración. La planificación del movimiento del robot utiliza este mapeo para encontrar una ruta en el espacio articular que proporcione una ruta alcanzable en el espacio de configuración del efector final.
En la mecánica clásica , la configuración de un sistema se refiere a la posición de todas las partículas puntuales constituyentes del sistema. [2]
El espacio de configuración es insuficiente para describir completamente un sistema mecánico: no tiene en cuenta las velocidades. El conjunto de velocidades disponibles para un sistema define un plano tangente a la variedad de configuración del sistema. En un punto , ese plano tangente se denota por . Los vectores de momento son funcionales lineales del plano tangente, conocidos como vectores cotangentes; para un punto , ese plano cotangente se denota por . El conjunto de posiciones y momentos de un sistema mecánico forma el fibrado cotangente de la variedad de configuración . Esta variedad más grande se llama espacio de fases del sistema.
En mecánica cuántica , se puede utilizar el espacio de configuración (véase por ejemplo el problema de Mott ), pero no la extensión de la mecánica clásica al espacio de fases. En cambio, se utiliza un conjunto bastante diferente de formalismos y notación en el concepto análogo llamado espacio de estados cuántico . El análogo de una "partícula puntual" se convierte en un único punto en , la línea proyectiva compleja , también conocida como esfera de Bloch . Es compleja, porque una función de onda mecánica cuántica tiene una fase compleja; es proyectiva porque la función de onda está normalizada a probabilidad unitaria. Es decir, dada una función de onda, uno es libre de normalizarla por la probabilidad total , volviéndola así proyectiva.
![{\displaystyle \left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9ef0e5facb02616cb29f343ab15c3d1876d7fe)
