El argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam [a] es un argumento en filosofía de las matemáticas a favor de la existencia de objetos matemáticos abstractos como números y conjuntos, una posición conocida como platonismo matemático . Debe su nombre a los filósofos Willard Quine y Hilary Putnam , y es uno de los argumentos más importantes de la filosofía de las matemáticas.
Aunque los elementos del argumento de la indispensabilidad pueden haberse originado con pensadores como Gottlob Frege y Kurt Gödel , el desarrollo del argumento por parte de Quine fue único al introducir varias de sus posiciones filosóficas como el naturalismo , el holismo confirmacional y el criterio del compromiso ontológico . Putnam dio al argumento de Quine su primera formulación detallada en su libro de 1971 Filosofía de la lógica . Sin embargo, más tarde llegó a estar en desacuerdo con varios aspectos del pensamiento de Quine y formuló su propio argumento de indispensabilidad basado en el argumento de que no hay milagros en la filosofía de la ciencia . Una forma estándar del argumento en la filosofía contemporánea se atribuye a Mark Colyvan ; si bien está influenciado tanto por Quine como por Putnam, difiere en aspectos importantes de sus formulaciones. Se presenta en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford : [2]
Los nominalistas , filósofos que rechazan la existencia de objetos abstractos, han argumentado en contra de ambas premisas de este argumento. Un argumento influyente de Hartry Field afirma que las entidades matemáticas son prescindibles para la ciencia. Este argumento ha sido respaldado por intentos de demostrar que las teorías científicas y matemáticas pueden reformularse para eliminar todas las referencias a entidades matemáticas. Otros filósofos, incluidos Penélope Maddy , Elliott Sober y Joseph Melia , han argumentado que no necesitamos creer en todas las entidades que son indispensables para la ciencia. Los argumentos de estos escritores inspiraron una nueva versión explicativa del argumento, que Alan Baker y Mark Colyvan apoyan, que sostiene que las matemáticas son indispensables para explicaciones científicas específicas, así como para teorías completas.
En su artículo de 1973 "La verdad matemática", Paul Benacerraf planteó un problema para la filosofía de las matemáticas . [b] Según Benacerraf, frases matemáticas como "dos es un número primo" parecen implicar la existencia de objetos matemáticos . [5] Apoyó esta afirmación con la idea de que las matemáticas no deberían tener su propia semántica especial , o en otras palabras, el significado de las oraciones matemáticas debería seguir las mismas reglas que las oraciones no matemáticas. Por ejemplo, según este razonamiento, si la frase "Marte es un planeta" implica la existencia del planeta Marte, entonces la frase "dos es un número primo" también debería implicar la existencia del número dos. [6] Pero según Benacerraf, si los objetos matemáticos existieran, serían incognoscibles para nosotros. [5] Esto se debe a que los objetos matemáticos, si existen, son objetos abstractos : objetos que no pueden causar que sucedan cosas y que no tienen ubicación espacio-temporal. [7] Benacerraf argumentó, sobre la base de la teoría causal del conocimiento , que no podríamos saber acerca de tales objetos porque no pueden entrar en contacto causal con nosotros. [c] [9] Esto se llama el problema epistemológico de Benacerraf porque se refiere a la epistemología de las matemáticas, es decir, cómo llegamos a saber lo que hacemos con las matemáticas. [10]
La filosofía de las matemáticas se divide en dos corrientes principales: el platonismo y el nominalismo . El platonismo sostiene que existen objetos matemáticos abstractos como números y conjuntos, mientras que el nominalismo niega su existencia. [11] Cada una de estas opiniones enfrenta problemas debido al problema planteado por Benacerraf. Como el nominalismo rechaza la existencia de objetos matemáticos, no enfrenta ningún problema epistemológico, pero sí problemas relacionados con la idea de que las matemáticas no deberían tener su propia semántica especial. El platonismo no enfrenta problemas relacionados con la mitad semántica del dilema, pero tiene dificultades para explicar cómo podemos tener algún conocimiento sobre los objetos matemáticos. [12]
El argumento de la indispensabilidad pretende superar el problema epistemológico planteado contra el platonismo proporcionando una justificación para la creencia en objetos matemáticos abstractos. [13] Es parte de una amplia clase de argumentos de indispensabilidad que se aplican más comúnmente en la filosofía de las matemáticas, pero que también incluye argumentos en la filosofía del lenguaje y la ética . [14] En el sentido más general, los argumentos de indispensabilidad tienen como objetivo respaldar su conclusión basándose en la afirmación de que la verdad de la conclusión es indispensable o necesaria para un determinado propósito. [15] Cuando se aplican en el campo de la ontología —el estudio de lo que existe— ejemplifican una estrategia quineana para establecer la existencia de entidades controvertidas que no pueden investigarse directamente. Según esta estrategia, la indispensabilidad de estas entidades para formular una teoría de otras entidades menos controvertidas cuenta como evidencia de su existencia. [16] En el caso de la filosofía de las matemáticas, la indispensabilidad de las entidades matemáticas para formular teorías científicas se toma como evidencia de la existencia de esas entidades matemáticas. [17]
Mark Colyvan presenta el argumento en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford de la siguiente forma: [2]
Aquí, un compromiso ontológico con una entidad es un compromiso de creer que esa entidad existe. [18] La primera premisa se basa en dos supuestos fundamentales: el naturalismo y el holismo confirmacional . Según el naturalismo, deberíamos recurrir a nuestras mejores teorías científicas para determinar qué tenemos mejores razones para creer que existe. [19] Quine resumió el naturalismo como "el reconocimiento de que es dentro de la ciencia misma, y no en alguna filosofía anterior, donde la realidad debe ser identificada y descrita". [20] El holismo confirmacional es la opinión de que las teorías científicas no pueden confirmarse de forma aislada y deben confirmarse en su conjunto. Por lo tanto, según el holismo confirmacional, si creemos en la ciencia, entonces deberíamos creer en toda la ciencia, incluidas todas las matemáticas que asumen nuestras mejores teorías científicas. [19] El argumento está dirigido principalmente a nominalistas que son realistas científicos , ya que intenta justificar la creencia en entidades matemáticas de una manera similar a la justificación de la creencia en entidades teóricas como electrones o quarks ; Quine sostuvo que esos nominalistas tienen un "doble rasero" con respecto a la ontología. [2]
El argumento de la indispensabilidad difiere de otros argumentos a favor del platonismo porque sólo defiende la creencia en las partes de las matemáticas que son indispensables para la ciencia. No justifica necesariamente la creencia en las partes más abstractas de la teoría de conjuntos, que Quine llamó "recreación matemática... sin derechos ontológicos". [21] Algunos filósofos infieren del argumento que el conocimiento matemático es a posteriori porque implica que las verdades matemáticas sólo pueden establecerse mediante la confirmación empírica de teorías científicas para las cuales son indispensables. Esto también indica que las verdades matemáticas son contingentes , ya que las verdades conocidas empíricamente son generalmente contingentes. Esta posición es controvertida porque contradice la visión tradicional del conocimiento matemático como conocimiento a priori de verdades necesarias . [22]
Si bien el argumento original de Quine es un argumento a favor del platonismo, también se pueden construir argumentos de indispensabilidad para defender la afirmación más débil del realismo oracional: la afirmación de que la teoría matemática es objetivamente verdadera. Ésta es una afirmación más débil porque no implica necesariamente que existan objetos matemáticos abstractos. [23]
La segunda premisa del argumento de la indispensabilidad establece que los objetos matemáticos son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. En este contexto, la indispensabilidad no es lo mismo que la ineliminabilidad porque cualquier entidad puede eliminarse de un sistema teórico si se realizan los ajustes apropiados a las otras partes del sistema. [24] Por lo tanto, la prescindibilidad requiere que una entidad sea eliminable sin sacrificar el atractivo de la teoría. El atractivo de la teoría puede evaluarse en términos de virtudes teóricas como el poder explicativo , la adecuación empírica y la simplicidad . [25] Además, si una entidad es prescindible de una teoría, se puede formular una teoría equivalente sin ella. [26] Este es el caso, por ejemplo, si cada oración de una teoría es una paráfrasis de una oración de otra o si las dos teorías predicen las mismas observaciones empíricas. [27]
Según la Enciclopedia de Filosofía de Stanford , uno de los argumentos más influyentes contra el argumento de la indispensabilidad proviene de Hartry Field . [28] Rechaza la afirmación de que los objetos matemáticos sean indispensables para la ciencia; [29] Field ha apoyado este argumento reformulando o "nominalizando" las teorías científicas para que no se refieran a objetos matemáticos. [30] Como parte de este proyecto, Field ha ofrecido una reformulación de la física newtoniana en términos de las relaciones entre puntos espacio-temporales. En lugar de referirse a distancias numéricas, la reformulación de Field utiliza relaciones como "entre" y "congruente" para recuperar la teoría sin implicar la existencia de números. [31] John Burgess y Mark Balaguer han tomado medidas para extender este proyecto de nominalización a áreas de la física moderna , incluida la mecánica cuántica . [32] Filósofos como David Malament y Otávio Bueno cuestionan si tales reformulaciones son exitosas o incluso posibles, particularmente en el caso de la mecánica cuántica. [33]
La alternativa de Field al platonismo es el ficcionalismo matemático , según el cual las teorías matemáticas son falsas porque se refieren a objetos abstractos que no existen. [34] Como parte de su argumento contra el argumento de la indispensabilidad, Field ha tratado de explicar cómo es posible que la ciencia utilice afirmaciones matemáticas falsas sin que las predicciones científicas sean falsas. [35] Su argumento se basa en la idea de que las matemáticas son conservadoras . Una teoría matemática es conservadora si, cuando se combina con una teoría científica, no implica nada sobre el mundo físico que la teoría científica por sí sola no tendría ya. [36] Esto explica cómo es posible que las matemáticas sean utilizadas por teorías científicas sin que las predicciones de la ciencia sean falsas. Además, Field ha intentado especificar cómo exactamente las matemáticas son útiles en su aplicación. [28] Field cree que las matemáticas son útiles para la ciencia porque el lenguaje matemático proporciona una abreviatura útil para hablar sobre sistemas físicos complejos. [32]
Otro enfoque para negar que las entidades matemáticas sean indispensables para la ciencia es reformular las teorías matemáticas mismas para que no impliquen la existencia de objetos matemáticos. Charles Chihara , Geoffrey Hellman y Putnam han ofrecido reformulaciones modales de las matemáticas que reemplazan todas las referencias a objetos matemáticos con afirmaciones sobre posibilidades. [32]
El naturalismo subyacente al argumento de la indispensabilidad es una forma de naturalismo metodológico , a diferencia del naturalismo metafísico , que afirma la primacía del método científico para determinar la verdad. [37] En otras palabras, según el naturalismo de Quine, nuestras mejores teorías científicas son la mejor guía de lo que existe. [19] Esta forma de naturalismo rechaza la idea de que la filosofía precede y, en última instancia, justifica la creencia en la ciencia, sosteniendo en cambio que la ciencia y la filosofía son continuas entre sí como parte de una investigación única y unificada del mundo. [38] Como tal, esta forma de naturalismo excluye la idea de una filosofía previa que pueda anular los compromisos ontológicos de la ciencia. [39] Esto contrasta con formas alternativas de naturalismo, como una forma apoyada por David Armstrong que sostiene un principio llamado principio eleático . Según este principio sólo existen entidades causales y no entidades no causales. [40] El naturalismo de Quine afirma que tal principio no puede usarse para anular el compromiso ontológico de nuestras mejores teorías científicas con las entidades matemáticas porque los principios filosóficos no pueden anular la ciencia. [41]
Me hace reír pensar en lo presuntuoso que sería rechazar las matemáticas por razones filosóficas. ¿Qué le parecería la tarea de decirles a los matemáticos que deben cambiar de conducta y abjurar de innumerables errores, ahora que la filosofía ha descubierto que no hay clases? ¿Puedes decirles, con cara seria, que sigan el argumento filosófico a dondequiera que les lleve? Si cuestionan sus credenciales, ¿se jactará de los otros grandes descubrimientos de la filosofía: que el movimiento es imposible , que un Ser mayor que el que no puede concebirse no puede concebirse como si no existiera ... y así sucesivamente, hasta la saciedad? ¡Yo no!
David Lewis, Partes de las clases [42]
Quine sostuvo su naturalismo como un supuesto fundamental, pero filósofos posteriores han aportado argumentos para apoyarlo. Los argumentos más comunes en apoyo del naturalismo quineano son los argumentos de la historia. Se trata de argumentos que apelan al historial exitoso de la ciencia en comparación con la filosofía y otras disciplinas. [43] David Lewis hizo un famoso argumento de este tipo en un pasaje de su libro de 1991 Parts of Classes , burlándose del historial de la filosofía en comparación con las matemáticas y argumentando que la idea de que la filosofía prevalezca sobre la ciencia es absurda. [44] Los críticos del argumento del historial han argumentado que va demasiado lejos, desacreditando por completo los argumentos y métodos filosóficos, y cuestionan la idea de que se pueda juzgar uniformemente que la filosofía ha tenido un mal historial. [45]
Penélope Maddy también ha criticado el naturalismo de Quine por contradecir la práctica matemática. [46] Según el argumento de la indispensabilidad, las matemáticas están subordinadas a las ciencias naturales en el sentido de que su legitimidad depende de ellas. [47] Pero Maddy sostiene que los matemáticos no parecen creer que su práctica esté restringida de ninguna manera por la actividad de las ciencias naturales. Por ejemplo, los argumentos de los matemáticos sobre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no apelan a sus aplicaciones a las ciencias naturales. De manera similar, Charles Parsons ha sostenido que las verdades matemáticas parecen inmediatamente obvias de una manera que sugiere que no dependen de los resultados de nuestras mejores teorías. [48]
El holismo confirmacional es la opinión de que las teorías e hipótesis científicas no pueden confirmarse de forma aislada y deben confirmarse juntas como parte de un grupo más amplio de teorías. [49] Un ejemplo de esta idea proporcionada por Michael Resnik es la hipótesis de que un observador verá que el petróleo y el agua se separan si se suman porque no se mezclan. Esta hipótesis no se puede confirmar de forma aislada porque se basa en suposiciones como la ausencia de cualquier sustancia química que interfiera con su separación y que los ojos del observador funcionan lo suficientemente bien como para observar la separación. [50] Debido a que las teorías matemáticas también son asumidas por las teorías científicas, el holismo confirmacional implica que las confirmaciones empíricas de las teorías científicas también respaldan estas teorías matemáticas. [51]
Según un contraargumento de Maddy, las tesis del naturalismo y el holismo confirmacional que constituyen la primera premisa del argumento de la indispensabilidad están en tensión entre sí. Maddy dijo que el naturalismo nos dice que debemos respetar los métodos utilizados por los científicos como el mejor método para descubrir la verdad, pero los científicos no parecen actuar como si debiéramos creer en todas las entidades que son indispensables para la ciencia. [52] Para ilustrar este punto, Maddy utiliza el ejemplo de la teoría atómica ; Dijo que a pesar de que el átomo era indispensable para las mejores teorías de los científicos en 1860, su realidad no fue aceptada universalmente hasta 1913, cuando fueron sometidas a una prueba experimental directa. [53] Maddy y otros como Mary Leng también apelan al hecho de que los científicos utilizan idealizaciones matemáticas , como asumir que los cuerpos de agua son infinitamente profundos, sin tener en cuenta la veracidad de tales aplicaciones de las matemáticas. [54] Según Maddy, esto indica que los científicos no ven el uso indispensable de las matemáticas para la ciencia como justificación para la creencia en las matemáticas o en las entidades matemáticas. En general, Maddy dijo que deberíamos ponernos del lado del naturalismo y rechazar el holismo confirmacional, lo que significa que no necesitamos creer en todas las entidades que son indispensables para la ciencia. [28]
Otro contraargumento de Elliott Sober afirma que las teorías matemáticas no se prueban de la misma manera que las teorías científicas. Si bien las teorías científicas compiten con alternativas para encontrar qué teoría tiene el mayor apoyo empírico, no hay alternativas con las que competir la teoría matemática porque todas las teorías científicas comparten el mismo núcleo matemático. Como resultado, según Sober, las teorías matemáticas no comparten el apoyo empírico de nuestras mejores teorías científicas, por lo que deberíamos rechazar el holismo confirmacional. [55]
Desde que se plantearon estos contraargumentos, varios filósofos (incluidos Resnik, Alan Baker , Patrick Dieveney, David Liggins , Jacob Busch y Andrea Sereni) han argumentado que el holismo confirmacional puede eliminarse del argumento. [56] Por ejemplo, Resnik ha ofrecido un argumento pragmático de indispensabilidad que "afirma que la justificación para hacer ciencia... también justifica que aceptemos como verdaderas las matemáticas que utiliza la ciencia". [57]
Otra parte clave del argumento es el concepto de compromiso ontológico . Decir que deberíamos tener un compromiso ontológico con una entidad significa que deberíamos creer que esa entidad existe. Quine creía que deberíamos tener un compromiso ontológico con todas las entidades con las que están comprometidas nuestras mejores teorías científicas. [58] Según el "criterio de compromiso ontológico" de Quine, los compromisos de una teoría se pueden encontrar traduciendo o "regimentando" la teoría del lenguaje ordinario a la lógica de primer orden . Este criterio dice que los compromisos ontológicos de la teoría son todos los objetos sobre los cuales cuantifica la teoría reglamentada ; El cuantificador existencial para Quine era el equivalente natural del término del lenguaje ordinario "hay", que en su opinión obviamente conlleva un compromiso ontológico. [59] Quine pensó que es importante traducir nuestras mejores teorías científicas a la lógica de primer orden porque el lenguaje ordinario es ambiguo, mientras que la lógica puede hacer que los compromisos de una teoría sean más precisos. Traducir teorías a lógica de primer orden también tiene ventajas sobre traducirlas a lógicas de orden superior, como la lógica de segundo orden . Si bien la lógica de segundo orden tiene el mismo poder expresivo que la lógica de primer orden, carece de algunas de las fortalezas técnicas de la lógica de primer orden, como la completitud y la compacidad . La lógica de segundo orden también permite la cuantificación de propiedades como el "enrojecimiento", pero es controvertido si tenemos un compromiso ontológico con las propiedades. [18] Según Quine, dicha cuantificación es simplemente agramatical. [60]
Jody Azzouni se ha opuesto al criterio de compromiso ontológico de Quine, diciendo que no es necesario interpretar que el cuantificador existencial en la lógica de primer orden siempre conlleva un compromiso ontológico. [61] Según Azzouni, el equivalente en lenguaje ordinario de la cuantificación existencial "hay" se usa a menudo en oraciones sin implicar un compromiso ontológico. En particular, Azzouni señala el uso de "hay" cuando se refiere a objetos ficticios en frases como "hay detectives ficticios que son admirados por algunos detectives reales". [62] Según Azzouni, para que tengamos un compromiso ontológico con una entidad, debemos tener el nivel adecuado de acceso epistémico a ella. Esto significa, por ejemplo, que debemos superar algunas cargas epistémicas para que podamos postularlo. Pero según Azzouni, las entidades matemáticas son "meras afirmaciones" que cualquiera puede postular en cualquier momento "simplemente escribiendo un conjunto de axiomas", por lo que no es necesario tratarlas como reales. [63]
Las presentaciones más modernas del argumento no necesariamente aceptan el criterio de compromiso ontológico de Quine y pueden permitir que los compromisos ontológicos se determinen directamente a partir del lenguaje ordinario. [64] [d]
En su contraargumento, Joseph Melia sostiene que el papel de las matemáticas en la ciencia no es genuinamente explicativo y se utiliza únicamente para "hacer que se puedan decir más cosas sobre objetos concretos". [66] Apela a una práctica que llama comadreja , que ocurre cuando una persona hace una declaración y luego retira algo implícito en esa declaración. Un ejemplo de comadreja es la afirmación: "Todos los que asistieron al seminario tenían una hoja de papel. Pero la persona que llegó tarde no la recibió". [67] Si bien esta afirmación puede interpretarse como contradictoria, es más caritativo interpretarla como una afirmación coherente: "Excepto la persona que llegó tarde, todos los que asistieron al seminario tenían un folleto". [67] Melia dijo que una situación similar ocurre en el uso que hacen los científicos de declaraciones que implican la existencia de objetos matemáticos. Según Melia, mientras que los científicos utilizan afirmaciones que implican la existencia de las matemáticas en sus teorías, "casi todos los científicos... niegan que existan objetos matemáticos". [68] Como en el ejemplo del folleto del seminario, Melia dijo que es muy caritativo interpretar a los científicos no como si se contradijeran a sí mismos, sino más bien como si estuvieran alejando su compromiso con los objetos matemáticos. Según Melia, debido a que esta comadreja no es un uso genuinamente explicativo del lenguaje matemático, es aceptable no creer en los objetos matemáticos que los científicos esconden. [69]
Inspirándose en los argumentos de Maddy y Sober contra el holismo confirmacional, [70] así como en el argumento de Melia de que podemos suspender la creencia en las matemáticas si no desempeñan un papel genuinamente explicativo en la ciencia, [71] Colyvan y Baker han defendido una versión explicativa del argumento. [72] [e] Esta versión del argumento intenta eliminar la dependencia del holismo confirmacional reemplazándolo con una inferencia a la mejor explicación . Afirma que estamos justificados a creer en objetos matemáticos porque aparecen en nuestras mejores explicaciones científicas, no porque hereden el apoyo empírico de nuestras mejores teorías. [75] Lo presenta la Enciclopedia de Filosofía de Internet de la siguiente forma: [72]
Un ejemplo de la indispensabilidad explicativa de las matemáticas presentado por Baker (2005) es la cigarra periódica , un tipo de insecto que suele tener ciclos de vida de 13 o 17 años. Se plantea la hipótesis de que esto es una ventaja evolutiva porque 13 y 17 son números primos . Debido a que los números primos no tienen factores no triviales, esto significa que es menos probable que los depredadores puedan sincronizarse con los ciclos de vida de las cigarras. Baker dijo que esta es una explicación en la que las matemáticas, específicamente la teoría de números , juegan un papel clave para explicar un fenómeno empírico. [76] Otros ejemplos importantes son las explicaciones de la estructura hexagonal de los panales de abejas, la existencia de antípodas en la superficie de la Tierra que tienen temperatura y presión idénticas, la conexión entre el espacio de Minkowski y la contracción de Lorentz , y la imposibilidad de cruzar los siete puentes de Königsberg. sólo una vez en un paseo por la ciudad. [77] La principal respuesta a esta forma de argumento, que adoptaron filósofos como Melia, Chris Daly, Simon Langford y Juha Saatsi, es negar que existan explicaciones genuinamente matemáticas de los fenómenos empíricos, enmarcando en cambio el papel de las matemáticas como representativas. o indexical. [78]
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El argumento está históricamente asociado con Willard Quine y Hilary Putnam , pero se remonta a pensadores anteriores como Gottlob Frege y Kurt Gödel . En sus argumentos contra el formalismo matemático (una visión que sostiene que las matemáticas son similares a un juego como el ajedrez con reglas sobre cómo se pueden manipular los símbolos matemáticos como el "2"), Frege dijo en 1893 que "es sólo la aplicabilidad lo que eleva la aritmética de una categoría juego al rango de ciencia". [79] Gödel, en un artículo de 1947 sobre los axiomas de la teoría de conjuntos , dijo que si un nuevo axioma tuviera suficientes consecuencias verificables, "tendría que ser aceptado al menos en el mismo sentido que cualquier teoría física bien establecida". . [80] Los argumentos de Frege y Gödel difieren del argumento quineano posterior de la indispensabilidad porque carecen de características como el naturalismo y la subordinación de la práctica, lo que lleva a algunos filósofos, incluida Pieranna Garavaso , a decir que no son ejemplos genuinos del argumento de la indispensabilidad. [81]
Mientras desarrollaba su visión filosófica del holismo confirmacional, Quine fue influenciado por Pierre Duhem . [82] A principios del siglo XX, Duhem defendió la ley de la inercia de los críticos que decían que carecía de contenido empírico y era infalsificable . [50] Estos críticos basaron esta afirmación en el hecho de que la ley no hace predicciones observables sin proponer algún marco de referencia observacional y que siempre se pueden evitar casos de falsificación cambiando la elección del marco de referencia. Duhem respondió diciendo que la ley produce predicciones cuando se combina con hipótesis auxiliares que fijan el marco de referencia y, por lo tanto, no es diferente de cualquier otra teoría física. [83] Duhem dijo que aunque las hipótesis individuales pueden no hacer predicciones observables por sí solas, pueden confirmarse como partes de sistemas de hipótesis. Quine extendió esta idea a las hipótesis matemáticas, afirmando que aunque las hipótesis matemáticas no tienen contenido empírico por sí mismas, pueden compartir las confirmaciones empíricas de los sistemas de hipótesis en los que están contenidas. [84] Esta tesis pasó a ser conocida más tarde como la tesis de Duhem-Quine . [85]
Quine describió su naturalismo como el "abandono del objetivo de una primera filosofía. Ve la ciencia natural como una investigación de la realidad, falible y corregible pero que no responde ante ningún tribunal supracientífico, y que no necesita ninguna justificación más allá de la observación y la observación". método hipotético-deductivo ." [86] El término "primera filosofía" se utiliza en referencia a las Meditaciones sobre la primera filosofía de Descartes , en las que Descartes utilizó su método de la duda en un intento de asegurar los fundamentos de la ciencia. Quine dijo que los intentos de Descartes de proporcionar los fundamentos de la ciencia habían fracasado y que el proyecto de encontrar una justificación fundamental para la ciencia debería rechazarse porque creía que la filosofía nunca podría proporcionar un método de justificación más convincente que el método científico. [87] Quine también fue influenciado por los positivistas lógicos , como su maestro Rudolf Carnap ; su naturalismo se formuló en respuesta a muchas de sus ideas. [88] Para los positivistas lógicos, todas las creencias justificadas eran reducibles a datos sensoriales , incluido nuestro conocimiento de objetos ordinarios como los árboles. [89] Quine criticó los datos sensoriales como contraproducentes, diciendo que debemos creer en objetos ordinarios para organizar nuestras experiencias del mundo. También dijo que como la ciencia es nuestra mejor teoría sobre cómo la experiencia sensorial nos da creencias sobre objetos ordinarios, también deberíamos creer en ella. [90] Mientras que los positivistas lógicos dijeron que las afirmaciones individuales deben estar respaldadas por datos sensoriales, el holismo confirmatorio de Quine significa que la teoría científica está inherentemente ligada a la teoría matemática y, por lo tanto, la evidencia de las teorías científicas puede justificar la creencia en objetos matemáticos a pesar de que no se perciban directamente. [89]
Si bien finalmente se convirtió en platónico debido a su formulación del argumento de la indispensabilidad, [91] Quine simpatizó con el nominalismo desde las primeras etapas de su carrera. [92] En una conferencia de 1946, dijo: "Ahora pondré mis cartas sobre la mesa y confesaré mis prejuicios: me gustaría poder aceptar el nominalismo". [93] Posteriormente, Quine publicó un artículo conjunto de 1947 con Nelson Goodman titulado "Pasos hacia un nominalismo constructivo" [94] como parte de un proyecto en curso de Quine para "establecer un lenguaje nominalista en el que se pueda expresar toda la ciencia natural". [95] Sin embargo, en una carta a Joseph Henry Woodger al año siguiente, Quine dijo que estaba cada vez más convencido de que "la suposición de entidades abstractas y las suposiciones del mundo externo son suposiciones del mismo tipo". [96] Posteriormente publicó el artículo de 1948 "Sobre lo que hay", en el que decía que "[l]a analogía entre el mito de las matemáticas y el mito de la física es... sorprendentemente cercana", marcando un cambio hacia su eventual aceptación de un "platonismo reacio". [97]
A lo largo de la década de 1950, Quine mencionó regularmente el platonismo, el nominalismo y el constructivismo como puntos de vista plausibles, y aún no había llegado a una conclusión definitiva sobre cuál era la correcta. [98] No está claro exactamente cuándo Quine aceptó el platonismo; en 1953, se distanció de las afirmaciones del nominalismo en su artículo de 1947 con Goodman, pero en 1956, Goodman todavía describía la "deserción" de Quine del nominalismo como "todavía algo vacilante". [99] Según Lieven Decock, Quine había aceptado la necesidad de entidades matemáticas abstractas mediante la publicación de su libro de 1960 Word and Object , en el que escribió "una doctrina nominalista exhaustiva es demasiado para estar a la altura". [100] Sin embargo, aunque publicó sugerencias sobre el argumento de la indispensabilidad en varios artículos, nunca le dio una formulación detallada. [101]
Putnam dio al argumento su primera presentación explícita en su libro Filosofía de la lógica de 1971 , en el que se lo atribuyó a Quine. [102] Planteó el argumento como "la cuantificación de entidades matemáticas es indispensable para la ciencia, tanto formal como física; por lo tanto, deberíamos aceptar dicha cuantificación; pero esto nos compromete a aceptar la existencia de las entidades matemáticas en cuestión". [103] También escribió que Quine había "durante años enfatizado tanto la indispensabilidad de la cuantificación de las entidades matemáticas como la deshonestidad intelectual de negar la existencia de lo que uno presupone diariamente". [103] Se cuestiona el respaldo de Putnam a la versión de Quine del argumento. La Internet Encyclopedia of Philosophy afirma: "En sus primeros trabajos, Hilary Putnam aceptó la versión de Quine del argumento de la indispensabilidad". [104] Liggins también afirma que muchos filósofos de las matemáticas han atribuido el argumento a Putnam. Liggins y Bueno, sin embargo, dijeron que Putnam nunca respaldó el argumento y sólo lo presentó como un argumento de Quine. [105] Putnam ha dicho que difería de Quine en su actitud hacia el argumento desde al menos 1975. [106] Las características del argumento con las que Putnam llegó a estar en desacuerdo incluyen su dependencia de una teoría única, reglamentada y mejor. [104]
En 1975, Putnam formuló su propio argumento de indispensabilidad basado en el argumento de que no hay milagros en la filosofía de la ciencia, que sostiene que el éxito de la ciencia sólo puede explicarse mediante el realismo científico sin volverse milagroso. Escribió ese año: "Creo que el argumento positivo a favor del realismo [en la ciencia] tiene un análogo en el caso del realismo matemático. También aquí, creo, el realismo es la única filosofía que no hace del éxito de la ciencia un milagro." [107] La Internet Encyclopedia of Philosophy denomina esta versión del argumento "argumento del éxito de Putnam" y la presenta de la siguiente forma: [104]
Según la Internet Encyclopedia of Philosophy , la primera y segunda premisas del argumento no se han considerado controvertidas, por lo que la discusión de este argumento se ha centrado en la tercera premisa. Otras posiciones que han intentado proporcionar una razón para el éxito de las matemáticas incluyen las reformulaciones de la ciencia de Field, que explican la utilidad de las matemáticas como una taquigrafía conservadora. [104] Putnam ha criticado las reformulaciones de Field por aplicarse únicamente a la física clásica y por ser poco probable que puedan extenderse a la física fundamental futura. [110]
Chihara, en su libro de 1973 Ontología y el principio del círculo vicioso , fue uno de los primeros filósofos en intentar reformular las matemáticas en respuesta a los argumentos de Quine. [111] Field siguió con Ciencia sin números en 1980 y dominó la discusión sobre el argumento de la indispensabilidad durante las décadas de 1980 y 1990. [112] Con la introducción de argumentos en contra de la primera premisa del argumento, inicialmente por Maddy en la década de 1990 y continuados por Melia y otros en la década de 2000, el enfoque de Field ha llegado a ser conocido como "Nominalismo del camino difícil" debido a la dificultad de creando las reconstrucciones técnicas de la ciencia que ésta requiere. Los enfoques que atacan la primera premisa, por el contrario, se conocen como "nominalismo del camino fácil". [113]
A menudo se considera que Colyvan presenta la formulación estándar o "canónica" del argumento dentro del trabajo filosófico más reciente. [114] La versión de Colyvan del argumento ha sido influyente en los debates de la filosofía de las matemáticas contemporánea . [115] Difiere en aspectos clave de los argumentos presentados por Quine y Putnam. La versión de Quine del argumento se basa en traducir teorías científicas del lenguaje ordinario a la lógica de primer orden para determinar sus compromisos ontológicos, mientras que la versión moderna permite que los compromisos ontológicos se determinen directamente a partir del lenguaje ordinario. Los argumentos de Putnam estaban a favor de la objetividad de las matemáticas, pero no necesariamente a favor de los objetos matemáticos. [116] Putnam se ha distanciado explícitamente de esta versión del argumento, diciendo: "desde mi punto de vista, la descripción que hace Colyvan de mi(s) argumento(s) está lejos de ser correcta", y ha contrastado su argumento de indispensabilidad con "el ficticio 'Quine –Argumento de indispensabilidad de Putnam ' ". [117] Colyvan ha dicho que "la atribución a Quine y Putnam [es] un reconocimiento de deudas intelectuales más que una indicación de que el argumento, tal como se presenta, sería respaldado en cada detalle por Quine o Putnam". [118]
Según James Franklin , el argumento de la indispensabilidad se considera ampliamente como el mejor argumento a favor del platonismo en la filosofía de las matemáticas. [119] La Enciclopedia de Filosofía de Stanford lo identifica como uno de los principales argumentos en el debate entre realismo matemático y antirrealismo matemático; Según la Enciclopedia de Filosofía de Stanford , algunos dentro del campo lo ven como el único buen argumento a favor del platonismo. [120]
Los argumentos de Quine y Putnam también han influido fuera de la filosofía de las matemáticas, inspirando argumentos de indispensabilidad en otras áreas de la filosofía. Por ejemplo, David Lewis , que fue alumno de Quine, utilizó un argumento de indispensabilidad para defender el realismo modal en su libro de 1986 Sobre la pluralidad de mundos . Según su argumento, la cuantificación de mundos posibles es indispensable para nuestras mejores teorías filosóficas, por lo que deberíamos creer en su existencia concreta . [121] Otros argumentos de indispensabilidad en metafísica son defendidos por filósofos como David Armstrong , Graeme Forbes y Alvin Plantinga , quienes han defendido la existencia de estados de cosas debido al papel teórico indispensable que desempeñan en nuestras mejores teorías filosóficas sobre los hacedores de verdad . modalidad y mundos posibles. [122] En el campo de la ética, David Enoch ha ampliado el criterio de compromiso ontológico utilizado en el argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam para defender el realismo moral . Según el "argumento de la indispensabilidad deliberativa" de Enoc, la indispensabilidad para la deliberación es tan ontológicamente comprometida como la indispensabilidad para la ciencia, y los hechos morales son indispensables para la deliberación. Por tanto, según Enoc, debemos creer en los hechos morales. [123]