Espacio afín

En matemáticas , un espacio afín es una estructura geométrica que generaliza algunas de las propiedades de los espacios euclidianos de tal manera que estas son independientes de los conceptos de distancia y medida de ángulos , manteniendo únicamente las propiedades relacionadas con el paralelismo y la razón de longitudes para segmentos de rectas paralelas . El espacio afín es el escenario de la geometría afín .

Al igual que en el espacio euclidiano, los objetos fundamentales en un espacio afín se denominan puntos , que pueden considerarse como ubicaciones en el espacio sin ningún tamaño o forma: cero -dimensionales . A través de cualquier par de puntos se puede dibujar una línea recta infinita, un conjunto unidimensional de puntos; a través de tres puntos cualesquiera que no sean colineales, se puede dibujar un plano bidimensional ; y, en general, a través de $k + 1$ puntos en posición general, se puede dibujar un subespacio plano o afín $k$ -dimensional . El espacio afín se caracteriza por una noción de pares de líneas paralelas que se encuentran dentro del mismo plano pero nunca se encuentran entre sí (líneas no paralelas dentro del mismo plano se intersecan en un punto). Dada cualquier línea, se puede dibujar una línea paralela a ella a través de cualquier punto en el espacio, y se dice que la clase de equivalencia de líneas paralelas comparte una dirección .

A diferencia de los vectores en un espacio vectorial , en un espacio afín no hay un punto distinguido que sirva como origen . No existe un concepto predefinido de sumar o multiplicar puntos, o de multiplicar un punto por un número escalar. Sin embargo, para cualquier espacio afín, se puede construir un espacio vectorial asociado a partir de las diferencias entre los puntos inicial y final, que se denominan vectores libres , vectores de desplazamiento , vectores de traslación o simplemente traslaciones . ^[1] Del mismo modo, tiene sentido sumar un vector de desplazamiento a un punto de un espacio afín, lo que da como resultado un nuevo punto trasladado desde el punto inicial por ese vector. Si bien los puntos no se pueden sumar arbitrariamente, tiene sentido tomar combinaciones afines de puntos: sumas ponderadas con coeficientes numéricos que suman 1, lo que da como resultado otro punto. Estos coeficientes definen un sistema de coordenadas baricéntrico para el plano a través de los puntos.

Cualquier espacio vectorial puede ser visto como un espacio afín; esto equivale a "olvidar" el papel especial que desempeña el vector cero . En este caso, los elementos del espacio vectorial pueden verse como puntos del espacio afín o como vectores de desplazamiento o traslaciones . Cuando se considera como un punto, el vector cero se llama origen . La adición de un vector fijo a los elementos de un subespacio lineal (subespacio vectorial) de un espacio vectorial produce un subespacio afín del espacio vectorial. Se dice comúnmente que este subespacio afín se ha obtenido trasladando (alejándose del origen) el subespacio lineal por el vector de traslación (el vector añadido a todos los elementos del espacio lineal). En dimensiones finitas, un subespacio afín de este tipo es el conjunto solución de un sistema lineal no homogéneo . Los vectores de desplazamiento para ese espacio afín son las soluciones del sistema lineal homogéneo correspondiente , que es un subespacio lineal. Los subespacios lineales, por el contrario, siempre contienen el origen del espacio vectorial.

La dimensión de un espacio afín se define como la dimensión del espacio vectorial de sus traslaciones. Un espacio afín de dimensión uno es una línea afín . Un espacio afín de dimensión 2 es un plano afín . Un subespacio afín de dimensión $n - 1$ en un espacio afín o un espacio vectorial de dimensión $n$ es un hiperplano afín .

Descripción informal

La siguiente caracterización puede ser más fácil de entender que la definición formal habitual: un espacio afín es lo que queda de un espacio vectorial después de que uno ha olvidado cuál punto es el origen (o, en palabras del matemático francés Marcel Berger , "Un espacio afín no es nada más que un espacio vectorial cuyo origen tratamos de olvidar, añadiendo traslaciones a las aplicaciones lineales" ^[2] ). Imaginemos que Alice sabe que un cierto punto es el origen real, pero Bob cree que otro punto, llamémoslo $p$ , es el origen. Se deben sumar dos vectores, $a$ y $b . Bob dibuja una flecha del punto$ $p$ al punto $a$ y otra flecha del punto $p$ al punto $b$ , y completa el paralelogramo para encontrar lo que Bob piensa que es $a + b$ , pero Alice sabe que en realidad ha calculado

p + (a - p) + (b - p)

De manera similar, Alice y Bob pueden evaluar cualquier combinación lineal de $a$ y $b$ , o de cualquier conjunto finito de vectores, y generalmente obtendrán respuestas diferentes. Sin embargo, si la suma de los coeficientes en una combinación lineal es 1, entonces Alice y Bob llegarán a la misma respuesta.

Si Alicia viaja a

λa + (1 - λ) b

Entonces Bob puede viajar de manera similar a

p + λ(a - p) + (1 - λ)(b - p) = λ a + (1 - λ) b

Bajo esta condición, para todos los coeficientes $λ + (1 - λ) = 1$ , Alice y Bob describen el mismo punto con la misma combinación lineal, a pesar de utilizar orígenes diferentes.

Aunque sólo Alice conoce la "estructura lineal", tanto Alice como Bob conocen la "estructura afín", es decir, los valores de las combinaciones afines , definidas como combinaciones lineales en las que la suma de los coeficientes es 1. Un conjunto con una estructura afín es un espacio afín.

Definición

Si bien el espacio afín se puede definir axiomáticamente (ver § Axiomas a continuación), de manera análoga a la definición del espacio euclidiano implícita en los Elementos de Euclides , por conveniencia la mayoría de las fuentes modernas definen los espacios afines en términos de la bien desarrollada teoría del espacio vectorial.

Un espacio afín es un conjunto $A$ junto con un espacio vectorial , y una acción transitiva y libre del grupo aditivo de sobre el conjunto $A$ . ^[3] Los elementos del espacio afín $A$ se denominan puntos . Se dice que el espacio vectorial está asociado al espacio afín, y sus elementos se denominan vectores , traslaciones o, a veces, vectores libres . ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {A}}$

Explícitamente, la definición anterior significa que la acción es un mapeo, generalmente denotado como una adición,

{\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}

que tiene las siguientes propiedades. ^[4]^[5]^[6]

Identidad correcta :
$\para todo a\en A,\;a+0=a$ , donde $0$ es el vector cero en ${\overrightarrow {A}}$
Asociatividad :
$\para todo v,w\en {\overrightarrow {A}},\para todo a\en A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ (aquí el último $+$ es la adición en ) ${\overrightarrow {A}}$
Acción libre y transitiva :
Para cada , la aplicación es una biyección . $a\en A$ ${\overrightarrow {A}}\a A\colon v\mapsto a+v$

Las dos primeras propiedades son simplemente propiedades definitorias de una acción grupal (correcta). La tercera propiedad caracteriza las acciones libres y transitivas, el carácter ontológico proviene de la transitividad, y luego el carácter inyectivo se desprende de la acción libre. Hay una cuarta propiedad que se desprende de los puntos 1 y 2 anteriores:

Existencia de traducciones uno a uno

Para todos , la aplicación es una biyección.

v\in {\overrightarrow {A}}

A\to A\colon a\mapsto a+v

La propiedad 3 se utiliza a menudo en la siguiente forma equivalente (la quinta propiedad).

Sustracción:

Para cada

a, b

A

, existe un único , denotado

b

-

a

, tal que .

v\in {\overrightarrow {A}}

b=a+v

Otra forma de expresar la definición es que un espacio afín es un espacio homogéneo principal para la acción del grupo aditivo de un espacio vectorial. Los espacios homogéneos están, por definición, dotados de una acción transitiva de grupo, y para un espacio homogéneo principal, dicha acción transitiva es, por definición, libre.

La sustracción y los axiomas de Weyl

Las propiedades de la acción de grupo permiten la definición de la resta para cualquier par ordenado $(b, a)$ de puntos en $A$ , lo que produce un vector de . Este vector, denotado como , se define como el único vector en tal que ${\overrightarrow {A}}$ ${\estilo de visualización ba}$ ${\overrightarrow {ab}}$ ${\overrightarrow {A}}$

a+(ba)=b.

La existencia se desprende de la transitividad de la acción, y la unicidad se desprende porque la acción es libre.

Esta resta tiene las dos propiedades siguientes, llamadas axiomas de Weyl : ^[7]

$\para todo a\en A,\;\para todo v\en {\overrightarrow {A}}$ , hay un punto único tal que $b\en A$ $ba=v.$
$\para todo a,b,c\en A,\;(cb)+(ba)=ca.$

La propiedad del paralelogramo se cumple en espacios afines, donde se expresa como: dados cuatro puntos las igualdades y son equivalentes. Esto resulta del segundo axioma de Weyl, ya que ${\estilo de visualización a,b,c,d,}$ $ba=dc$ $ca=db$ $da=(db)+(ba)=(dc)+(ca).$

Los espacios afines pueden definirse de manera equivalente como un conjunto de puntos $A$ , junto con un espacio vectorial y una resta que satisface los axiomas de Weyl. En este caso, la adición de un vector a un punto se define a partir del primero de los axiomas de Weyl. ${\overrightarrow {A}}$

Subespacios afines y paralelismo

Un subespacio afín (también llamado, en algunos contextos, variedad lineal , plano o, sobre los números reales , variedad lineal ) $B$ de un espacio afín $A$ es un subconjunto de $A$ tal que, dado un punto , el conjunto de vectores es un subespacio lineal de . Esta propiedad, que no depende de la elección de $a$ , implica que $B$ es un espacio afín, que tiene como espacio vectorial asociado . $a\en B$ ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {B}}$

Los subespacios afines de $A$ son los subconjuntos de $A$ de la forma

a+V=\{a+w:w\en V\},

donde $a$ es un punto de $A$ , y $V$ un subespacio lineal de . ${\overrightarrow {A}}$

El subespacio lineal asociado con un subespacio afín a menudo se denomina sudirección , y se dice que dos subespacios que comparten la misma dirección sonparalelos.

Esto implica la siguiente generalización del axioma de Playfair : Dada una dirección $V$ , para cualquier punto $a$ de $A$ hay un y sólo un subespacio afín de dirección $V$ , que pasa por $a$ , es decir, el subespacio $a + V.$

Cada traducción asigna cualquier subespacio afín a un subespacio paralelo. $A\to A:a\mapsto a+v$

El término paralelo también se utiliza para dos subespacios afines tales que la dirección de uno está incluida en la dirección del otro.

Mapa afín

Dados dos espacios afines $A$ y $B$ cuyos espacios vectoriales asociados son y , una función afín o un homomorfismo afín de $A$ a $B$ es una función ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {B}}$

f:A\to B

de tal manera que

{\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\ba&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}

es una función lineal bien definida . Por estar bien definida se entiende que $b$ $-$ $a$ $=$ $d$ $-$ $c$ implica $f$ $($ $b$ $) -$ $f$ $($ $a$ $) =$ $f$ $($ $d$ $) -$ $f$ $($ $c$ $)$ . ${\estilo de visualización f}$

Esto implica que, para un punto y un vector , se tiene $a\en A$ $v\in {\overrightarrow {A}}$

f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).

Por lo tanto, dado que para cualquier $b$ dado en $A$ , $b = a + v$ para un $v$ único , $f$ está completamente definida por su valor en un solo punto y la función lineal asociada . ${\overrightarrow {f}}$

Endomorfismos

Una transformación afín o endomorfismo de un espacio afín es una función afín de ese espacio a sí mismo. Una familia importante de ejemplos son las traslaciones: dado un vector , la función de traslación que envía para cada in es una función afín. Otra familia importante de ejemplos son las funciones lineales centradas en un origen: dado un punto y una función lineal , se puede definir una función afín por para cada in . ${\estilo de visualización A}$ ${\overrightarrow {v}}$ $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización M}$ $L_{M,b}:A\rightarrow A$ $L_{M,b}(a)=b+M(ab)$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización A}$

Después de elegir el origen , cualquier mapa afín puede escribirse únicamente como una combinación de una traslación y un mapa lineal centrado en . ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización b}$

Espacios vectoriales como espacios afines

Todo espacio vectorial $V$ puede considerarse como un espacio afín sobre sí mismo. Esto significa que cada elemento de $V$ puede considerarse como un punto o como un vector. Este espacio afín se denota a veces $(V, V)$ para enfatizar el doble papel de los elementos de $V$ . Cuando se considera como un punto, el vector cero se denota comúnmente $como o$ (u $O$ , cuando se usan letras mayúsculas para los puntos) y se llama origen .

Si $A$ es otro espacio afín sobre el mismo espacio vectorial (es decir ), la elección de cualquier punto $a$ en $A$ define un isomorfismo afín único, que es la identidad de $V$ y mapea $a$ en $o$ . En otras palabras, la elección de un origen $a$ en $A$ nos permite identificar $A$ y $($ $V$ $,$ $V$ $)$ hasta un isomorfismo canónico . La contrapartida de esta propiedad es que el espacio afín $A$ puede identificarse con el espacio vectorial $V$ en el que "se ha olvidado el lugar del origen". $V={\overrightarrow {A}}$

Relación con los espacios euclidianos

Definición de espacios euclidianos

Los espacios euclidianos (incluida la línea unidimensional, el plano bidimensional y el espacio tridimensional comúnmente estudiados en geometría elemental, así como análogos de dimensiones superiores) son espacios afines.

De hecho, en la mayoría de las definiciones modernas, un espacio euclidiano se define como un espacio afín, tal que el espacio vectorial asociado es un espacio producto interior real de dimensión finita, es decir, un espacio vectorial sobre los reales con una forma cuadrática definida positiva $q (x)$ . El producto interior de dos vectores $x$ e $y$ es el valor de la forma bilineal simétrica

x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).

La distancia euclidiana habitual entre dos puntos $A$ y $B$ es

d(A,B)={\sqrt {q(BA)}}.

En la definición más antigua de espacios euclidianos a través de la geometría sintética , los vectores se definen como clases de equivalencia de pares ordenados de puntos bajo equipolencia (los pares $(A, B)$ y $(C, D)$ son equipolentes si los puntos $A, B, D, C$ (en este orden) forman un paralelogramo ). Es sencillo verificar que los vectores forman un espacio vectorial, el cuadrado de la distancia euclidiana es una forma cuadrática en el espacio de vectores y las dos definiciones de espacios euclidianos son equivalentes.

Propiedades afines

En geometría euclidiana , la frase común " propiedad afín " se refiere a una propiedad que se puede demostrar en espacios afines, es decir, se puede demostrar sin utilizar la forma cuadrática y su producto interno asociado. En otras palabras, una propiedad afín es una propiedad que no involucra longitudes ni ángulos. Ejemplos típicos son el paralelismo y la definición de una tangente . Un no-ejemplo es la definición de una normal .

Equivalentemente, una propiedad afín es una propiedad que es invariante bajo transformaciones afines del espacio euclidiano.

Combinaciones afines y baricentro

Sea $a 1, ..., a n$ una colección de $n$ puntos en un espacio afín, y $n$ elementos del cuerpo fundamental . $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

Supóngase que . Para dos puntos cualesquiera $o$ y $o'$ se tiene $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.

Por lo tanto, esta suma es independiente de la elección del origen, y el vector resultante puede denotarse

\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

Cuando se recupera la definición de la resta de puntos. $n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$

Supongamos ahora que los elementos del campo satisfacen . Para alguna elección de un origen $o$ , denotemos por el único punto tal que $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$ $g$

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.

Se puede demostrar que es independiente de la elección de $o$ . Por lo tanto, si $g$

\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,

Uno puede escribir

g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

El punto se llama baricentro de los pesos . También se dice que es una combinación afín de los coeficientes . $g$ $a_{i}$ $\lambda _{i}$ $g$ $a_{i}$ $\lambda _{i}$

Ejemplos

Cuando los niños encuentran las respuestas a sumas como $4 + 3$ o $4 - 2$ contando hacia la derecha o hacia la izquierda en una línea numérica , están tratando la línea numérica como un espacio afín unidimensional.
El tiempo puede modelarse como un espacio afín unidimensional. Los puntos específicos en el tiempo (como una fecha en el calendario) son puntos en el espacio afín, mientras que las duraciones (como un número de días) son desplazamientos.
El espacio de energías es un espacio afín para , ya que a menudo no tiene sentido hablar de energía absoluta, pero sí de diferencias de energía. La energía del vacío cuando se define escoge un origen canónico. $\mathbb {R}$
El espacio físico suele modelarse como un espacio afín en entornos no relativistas y en entornos relativistas. Para distinguirlos del espacio vectorial, a veces se los denomina espacios euclidianos y . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ ${\text{E}}(3)$ ${\text{E}}(1,3)$
Cualquier clase lateral de un subespacio $V$ de un espacio vectorial es un espacio afín sobre ese subespacio.
En particular, una línea en el plano que no pasa por el origen es un espacio afín que no es un espacio vectorial en relación con las operaciones que hereda de , aunque se le puede dar una estructura de espacio vectorial canónico eligiendo el punto más cercano al origen como el vector cero; de manera similar en dimensiones superiores y para cualquier espacio vectorial normado $\mathbb {R} ^{2}$
Si $T$ es una matriz y $b$ se encuentra en su espacio columna , el conjunto de soluciones de la ecuación $T x = b$ es un espacio afín sobre el subespacio de soluciones de $T x = 0$ .
Las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea forman un espacio afín sobre las soluciones de la ecuación lineal homogénea correspondiente.
Generalizando todo lo anterior, si $T : V \to W$ es una función lineal e $y$ se encuentra en su imagen , el conjunto de soluciones $x \in V$ de la ecuación $T x = y$ es un coconjunto del núcleo de $T$ , y por lo tanto es un espacio afín sobre $Ker T$ .
El espacio de subespacios complementarios (lineales) de un subespacio vectorial $V$ en un espacio vectorial $W$ es un espacio afín, sobre $Hom(W / V, V)$ . Es decir, si $0 \to V \to W \to X \to 0$ es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, entonces el espacio de todas las descomposiciones de la secuencia exacta lleva naturalmente la estructura de un espacio afín sobre $Hom(X, V)$ .
El espacio de conexiones (visto desde el fibrado vectorial , donde es una variedad suave ) es un espacio afín para el espacio vectorial de 1-formas valoradas . El espacio de conexiones (visto desde el fibrado principal ) es un espacio afín para el espacio vectorial de 1-formas valoradas , donde es el fibrado adjunto asociado . $E\xrightarrow {\pi } M$ $M$ ${\text{End}}(E)$ $P\xrightarrow {\pi } M$ ${\text{ad}}(P)$ ${\text{ad}}(P)$

Bases y espacios afines

Para cualquier subconjunto no vacío $X$ de un espacio afín $A$ , existe un subespacio afín más pequeño que lo contiene, llamado espacio afín de $X$ . Es la intersección de todos los subespacios afines que contienen $a X$ , y su dirección es la intersección de las direcciones de los subespacios afines que contienen $a X$ .

El espacio afín de $X$ es el conjunto de todas las combinaciones afines (finitas) de puntos de $X$ , y su dirección es el espacio lineal de $x - y$ para $x$ e $y$ en $X$ . Si uno elige un punto particular $x 0$ , la dirección del espacio afín de $X$ es también el espacio lineal de $x - x 0$ para $x$ en $X$ .

Se dice también que el lapso afín de $X$ es generado por $X$ y que $X$ es un conjunto generador de su lapso afín.

Se dice que un conjunto $X$ de puntos de un espacio afín esafínmente independiente o, simplemente,independiente, si el espacio afín de cualquiersubconjunto estrictode $X$ es un subconjunto estricto del espacio afín de $X.$ UnLa base afín omarco baricéntrico(ver § Coordenadas baricéntricas, más abajo) de un espacio afín es un conjunto generador que también es independiente (es decir, unconjunto generador mínimo).

Recordemos que la dimensión de un espacio afín es la dimensión de su espacio vectorial asociado. Las bases de un espacio afín de dimensión finita $n$ son los subconjuntos independientes de $n + 1$ elementos o, equivalentemente, los subconjuntos generadores de $n + 1$ elementos. De manera equivalente, ${x 0, ..., x n$ } es una base afín de un espacio afín si y solo si ${x 1 - x 0, ..., x n - x 0$ } es una base lineal del espacio vectorial asociado.

Coordenadas

Hay dos tipos de sistemas de coordenadas fuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.

Coordenadas baricéntricas

Sea $A$ un espacio afín de dimensión $n$ sobre un cuerpo $k$ , y sea una base afín de $A$ . Las propiedades de una base afín implican que para cada $x$ en $A$ existe una única $($ $n$ $+ 1)$ - tupla de elementos de $k$ tal que $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$

\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

Las coordenadas baricéntricas de $x$ se denominan coordenadas baricéntricas sobre la base afín . Si las $x$ $i$ se consideran cuerpos que tienen pesos (o masas) , el punto $x$ es, por lo tanto, el baricentro de las $x$ $i$ , y esto explica el origen del término coordenadas baricéntricas . $\lambda _{i}$ $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ $\lambda _{i}$

Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín $A$ y el subespacio afín de $k n + 1$ definido por la ecuación . $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$

Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando únicamente sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.

Coordenadas afines

Un marco afín de un espacio afín consta de un punto, llamado origen , y una base lineal del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín $A$ con espacio vectorial asociado , el origen $o$ pertenece a $A$ , y la base lineal es una base $($ $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ $)$ de (para simplificar la notación, consideramos solo el caso de dimensión finita, el caso general es similar). ${\overrightarrow {A}}$ ${\overrightarrow {A}}$

Para cada punto $p$ de $A$ , existe una secuencia única de elementos del campo fundamental tal que $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

o equivalentemente

{\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

Se denominan coordenadas afines de $p$ sobre el marco afín $($ $o$ $,$ $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ $)$ . $\lambda _{i}$

Ejemplo: En geometría euclidiana , las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal , es decir, un marco afín $(o, v 1, ..., v n)$ tal que $(v 1, ..., v n)$ es una base ortonormal .

Relación entre coordenadas baricéntricas y afines

Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están fuertemente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.

De hecho, dado un marco baricéntrico

(x_{0},\dots ,x_{n}),

Se deduce inmediatamente el marco afín

(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),

y si

\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

Por el contrario, si

\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)

es un marco afín, entonces

\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)

es un marco baricéntrico. Si

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son

\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que implican menos coordenadas independientes. Sin embargo, en las situaciones en las que los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo del triangulo

Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano euclidiano . Las coordenadas baricéntricas permiten caracterizar fácilmente los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ . Las líneas que sostienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las medianas son los puntos que tienen dos coordenadas iguales, y el baricentro es el punto de coordenadas $( .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠1/3⁠ )$ .

Cambio de coordenadas

Caso de coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean y bases afines de $A$ . Para cada $x$ en $A$ hay alguna tupla para la cual $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ $\{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}$ $\{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}$

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

De manera similar, para cada uno de la primera base, ahora tenemos en la segunda base $x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}$

x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}

para alguna tupla . Ahora podemos reescribir nuestra expresión en la primera base como una en la segunda con $\{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}$

\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,

dándonos coordenadas en la segunda base como la tupla . ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

Caso de coordenadas afines

Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean , y , sistemas afines de $A$ . Para cada punto $p$ de $A$ , existe una secuencia única de elementos del campo base tal que $o$ $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ $o'$ $\{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}$ $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

y de manera similar, para cada de la primera base, ahora tenemos en la segunda base $v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}$

o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,

v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}

para tuplas y tuplas . Ahora podemos reescribir nuestra expresión en la primera base como una en la segunda con $\{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}$ $\{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}$

{\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}

dándonos coordenadas en la segunda base como la tupla . ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

Propiedades de los homomorfismos afines

Representación matricial

Se ejecuta una transformación afín en un espacio proyectivo de , mediante una matriz de 4 por 4 con una cuarta columna especial ^{[8] :} $T$ $\mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}$

La transformación es afín en lugar de lineal debido a la inclusión del punto , cuya salida transformada revela el desplazamiento afín. $(0,0,0)$

Imagen y fibras

Dejar

f\colon E\to F

ser un homomorfismo afín, con

{\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}

su aplicación lineal asociada. La imagen de $f$ es el subespacio afín de $F$ , que tiene como espacio vectorial asociado. Como un espacio afín no tiene un elemento cero , un homomorfismo afín no tiene núcleo . Sin embargo, la aplicación lineal sí lo tiene, y si denotamos por su núcleo, entonces para cualquier punto $x$ de , la imagen inversa de $x$ es un subespacio afín de $E$ cuya dirección es . Este subespacio afín se llama fibra de $x$ . $f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}$ ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ ${\overrightarrow {f}}$ $K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}$ $f(E)$ $f^{-1}(x)$ $K$

Proyección

Un ejemplo importante es la proyección paralela a una determinada dirección sobre un subespacio afín. La importancia de este ejemplo radica en el hecho de que los espacios euclidianos son espacios afines y que este tipo de proyecciones son fundamentales en la geometría euclidiana .

Más precisamente, dado un espacio afín $E$ con espacio vectorial asociado , sea $F$ un subespacio afín de dirección , y $D$ un subespacio complementario de en (esto significa que cada vector de puede descomponerse de manera única como la suma de un elemento de y un elemento de $D$ ). Para cada punto $x$ de $E$ , su proyección a $F$ paralela a $D$ es el único punto $p$ $($ $x$ $)$ en $F$ tal que ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {F}}$

p(x)-x\in D.

Este es un homomorfismo afín cuyo mapa lineal asociado está definido por ${\overrightarrow {p}}$

{\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),

para $x$ $e$ y en $E$ .

La imagen de esta proyección es $F$ , y sus fibras son los subespacios de dirección $D$ .

Espacio cociente

Aunque no se definen núcleos para los espacios afines, sí se definen espacios cocientes . Esto resulta del hecho de que "pertenecer a la misma fibra de un homomorfismo afín" es una relación de equivalencia.

Sea $E$ un espacio afín y $D$ un subespacio lineal del espacio vectorial asociado . El cociente $E$ $/$ $D$ de $E$ por $D$ es el cociente de $E$ por la relación de equivalencia tal que $x$ $e$ y son equivalentes si ${\overrightarrow {E}}$

x-y\in D.

Este cociente es un espacio afín, que tiene como espacio vectorial asociado. ${\overrightarrow {E}}/D$

Para cada homomorfismo afín , la imagen es isomorfa al cociente de $E$ por el núcleo de la función lineal asociada. Este es el primer teorema de isomorfismo para espacios afines. $E\to F$

Axiomas

Los espacios afines suelen estudiarse mediante geometría analítica utilizando coordenadas o, equivalentemente, espacios vectoriales. También pueden estudiarse como geometría sintética escribiendo axiomas, aunque este enfoque es mucho menos común. Existen varios sistemas diferentes de axiomas para el espacio afín.

Coxeter (1969, p. 192) axiomatiza el caso especial de la geometría afín sobre los números reales como geometría ordenada junto con una forma afín del teorema de Desargues y un axioma que establece que en un plano hay como máximo una línea que pasa por un punto dado y que no corta a una línea dada.

Los planos afines satisfacen los siguientes axiomas (Cameron 1991, capítulo 2): (en el que dos líneas se denominan paralelas si son iguales o disjuntas):

Dos puntos distintos se encuentran en una única línea.
Dado un punto y una línea, existe una única línea que contiene el punto y es paralela a la línea.
Existen tres puntos no colineales.

Además de los planos afines sobre cuerpos (o anillos de división ), también hay muchos planos no desarguesianos que satisfacen estos axiomas. (Cameron 1991, capítulo 3) proporciona axiomas para espacios afines de dimensiones superiores.

La geometría afín puramente axiomática es más general que los espacios afines y se trata en un artículo aparte .

Relación con los espacios proyectivos

Los espacios afines están contenidos en espacios proyectivos . Por ejemplo, un plano afín puede obtenerse a partir de cualquier plano proyectivo eliminando una línea y todos los puntos que se encuentran en ella, y, a la inversa, cualquier plano afín puede usarse para construir un plano proyectivo como cierre agregando una línea en el infinito cuyos puntos corresponden a clases de equivalencia de líneas paralelas . Construcciones similares se dan en dimensiones superiores.

Además, las transformaciones del espacio proyectivo que preservan el espacio afín (equivalentemente, que dejan al hiperplano en el infinito invariante como un conjunto ) producen transformaciones del espacio afín. Por el contrario, cualquier transformación lineal afín se extiende únicamente a una transformación lineal proyectiva , por lo que el grupo afín es un subgrupo del grupo proyectivo . Por ejemplo, las transformaciones de Möbius (transformaciones de la línea proyectiva compleja , o esfera de Riemann ) son afines (transformaciones del plano complejo ) si y solo si fijan el punto en el infinito .

Geometría algebraica afín

En geometría algebraica , una variedad afín (o, más generalmente, un conjunto algebraico afín ) se define como el subconjunto de un espacio afín que es el conjunto de los ceros comunes de un conjunto de las llamadas funciones polinómicas sobre el espacio afín . Para definir una función polinómica sobre el espacio afín , uno tiene que elegir un marco afín . Entonces, una función polinómica es una función tal que la imagen de cualquier punto es el valor de alguna función polinómica multivariada de las coordenadas del punto. Como un cambio de coordenadas afines puede expresarse mediante funciones lineales (más precisamente, funciones afines) de las coordenadas, esta definición es independiente de una elección particular de coordenadas.

La elección de un sistema de coordenadas afines para un espacio afín de dimensión $n$ sobre un cuerpo $k$ induce un isomorfismo afín entre y el espacio de coordenadas afines $k$ $n$ . Esto explica por qué, para simplificar, muchos libros de texto escriben , e introducen variedades algebraicas afines como los ceros comunes de funciones polinómicas sobre $k$ $n$ . ^[9] $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$

Como todo el espacio afín es el conjunto de los ceros comunes del polinomio cero , los espacios afines son variedades algebraicas afines.

Anillo de funciones polinómicas

Por la definición anterior, la elección de un marco afín de un espacio afín permite identificar las funciones polinómicas sobre con polinomios en $n$ variables, representando la i -ésima variable la función que asigna un punto a su $i$ -ésima coordenada. De ello se deduce que el conjunto de funciones polinómicas sobre es una k -álgebra , denotada , que es isomorfa al anillo polinómico . $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $\mathbb {A} _{k}^{n}$ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$

Cuando se cambian las coordenadas, el isomorfismo entre y cambia en consecuencia, y esto induce un automorfismo de , que asigna cada indeterminado a un polinomio de grado uno. De ello se deduce que el grado total define una filtración de , que es independiente de la elección de las coordenadas. El grado total define también una graduación , pero depende de la elección de las coordenadas, ya que un cambio de coordenadas afines puede asignar indeterminados a polinomios no homogéneos . $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$

Topología de Zariski

Los espacios afines sobre cuerpos topológicos , como los números reales o complejos, tienen una topología natural . La topología de Zariski, que se define para espacios afines sobre cualquier cuerpo, permite el uso de métodos topológicos en cualquier caso. La topología de Zariski es la única topología sobre un espacio afín cuyos conjuntos cerrados son conjuntos algebraicos afines (es decir, conjuntos de los ceros comunes de funciones polinómicas sobre el conjunto afín). Como, sobre un cuerpo topológico, las funciones polinómicas son continuas, todo conjunto cerrado de Zariski es cerrado para la topología habitual, si la hay. En otras palabras, sobre un cuerpo topológico, la topología de Zariski es más burda que la topología natural.

Existe una función inyectiva natural de un espacio afín en el conjunto de ideales primos (es decir, el espectro ) de su anillo de funciones polinómicas. Cuando se han elegido coordenadas afines, esta función mapea el punto de coordenadas al ideal máximo . Esta función es un homeomorfismo (para la topología de Zariski del espacio afín y del espectro del anillo de funciones polinómicas) del espacio afín sobre la imagen de la función. $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$

El caso de un cuerpo fundamental algebraicamente cerrado es especialmente importante en geometría algebraica, porque, en este caso, el homeomorfismo anterior es una función entre el espacio afín y el conjunto de todos los ideales máximos del anillo de funciones (este es el Nullstellensatz de Hilbert ).

Esta es la idea de partida de la teoría de esquemas de Grothendieck , que consiste, para el estudio de las variedades algebraicas, en considerar como "puntos", no sólo los puntos del espacio afín, sino también todos los ideales primos del espectro. Esto permite unir variedades algebraicas de forma similar a como, para las variedades , se unen los diagramas para construir una variedad.

Cohomología

Como todas las variedades afines, los datos locales en un espacio afín siempre se pueden unir globalmente: la cohomología del espacio afín es trivial. Más precisamente, para todos los haces coherentes F y los números enteros . Esta propiedad también la disfrutan todas las demás variedades afines . Pero también todos los grupos de cohomología étale en el espacio afín son triviales. En particular, cada fibrado lineal es trivial. De manera más general, el teorema de Quillen-Suslin implica que cada fibrado vectorial algebraico sobre un espacio afín es trivial. $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ $i>0$

Véase también

Envolvente afín : subespacio afín más pequeño que contiene un subconjunto
Espacio afín complejo – Espacio afín sobre los números complejos
Análisis dimensional § Geometría: posición vs. desplazamiento
Espacio afín exótico : espacio afín real de dimensión par que no es isomorfo a un espacio afín complejo
Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con cierta estructura añadida
Sistema de coordenadas baricéntrico : sistema de coordenadas que se define por puntos en lugar de vectores.

Notas

^ Generalmente se prefiere la palabra traducción a vector de desplazamiento , lo que puede resultar confuso, ya que los desplazamientos incluyen también rotaciones .
^ Berger 1987, pág. 32
^ Berger, Marcel (1984), "Espacios afines", Problemas de geometría , Springer, pág. 11, ISBN 9780387909714
^ Berger 1987, pág. 33
^ Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Geometría afín métrica , pág. 6
^ Tarrida, Agusti R. (2011), "Espacios afines", Mapas afines, movimientos euclidianos y cuadráticas, Springer, pp. 1–2, ISBN 9780857297105
^ Nomizu y Sasaki 1994, pág. 7
^ Strang, Gilbert (2009). Introducción al álgebra lineal (4.ª ed.). Wellesley: Wellesley-Cambridge Press. pág. 460. ISBN 978-0-9802327-1-4.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
^ Hartshorne 1977, Cap. I, § 1.

Referencias

Berger, Marcel (1984), "Espacios afines", Problemas de geometría , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Cameron, Peter J. (1991), Espacios proyectivos y polares, QMW Maths Notes, vol. 13, Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Sr. 0123930
Dolgachev, IV ; Shirokov, AP (2001) [1994], "Espacio afín", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90244-9.Zbl 0367.14001 .
Nomizu, K. ; Sasaki, S. (1994), Geometría diferencial afín (Nueva ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Snapper, Ernst ; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (edición Dover, publicada por primera vez en la edición de 1989), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
Reventós Tarrida, Agustí (2011), "Espacios afines", Mapas afines, movimientos euclidianos y cuádricas, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9