Medida del cabello

Medida invariante a la izquierda (o invariante a la derecha) en un grupo topológico localmente compacto

En el análisis matemático , la medida de Haar asigna un "volumen invariante" a subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos , definiendo en consecuencia una integral para funciones en esos grupos.

Esta medida fue introducida por Alfréd Haar en 1933, aunque su caso especial para los grupos de Lie había sido introducido por Adolf Hurwitz en 1897 bajo el nombre de "integral invariante". ^{[1] [2]} Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis , la teoría de números , la teoría de grupos , la teoría de la representación , la estadística , la teoría de la probabilidad y la teoría ergódica .

Preliminares

Sea un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto . El álgebra generada por todos los subconjuntos abiertos de se denomina álgebra de Borel . Un elemento del álgebra de Borel se denomina conjunto de Borel . Si es un elemento de y es un subconjunto de , entonces definimos las traslaciones izquierda y derecha de por g de la siguiente manera: ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

• Izquierda traducir: $${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$$
• Traducir correctamente: $${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$$

La izquierda y la derecha traducen el mapa de conjuntos de Borel a conjuntos de Borel.

Una medida de los subconjuntos de Borel de se denomina invariante a la traslación izquierda si para todos los subconjuntos de Borel y todos los uno tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}$

Una medida de los subconjuntos de Borel de se denomina invariante en la traducción a la derecha si para todos los subconjuntos de Borel y todos los uno tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}$

Teorema de Haar

Existe, hasta una constante multiplicativa positiva, una única medida aditiva contable , no trivial, en los subconjuntos de Borel de que satisfacen las siguientes propiedades: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$

• La medida es invariante en cuanto a la traducción a la izquierda: para todos y cada uno de los conjuntos de Borel . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$
• La medida es finita en todo conjunto compacto: para todo compacto . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ ${\displaystyle K\subseteq G}$
• La medida es regular exteriormente en los conjuntos de Borel : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ $${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$$
• La medida es regular internamente en conjuntos abiertos : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U\subseteq G}$ $${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$$

Una medida de este tipo se denomina medida de Haar izquierda. Como consecuencia de las propiedades anteriores, se puede demostrar que para cada subconjunto abierto no vacío . En particular, si es compacto, entonces es finito y positivo, por lo que podemos especificar de forma única una medida de Haar izquierda en añadiendo la condición de normalización . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (U)>0}$ ${\displaystyle U\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)=1}$

En completa analogía, también se puede demostrar la existencia y unicidad de una medida de Haar correcta en . Las dos medidas no tienen por qué coincidir. ${\displaystyle G}$

Algunos autores definen una medida de Haar sobre conjuntos de Baire en lugar de sobre conjuntos de Borel. Esto hace innecesarias las condiciones de regularidad, ya que las medidas de Baire son automáticamente regulares. Halmos ^[3] utiliza el término no estándar "conjunto de Borel" para los elementos del anillo generado por conjuntos compactos y define medidas de Haar sobre estos conjuntos. ${\displaystyle \sigma }$

La medida de Haar izquierda satisface la condición de regularidad interna para todos los conjuntos de Borel -finitos , pero puede no ser regular internamente para todos los conjuntos de Borel. Por ejemplo, el producto del círculo unitario (con su topología usual) y la línea real con la topología discreta es un grupo localmente compacto con la topología del producto y una medida de Haar en este grupo no es regular internamente para el subconjunto cerrado . (Los subconjuntos compactos de este segmento vertical son conjuntos finitos y los puntos tienen medida , por lo que la medida de cualquier subconjunto compacto de este segmento vertical es . Pero, utilizando la regularidad externa, se puede demostrar que el segmento tiene medida infinita). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

La existencia y unicidad (hasta el escalado) de una medida de Haar por la izquierda fue demostrada por primera vez en su totalidad por André Weil . ^[4] La prueba de Weil utilizó el axioma de elección y Henri Cartan proporcionó una prueba que evitó su uso. ^{[5] La prueba de Cartan también establece la existencia y la unicidad simultáneamente.} Alfsen dio una explicación simplificada y completa del argumento de Cartan en 1963. ^[6] El caso especial de medida invariante para grupos localmente compactos de segundo orden contable había sido demostrado por Haar en 1933. ^[1]

Ejemplos

• Si es un grupo discreto , entonces los subconjuntos compactos coinciden con los subconjuntos finitos, y una medida de Haar (invariante a la izquierda y a la derecha) en es la medida de conteo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• La medida de Haar en el grupo topológico que toma el valor en el intervalo es igual a la restricción de la medida de Lebesgue a los subconjuntos de Borel de . Esto se puede generalizar a ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Para definir una medida de Haar en el grupo de círculos , considere la función de sobre definida por . Entonces puede definirse por donde es la medida de Lebesgue en . El factor se elige de modo que . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$ ${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$
• Si es el grupo de números reales positivos bajo multiplicación, entonces una medida de Haar está dada por para cualquier subconjunto de Borel de números reales positivos. Por ejemplo, si se toma como un intervalo , entonces encontramos . Ahora dejamos que el grupo multiplicativo actúe sobre este intervalo mediante una multiplicación de todos sus elementos por un número , lo que da como resultado que es el intervalo. Al medir este nuevo intervalo, encontramos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gS}$ ${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Si es el grupo de números reales distintos de cero con la multiplicación como operación, entonces una medida de Haar está dada por para cualquier subconjunto de Borel de los reales distintos de cero. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$$ ${\displaystyle S}$
• Para el grupo lineal general , cualquier medida de Haar izquierda es una medida de Haar derecha y una de esas medidas está dada por donde denota la medida de Lebesgue en identificada con el conjunto de todas las matrices . Esto se desprende de la fórmula de cambio de variables . ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$$ ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Generalizando los tres ejemplos anteriores, si el grupo se representa como una subvariedad abierta de con operaciones de grupo suaves , entonces una medida de Haar izquierda en viene dada por , donde es el elemento identidad del grupo de , es el determinante jacobiano de la multiplicación izquierda por en , y es la medida de Lebesgue en . Esto se desprende de la fórmula de cambio de variables . Una medida de Haar derecha se da de la misma manera, excepto que con es el jacobiano de la multiplicación derecha por . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle d^{n}x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$
• Para el grupo ortogonal , su medida de Haar se puede construir de la siguiente manera (como la distribución de una variable aleatoria). Primero, se toma una muestra , es decir, una matriz con todas las entradas que son muestras IID de la distribución normal con media cero y varianza uno. A continuación, se utiliza el proceso de Gram-Schmidt en la matriz; la variable aleatoria resultante toma valores en y se distribuye de acuerdo con la medida de Haar de probabilidad en ese grupo. ^[7] Dado que el grupo ortogonal especial es un subgrupo abierto de la restricción de la medida de Haar de a da una medida de Haar en (en términos de variables aleatorias, esto significa condicionar el determinante para que sea 1, un evento de probabilidad 1/2). ${\displaystyle G=O(n)}$ ${\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$
• El mismo método que para se puede utilizar para construir la medida de Haar en el grupo unitario . Para el grupo unitario especial (que tiene medida 0 en ), su medida de Haar se puede construir de la siguiente manera. Primero, se toma una muestra de la medida de Haar (normalizada a uno, de modo que sea una distribución de probabilidad) en , y sea , donde puede ser cualquiera de los ángulos, luego se toma una muestra independientemente de la distribución uniforme en . Luego se distribuye como la medida de Haar en . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }=\det A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,...,n\}}$ ${\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• Sea el conjunto de todas las transformaciones lineales afines de la forma para algún fijo con Asociar con la operación de composición de funciones , que se convierte en un grupo no abeliano. se puede identificar con el semiplano derecho bajo el cual la operación de grupo se convierte en Una medida de Haar invariante a la izquierda (respectivamente, una medida de Haar invariante a la derecha ) en está dada por y para cualquier subconjunto de Borel de Esto se debe a que si es un subconjunto abierto, entonces para fijo, la integración por sustitución da mientras que para fijo, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\mapsto xr+y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x>0.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$ ${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{R}}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$$          $${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (s,t)\in G}$ $${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$$ ${\displaystyle (u,v)\in G}$ $${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$$
• En cualquier grupo de Lie de dimensión, una medida de Haar izquierda puede asociarse con cualquier forma invariante por la izquierda distinta de cero , como la medida de Lebesgue ; y lo mismo ocurre con las medidas de Haar derechas. Esto significa también que la función modular puede calcularse como el valor absoluto del determinante de la representación adjunta . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

• 

  El área sombreada es una unidad cuadrada.

  Una representación de la medida de Haar de números reales positivos en términos de área bajo la rama positiva de la hipérbola estándar xy = 1 utiliza conjuntos de Borel generados por intervalos [ a,b ], b > a > 0. Por ejemplo, a = 1 y b = el número de Euler e produce un área igual a log (e/1) = 1. Entonces, para cualquier número real positivo c, el área sobre el intervalo [ ca, cb ] es igual a log ( b / a ) por lo que el área es invariante bajo la multiplicación por números reales positivos. Nótese que el área se acerca al infinito tanto cuando a se acerca a cero como cuando b se hace grande. El uso de esta medida de Haar para definir una función logarítmica ancla a en 1 y considera el área sobre un intervalo en [b,1], con 0 < b < 1, como área negativa . De esta manera, el logaritmo puede tomar cualquier valor real aunque la medida sea siempre positiva o cero.

• Si es el grupo de cuaterniones distintos de cero , entonces puede verse como un subconjunto abierto de . Una medida de Haar está dada por donde denota la medida de Lebesgue en y es un subconjunto de Borel de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$$ ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$
• Si es el grupo aditivo de números -ádicos para un primo , entonces una medida de Haar se da dejando medida , donde es el anillo de números enteros -ádicos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a+p^{n}O}$ ${\displaystyle p^{-n}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle p}$

Construcción de la medida de Haar

Una construcción que utiliza subconjuntos compactos

El siguiente método de construcción de la medida de Haar es esencialmente el método utilizado por Haar y Weil.

Para cualquier subconjunto con no vacío, se define como el número más pequeño de traslaciones izquierdas de esa cubierta (por lo que este es un entero no negativo o infinito). Esto no es aditivo en conjuntos compactos , aunque tiene la propiedad de que para conjuntos compactos disjuntos siempre que sea un vecindario abierto suficientemente pequeño de la identidad (dependiendo de y ). La idea de la medida de Haar es tomar una especie de límite de a medida que se hace más pequeño para hacerlo aditivo en todos los pares de conjuntos compactos disjuntos, aunque primero debe normalizarse para que el límite no sea simplemente infinito. Por lo tanto, fije un conjunto compacto con interior no vacío (que existe ya que el grupo es localmente compacto) y para un conjunto compacto defina ${\displaystyle S,T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [T:S]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K\subseteq G}$ ${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$ ${\displaystyle K,L\subseteq G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

donde el límite se toma sobre un conjunto dirigido adecuado de vecindarios abiertos de la identidad eventualmente contenidos en cualquier vecindario dado; la existencia de un conjunto dirigido tal que el límite existe se deduce utilizando el teorema de Tichonoff .

La función es aditiva en subconjuntos compactos disjuntos de , lo que implica que es un contenido regular . A partir de un contenido regular se puede construir una medida extendiéndola primero a conjuntos abiertos por regularidad interna, luego a todos los conjuntos por regularidad externa y luego restringiéndola a los conjuntos de Borel. (Incluso para los conjuntos abiertos , la medida correspondiente no necesita estar dada por la fórmula lim sup anterior. El problema es que la función dada por la fórmula lim sup no es subaditiva numerablemente en general y en particular es infinita en cualquier conjunto sin clausura compacta, por lo que no es una medida externa). ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

Una construcción que utiliza funciones soportadas de forma compacta

Cartan introdujo otra forma de construir la medida de Haar como una medida de Radon (una función lineal positiva sobre funciones continuas con soporte compacto), que es similar a la construcción anterior excepto que , , y son funciones continuas positivas con soporte compacto en lugar de subconjuntos de . En este caso definimos como el ínfimo de números tales que es menor que la combinación lineal de las traslaciones izquierdas de para algún . Como antes definimos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$ ${\displaystyle K(g)}$ ${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

El hecho de que el límite exista requiere cierto esfuerzo para demostrarlo, aunque la ventaja de hacerlo es que la prueba evita el uso del axioma de elección y también proporciona la unicidad de la medida de Haar como subproducto. El funcional se extiende a un funcional lineal positivo en funciones continuas con soporte compacto y, por lo tanto, proporciona una medida de Haar. (Tenga en cuenta que, aunque el límite es lineal en , los términos individuales no suelen ser lineales en ). ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle K}$

Una construcción que utiliza valores medios de funciones

Von Neumann dio un método para construir la medida de Haar usando valores medios de funciones, aunque sólo funciona para grupos compactos. La idea es que dada una función en un grupo compacto, se puede encontrar una combinación convexa (donde ) de sus traslaciones izquierdas que difiere de una función constante en, como máximo, algún pequeño número . Luego se muestra que a medida que tiende a cero, los valores de estas funciones constantes tienden a un límite, que se llama valor medio (o integral) de la función . ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$ ${\textstyle \sum a_{i}=1}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

Para los grupos que son localmente compactos pero no compactos, esta construcción no proporciona la medida de Haar, ya que el valor medio de las funciones con soporte compacto es cero. Sin embargo, algo como esto funciona para funciones casi periódicas en el grupo que sí tienen un valor medio, aunque este no se proporciona con respecto a la medida de Haar.

Una construcción sobre los grupos de Lie

En un grupo de Lie de dimensión n , la medida de Haar se puede construir fácilmente como la medida inducida por una forma n invariante por la izquierda . Esto se conocía antes del teorema de Haar.

La medida Haar correcta

También se puede demostrar que existe una única medida de Borel invariante en traslación a la derecha (hasta la multiplicación por una constante positiva) que satisface las condiciones de regularidad anteriores y es finita en conjuntos compactos, pero no necesita coincidir con la medida invariante en traslación a la izquierda . Las medidas de Haar izquierda y derecha son las mismas solo para los llamados grupos unimodulares (ver más abajo). Sin embargo, es bastante simple encontrar una relación entre y . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

En efecto, para un conjunto de Borel , denotemos por el conjunto de inversos de elementos de . Si definimos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

Entonces, esta es una medida de Haar correcta. Para demostrar la invariancia correcta, aplique la definición:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Como la medida correcta es única, se deduce que es un múltiplo de y por lo tanto ${\displaystyle \mu _{-1}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

para todos los conjuntos de Borel , donde es una constante positiva. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

La función modular

La traducción a la izquierda de una medida de Haar derecha es una medida de Haar derecha. Más precisamente, si es una medida de Haar derecha, entonces para cualquier elección fija de un elemento de grupo g , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

es también invariante por la derecha. Así, por unicidad hasta un factor de escala constante de la medida de Haar, existe una función del grupo de los reales positivos, llamada módulo de Haar , función modular o carácter modular , tal que para cada conjunto de Borel ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Dado que la medida de Haar correcta está bien definida hasta un factor de escala positivo, esta ecuación muestra que la función modular es independiente de la elección de la medida de Haar correcta en la ecuación anterior.

La función modular es un homomorfismo de grupo continuo de G al grupo multiplicativo de números reales positivos . Un grupo se llama unimodular si la función modular es idéntica o, equivalentemente, si la medida de Haar es invariante tanto por la izquierda como por la derecha. Ejemplos de grupos unimodulares son los grupos abelianos , los grupos compactos , los grupos discretos (por ejemplo, los grupos finitos ), los grupos de Lie semisimples y los grupos de Lie nilpotentes conexos . ^{[ cita requerida ]} Un ejemplo de un grupo no unimodular es el grupo de transformaciones afines ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

en la recta real. Este ejemplo muestra que un grupo de Lie resoluble no necesita ser unimodular. En este grupo, una medida de Haar izquierda está dada por , y una medida de Haar derecha por . ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$

Medidas sobre espacios homogéneos

Si el grupo localmente compacto actúa transitivamente sobre un espacio homogéneo , se puede preguntar si este espacio tiene una medida invariante, o más generalmente una medida semi-invariante con la propiedad de que para algún carácter de . Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal medida es que la restricción sea igual a , donde y son las funciones modulares de y respectivamente. ^[8] En particular, existe una medida invariante sobre si y solo si la función modular de restringida a es la función modular de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi |_{H}}$ ${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle H}$

Ejemplo

Si es el grupo y es el subgrupo de matrices triangulares superiores, entonces la función modular de no es trivial pero la función modular de es trivial. El cociente de estos no se puede extender a ningún carácter de , por lo que el espacio cociente (que puede considerarse como un espacio proyectivo real unidimensional ) no tiene ni siquiera una medida semiinvariante. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Integral de pelo

Utilizando la teoría general de la integración de Lebesgue , se puede definir una integral para todas las funciones medibles de Borel en . Esta integral se denomina integral de Haar y se denota como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

¿Dónde está la medida de Haar? ${\displaystyle \mu }$

Una propiedad de una medida de Haar izquierda es que, siendo un elemento de , lo siguiente es válido: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

para cualquier función integrable de Haar en . Esto es inmediato para las funciones indicadoras : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}$

que es esencialmente la definición de invariancia por la izquierda.

Usos

En el mismo número de Annals of Mathematics e inmediatamente después del artículo de Haar, el teorema de Haar fue utilizado para resolver el quinto problema de Hilbert restringido a grupos compactos por John von Neumann . ^[9]

A menos que sea un grupo discreto, es imposible definir una medida regular invariante por la izquierda, aditiva y contable en todos los subconjuntos de , asumiendo el axioma de elección , de acuerdo con la teoría de conjuntos no medibles . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Análisis armónico abstracto

Las medidas de Haar se utilizan en el análisis armónico en grupos localmente compactos, particularmente en la teoría de la dualidad de Pontryagin . ^{[10] [11] [12]} Para demostrar la existencia de una medida de Haar en un grupo localmente compacto es suficiente exhibir una medida de Radon invariante a la izquierda en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Estadística matemática

En estadística matemática, las medidas de Haar se utilizan para medidas previas, que son probabilidades previas para grupos compactos de transformaciones. Estas medidas previas se utilizan para construir procedimientos admisibles , apelando a la caracterización de procedimientos admisibles como procedimientos bayesianos (o límites de procedimientos bayesianos) por Wald . Por ejemplo, una medida de Haar derecha para una familia de distribuciones con un parámetro de ubicación da como resultado el estimador de Pitman , que es mejor equivariante . Cuando las medidas de Haar izquierda y derecha difieren, la medida derecha suele preferirse como distribución previa. Para el grupo de transformaciones afines en el espacio de parámetros de la distribución normal, la medida de Haar derecha es la medida previa de Jeffreys . ^[13] Desafortunadamente, incluso las medidas de Haar derechas a veces dan como resultado anteriores inútiles, que no se pueden recomendar para uso práctico, al igual que otros métodos de construcción de medidas anteriores que evitan la información subjetiva. ^[14]

Otro uso de la medida de Haar en estadística es en la inferencia condicional , en la que la distribución de muestreo de una estadística está condicionada a otra estadística de los datos. En la inferencia condicional basada en la teoría de invariantes, la distribución de muestreo está condicionada a un invariante del grupo de transformaciones (con respecto al cual se define la medida de Haar). El resultado del condicionamiento a veces depende del orden en el que se utilizan los invariantes y de la elección de un invariante máximo, de modo que, por sí solo, un principio estadístico de invariancia no logra seleccionar ninguna estadística condicional única óptima (si es que existe alguna); se necesita al menos otro principio.

Para los grupos no compactos, los estadísticos han ampliado los resultados de la medida de Haar utilizando grupos susceptibles . ^[15]

Teorema inverso de Weil

En 1936, André Weil demostró una especie de inversa al teorema de Haar, al mostrar que si un grupo tiene una medida invariante por la izquierda con una cierta propiedad de separación , ^[3] entonces se puede definir una topología en el grupo, y la completitud del grupo es localmente compacta y la medida dada es esencialmente la misma que la medida de Haar en esta completitud.

Véase también

• Medida invariante
• Dualidad de Pontryagin
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani

Notas

1. Haar, A. (1933), "Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen", Annals of Mathematics , 2, vol. 34, núm. 1, págs. 147–169, doi :10.2307/1968346, JSTOR  1968346
2. IM James, Historia de la topología, p.186
3. Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . Nueva York: Springer Science+Business Media. pág. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6.
4. Weil, André (1940), L'intégration dans les groupes topologiques et ses apps , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, París: Hermann
5. Cartan, Henri (1940), "Sur la mesure de Haar", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762
6. Alfsen, EM (1963), "Una prueba constructiva simplificada de la existencia y unicidad de la medida de Haar", Math. Scand. , 12 : 106–116
7. Diaconis, Persi (12 de febrero de 2003). "Patrones en valores propios: la 70.ª conferencia de Josiah Willard Gibbs". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 40 (2): 155–178. doi : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN  0273-0979.
8. Bourbaki, Nicolas (2004), Integración II Cap. 7 § 6 Teorema 3 , Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer
9. von Neumann, J. (1933), "Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen", Annals of Mathematics , 2, vol. 34, núm. 1, págs. 170–179, doi :10.2307/1968347, JSTOR  1968347
10. Banaszczyk, Wojciech (1991). Subgrupos aditivos de espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1466. Berlín: Springer-Verlag. págs. viii+178. ISBN 3-540-53917-4.Señor 1119302  .
11. Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Kharkov (Kharkiv), Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.
12. Charles F. Dunkl y Donald E. Ramirez: Temas de análisis armónico . Appleton-Century-Crofts. 1971. ISBN 039027819X.
13. Berger, James O. (1985), "6 Invariance", Teoría de la decisión estadística y análisis bayesiano (segunda edición), Springer Verlag, págs. 388-432
14. Robert, Christian P (2001). La elección bayesiana: una motivación basada en la teoría de la decisión (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-94296-3.
15. Bondar, James V.; Milnes, Paul (1981). "Amenabilidad: una encuesta para aplicaciones estadísticas de Hunt-Stein y condiciones relacionadas en grupos". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 57 : 103-128. doi : 10.1007/BF00533716 .

Lectura adicional

• Diestel, Joe ; Spalsbury, Angela (2014), Los placeres de la medida de Haar , Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 150, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-0935-7, Sr.  3186070
• Loomis, Lynn (1953), Introducción al análisis armónico abstracto , D. van Nostrand and Co., hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Análisis armónico abstracto. vol. I: Estructura de grupos topológicos. Teoría de la integración, representaciones grupales. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 115, Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR  0156915
• Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral , Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand
• André Weil , Teoría básica de números , Academic Press, 1971.

Enlaces externos

• La existencia y unicidad de la integral de Haar en un grupo topológico localmente compacto - por Gert K. Pedersen
• Sobre la existencia y unicidad de medidas invariantes en grupos localmente compactos - por Simon Rubinstein-Salzedo