Del

Operador diferencial vectorial

Operador del,
representado por
el símbolo nabla

Del , o nabla , es un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial ) como operador diferencial vectorial , usualmente representado por el símbolo nabla ∇ . Cuando se aplica a una función definida en un dominio unidimensional , denota la derivada estándar de la función tal como se define en cálculo . Cuando se aplica a un cuerpo (una función definida en un dominio multidimensional), puede denotar cualquiera de tres operaciones dependiendo de la forma en que se aplique: el gradiente o la pendiente más pronunciada (localmente) de un cuerpo escalar (o algunas veces de un cuerpo vectorial , como en las ecuaciones de Navier-Stokes ); la divergencia de un cuerpo vectorial; o el rizo (rotación) de un cuerpo vectorial.

Del es una notación matemática muy conveniente para esas tres operaciones (gradiente, divergencia y rotacional) que hace que muchas ecuaciones sean más fáciles de escribir y recordar. El símbolo del (o nabla) puede definirse formalmente como un operador vectorial cuyos componentes son los operadores de derivadas parciales correspondientes . Como operador vectorial, puede actuar sobre campos escalares y vectoriales de tres maneras diferentes, dando lugar a tres operaciones diferenciales diferentes: primero, puede actuar sobre campos escalares mediante una multiplicación escalar formal, para dar un campo vectorial llamado gradiente; segundo, puede actuar sobre campos vectoriales mediante un producto escalar formal , para dar un campo escalar llamado divergencia; y, por último, puede actuar sobre campos vectoriales mediante un producto vectorial formal , para dar un campo vectorial llamado rotacional. Estos productos formales no necesariamente conmutan con otros operadores o productos. Estos tres usos, detallados a continuación, se resumen como:

• Gradiente: ${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Divergencia: ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• Rizo: ${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

Definición

En el sistema de coordenadas cartesianas con coordenadas y base estándar , del es un operador vectorial cuyos componentes son los operadores de derivadas parciales ; es decir, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

Donde la expresión entre paréntesis es un vector fila. En un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional con coordenadas y base estándar o vectores unitarios de ejes , del se escribe como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Como operador vectorial, del actúa naturalmente sobre campos escalares a través de la multiplicación escalar, y actúa naturalmente sobre campos vectoriales a través de productos escalares y productos vectoriales.

Más específicamente, para cualquier campo escalar y cualquier campo vectorial , si se define ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

Luego, utilizando la definición anterior de , se puede escribir ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

y

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del también se puede expresar en otros sistemas de coordenadas, véase por ejemplo del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Usos notatorios

Del se utiliza como forma abreviada para simplificar muchas expresiones matemáticas largas. Se utiliza más comúnmente para simplificar expresiones para gradiente , divergencia , rizo , derivada direccional y laplaciano .

Gradiente

La derivada vectorial de un campo escalar se llama gradiente y se puede representar como: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f}$

Siempre apunta en la dirección del mayor incremento de , y tiene una magnitud igual a la tasa máxima de incremento en el punto, al igual que una derivada estándar. En particular, si una colina se define como una función de altura sobre un plano , el gradiente en una ubicación dada será un vector en el plano xy (visualizable como una flecha en un mapa) que apunta a lo largo de la dirección más empinada. La magnitud del gradiente es el valor de esta pendiente más empinada. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(x,y)}$

En particular, esta notación es poderosa porque la regla del producto de gradiente se parece mucho al caso de la derivada 1d:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Sin embargo, las reglas para los productos escalares no resultan sencillas, como lo ilustra:

${\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar que se puede representar como: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} }$

La divergencia es aproximadamente una medida del aumento de un campo vectorial en la dirección en la que apunta; pero, más precisamente, es una medida de la tendencia de ese campo a converger hacia un punto o diverger desde un punto.

La potencia de la notación del se muestra mediante la siguiente regla del producto:

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )}$

La fórmula para el producto vectorial es ligeramente menos intuitiva, porque este producto no es conmutativo:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )}$

Rizo

El rizo de un campo vectorial es una función vectorial que se puede representar como: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

El rizo en un punto es proporcional al par sobre el eje al que estaría sometido un pequeño molinillo si estuviera centrado en ese punto.

La operación del producto vectorial se puede visualizar como un pseudodeterminante :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

Nuevamente el poder de la notación se muestra mediante la regla del producto:

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )}$

La regla del producto vectorial no resulta sencilla:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }$

Derivada direccional

La derivada direccional de un campo escalar en la dirección se define como: ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )f=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+a_{x}h,y+a_{y}h+z+a_{z}h)-f(x,y,z)}{h}}.}$

Lo cual es igual a lo siguiente cuando existe el gradiente

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)}$

Esto da la tasa de cambio de un campo en la dirección de , escalada por la magnitud de . En la notación de operadores, el elemento entre paréntesis puede considerarse una unidad coherente única; la dinámica de fluidos utiliza esta convención ampliamente, denominándola derivada convectiva , la derivada "móvil" del fluido. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Tenga en cuenta que es un operador que convierte un escalar en un escalar. Se puede ampliar para operar sobre un vector, operando por separado sobre cada uno de sus componentes. ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )}$

Laplaciano

El operador de Laplace es un operador escalar que se puede aplicar a campos vectoriales o escalares; para sistemas de coordenadas cartesianas se define como:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

y la definición para sistemas de coordenadas más generales se da en vector Laplaciano .

El laplaciano es omnipresente en toda la física matemática moderna , y aparece, por ejemplo, en la ecuación de Laplace , la ecuación de Poisson , la ecuación del calor , la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger .

Matriz de Hesse

Si bien normalmente representa la matriz laplaciana , a veces también representa la matriz hessiana . La primera se refiere al producto interno de , mientras que la segunda se refiere al producto diádico de : ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Por lo tanto, si se refiere a una matriz laplaciana o hessiana depende del contexto. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Derivada tensorial

Del también se puede aplicar a un campo vectorial y el resultado es un tensor . La derivada tensorial de un campo vectorial (en tres dimensiones) es un tensor de segundo rango de 9 términos, es decir, una matriz de 3×3, pero se puede denotar simplemente como , donde representa el producto diádico . Esta cantidad es equivalente a la transpuesta de la matriz jacobiana del campo vectorial con respecto al espacio. La divergencia del campo vectorial se puede expresar entonces como la traza de esta matriz. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \otimes }$

Para un desplazamiento pequeño , el cambio en el campo vectorial viene dado por: ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r} }$

Normas del producto

Para el cálculo vectorial :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Para el cálculo matricial (para el cual se puede escribir ): ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

Otra relación de interés (ver por ejemplo las ecuaciones de Euler ) es la siguiente, donde es el tensor del producto externo : ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Segundas derivadas

Diagrama DCG: un diagrama simple que representa todas las reglas relativas a las derivadas secundarias. D, C, G, L y CC representan divergencia, rizo, gradiente, laplaciano y rizo de rizo, respectivamente. Las flechas indican la existencia de derivadas secundarias. El círculo azul en el medio representa el rizo de rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (discontinuos) significan que DD y GG no existen.

Cuando del opera sobre un escalar o un vector, se devuelve un escalar o un vector. Debido a la diversidad de productos vectoriales (escalar, punto, cruz), una aplicación de del ya da lugar a tres derivadas principales: el gradiente (producto escalar), la divergencia (producto punto) y el rizo (producto cruz). La aplicación de estos tres tipos de derivadas nuevamente entre sí da cinco posibles segundas derivadas, para un campo escalar f o un campo vectorial v ; el uso del laplaciano escalar y el laplaciano vectorial da dos más:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Estos son de interés principalmente porque no siempre son únicos o independientes entre sí. Mientras las funciones se comporten bien ( en la mayoría de los casos), dos de ellas siempre son cero: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

Dos de ellos son siempre iguales:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Las tres derivadas vectoriales restantes están relacionadas por la ecuación:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

Y uno de ellos puede incluso expresarse con el producto tensorial, si las funciones se comportan bien:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

Precauciones

La mayoría de las propiedades vectoriales anteriores (excepto aquellas que dependen explícitamente de las propiedades diferenciales de del, por ejemplo, la regla del producto) dependen únicamente de la reorganización de símbolos y deben cumplirse necesariamente si el símbolo del se reemplaza por cualquier otro vector. Esto es parte del valor que se obtiene al representar este operador mediante notación como un vector.

Aunque a menudo se puede reemplazar del con un vector y obtener una identidad vectorial, haciendo que esas identidades sean mnemotécnicas, lo inverso no es necesariamente confiable, porque del no conmuta en general.

Un contraejemplo que demuestra que la divergencia ( ) y el operador de advección ( ) no son conmutativos: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Un contraejemplo que se basa en las propiedades diferenciales de del:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Un aspecto central de estas distinciones es el hecho de que del no es simplemente un vector, sino un operador vectorial . Mientras que un vector es un objeto con magnitud y dirección, del no tiene magnitud ni dirección hasta que opera sobre una función.

Por esa razón, las identidades que involucran del deben derivarse con cuidado, utilizando tanto identidades vectoriales como identidades de diferenciación como la regla del producto.

Véase también

• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Notación para diferenciación
• Identidades del cálculo vectorial
• Ecuaciones de Maxwell
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Tabla de símbolos matemáticos
• Operador de Quabla

Referencias

• Willard Gibbs y Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial , Yale University Press , 1960: Dover Publications .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . Nueva York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Miller, Jeff. "Los primeros usos de los símbolos del cálculo".
• Arnold Neumaier (26 de enero de 1998). Cleve Moler (ed.). "Historia de Nabla". NA Digest, volumen 98, número 03. netlib.org.

Enlaces externos

• Un estudio sobre el uso inadecuado de ∇ en el análisis vectorial (1994) Tai, Chen