Filtración (matemáticas)

Conjunto indexado en matemáticas

En matemáticas , una filtración es una familia indexada de subobjetos de una estructura algebraica dada , con el índice que recorre un conjunto de índices totalmente ordenado , sujeto a la condición de que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

Si en , entonces . ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$

Si el índice es el parámetro temporal de algún proceso estocástico , entonces la filtración puede interpretarse como la representación de toda la información histórica pero no futura disponible sobre el proceso estocástico, y la estructura algebraica gana en complejidad con el tiempo. Por lo tanto, un proceso que se adapta a una filtración también se denomina no anticipador , porque no puede "ver el futuro". ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

A veces, como en un álgebra filtrada , existe en cambio el requisito de que sean subálgebras con respecto a algunas operaciones (por ejemplo, suma de vectores ), pero no con respecto a otras operaciones (por ejemplo, multiplicación) que satisfacen sólo , donde el conjunto índice son los números naturales ; esto es por analogía con un álgebra graduada . ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_{i+j}}$

En ocasiones, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión de sea el todo o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) de que el homomorfismo canónico del límite directo de sea un isomorfismo . El que se asuma o no este requisito suele depender del autor del texto y, a menudo, se indica explícitamente. Este artículo no impone este requisito. ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$

También existe la noción de filtración descendente , que se requiere para satisfacer en lugar de (y, ocasionalmente, en lugar de ). Nuevamente, depende del contexto cómo debe entenderse exactamente la palabra "filtración". Las filtraciones descendentes no deben confundirse con la noción dual de cofiltraciones (que consisten en objetos cocientes en lugar de subobjetos ). ${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}$

Las filtraciones se utilizan ampliamente en álgebra abstracta , álgebra homológica (donde se relacionan de manera importante con las secuencias espectrales ) y en teoría de la medida y teoría de la probabilidad para secuencias anidadas de σ-álgebras . En análisis funcional y análisis numérico , se suele utilizar otra terminología, como escala de espacios o espacios anidados.

Ejemplos

Conjuntos

Secuencia de Farey

Álgebra

Álgebras

Ver: Álgebra filtrada

Grupos

En álgebra, las filtraciones se indexan habitualmente por , el conjunto de números naturales. Una filtración de un grupo , es entonces una secuencia anidada de subgrupos normales de (es decir, para cualquier tenemos ). Nótese que este uso de la palabra "filtración" corresponde a nuestra "filtración descendente". ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G_{n+1}\subseteq G_{n}}$

Dado un grupo y una filtración , existe una forma natural de definir una topología en , que se dice que está asociada a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todas las clases laterales de los subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma , donde y es un número natural. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aG_{n}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle n}$

La topología asociada a una filtración sobre un grupo la convierte en un grupo topológico . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La topología asociada a una filtración en un grupo es de Hausdorff si y sólo si . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \bigcap G_{n}=\{1\}}$

Si se definen dos filtraciones y en un grupo , entonces la función identidad de a , donde a la primera copia de se le da la -topología y a la segunda la -topología, es continua si y solo si para cualquier hay un tal que , es decir, si y solo si la función identidad es continua en 1. En particular, las dos filtraciones definen la misma topología si y solo si para cualquier subgrupo que aparece en una hay uno más pequeño o igual que aparece en la otra. ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G'_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G'_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G_{m}\subseteq G'_{n}}$

Anillos y módulos: filtraciones descendentes

Dado un anillo y un módulo , una filtración descendente de es una secuencia decreciente de submódulos . Por lo tanto, se trata de un caso especial de la noción de grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define como para grupos. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{n}}$

Un caso especial importante se conoce como topología -ádica ( o -ádica, etc.): Sea un anillo conmutativo , y un ideal de . Dado un -módulo , la secuencia de submódulos de forma una filtración de (la filtración -ádica ). La topología -ádica en es entonces la topología asociada a esta filtración. Si es simplemente el anillo en sí, hemos definido la topología -ádica en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I^{n}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Cuando se da la topología -ádica, se convierte en un anillo topológico . Si a un -módulo se le da la topología -ádica, se convierte en un -módulo topológico , en relación con la topología dada en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Anillos y módulos: filtraciones ascendentes

Dado un anillo y un módulo , una filtración ascendente de es una secuencia creciente de submódulos . En particular, si es un cuerpo, entonces una filtración ascendente del espacio vectorial es una secuencia creciente de subespacios vectoriales de . Las banderas son una clase importante de dichas filtraciones. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Conjuntos

Una filtración máxima de un conjunto es equivalente a una ordenación (una permutación ) del conjunto. Por ejemplo, la filtración corresponde a la ordenación . Desde el punto de vista del cuerpo con un elemento , una ordenación en un conjunto corresponde a una bandera máxima (una filtración en un espacio vectorial), considerando un conjunto como un espacio vectorial sobre el cuerpo con un elemento. ${\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Teoría de la medida

En la teoría de la medida , en particular en la teoría de la martingala y la teoría de los procesos estocásticos , una filtración es una secuencia creciente de -álgebras en un espacio medible . Es decir, dado un espacio medible , una filtración es una secuencia de -álgebras con donde cada una es un número real no negativo y ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.}$

El rango exacto de los "tiempos" generalmente dependerá del contexto: el conjunto de valores para puede ser discreto o continuo, acotado o ilimitado. Por ejemplo, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ or }}[0,+\infty ).}$

De manera similar, un espacio de probabilidad filtrado (también conocido como base estocástica ) es un espacio de probabilidad equipado con la filtración de su álgebra . Se dice que un espacio de probabilidad filtrado satisface las condiciones habituales si es completo (es decir, contiene todos los conjuntos nulos ) y continuo por la derecha (es decir, para todos los tiempos ). ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}}$ ${\displaystyle t}$

También es útil (en el caso de un conjunto de índices ilimitados) definir como el -álgebra generada por la unión infinita de los 's, que está contenida en : ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal {F}}.}$

Una σ -álgebra define el conjunto de eventos que se pueden medir, lo que en un contexto de probabilidad es equivalente a eventos que se pueden discriminar, o "preguntas que se pueden responder en el momento ". Por lo tanto, a menudo se utiliza una filtración para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, a través de la ganancia o pérdida de información . Un ejemplo típico es en finanzas matemáticas , donde una filtración representa la información disponible hasta cada momento inclusive , y es cada vez más precisa (el conjunto de eventos mensurables se mantiene igual o aumenta) a medida que se dispone de más información sobre la evolución del precio de las acciones. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Relación con los tiempos de parada: álgebras sigma de tiempos de parada

Sea un espacio de probabilidad filtrado. Una variable aleatoria es un tiempo de parada con respecto a la filtración , si para todo . El álgebra del tiempo de parada se define ahora como ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {F}}\vert \forall t\geq 0\colon A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\}}$.

No es difícil demostrar que es de hecho un -álgebra . El conjunto codifica información hasta el tiempo aleatorio en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede encontrar sobre él al repetir arbitrariamente el experimento hasta el tiempo aleatorio es . ^[5] En particular, si el espacio de probabilidad subyacente es finito (es decir, es finito), los conjuntos mínimos de (con respecto a la inclusión de conjuntos) están dados por la unión sobre todos los conjuntos de conjuntos mínimos de que se encuentran en . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \{\tau =t\}}$

Se puede demostrar que es -medible. Sin embargo, ejemplos simples ^[5] muestran que, en general, . Si y son tiempos de parada en , y casi con seguridad , entonces ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau _{1}\leq \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.}$

Véase también

• Filtración natural
• Filtración (teoría de la probabilidad)
• Filtro (matemáticas)

Referencias

1. Björk, Thomas (2005). "Apéndice B". Teoría del arbitraje en tiempo continuo . ISBN 978-0-19-927126-9.
2. Péter Medvegyev (enero de 2009). «Procesos estocásticos: una introducción muy sencilla» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de abril de 2015. Consultado el 25 de junio de 2012 .
3. Claude Dellacherie (1979). Probabilidades y potencial . Elsevier. ISBN 9780720407013.
4. George Lowther (8 de noviembre de 2009). «Filtraciones y procesos adaptados» . Consultado el 25 de junio de 2012 .
5. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Statistics and Probability Letters . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.