Filtros en topología

Use of filters to describe and characterize all basic topological notions and results.

El conjunto de potencias del conjunto con el conjunto superior coloreado de verde oscuro. Es un filtro , e incluso un filtro principal . No es un ultrafiltro , ya que se puede ampliar al filtro propio más grande incluyendo también los elementos de color verde claro. Como no se puede ampliar más, es un ultrafiltro. ${\displaystyle X:=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle \{1,4\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$

Los filtros en topología , un subcampo de las matemáticas , se pueden utilizar para estudiar espacios topológicos y definir todas las nociones topológicas básicas, como convergencia , continuidad , compacidad y más. Los filtros , que son familias especiales de subconjuntos de un conjunto dado, también proporcionan un marco común para definir varios tipos de límites de funciones, como límites de izquierda/derecha, hasta el infinito, hasta un punto o un conjunto, y muchos otros. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades técnicas útiles y a menudo se pueden utilizar en lugar de filtros arbitrarios.

Los filtros tienen generalizaciones llamadas prefiltros (también conocidos como bases de filtro ) y subbases de filtro , todas las cuales aparecen de forma natural y repetida a lo largo de la topología. Los ejemplos incluyen filtros de vecindad / bases / subbases y uniformidades . Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtro. Cada prefiltro y subbase de filtro está contenido en un filtro más pequeño único, que se dice que generan . Esto establece una relación entre filtros y prefiltros que a menudo puede explotarse para permitir que uno use cualquiera de estas dos nociones que sea técnicamente más conveniente. Hay un cierto preorden en las familias de conjuntos, denotado por que ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro, etc.) puede o no usarse en lugar de otra. La importancia de este preorden se amplifica por el hecho de que también define la noción de convergencia de filtro, donde por definición, un filtro (o prefiltro) converge a un punto si y solo si donde es el filtro de vecindad de ese punto . En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos relacionados con la convergencia, como los puntos de agrupamiento y los límites de funciones. Además, la relación que denota y se expresa diciendo que es subordinada a también establece una relación en la que es a como una subsecuencia es a una secuencia (es decir, la relación que se llama subordinación , es para los filtros el análogo de "es una subsecuencia de"). ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \geq ,}$

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 ^[1] y posteriormente utilizados por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de una red desarrollada en 1922 por EH Moore y HL Smith . Los filtros también se pueden utilizar para caracterizar las nociones de convergencia de secuencia y red . Pero a diferencia de ^{[nota 1]} la convergencia de secuencia y red, la convergencia de filtro se define completamente en términos de subconjuntos del espacio topológico y, por lo tanto, proporciona una noción de convergencia que es completamente intrínseca al espacio topológico; de hecho, la categoría de espacios topológicos se puede definir de manera equivalente completamente en términos de filtros . Cada red induce un filtro canónico y dualmente, cada filtro induce una red canónica, donde esta red inducida (resp. filtro inducido) converge a un punto si y solo si lo mismo es cierto del filtro original (resp. red). Esta caracterización también es válida para muchas otras definiciones, como puntos de clúster. Estas relaciones permiten cambiar entre filtros y redes y, a menudo, también permiten elegir la noción de filtro o red que sea más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, suponiendo que " subred " se defina utilizando cualquiera de sus definiciones más populares (que son las dadas por Willard y Kelley), entonces, en general, esta relación no se extiende a los filtros y subredes subordinados porque, como se detalla a continuación, existen filtros subordinados cuya relación filtro/filtro subordinado no se puede describir en términos de la relación red/subred correspondiente; sin embargo, este problema se puede resolver utilizando una definición de "subred" menos común, que es la de una subred AA. ${\displaystyle X}$

De esta manera, los filtros/prefiltros y este preorden único proporcionan un marco que une sin problemas conceptos topológicos fundamentales como espacios topológicos ( a través de filtros de vecindad ), bases de vecindad , convergencia, varios límites de funciones, continuidad, compacidad , secuencias (a través de filtros secuenciales), el filtro equivalente de "subsecuencia" (subordinación), espacios uniformes y más; conceptos que de otro modo parecen relativamente dispares y cuyas relaciones son menos claras. ${\displaystyle \,\leq \,}$

Motivación

Ejemplo arquetípico de un filtro

El ejemplo arquetípico de un filtro es el filtro de vecindad en un punto en un espacio topológico que es la familia de conjuntos que consiste en todas las vecindades de Por definición, una vecindad de un punto dado es cualquier subconjunto cuyo interior topológico contiene este punto; es decir, tal que Es importante destacar que no se requiere que las vecindades sean conjuntos abiertos; estos se denominan vecindades abiertas . A continuación se enumeran las propiedades fundamentales de los filtros de vecindad que finalmente se convirtieron en la definición de un "filtro". Un filtro en es un conjunto de subconjuntos de que satisface todas las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} _{X}B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. No vacío :    – así como ya que es siempre un vecindario de (y de cualquier otra cosa que contenga); ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$
2. No contiene el conjunto vacío :    – así como ningún vecindario de está vacío; ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$
3. Cerrado bajo intersecciones finitas : Si  – así como la intersección de dos vecindarios cualesquiera de es nuevamente un vecindario de ; ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}B\cap C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
4. Cerrado hacia arriba : Si entonces  – así como cualquier subconjunto de que incluye un vecindario de necesariamente será un vecindario de (esto se desprende de y la definición de "un vecindario de "). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}B\subseteq S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle x}$

Generalización de la convergencia de secuencias mediante el uso de conjuntos: determinación de la convergencia de secuencias sin la secuencia

Una secuencia en ${\displaystyle X}$ es por definición una función de los números naturales en el espacio La noción original de convergencia en un espacio topológico era la de una secuencia que converge a algún punto dado en un espacio, como un espacio métrico . Con espacios metrizables (o más generalmente espacios de primer conteo o espacios de Fréchet–Urysohn ), las secuencias suelen ser suficientes para caracterizar, o "describir", la mayoría de las propiedades topológicas, como los cierres de subconjuntos o la continuidad de funciones. Pero hay muchos espacios donde las secuencias no se pueden usar para describir incluso propiedades topológicas básicas como el cierre o la continuidad. Este fracaso de las secuencias fue la motivación para definir nociones como redes y filtros, que nunca fallan en caracterizar propiedades topológicas. ${\displaystyle \mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X.}$

Las redes generalizan directamente la noción de una secuencia ya que las redes son, por definición, aplicaciones de un conjunto dirigido arbitrario en el espacio . Una secuencia es simplemente una red cuyo dominio está con el orden natural. Las redes tienen su propia noción de convergencia , que es una generalización directa de la convergencia de secuencias. ${\displaystyle I\to X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

Los filtros generalizan la convergencia de secuencias de una manera diferente, considerando solo los valores de una secuencia. Para ver cómo se hace esto, considere una secuencia que, por definición, es simplemente una función cuyo valor en se denota por en lugar de por la notación de paréntesis habitual que se usa comúnmente para funciones arbitrarias. Conocer solo la imagen (a veces llamada "el rango") de la secuencia no es suficiente para caracterizar su convergencia; se necesitan múltiples conjuntos. Resulta que los conjuntos necesarios son los siguientes, ^{[nota 2]} que se denominan las colas de la secuencia : ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$

Estos conjuntos determinan completamente la convergencia (o no convergencia) de esta secuencia porque dado cualquier punto, esta secuencia converge a él si y solo si para cada vecindad (de este punto), hay algún entero tal que contiene todos los puntos. Esto se puede reformular como: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{n},x_{n+1},\ldots .}$

     Cada vecindario debe contener algún conjunto de la forma como subconjunto. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}$

O, más brevemente: cada vecindario debe contener alguna cola como subconjunto. Es esta caracterización la que se puede utilizar con la familia de colas anterior para determinar la convergencia (o no convergencia) de la secuencia. Específicamente, con la familia de conjuntos en la mano, la función ya no es necesaria para determinar la convergencia de esta secuencia (sin importar qué topología se coloque en ). Al generalizar esta observación, la noción de "convergencia" se puede extender de secuencias/funciones a familias de conjuntos. ${\displaystyle x_{\geq n}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.}$ ${\displaystyle \{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X}$

El conjunto anterior de colas de una secuencia no es en general un filtro, pero sí " genera " un filtro al tomar su cierre ascendente (que consiste en todos los superconjuntos de todas las colas). Lo mismo es cierto para otras familias importantes de conjuntos, como cualquier base de vecindad en un punto dado, que en general tampoco es un filtro, pero sí genera un filtro a través de su cierre ascendente (en particular, genera el filtro de vecindad en ese punto). Las propiedades que comparten estas familias llevaron a la noción de una base de filtro , también llamada prefiltro , que por definición es cualquier familia que tiene las propiedades mínimas necesarias y suficientes para generar un filtro al tomar su cierre ascendente .

Redes versus filtros: ventajas y desventajas

Los filtros y las redes tienen sus propias ventajas y desventajas y no hay razón para usar una noción exclusivamente sobre la otra. ^{[nota 3]} Dependiendo de lo que se esté probando, una prueba puede ser significativamente más fácil usando una de estas nociones en lugar de la otra. ^[2] Tanto los filtros como las redes se pueden usar para caracterizar completamente cualquier topología dada . Las redes son generalizaciones directas de secuencias y a menudo se pueden usar de manera similar a las secuencias, por lo que la curva de aprendizaje para las redes es típicamente mucho menos pronunciada que la de los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen muchos más usos fuera de la topología, como en la teoría de conjuntos , la lógica matemática , la teoría de modelos ( ultraproductos , por ejemplo), el álgebra abstracta , ^[3] la combinatoria , ^[4] la dinámica , ^[4] la teoría del orden , los espacios de convergencia generalizados , los espacios de Cauchy y en la definición y uso de números hiperreales .

Al igual que las secuencias, las redes son funciones y, por lo tanto, tienen las ventajas de las funciones . Por ejemplo, al igual que las secuencias, las redes se pueden "conectar" a otras funciones, donde "conectar" es simplemente la composición de funciones . Los teoremas relacionados con las funciones y la composición de funciones pueden entonces aplicarse a las redes. Un ejemplo es la propiedad universal de los límites inversos , que se define en términos de composición de funciones en lugar de conjuntos y se aplica más fácilmente a funciones como redes que a conjuntos como filtros (un ejemplo destacado de un límite inverso es el producto cartesiano ). Los filtros pueden ser difíciles de usar en ciertas situaciones, como cuando se cambia entre un filtro en un espacio y un filtro en un subespacio denso ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$

A diferencia de las redes, los filtros (y prefiltros) son familias de conjuntos y, por lo tanto, tienen las ventajas de los conjuntos . Por ejemplo, si es sobreyectiva, entonces la imagen bajo de un filtro o prefiltro arbitrario se define fácilmente y se garantiza que es un prefiltro en el dominio de , mientras que es menos claro cómo retirar (de manera inequívoca/sin elección ) una secuencia arbitraria (o red) para obtener una secuencia o red en el dominio (a menos que también sea inyectiva y, en consecuencia, una biyección, que es un requisito estricto). De manera similar, la intersección de cualquier colección de filtros es una vez más un filtro, mientras que no está claro qué podría significar esto para las secuencias o redes. Debido a que los filtros se componen de subconjuntos del mismo espacio topológico que se está considerando, las operaciones topológicas de conjuntos (como el cierre o el interior ) se pueden aplicar a los conjuntos que constituyen el filtro. Tomar el cierre de todos los conjuntos en un filtro a veces es útil en el análisis funcional, por ejemplo. Los teoremas y resultados sobre imágenes o preimágenes de conjuntos bajo una función también pueden aplicarse a los conjuntos que constituyen un filtro; un ejemplo de tal resultado podría ser una de las caracterizaciones de continuidad en términos de preimágenes de conjuntos abiertos/cerrados o en términos de los operadores de interior/cierre. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades útiles que pueden ayudar significativamente a demostrar resultados. Una desventaja de las redes es su dependencia de los conjuntos dirigidos que constituyen sus dominios, que en general pueden no estar relacionados en absoluto con el espacio De hecho, la clase de redes en un conjunto dado es demasiado grande para ser siquiera un conjunto (es una clase propia ); esto se debe a que las redes en pueden tener dominios de cualquier cardinalidad . Por el contrario, la colección de todos los filtros (y de todos los prefiltros) en es un conjunto cuya cardinalidad no es mayor que la de Similar a una topología en un filtro en es "intrínseco a " en el sentido de que ambas estructuras consisten enteramente en subconjuntos de y ninguna de las definiciones requiere ningún conjunto que no pueda construirse a partir de (como u otros conjuntos dirigidos, que requieren las secuencias y las redes). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Preliminares, notación y nociones básicas

En este artículo, las letras romanas mayúsculas como y denotan conjuntos (pero no familias a menos que se indique lo contrario) y denotarán el conjunto potencia de Un subconjunto de un conjunto potencia se denomina familia de conjuntos (o simplemente, una familia ) donde es sobre si es un subconjunto de Las familias de conjuntos se denotarán con letras caligráficas mayúsculas como , , y . Siempre que se necesiten estas suposiciones, se debe suponer que no está vacío y que etc. son familias de conjuntos sobre ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Los términos "prefiltro" y "base de filtro" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.

Advertencia sobre definiciones y notaciones en conflicto

Lamentablemente, en la teoría de filtros hay varios términos que se definen de forma diferente según los distintos autores. Entre ellos se incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro". Aunque las distintas definiciones de un mismo término suelen tener una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y a la topología de puntos), estas diferencias en las definiciones suelen tener consecuencias importantes. Al leer literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo define el autor la terminología relacionada con los filtros. Por este motivo, en este artículo se indicarán claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho en la literatura (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en esos casos este artículo utiliza la notación que sea más autodescriptiva o fácil de recordar.

La teoría de filtros y prefiltros está bien desarrollada y cuenta con una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales se enumeran ahora sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y para permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades importantes se describen más adelante.

Operaciones de conjuntos

ElEl cierre ascendente oisotonizaciónen^[6][7]de unafamilia de conjuntoses ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

y de manera similar el cierre hacia abajo de es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).}$

Para dos familias cualesquiera se declara que si y sólo si para cada existe algún en cuyo caso se dice que es más grueso que y que es más fino que (o subordinado a ) ^{[10] [11] [12]} La notación también puede usarse en lugar de ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Si y entonces se dice que son ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$equivalente (con respecto a la subordinación).

Dos familias se entrelazan , ^[8] escrito si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

A lo largo del texto hay un mapa. ${\displaystyle f}$

Notación topológica

Denota el conjunto de todas las topologías de un conjunto Supongamos que es cualquier subconjunto, y es cualquier punto. ${\displaystyle X{\text{ by }}\operatorname {Top} (X).}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Si entonces ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ and }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).}$

Las redes y sus colas

Un conjunto dirigido es un conjunto junto con un preorden , que se denotará por (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que hace en un conjunto dirigido ( hacia arriba ) ; ^[15] esto significa que para todo existe alguno tal que Para cualquier índice la notación se define como que significa mientras que se define como que significa que se cumple pero no es cierto que (si es antisimétrico entonces esto es equivalente a ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Una red en ${\displaystyle X}$^[15] es una función de un conjunto dirigido no vacío en La notación se utilizará para denotar una red con dominio ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Advertencia sobre el uso de comparaciones estrictas

Si es una red y entonces es posible que el conjunto que se llama cola de después de , esté vacío (por ejemplo, esto sucede si es un límite superior del conjunto dirigido ). En este caso, la familia contendría el conjunto vacío, lo que evitaría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir como en lugar de o incluso y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta no puede usarse indistintamente con la desigualdad ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Filtros y prefiltros

La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe suponer que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

La familia de conjuntos es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Apropiado ono degenerado siEn caso contrario, sientonces se llamaimpropio^[17]odegenerado. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Dirigido hacia abajo ^[15]si siempreque exista algotal que ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Esta propiedad se puede caracterizar en términos de direccionalidad , lo que explica la palabra "dirigido": una relación binaria en se llama (hacia arriba) dirigida si para dos cualesquiera hay algún satisfactorio Usando en lugar de da la definición de dirigido hacia abajo mientras que usando en su lugar da la definición de dirigido hacia arriba . Explícitamente, está dirigido hacia abajo (resp. dirigido hacia arriba ) si y solo si para todos existe algún "mayor" tal que (resp. tal que ) − donde el elemento "mayor" siempre está en el lado derecho, − que puede reescribirse como (resp. como ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
3. Cerrado bajo intersecciones finitas (resp.uniones) si la intersección (resp. unión) de dos elementos cualesquiera dees un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Si es cerrada bajo intersecciones finitas entonces necesariamente está dirigida hacia abajo. La recíproca es generalmente falsa. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Cerrado hacia arriba oisótonoen^[6]sio equivalentemente, si siempre quey algún conjuntosatisfaceDe manera similar,estácerrado hacia abajosiUn conjunto cerrado hacia arriba (respectivamente, hacia abajo) también se denominaconjunto superioroalterado(resp. unconjunto inferioroconjunto descendente). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • La familia que es el cierre ascendente de es la única familia de isótonos más pequeña (con respecto a ) de conjuntos sobre que tiene como subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Muchas de las propiedades de los términos definidos arriba y abajo, como "adecuado" y "dirigido hacia abajo", no dependen de, por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar "cerrado hacia arriba en ", como la de "filtrar sobre ", sí dependen de, por lo que se debe mencionar el conjunto si no queda claro a partir del contexto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una familia es un(a): ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Ideal ^[17][18]sies cerrado hacia abajo y cerrado bajo uniones finitas. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Ideal dual en^[19]siestá cerrado hacia arribay también cerrado bajo intersecciones finitas. Equivalentemente,es un ideal dual si para todo^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Explicación de la palabra "dual": Una familia es un ideal dual (o un ideal) si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$dual de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ la cual es la familia es un ideal (resp. un ideal dual) en En otras palabras, ideal dual significa " dual de un ideal ". El dual del dual es la familia original, es decir ^[17] $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$
3. Filtro sobre^[19][8]sies un ideal dual propio sobreEs decir, un filtro sobrees un subconjunto no vacío deque está cerrado bajo intersecciones finitas y cerrado hacia arriba enEquivalentemente, es un prefiltro que está cerrado hacia arriba enEn palabras, un filtro sobrees una familia de conjuntos sobreque (1) no está vacía (o equivalentemente, contiene), (2) está cerrado bajo intersecciones finitas, (3) está cerrado hacia arriba eny (4) no tiene al conjunto vacío como elemento. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Advertencia : Algunos autores, particularmente los algebristas, usan "filtro" para significar un ideal dual; otros, particularmente los topólogos, usan "filtro" para significar un ideal dual propio / no degenerado . ^[21] Se recomienda que los lectores siempre verifiquen cómo se define "filtro" al leer literatura matemática. Sin embargo, las definiciones de "ultrafiltro", "prefiltro" y "subbase de filtro" siempre requieren no degeneración. Este artículo usa la definición original de "filtro" de Henri Cartan , ^{[1] [22]} que requería no degeneración.
   • El conjunto potencia es el único ideal dual que no es también un filtro. Excluirlo de la definición de "filtro" en topología tiene el mismo beneficio que excluirlo de la definición de " número primo ": obvia la necesidad de especificar "no degenerado" (el análogo de "no unitario " o "no ") en muchos resultados importantes, lo que hace que sus enunciados sean menos complicados. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Prefiltro obase filtrante^[8][23]sies propio y está dirigido hacia abajo. Equivalentemente,se denomina prefiltro si su cierre hacia arribaes un filtro. También se puede definir como cualquier familia que sea equivalente aalgúnfiltro.^[9] Una familia propiaes un prefiltro si y solo si^[9]Una familia es un prefiltro si y solo si lo mismo es cierto de su cierre hacia arriba. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Si es un prefiltro, entonces su cierre ascendente es el filtro más pequeño (relativo a ) único que contiene y se llama filtro generado por Se dice que un filtro es generado por un prefiltro si en el cual se llama base de filtro para ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • A diferencia de un filtro, un prefiltro no está necesariamente cerrado bajo intersecciones finitas.
5. π -sistema si es cerrado bajo intersecciones finitas. Cada familia no vacíaestá contenida en un únicoπ-sistema más pequeño llamadoπ-sistema generado porque a veces se denota porEs igual a la intersección de todoslos π-sistemas que contieneny también al conjunto de todas las posibles intersecciones finitas de conjuntos de: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • Un sistema π es un prefiltro si y solo si es propio. Todo filtro es un sistema π propio y todo sistema π propio es un prefiltro, pero las proposiciones inversas no se cumplen en general.
   • Un prefiltro es equivalente al sistema π generado por él y ambas familias generan el mismo filtro en ${\displaystyle X.}$
6. Filtrar subbase ^[8][24]ycentrado^[9]siysatisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$tiene la propiedad de intersección finita , lo que significa que la intersección de cualquier familia finita de (uno o más) conjuntos en no está vacía; explícitamente, esto significa que siempre que entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. El sistema π generado por es propio; es decir, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. El sistema π generado por es un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún prefiltro.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún filtro. ^[10]
   • Supongamos que es una subbase de filtro. Entonces hay un filtro único más pequeño (en relación con ) que contiene, llamado ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , yse dice quees una subbase de filtro paraeste filtro. Este filtro es igual a la intersección de todos los filtros enque son superconjuntos deElπ-sistema generado pordenotado porserá un prefiltro y un subconjunto de Además, el filtro generado pores igual al cierre ascendente designificado^[9]Sin embargo,siy solo sies un prefiltro (aunquesubbasede filtro cerrada ascendentementepara). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Un prefiltro  más pequeño (es decir, el más pequeño en relación con  ) que contenga una subbase de filtro existirá solo en determinadas circunstancias. Existe, por ejemplo, si la subbase de filtro resulta ser también un prefiltro. También existe si el filtro (o equivalentemente, el π -sistema) generado por es principal, en cuyo caso es el único prefiltro más pequeño que contiene . De lo contrario, en general, un prefiltro  más pequeño que contenga podría no existir. Por esta razón, algunos autores pueden referirse al π -sistema generado por como ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$el prefiltro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Sin embargo, si existe un prefiltro -más pequeño (digamos que se denota pornoesnecesariamente igual al "prefiltro generado por B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (es decir,es posible). Y si la subbase del filtroresulta ser también un prefiltro pero no unπ-sistema, entonces, lamentablemente, "el prefiltro generado por este prefiltro" (es decir,) no lo será(es decir,es posible incluso cuandoes un prefiltro), por lo que este artículo preferirá la terminología precisa e inequívoca de "el π -sistemagenerado por". ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Subfiltro de un filtroy quees un ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$superfiltro de^[17][25]sies un filtro ydonde para filtros, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Es importante destacar que la expresión "es un superfiltro de" es para los filtros el análogo de "es una subsecuencia de". Por lo tanto, a pesar de tener el prefijo "sub" en común, "es un subfiltro de" es en realidad el inverso de "es una subsecuencia de". Sin embargo, también se puede escribir, lo que se describe diciendo " es subordinado a ". Con esta terminología, "es subordinado a" se convierte para los filtros (y también para los prefiltros) en el análogo de "es una subsecuencia de", ^[26] lo que hace que esta sea una situación en la que el uso del término "subordinado" y el símbolo pueden ser útiles. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

No hay prefiltros en (ni tampoco hay redes valoradas en ), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que siempre que se necesite esta suposición. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Ejemplos básicos

Ejemplos con nombre

• El conjunto singleton se llama indiscreto o ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$filtro trivial en ${\displaystyle X.}$^[27][28]Es el únicomínimoenporque es un subconjunto de cada filtro en; sin embargo, no necesita ser un subconjunto de cada prefiltro en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• El ideal dual también se denomina filtro degenerado en ^[20] (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único ideal dual en que no es un filtro en ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio topológico y entonces el filtro de vecindad en es un filtro en Por definición, una familia se llama base de vecindad (resp. una subbase de vecindad ) en si y solo si es un prefiltro (resp. es una subbase de filtro) y el filtro en que genera es igual al filtro de vecindad La subfamilia de vecindades abiertas es una base de filtro para Ambos prefiltros también forman bases para topologías en y la topología generada es más burda que Este ejemplo se generaliza inmediatamente desde vecindades de puntos a vecindades de subconjuntos no vacíos ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es unprefiltro elemental ^[29]sipara alguna secuencia de puntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es unfiltro elemental o unfiltro secuencial en^[30]sies un filtrogenerado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una secuencia que no es eventualmente constantenoun ultrafiltro.^[31]Todo filtro principal en un conjunto numerable es secuencial, como lo es todo filtro cofinito en un conjunto numerablemente infinito.^[20]La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial.^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en es finito) es propio si y solo si es infinito (o equivalentemente, es infinito), en cuyo caso se aplica un filtro conocido como filtro de Fréchet o filtro de Fréchet. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$filtro cofinito en^[28][27]Sies finito entonceses igual al ideal dualque no es un filtro. Sies infinito entonces la familiade complementos de conjuntos singleton es una subbase de filtro que genera el filtro de Fréchet enComo con cualquier familia de conjuntos sobreque contieneel núcleo del filtro de Fréchet enes el conjunto vacío: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• La intersección de todos los elementos de cualquier familia no vacía es en sí misma un filtro sobre llamado ínfimo o límite inferior máximo de , por lo que puede denotarse por Dicho de otra manera, Debido a que cada filtro sobre tiene como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el ínfimo es el filtro más fino/más grande (en relación con ) contenido como subconjunto de cada miembro de ^[28] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} ={\textstyle \bigcap \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Si son filtros entonces su ínfimo en es el filtro ^[9] Si son prefiltros entonces es un prefiltro que es más grueso que ambos (es decir, ); de hecho, es uno de los prefiltros más finos de este tipo , lo que significa que si es un prefiltro tal que entonces necesariamente ^[9] De manera más general, si son familias no vacías y si entonces y es un elemento máximo de ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {S} ,\leq ).}$
• Sea y sea El supremo o mínimo límite superior de denotado por es el ideal dual más pequeño (relativo a ) en que contiene cada elemento de como un subconjunto; es decir, es el ideal dual más pequeño (relativo a ) en que contiene como un subconjunto. Este ideal dual es donde es el π -sistema generado por Como con cualquier familia no vacía de conjuntos, está contenido en algún filtro en si y solo si es una subbase de filtro, o equivalentemente, si y solo si es un filtro en en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (relativo a ) en que contiene cada elemento de como un subconjunto y necesariamente ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Sea y sea El supremo o límite superior mínimo de denotado por si existe, es por definición el filtro más pequeño (relativo a ) en que contiene cada elemento de como un subconjunto. Si existe entonces necesariamente ^[28] (como se definió anteriormente) y también será igual a la intersección de todos los filtros en que contienen Este supremo de existe si y solo si el ideal dual es un filtro en El límite superior mínimo de una familia de filtros puede no ser un filtro. ^[28] De hecho, si contiene al menos dos elementos distintos entonces existen filtros para los cuales no existe un filtro que contenga a ambos Si no es una subbase de filtro entonces el supremo de no existe y lo mismo es cierto de su supremo en pero su supremo en el conjunto de todos los ideales duales en existirá (siendo el filtro degenerado ). ^[20] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Si son prefiltros (resp. filtros en ) entonces es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si malla), en cuyo caso es uno de los prefiltros más gruesos (resp. el filtro más grueso) en que es más fino (con respecto a ) que ambos esto significa que si es cualquier prefiltro (resp. cualquier filtro) tal que entonces necesariamente ^[9] en cuyo caso se denota por ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$

Otros ejemplos

• Sea y sea que forma un prefiltro y una subbase de filtro que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Debido a que es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene es El sistema π generado por es En particular, el prefiltro más pequeño que contiene la subbase de filtro no es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en El filtro en generado por es Los tres sistemas π generan, y son ejemplos de prefiltros fijos, principales y ultra que son principales en el punto es también un ultrafiltro en ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea un espacio topológico, y defina donde es necesariamente más fino que ^[32] Si no es vacío (resp. no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas) entonces lo mismo es cierto de Si es un filtro en entonces es un prefiltro pero no necesariamente un filtro en aunque es un filtro en equivalente a ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• El conjunto de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico (no vacío) es un π -sistema propio y, por tanto, también un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire , entonces el conjunto de todas las intersecciones numerables de subconjuntos abiertos densos es un π -sistema y un prefiltro que es más fino que Si (con ) entonces el conjunto de todos los que tiene medida de Lebesgue finita es un π -sistema propio y un prefiltro libre que también es un subconjunto propio de Los prefiltros y son equivalentes y, por tanto, generan el mismo filtro en El prefiltro está contenido adecuadamente en, y no es equivalente a, el prefiltro que consiste en todos los subconjuntos abiertos densos de Dado que es un espacio de Baire , cada intersección numerable de conjuntos en es densa en (y también comeagre y no exigua) por lo que el conjunto de todas las intersecciones numerables de elementos de es un prefiltro y π -sistema; también es más fino que, y no es equivalente a, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$

Ultrafiltros

Existen muchas otras caracterizaciones de "ultrafiltro" y "ultraprefiltro", que se enumeran en el artículo sobre ultrafiltros . En ese artículo también se describen propiedades importantes de los ultrafiltros.

Una familia de conjuntos no vacía es/es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ultra ^{[8] [33]} sise cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que (o equivalentemente, tal que ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que ${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Esta caracterización de " es ultra" no depende del conjunto , por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utiliza el término "ultra". ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Para cada conjunto (no necesariamente ni siquiera un subconjunto de ) existe algún conjunto tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
9. Prefiltro ultra ^{[8] [33]} si es un prefiltro que también es ultra. Equivalentemente, es una subbase de filtro que es ultra. Un prefiltro es ultra si y solo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es máxima con respecto a lo que significa que ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Aunque esta afirmación es idéntica a la que se da a continuación para los ultrafiltros, aquí se supone simplemente que se trata de un prefiltro; no necesita ser un filtro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$es ultra (y por lo tanto un ultrafiltro).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es equivalente a algún ultrafiltro.
   • Una subbase de filtro que es ultra es necesariamente un prefiltro. Una subbase de filtro es ultra si y solo si es una subbase de filtro máxima con respecto a (como se indicó anteriormente). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ultrafiltro activado ${\displaystyle X}$^{[8] [33]} si se trata de un filtro activadoque es ultra. De manera equivalente, un ultrafiltro activadoes un filtroque satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se genera mediante un prefiltro ultra.
    2. Para cualquier ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Esta condición se puede reformular como: está dividida por y su dual ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
    4. Para cualquier caso , si entonces (un filtro con esta propiedad se llama filtro principal ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Esta propiedad se extiende a cualquier unión finita de dos o más conjuntos.
    5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un filtro maximo en ; lo que significa que si es un filtro en tal que entonces necesariamente (esta igualdad puede reemplazarse por ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Si está cerrado hacia arriba entonces Entonces esta caracterización de los ultrafiltros como filtros maximos puede reformularse como: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Debido a que la subordinación es para los filtros el análogo de "es una subred/subsecuencia de" (específicamente, "subred" debería significar "subred AA", que se define más abajo), esta caracterización de un ultrafiltro como un "filtro máximamente subordinado" sugiere que un ultrafiltro puede interpretarse como análogo a algún tipo de "red máximamente profunda" (lo que podría, por ejemplo, significar que "cuando se ve solo desde " en algún sentido, es indistinguible de sus subredes, como es el caso de cualquier red valorada en un conjunto singleton, por ejemplo), ^{[nota 5]} que es una idea que en realidad se vuelve rigurosa por las ultraredes . El lema del ultrafiltro es entonces la afirmación de que cada filtro ("red") tiene algún filtro subordinado ("subred") que es "máximamente subordinado" ("máximamente profundo"). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

El lema del ultrafiltro

El siguiente teorema importante se debe a Alfred Tarski (1930). ^[34]

El lema/principio/teorema del ultrafiltro ^[28]  ( Tarski )  :  cada filtro de un conjuntoes un subconjunto de algún ultrafiltro de un conjunto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una consecuencia del lema del ultrafiltro es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^[28] Suponiendo los axiomas de Zermelo–Fraenkel (ZF) , el lema del ultrafiltro se sigue del axioma de elección (en particular del lema de Zorn ) pero es estrictamente más débil que él. El lema del ultrafiltro implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Si solo se trata de espacios de Hausdorff , entonces la mayoría de los resultados básicos (como los que se encuentran en los cursos introductorios) en topología (como el teorema de Tichonoff para espacios de Hausdorff compactos y el teorema de la subbase de Alexander ) y en análisis funcional (como el teorema de Hahn–Banach ) se pueden demostrar utilizando solo el lema del ultrafiltro; podría no necesitarse toda la fuerza del axioma de elección.

Granos

El núcleo es útil para clasificar propiedades de prefiltros y otras familias de conjuntos.

El núcleo ^[6] de una familia de conjuntos es la intersección de todos los conjuntos que son elementos de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Si entonces y este conjunto también es igual al núcleo del sistema π que se genera por En particular, si es una subbase de filtro, entonces los núcleos de todos los conjuntos siguientes son iguales: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) el sistema π generado por y (3) el filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Si es una función entonces Las familias equivalentes tienen núcleos iguales. Dos familias principales son equivalentes si y solo si sus núcleos son iguales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}}){\text{ and }}f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Clasificación de familias por sus núcleos

Una familia de conjuntos es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Gratis ^[7]sio equivalentemente, siesto puede reformularse como ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Un filtro es libre si y solo si es infinito e incluye el filtro de Fréchet como subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Fijo sien cuyo caso,se dice que estáfijado porcualquier punto ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Cualquier familia fija es necesariamente una subbase de filtro.
4. Principal ^[7]si ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Una familia principal adecuada de conjuntos es necesariamente un prefiltro.
5. Discreto oPrincipal en ^[27]si ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • El filtro principal en ${\displaystyle x{\text{ on }}X}$ es el filtro Un filtro es principal en si y solo si ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Contablemente profundo si siempre que es un subconjunto contable entonces ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

Si es un filtro principal entonces y y es también el prefiltro más pequeño que genera ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Familia de ejemplos: Para cualquier no vacío la familia es libre pero es una subbase de filtro si y solo si ninguna unión finita de la forma cubre en cuyo caso el filtro que genera también será libre. En particular, es una subbase de filtro si es numerable (por ejemplo, los primos), un conjunto exiguo en un conjunto de medida finita, o un subconjunto acotado de Si es un conjunto singleton entonces es una subbase para el filtro de Fréchet en ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Caracterización de los prefiltros ultrafijos

Si una familia de conjuntos es fija (es decir, ), entonces es ultra si y solo si algún elemento de es un conjunto singleton, en cuyo caso será necesariamente un prefiltro. Todo prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal es ultra si y solo si es un conjunto singleton. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Todo filtro que es principal en un único punto es un ultrafiltro, y si además es finito, entonces no hay ultrafiltros en otros aparte de estos. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es gratuito o es un filtro principal generado por un solo punto.

Proposición  —  Si es un ultrafiltro entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es fijo, o equivalentemente, no libre, es decir ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es principal, es decir ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Algún elemento de es un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Algún elemento de es un conjunto singleton. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es principal en algún punto de lo cual significa para algún ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$no contiene el filtro Fréchet ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es secuencial. ^[20]

Más fino/más grueso, subordinación y mallado

El preorden que se define a continuación es de importancia fundamental para el uso de prefiltros (y filtros) en topología. Por ejemplo, este preorden se utiliza para definir el equivalente de prefiltro de "subsecuencia", ^[26] donde " " se puede interpretar como " es una subsecuencia de " (por lo que "subordinado a" es el equivalente de prefiltro de "subsecuencia de"). También se utiliza para definir la convergencia de prefiltros en un espacio topológico. La definición de mallas con las que está estrechamente relacionada con el preorden se utiliza en topología para definir puntos de clúster. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Dos familias de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ malla ^[8]y soncompatibles, indicado escribiendosiSino se mallan entonces estándisociados. Sientoncesse dice que semallansise mallan, o equivalentemente, si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$traza dela cual es la familia no contiene el conjunto vacío, donde la traza también se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$restricción de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Declare que lo establecido como es más grueso que y es más fino que (o subordinado a ) ^{[28] [11] [12] [9] [20]} si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Definición: Todo incluye algo Explícitamente, esto significa que para todo hay algo tal que (por lo tanto se cumple). ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\ni C\supseteq F\in {\mathcal {F}}}$
   • Dicho de manera más breve y sencilla, si cada conjunto en es mayor que algún conjunto en Aquí, un "conjunto mayor" significa un superconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • En palabras, establece exactamente qué es mayor que algún conjunto en La equivalencia de (a) y (b) se sigue inmediatamente. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$que es equivalente a ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$que es equivalente a ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

y si además está cerrado al alza, lo que significa que entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[6]
   • Así que en este caso, esta definición de " es más fino que " sería idéntica a la definición topológica de "más fino" si se hubieran utilizado topologías ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Si una familia cerrada hacia arriba es más fina que (es decir, ) pero entonces se dice que es estrictamente más fina que y es estrictamente más gruesa que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Dos familias son comparables si una de ellas es más fina que la otra. ^[28]

Ejemplo : Si es una subsecuencia de entonces está subordinada a en símbolos: y también Expresado en términos sencillos, el prefiltro de colas de una subsecuencia siempre está subordinado al de la secuencia original. Para ver esto, sea arbitrario (o equivalentemente, sea arbitrario) y queda por demostrar que este conjunto contiene algunos Para que el conjunto lo contenga es suficiente tener Dado que son números enteros estrictamente crecientes, existe tal que y por lo tanto se cumple, como se desea. En consecuencia, El lado izquierdo será un subconjunto estricto/propio del lado derecho si (por ejemplo) cada punto de es único (es decir, cuando es inyectivo) y es la subsecuencia de índice par porque en estas condiciones, cada cola (para cada ) de la subsecuencia pertenecerá al filtro del lado derecho pero no al filtro del lado izquierdo. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Para dar otro ejemplo, si es cualquier familia entonces siempre se cumple y además, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Una familia no vacía que es más gruesa que una subbase de filtro debe ser en sí misma una subbase de filtro. ^[9] Cada subbase de filtro es más gruesa que el sistema π que genera y que el filtro que genera. ^[9]

Si son familias tales que la familia es ultra, y entonces es necesariamente ultra. De ello se deduce que cualquier familia que sea equivalente a una familia ultra será necesariamente ultra . En particular, si es un prefiltro, entonces ambos y el filtro que genera son ultra o ninguno es ultra. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$

La relación es reflexiva y transitiva , lo que la convierte en un preorden en ^[35] La relación es antisimétrica pero si tiene más de un punto entonces no es simétrica . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Familias equivalentes de conjuntos

El preorden induce su relación de equivalencia canónica en donde para todo es equivalente a si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[9] [6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Los cierres ascendentes de son iguales. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Dos subconjuntos cerrados hacia arriba (en ) de son equivalentes si y solo si son iguales. ^[9] Si entonces necesariamente y es equivalente a Toda clase de equivalencia distinta de contiene un representante único (es decir, elemento de la clase de equivalencia) que está cerrado hacia arriba en ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades conservadas entre familias equivalentes

Sea arbitrario y sea cualquier familia de conjuntos. Si son equivalentes (lo que implica que ), entonces para cada una de las afirmaciones/propiedades que se enumeran a continuación, o bien es verdadero para ambas o bien es falso para ambas : ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. No vacío
2. Propia (es decir, no es un elemento) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Además, dos familias degeneradas son necesariamente equivalentes.
3. Subbase de filtro
4. Prefiltro
   • En cuyo caso se genera el mismo filtro en (es decir, sus cierres ascendentes en son iguales). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Gratis
6. Principal
7. Ultra
8. Es igual al filtro trivial ${\displaystyle \{X\}}$
   • En palabras, esto significa que el único subconjunto de ese filtro que es equivalente al filtro trivial es el filtro trivial. En general, esta conclusión de igualdad no se extiende a los filtros no triviales (una excepción es cuando ambas familias son filtros). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Mallas con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. Es más fino que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. Es más grueso que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Es equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

En la lista anterior falta la palabra "filtro" porque esta propiedad no se conserva por equivalencia. Sin embargo, si hay filtros activados , entonces son equivalentes si y solo si son iguales; esta caracterización no se extiende a los prefiltros. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Equivalencia de prefiltros y subbases filtrantes

Si hay un prefiltro activado, entonces las siguientes familias siempre son equivalentes entre sí: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. el sistema π generado por ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. el filtro generado por ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

y además, estas tres familias generan el mismo filtro (es decir, los cierres ascendentes de estas familias son iguales). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En particular, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por transitividad, dos prefiltros son equivalentes si y solo si generan el mismo filtro. ^[9] Cada prefiltro es equivalente a exactamente un filtro en el que se encuentra el filtro que genera (es decir, el cierre ascendente del prefiltro). Dicho de otra manera, cada clase de equivalencia de prefiltros contiene exactamente un representante que es un filtro. De esta manera, los filtros pueden considerarse simplemente como elementos distinguidos de estas clases de equivalencia de prefiltros. ^[9] ${\displaystyle X,}$

Una subbase de filtro que no sea también un prefiltro no puede ser equivalente al prefiltro (o filtro) que genera. Por el contrario, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por este motivo, los prefiltros se pueden utilizar, en general, de forma intercambiable con los filtros que generan, mientras que las subbases de filtro no.

Propiedades y construcciones teóricas de conjuntos relevantes para la topología

Trazabilidad y mallado

Si es un prefiltro (resp. filtro) en entonces la traza de la cual es la familia es un prefiltro (resp. filtro) si y solo si malla (es decir, ^[28] ), en cuyo caso se dice que la traza de es inducida por . La traza es siempre más fina que la familia original; es decir, Si es ultra y si malla entonces la traza es ultra. Si es un ultrafiltro en entonces la traza de es un filtro en si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Por ejemplo, supongamos que es un filtro en tal que Entonces malla y genera un filtro en que es estrictamente más fino que ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Cuando los prefiltros se engranan

Dadas familias no vacías, la familia satisface y Si es apropiada (resp. un prefiltro, una subbase de filtro), entonces esto también es cierto para ambos. Para hacer deducciones significativas acerca de de debe ser apropiada (es decir, que es la motivación para la definición de "malla". En este caso, es un prefiltro (resp. subbase de filtro) si y solo si esto es cierto para ambos. Dicho de otra manera, si son prefiltros, entonces se engranan si y solo si es un prefiltro. Generalizando se obtiene una caracterización bien conocida de "malla" completamente en términos de subordinación (es decir, ): ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Dos prefiltros (o subbases de filtro) se engranan si y solo si existe un prefiltro (o subbase de filtro) tal que y ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Si el límite superior mínimo de dos filtros existe, entonces este límite superior mínimo es igual a ^[36] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Imágenes y preimágenes bajo funciones

A lo largo del texto se mostrarán mapas entre conjuntos no vacíos. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Imágenes de prefiltros

Muchas de las propiedades que puede tener se conservan bajo imágenes de mapas; las excepciones notables incluyen estar cerrado hacia arriba, estar cerrado bajo intersecciones finitas y ser un filtro, que no necesariamente se conservan. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Explícitamente, si una de las siguientes propiedades es verdadera para entonces necesariamente también será verdadera para (aunque posiblemente no en el codominio a menos que sea sobreyectiva): ^{[28] [13] [37] [38] [39] [34]} ultra, ultrafiltro, filtro, prefiltro, subbase de filtro, ideal dual, cerrado hacia arriba, propio/no degenerado, ideal, cerrado bajo uniones finitas, cerrado hacia abajo, dirigido hacia arriba. Además, si es un prefiltro entonces también lo son ambos ^[28] La imagen bajo una función de un conjunto ultra es nuevamente ultra y si es un prefiltro ultra entonces también lo es ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Si es un filtro, entonces es un filtro en el rango , pero es un filtro en el codominio si y solo si es sobreyectivo. ^[37] De lo contrario, es solo un prefiltro en y su cierre ascendente debe tomarse en cuenta para obtener un filtro. El cierre ascendente de es donde si está cerrado hacia arriba en (es decir, un filtro), entonces esto se simplifica a: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Si se toma como el mapa de inclusión, se muestra que cualquier prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) en también es un prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) en ^[28] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Preimágenes de prefiltros

Sea bajo el supuesto de que es sobreyectiva : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro (resp. subbase de filtro, π -sistema, cerrado bajo uniones finitas, propio) si y solo si esto es cierto para ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Sin embargo, si es un ultrafiltro en entonces incluso si es sobreyectivo (lo que lo convertiría en un prefiltro), es posible que el prefiltro no sea ni ultra ni un filtro en ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$ 

Si no es sobreyectiva entonces denotamos la traza de por donde en este caso particular la traza satisface: y en consecuencia también: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Esta última igualdad y el hecho de que la traza es una familia de conjuntos sobre significa que para sacar conclusiones sobre la traza se puede utilizar en lugar de y la sobreyección se puede utilizar en lugar de Por ejemplo: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro (resp. subbase de filtro, π -sistema, propio) si y solo si esto es cierto para ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

De esta manera, el caso donde no es (necesariamente) sobreyectivo puede reducirse al caso de una función sobreyectiva (que es un caso que se describió al comienzo de esta subsección). ${\displaystyle f}$

Incluso si es un ultrafiltro si no es sobreyectivo, entonces es posible que lo que haría que también sea degenerado. La siguiente caracterización muestra que la degeneración es el único obstáculo. Si es un prefiltro, entonces los siguientes son equivalentes: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$es un prefiltro;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Engrana con ${\displaystyle f(X)}$

y además, si es un prefiltro entonces también lo es ^{[13] [28]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Si y si denota el mapa de inclusión, entonces la traza de es igual a ^[28]. Esta observación permite que los resultados de esta subsección se apliquen a la investigación de la traza en un conjunto. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

La subordinación se preserva mediante imágenes y preimágenes.

La relación se conserva tanto bajo imágenes como preimágenes de familias de conjuntos. ^[28] Esto significa que para cualquier familia ^[39] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Además, las siguientes relaciones siempre se cumplen para cualquier familia de conjuntos : ^[39] donde la igualdad se cumplirá si es sobreyectiva. ^[39] Además, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Si entonces ^[20] y ^[39] donde la igualdad se cumplirá si es inyectiva. ^[39] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$ $${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Productos de prefiltros

Supóngase que es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto se denotará por y para cada índice sea la proyección canónica. Sea familias no vacías, también indexadas por tales que para cada El producto de las familias ^[28] se define de forma idéntica a cómo se definen los subconjuntos abiertos básicos de la topología del producto (si todas estas hubieran sido topologías). Es decir, ambas notaciones denotan la familia de todos los subconjuntos cilíndricos tales que para todos excepto un número finito y donde para cualquiera de estas excepciones finitas (es decir, para cualquier tal que necesariamente ). Cuando cada es una subbase de filtro, entonces la familia es una subbase de filtro para el filtro en generado por ^[28] Si es una subbase de filtro, entonces el filtro en que genera se llama filtro generado por . ^[28] Si cada es un prefiltro en entonces será un prefiltro en y además, este prefiltro es igual al prefiltro más grueso tal que para cada ^[28] Sin embargo, puede no ser un filtro en incluso si cada es un filtro en ^[28] ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod _{}}X_{\bullet }:={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}S_{i}\subseteq {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Convergencia, límites y puntos de concentración

En su totalidad, es un espacio topológico . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Prefiltros vs filtros

Con respecto a los mapas y subconjuntos, la propiedad de ser un prefiltro se comporta mejor y se conserva mejor en general que la propiedad de ser un filtro. Por ejemplo, la imagen de un prefiltro bajo algún mapa es nuevamente un prefiltro; pero la imagen de un filtro bajo un mapa no sobreyectivo nunca es un filtro en el codominio, aunque será un prefiltro. La situación es la misma con las preimágenes bajo mapas no inyectivos (incluso si el mapa es sobreyectivo). Si es un subconjunto propio, entonces cualquier filtro sobre no será un filtro sobre aunque será un prefiltro. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$

Una ventaja que tienen los filtros es que son representantes distinguidos de su clase de equivalencia (relativa a ), lo que significa que cualquier clase de equivalencia de prefiltros contiene un filtro único. Esta propiedad puede ser útil cuando se trabaja con clases de equivalencia de prefiltros (por ejemplo, son útiles en la construcción de compleciones de espacios uniformes mediante filtros de Cauchy). Las muchas propiedades que caracterizan a los ultrafiltros también suelen ser útiles. Se utilizan para, por ejemplo, construir la compactificación de Stone–Čech . El uso de ultrafiltros generalmente requiere que se suponga el lema del ultrafiltro. Pero en los muchos campos donde se supone el axioma de elección (o el teorema de Hahn–Banach ), el lema del ultrafiltro se cumple necesariamente y no requiere un supuesto de adición. ${\displaystyle \,\leq }$

Una nota sobre la intuición

Supongamos que un filtro no principal sobre un conjunto infinito tiene una propiedad "ascendente" (la de estar cerrado hacia arriba) y una propiedad "descendente" (la de estar dirigido hacia abajo). Comenzando con cualquier siempre existe algún que es un subconjunto propio de ; esto puede continuar hasta el infinito para obtener una secuencia de conjuntos en donde cada uno sea un subconjunto propio de Lo mismo no es cierto si se va "hacia arriba", ya que si entonces no hay ningún conjunto en que contenga como un subconjunto propio. Por lo tanto, cuando se trata de limitar el comportamiento (que es un tema central en el campo de la topología), ir "hacia arriba" conduce a un callejón sin salida, mientras que ir "hacia abajo" suele ser fructífero. Por lo tanto, para obtener comprensión e intuición sobre cómo se relacionan los filtros (y los prefiltros) con los conceptos en topología, la propiedad "hacia abajo" es generalmente en la que hay que concentrarse. Esta es también la razón por la que se pueden describir tantas propiedades topológicas utilizando solo prefiltros, en lugar de requerir filtros (que solo se diferencian de los prefiltros en que también están cerrados hacia arriba). La propiedad "ascendente" de los filtros es menos importante para la intuición topológica, pero a veces es útil tenerla por razones técnicas. Por ejemplo, con respecto a cada filtro, la subbase está contenida en un único filtro más pequeño, pero puede que no exista un único prefiltro más pequeño que la contenga. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle F_{1}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{0}\supsetneq F_{1}\supsetneq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i+1}}$ ${\displaystyle F_{i}.}$ ${\displaystyle F_{0}=X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq ,}$

Límites y convergencia

Se dice que      una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$convergen en ${\displaystyle (X,\tau )}$un puntode^[8]siExplícitamente,significa que cada vecindariocontiene algunoscomo subconjunto (es decir,); por lo tanto, se cumple lo siguiente:En palabras, una familia converge a un punto o subconjuntosi y solo si esmás finoque el filtro de vecindario en Una familiaque converge a un puntose puede indicar escribiendo^[32]y diciendo quees una ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\ni N\supseteq B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x}$límite desi este límitees un punto (y no un subconjunto), entoncestambién se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$punto límite .^[40]Como es habitual,se define como queyes elúnicopunto límite deque es, si también^[32] (Si la notación "" no requiriera también que el punto límitesea único, entonces ya no se garantizaría que elsigno igual= seatransitivo). El conjunto de todos los puntos límite dese denota por^[8] ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to z{\text{ then }}z=x.}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {B}}{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}.}$

En las definiciones anteriores, basta con comprobar que es más fino que alguna (o equivalentemente, más fino que cada) base de vecindad en el punto (por ejemplo, tal como o cuando ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau (x)=\{U\in \tau :x\in U\}}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s)}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$

Ejemplos

Si es un espacio euclidiano y denota la norma euclidiana (que es la distancia desde el origen, definida como de costumbre), entonces todas las siguientes familias convergen al origen: ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|}$

1. el prefiltro de todas las bolas abiertas centradas en el origen, donde ${\displaystyle \{B_{r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{r}(z)=\{x:\|x-z\|<r\}.}$
2. el prefiltro de todas las bolas cerradas centradas en el origen, donde Este prefiltro es equivalente al anterior. ${\displaystyle \{B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{\leq r}(z)=\{x:\|x-z\|\leq r\}.}$
3. el prefiltro donde es una unión de esferas centradas en el origen que tienen radios progresivamente más pequeños. Esta familia consta de los conjuntos como rangos sobre los números enteros positivos. ${\displaystyle \{R\cap B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle R=S_{1}\cup S_{1/2}\cup S_{1/3}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{r}=\{x:\|x\|=r\}}$ ${\displaystyle S_{1/n}\cup S_{1/(n+1)}\cup S_{1/(n+2)}\cup \cdots }$ ${\displaystyle n}$
4. cualquiera de las familias anteriores pero con un radio que abarca sobre (o sobre cualquier otra secuencia decreciente positiva) en lugar de sobre todos los reales positivos. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots }$
   • Dibujar o imaginar cualquiera de estas secuencias de conjuntos cuando tiene dimensión sugiere que intuitivamente estos conjuntos "deberían" converger al origen (y de hecho lo hacen). Esta es la intuición que la definición anterior de un "prefiltro convergente" hace rigurosa. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Aunque se asumió que era la norma euclidiana , el ejemplo anterior sigue siendo válido para cualquier otra norma en ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

El único punto límite en del prefiltro libre es ya que cada bola abierta alrededor del origen contiene algún intervalo abierto de esta forma. El prefiltro fijo no converge en a ningún punto y por lo tanto, aunque converge al conjunto ya que Sin embargo, no todo prefiltro fijo converge a su núcleo. Por ejemplo, el prefiltro fijo también tiene núcleo pero no converge (en ) a él. ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(0,r):r>0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{[0,1+r):r>0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}([0,1])\leq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \{[0,1+r)\cup (1+1/r,\infty ):r>0\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El prefiltro libre de intervalos no converge (en ) a ningún punto. Lo mismo es cierto también del prefiltro porque es equivalente a y las familias equivalentes tienen los mismos límites. De hecho, si es cualquier prefiltro en cualquier espacio topológico entonces para cada De manera más general, debido a que el único entorno de es él mismo (es decir, ), cada familia no vacía (incluida cada subbase de filtro) converge a ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)=\{X\}}$ ${\displaystyle X.}$

Para cualquier punto su filtro de vecindad siempre converge a De manera más general, cualquier base de vecindad en converge a Un punto es siempre un punto límite del ultraprefiltro principal y del ultrafiltro que genera. La familia vacía no converge a ningún punto. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\to x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\{x\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\varnothing }$

Propiedades básicas

Si converge a un punto, entonces lo mismo es cierto para cualquier familia más fina que Esto tiene muchas consecuencias importantes. Una consecuencia es que los puntos límite de una familia son los mismos que los puntos límite de su cierre ascendente: En particular, los puntos límite de un prefiltro son los mismos que los puntos límite del filtro que genera. Otra consecuencia es que si una familia converge a un punto, entonces lo mismo es cierto para la traza/restricción de la familia a cualquier subconjunto dado de Si es un prefiltro y luego converge a un punto de si y solo si esto es cierto para la traza ^[41] Si una subbase de filtro converge a un punto, entonces convergen el filtro y el π -sistema que genera, aunque no se garantiza lo inverso. Por ejemplo, la subbase de filtro no converge a en aunque el filtro (principio ultra) que genera sí lo hace. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {lim} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{B}.}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,0],[0,\infty )\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Dados los siguientes son equivalentes para un prefiltro ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$converge a ${\displaystyle x.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$converge a ${\displaystyle x.}$
3. Existe una familia equivalente a la que converge a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

Como la subordinación es transitiva, si y además, para cada tanto y el filtro maximal/ultrafiltro convergen a Por lo tanto, cada espacio topológico induce una convergencia canónica definida por En el otro extremo, el filtro de vecindad es el filtro más pequeño (es decir, más grueso) en que converge a es decir, cualquier filtro que converge a debe contener como un subconjunto. Dicho de otra manera, la familia de filtros que convergen a consiste exactamente en aquellos filtros en que contienen como un subconjunto. En consecuencia, cuanto más fina sea la topología en entonces, menos prefiltros existen que tienen algún punto límite en ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ then }}\lim {}_{X}{\mathcal {B}}\subseteq \lim {}_{X}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle (x,{\mathcal {B}})\in \xi {\text{ if and only if }}x\in \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Puntos de agrupamiento

Se dice que una familia se agrupa en un punto de si coincide con el filtro de vecindad de , es decir, si Explícitamente, esto significa que y cada vecindad de En particular, un punto es un ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle B\cap N\neq \varnothing {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupamiento o unpunto de acumulación de una familia^[8]sicoincide con el filtro de vecindad enEl conjunto de todos los puntos del grupo dese denota pordonde se puede omitir el subíndice si no es necesario. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x:\ {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},}$

En las definiciones anteriores, basta con comprobar que se ajusta a alguna base de vecindad (o equivalentemente, se ajusta a todas) en Cuando es un prefiltro, entonces la definición de " malla" se puede caracterizar completamente en términos del preorden de subordinación. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x{\text{ or }}S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,.}$

Dos familias equivalentes de conjuntos tienen exactamente los mismos puntos límite y también los mismos puntos de agrupamiento. Sin importar la topología, para cada uno de ellos y el grupo de ultrafiltros principal en Si se agrupan hasta un punto, entonces lo mismo es cierto para cualquier familia más gruesa que En consecuencia, los puntos de agrupamiento de una familia son los mismos que los puntos de agrupamiento de su cierre ascendente: En particular, los puntos de agrupamiento de un prefiltro son los mismos que los puntos de agrupamiento del filtro que genera. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {cl} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$

Dados los siguientes son equivalentes para un prefiltro : ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$racimos en ${\displaystyle x.}$
2. La familia generada por clusters en ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
3. Existe una familia equivalente a esa que se agrupa en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
4. ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}F.}$^[42]
5. ${\displaystyle X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$para cada barrio de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$
   • Si hay un filtro activado entonces para cada vecindario ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x.}$
6. Existe un prefiltro subordinado a (es decir, ) que converge a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
   • Este es el filtro equivalente de " es un punto de agrupamiento de una secuencia si y solo si existe una subsecuencia que converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
   • En particular, si es un punto de clúster de un prefiltro entonces es un prefiltro subordinado a que converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

El conjunto de todos los puntos de agrupamiento de un prefiltro satisface En consecuencia, el conjunto de todos los puntos de agrupamiento de cualquier prefiltro es un subconjunto cerrado de ^{[43] [8]} Esto también justifica la notación para el conjunto de puntos de agrupamiento. ^[8] En particular, si no está vacío (por lo que es un prefiltro), entonces, dado que ambos lados son iguales a ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{K\}=\operatorname {cl} _{X}K}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$

Propiedades y relaciones

Al igual que las secuencias y las redes, es posible que un prefiltro en un espacio topológico de cardinalidad infinita no tenga puntos de agrupamiento ni puntos límite. ^[43]

Si es un punto límite de entonces es necesariamente un punto límite de cualquier familia más fina que (es decir, si entonces ). ^[43] Por el contrario, si es un punto de grupo de entonces es necesariamente un punto de grupo de cualquier familia más gruesa que (es decir, si malla y entonces malla). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Familias equivalentes y subordinación

Cualquier par de familias equivalentes se pueden usar indistintamente en las definiciones de "límite de" y "agrupamiento en" porque su equivalencia garantiza que si y solo si y también que si y solo si En esencia, el preorden es incapaz de distinguir entre familias equivalentes. Dados dos prefiltros, si se engranan o no se puede caracterizar completamente en términos de subordinación. Por lo tanto, los dos conceptos más fundamentales relacionados con los (pre)filtros para la topología (es decir, los puntos límite y de agrupamiento) se pueden definir completamente en términos de la relación de subordinación. Esta es la razón por la que el preorden es de tanta importancia en la aplicación de (pre)filtros a la topología. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Relaciones de puntos límite y de agrupamiento y condiciones suficientes

Cada punto límite de una familia no degenerada es también un punto de agrupamiento; en símbolos: Esto se debe a que si es un punto límite de entonces malla, ^{[19] [43]} lo que hace un punto de agrupamiento de ^[8] Pero en general, un punto de agrupamiento no necesita ser un punto límite. Por ejemplo, cada punto en cualquier subconjunto no vacío dado es un punto de agrupamiento del prefiltro principal (sin importar en qué topología esté ) pero si es Hausdorff y tiene más de un punto entonces este prefiltro no tiene puntos límite; lo mismo es cierto del filtro que este prefiltro genera. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{K\}^{\uparrow X}}$

Sin embargo, cada punto de agrupamiento de un prefiltro ultra es un punto límite. En consecuencia, los puntos límite de un prefiltro ultra son los mismos que sus puntos de agrupamiento: es decir, un punto dado es un punto de agrupamiento de un prefiltro ultra si y solo si converge a ese punto. ^{[33] [44]} Aunque un punto de agrupamiento de un filtro no necesita ser un punto límite, siempre existirá un filtro más fino que converge a él; en particular, si se agrupa en entonces hay una subbase de filtro cuyo filtro generado converge a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}=\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {N}}(x)=\{B\cap N:B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}(x)\}}$ ${\displaystyle x.}$

Si es una subbase de filtro tal que entonces En particular, cualquier punto límite de una subbase de filtro subordinada a es necesariamente también un punto de agrupamiento de Si es un punto de agrupamiento de un prefiltro entonces es un prefiltro subordinado a que converge a ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}X.}$

Si y si es un prefiltro en entonces cada punto del grupo de pertenece a y cualquier punto en es un punto límite de un filtro en ^[43] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S.}$

Conjuntos primitivos

Un subconjunto se llama ${\displaystyle P\subseteq X}$primitivo ^[45]si es el conjunto de puntos límite de algún ultrafiltro (o equivalentemente, algún ultra prefiltro). Es decir, si existe un ultrafiltrotal quees igual alo que recall denota el conjunto de puntos límite deDado que los puntos límite son los mismos que los puntos de agrupamiento para los ultra prefiltros, un subconjunto es primitivo si y solo si es igual al conjuntode puntos de agrupamiento de algún ultra prefiltro Por ejemplo, cada subconjunto singleton cerrado es primitivo.^[45]La imagen de un subconjunto primitivo debajo una función continuaestá contenida en un subconjunto primitivo de^[45] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Supongamos que son dos subconjuntos primitivos de Si es un subconjunto abierto de que se interseca entonces para cualquier ultrafiltro tal que ^[45] Además, si son distintos entonces existen algunos y algunos ultrafiltros tales que y ^[45] ${\displaystyle P,Q\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle P{\text{ and }}Q}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{P}{\text{ and }}{\mathcal {B}}_{Q}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{P},Q=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{Q},S\in {\mathcal {B}}_{P},}$ ${\displaystyle X\setminus S\in {\mathcal {B}}_{Q}.}$

Otros resultados

Si es una red completa entonces: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle X}$

• El límite inferior de es el ínfimo del conjunto de todos los puntos del grupo de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• El límite superior de es el supremo del conjunto de todos los puntos del grupo de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• ${\displaystyle B}$es un prefiltro convergente si y sólo si su límite inferior y su límite superior concuerdan; en este caso, el valor en el que concuerdan es el límite del prefiltro.

Límites de funciones definidas como límites de prefiltros

Supongamos que es un mapa de un conjunto en un espacio topológico y Si es un punto límite (respectivamente, un punto de grupo) de entonces se llama un punto límite o límite (respectivamente, un punto de grupo ) de con respecto a ^[43] Explícitamente, es un límite de con respecto a si y solo si que puede escribirse como (por definición de esta notación) y establecerse como tienden a a lo largo de ^[46] Si el límite es único, entonces la flecha puede reemplazarse con un signo igual ^[32] El filtro de vecindad puede reemplazarse con cualquier familia equivalente a él y lo mismo es cierto para ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)\leq f({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to y{\text{ or }}\lim f({\mathcal {B}})\to y{\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle =.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

La definición de una red convergente es un caso especial de la definición anterior de un límite de una función. Específicamente, si es una red entonces donde el lado izquierdo indica que es un límite de la red mientras que el lado derecho indica que es un límite de la función con respecto a (como se acaba de definir anteriormente). ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}\chi :(I,\leq )\to X}$ $${\displaystyle \chi \to x{\text{ in }}X\quad {\text{ if and only if }}\quad \chi (\operatorname {Tails} (I,\leq ))\to x{\text{ in }}X,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\operatorname {Tails} (I,\leq )}$

La siguiente tabla muestra cómo se pueden definir varios tipos de límites encontrados en el análisis y la topología en términos de la convergencia de imágenes (bajo ) de prefiltros particulares en el dominio. Esto muestra que los prefiltros proporcionan un marco general en el que encajan muchas de las diversas definiciones de límites. ^[41] Los límites en la columna más a la izquierda se definen en su forma habitual con sus definiciones obvias. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

En todas partes, sea un mapa entre espacios topológicos, si es Hausdorff entonces todas las flechas " " en la tabla pueden reemplazarse con signos iguales " " y " " pueden reemplazarse con " ". ^[32] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{0}\in X,{\text{ and }}y\in Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to y}$ ${\displaystyle =y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})\to y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})=y}$

Al definir diferentes prefiltros, se pueden definir muchas otras nociones de límites; por ejemplo, ${\displaystyle \lim _{\stackrel {|x|\to |x_{0}|}{|x|\neq |x_{0}|}}f(x)\to y.}$

Divergencia al infinito

La divergencia de una función de valor real hasta el infinito se puede definir/caracterizar utilizando los prefiltros donde a lo largo si y solo si y de manera similar, a lo largo si y solo si La familia se puede reemplazar por cualquier familia equivalente a ella, como por ejemplo (en análisis real, esto correspondería a reemplazar la desigualdad estricta " " en la definición con " "), y lo mismo es cierto para y $${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}~~{\text{ and }}~~(-\infty ,\mathbb {R} ):=\{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \},}$$ ${\displaystyle f\to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\to -\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)>r}$ ${\displaystyle f(x)\geq r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ).}$

Por ejemplo, si entonces se cumple si y solo si . De manera similar, si y solo si o, equivalentemente, si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to \infty }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to -\infty }$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right),}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ]\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right).}$

De manera más general, si se valora en (o en algún otro espacio vectorial semirnormalizado ) y si entonces se cumple si y solo si , donde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}Y=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{\geq r}:=\{y\in Y:|y|\geq r\}=Y\setminus B_{<r}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|\to \infty }$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right)}$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }:=\left\{B_{\geq r}:r\in \mathbb {R} \right\}.}$

Filtros y redes

Esta sección describirá las relaciones entre prefiltros y redes en gran detalle debido a la importancia que tienen estos detalles al aplicar filtros a la topología, particularmente al cambiar de utilizar redes a utilizar filtros y viceversa.

Redes para prefiltros

En las definiciones que aparecen a continuación, la primera afirmación es la definición estándar de un punto límite de una red (respectivamente, un punto de agrupamiento de una red) y se reformula gradualmente hasta llegar al concepto de filtro correspondiente.

Se dice que una red ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$convergen en un puntoescritoyse llama límite o punto límite de ^[47] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet },}$

1. Definición: Para cada existe alguno tal que si ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\leq j\in I{\text{ then }}x_{j}\in N.}$
2. Para cada existe algún tal que la cola de comenzando en está contenida en (es decir, tal que ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq N}$
3. Para cada uno existe algo tal que ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq N.}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$
5. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x{\text{ in }}X;}$es decir, el prefiltro converge a ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x.}$

Como es habitual, se define como que y es el único punto límite de que es, si también ^[47] ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet };}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to z{\text{ then }}z=x.}$

Un punto se llama ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupación ode una redsi se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}(X,\tau )}$

1. Definición: Para cada uno y cada una existe algo tal que ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i\leq j\in I}$ ${\displaystyle x_{j}\in N.}$
2. Para cada uno y cada la cola de inicio en interseca (es decir, ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\cap N\neq \varnothing }$
3. Para todos y cada uno ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right),B\cap N\neq \varnothing .}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x){\text{ and }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$malla (por definición de "malla").
5. ${\displaystyle x}$es un punto de agrupamiento de ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Si es un mapa y es una red entonces ^[3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Prefiltros para redes

Un conjunto puntiagudo es un par que consta de un conjunto no vacío y un elemento. Para cualquier familia sea ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\}.}$$

Defina un preorden canónico en conjuntos puntiagudos declarando ${\displaystyle \,\leq \,}$ $${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Hay un mapa canónico definido por Si entonces la cola de la asignación que comienza en es ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$ ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Aunque no es, en general, un conjunto parcialmente ordenado, es un conjunto dirigido si (y sólo si) es un prefiltro. Por lo tanto, la opción más inmediata para la definición de "la red inducida por un prefiltro " es la asignación de en ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Si hay un prefiltro activado , entonces la red asociada es el mapa. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

eso es, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Si es un prefiltro en es una red en y el prefiltro asociado con es ; es decir: ^{[nota 6]} Esto no sería necesariamente cierto si se hubiera definido en un subconjunto adecuado de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$

Si es una red en entonces no es en general cierto que sea igual a porque, por ejemplo, el dominio de puede ser de una cardinalidad completamente diferente a la de (ya que a diferencia del dominio de el dominio de una red arbitraria en podría tener cualquier cardinalidad). ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Proposición  —  Si es un prefiltro en y entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$
2. ${\displaystyle x}$es un punto de agrupamiento de si y solo si es un punto de agrupamiento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Prueba

Recordemos que y que si es una red en entonces (1) y (2) es un punto de clúster de si y solo si es un punto de clúster de Al usarlo se deduce que También se deduce que es un punto de clúster de si y solo si es un punto de clúster de si y solo si es un punto de clúster de ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right),}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Red parcialmente ordenada

El dominio de la red canónica en general no está parcialmente ordenado. Sin embargo, en 1955 Bruns y Schmidt descubrieron ^[48] una construcción (detallada aquí: Filtro (teoría de conjuntos)#Red parcialmente ordenada ) que permite que la red canónica tenga un dominio que sea tanto parcialmente ordenado como dirigido; esto fue redescubierto independientemente por Albert Wilansky en 1970. ^[3] Debido a que las colas de esta red parcialmente ordenada son idénticas a las colas de (ya que ambas son iguales al prefiltro ), normalmente no se pierde nada al suponer que el dominio de la red asociada con un prefiltro es tanto dirigido como parcialmente ordenado. ^[3] Se puede suponer además que el dominio parcialmente ordenado también es un orden denso . ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Filtros subordinados y subredes

La noción de " está subordinado a " (escrito ) es para filtros y prefiltros lo que " es una subsecuencia de " es para secuencias. ^[26] Por ejemplo, si denota el conjunto de colas de y si denota el conjunto de colas de la subsecuencia (donde ) entonces (que por definición significa ) es verdadero pero es en general falso. Si es una red en un espacio topológico y si es el filtro de vecindad en un punto entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{j}}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {N}}(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Si es una función abierta sobreyectiva, y es un prefiltro en que converge a entonces existe un prefiltro en tal que y es equivalente a (es decir, ). ^[49] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}}$

Análogos de subordinación de resultados que involucran subsecuencias

Los siguientes resultados son los análogos de prefiltro de las declaraciones que involucran subsecuencias. ^[50] La condición " " que también se escribe es el análogo de " es una subsecuencia de " Entonces "más fino que" y "subordinado a" es el análogo de prefiltro de "subsecuencia de". Algunas personas prefieren decir "subordinado a" en lugar de "más fino que" porque recuerda más a "subsecuencia de". ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Proposición ^{[50] [43]}  —  Sea un prefiltro en y sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$

1. Supongamos que hay un prefiltro tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}.}$
   1. Si entonces ^{[prueba 1]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x.}$
      • Esto es el análogo de "si una secuencia converge a entonces también lo hace cada subsecuencia". ${\displaystyle x}$
   2. Si es un punto de agrupamiento de entonces es un punto de agrupamiento de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
      • Esto es el análogo de "si es un punto de agrupamiento de alguna subsecuencia, entonces es un punto de agrupamiento de la secuencia original". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$si y sólo si para cualquier prefiltro más fino existe algún prefiltro aún más fino tal que ^[43] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x.}$
   • Este es el análogo de "una secuencia converge a si y sólo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge a ". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle x}$es un punto de agrupamiento de si y solo si existe algún prefiltro más fino tal que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x.}$
   • Este es el análogo de la siguiente afirmación falsa : " es un punto de agrupamiento de una secuencia si y sólo si tiene una subsecuencia que converge a " (es decir, si y sólo si es un límite subsiguiente ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
   • El análogo para las secuencias es falso ya que hay una topología de Hausdorff en y una secuencia en este espacio (ambas definidas aquí ^{[nota 7] [51]} ) que se agrupan en pero que tampoco tienen ninguna subsecuencia que converja a ^[52] ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

No equivalencia de subredes y filtros subordinados

Las subredes en el sentido de Willard y las subredes en el sentido de Kelley son las definiciones más utilizadas de " subred ". ^[53] La primera definición de subred ("subred de Kelley") fue introducida por John L. Kelley en 1955. ^[53] Stephen Willard introdujo en 1970 su propia variante ("subred de Willard") de la definición de subred de Kelley. ^[53] Las subredes AA fueron introducidas independientemente por Smiley (1957), Aarnes y Andenaes (1972) y Murdeshwar (1983); las subredes AA fueron estudiadas en gran detalle por Aarnes y Andenaes pero no se utilizan a menudo. ^[53]

Un subconjunto de un espacio preordenado es ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$frecuente o cofinal ensi para cadaexiste algunotal queSicontiene una cola deentoncesse dice que es ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$eventual en}}; explícitamente, esto significa que existe algúntal que(es decir,para todoslos que satisfacen). Un subconjunto es eventual si y solo si su complemento no es frecuente (lo que se denomina ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle i\leq j}$poco frecuente ).^[53] Un mapaentre dos conjuntos preordenados es ${\displaystyle h:A\to I}$preservación del orden si siempre quesatisfaceentonces ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle h(a)\leq h(b).}$

Definiciones : Sean redes. Entonces ^[53] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unSubred deo unasubred en el sentido de Willardsi existe un mapa que preserva el ordental quees cofinal en ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unSubred deo unasubred en el sentido de Kelleysi existe un mapatal quey siempreque sea eventual enentonceses eventual en ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unSubred AA deo unasubred en el sentido de Aarnes y Andenaessi se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Si es eventual en es eventual en ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Para cualquier subconjunto de la malla, entonces haz lo mismo ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Kelley no requirió que el mapa preservara el orden, mientras que la definición de una subred AA elimina por completo cualquier mapa entre los dominios de las dos redes y, en cambio, se enfoca completamente en el codominio común de las redes. Cada subred Willard es una subred Kelley y ambas son subredes AA. ^[53] En particular, si es una subred Willard o una subred Kelley de entonces ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

Ejemplo: Si y es una secuencia constante y si y entonces es una subred AA de pero no es ni una subred de Willard ni una subred de Kelley de ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{1}:=x_{1}}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Las subredes AA tienen una caracterización definitoria que muestra inmediatamente que son totalmente intercambiables con filtros subordinados. ^{[53] [54]} Explícitamente, lo que se quiere decir es que la siguiente afirmación es verdadera para las subredes AA:

     Si son prefiltros, entonces si y solo si es una subred AA de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Si se reemplaza "subred AA" por "subred Willard" o "subred Kelley", la afirmación anterior se vuelve falsa . En particular, como demuestra este contraejemplo , el problema es que la siguiente afirmación es, en general, falsa:

     Afirmación falsa : Si hay prefiltros tales quees una subred Kelley de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Dado que cada subred Willard es una subred Kelley, esta afirmación sigue siendo falsa si se reemplaza la palabra "subred Kelley" por "subred Willard".

Si se define "subred" como subred Willard o subred Kelley, entonces las redes y los filtros no son completamente intercambiables porque existe una relación filtro-filtro subordinado que no se puede expresar en términos de una relación red-subred entre las dos redes inducidas. En particular, el problema es que las subredes Kelley y Willard no son completamente intercambiables con los filtros subordinados. Si no se utiliza la noción de "subred" o si se define "subred" como subred AA, entonces esto deja de ser un problema y, por lo tanto, se vuelve correcto decir que las redes y los filtros son intercambiables. A pesar del hecho de que las subredes AA no tienen el problema que tienen las subredes Willard y Kelley, no se usan ampliamente ni se conocen. ^{[53] [54]}

Topologías y prefiltros

En su totalidad, es un espacio topológico . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Ejemplos de relaciones entre filtros y topologías

Bases y prefiltros

Sea una familia de conjuntos que cubre y define para cada La definición de una base para alguna topología se puede reformular inmediatamente como: es una base para alguna topología en si y solo si es una base de filtro para cada Si es una topología en y entonces las definiciones de es una base (resp. subbase ) para se pueden reformular como: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

      ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base (resp. subbase) para si y solo si para cada es una base de filtro (resp. subbase de filtro) que genera el filtro de vecindad de en ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x.}$

Filtros de barrio

El ejemplo arquetípico de un filtro es el conjunto de todos los vecindarios de un punto en un espacio topológico. Cualquier base de vecindario de un punto en (o de un subconjunto de) un espacio topológico es un prefiltro. De hecho, la definición de una base de vecindario puede reformularse de manera equivalente como: "una base de vecindario es cualquier prefiltro que sea equivalente al filtro de vecindario".

Las bases de vecindad en puntos son ejemplos de prefiltros que son fijos pero pueden o no ser principales. Si tiene su topología usual y si entonces cualquier base de filtro de vecindad de es fija por (de hecho, incluso es cierto que ) pero no es principal ya que Por el contrario, un espacio topológico tiene la topología discreta si y solo si el filtro de vecindad de cada punto es un filtro principal generado por exactamente un punto. Esto muestra que un filtro no principal en un conjunto infinito no es necesariamente libre. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}\not \in {\mathcal {B}}.}$

El filtro de vecindad de cada punto en el espacio topológico es fijo ya que su núcleo contiene (y posiblemente otros puntos si, por ejemplo, no es un espacio T 1 ). Esto también es cierto para cualquier base de vecindad en Para cualquier punto en un espacio T 1 (por ejemplo, un espacio de Hausdorff ), el núcleo del filtro de vecindad de es igual al conjunto singleton ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Sin embargo, es posible que un filtro de vecindad en un punto sea principal pero no discreto (es decir, no principal en un único punto). Una base de vecindad de un punto en un espacio topológico es principal si y solo si el núcleo de es un conjunto abierto. Si además el espacio es T 1 entonces de modo que esta base es principal si y solo si es un conjunto abierto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Generación de topologías a partir de filtros y prefiltros

Supongamos que no está vacío (y ). Si es un filtro en entonces es una topología en pero la inversa es, en general, falsa. Esto demuestra que, en cierto sentido, los filtros son casi topologías. Las topologías de la forma donde es un ultrafiltro en son una subclase aún más especializada de tales topologías; tienen la propiedad de que todo subconjunto propio es abierto o cerrado, pero (a diferencia de la topología discreta ) nunca ambos. Estos espacios son, en particular, ejemplos de espacios de puerta . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$

Si es un prefiltro (resp. subbase de filtro, π -sistema, propio) en entonces lo mismo es cierto para ambos y el conjunto de todas las uniones posibles de uno o más elementos de Si es cerrado bajo intersecciones finitas, entonces el conjunto es una topología en siendo ambos bases para él. Si el π -sistema cubre entonces ambos son también bases para Si es una topología en entonces es un prefiltro (o equivalentemente, un π -sistema) si y solo si tiene la propiedad de intersección finita (es decir, es una subbase de filtro), en cuyo caso un subconjunto será una base para si y solo si es equivalente a en cuyo caso será un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}=\{\varnothing ,X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}\{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$

Propiedades topológicas y prefiltros

Barrios y topologías

The neighborhood filter of a nonempty subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ in a topological space ${\displaystyle X}$ is equal to the intersection of all neighborhood filters of all points in ${\displaystyle S.}$^[55] A subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ is open in ${\displaystyle X}$ if and only if whenever ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle s\in S,}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to s{\text{ in }}X{\text{ implies }}S\in {\mathcal {F}}.}$

Suppose ${\displaystyle \sigma {\text{ and }}\tau }$ are topologies on ${\displaystyle X.}$ Then ${\displaystyle \tau }$ is finer than ${\displaystyle \sigma }$ (that is, ${\displaystyle \sigma \subseteq \tau }$) if and only if whenever ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ is a filter on ${\displaystyle X,}$ if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau )}$ then ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma ).}$^[45] Consequently, ${\displaystyle \sigma =\tau }$ if and only if for every filter ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ and every ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma )}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau ).}$^[32] However, it is possible that ${\displaystyle \sigma \neq \tau }$ while also for every filter ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X,{\mathcal {B}}}$ converges to some point of ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\sigma )}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ converges to some point of ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\tau ).}$^[32]

Closure

If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on a subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ then every cluster point of ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ belongs to ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$^[44]

If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}S\subseteq X}$ is a non-empty subset, then the following are equivalent:

1. ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$
2. ${\displaystyle x}$ is a limit point of a prefilter on ${\displaystyle S.}$ Explicitly: there exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}S}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$^[50]
3. ${\displaystyle x}$ is a limit point of a filter on ${\displaystyle S.}$^[44]
4. There exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ such that ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$
5. The prefilter ${\displaystyle \{S\}}$ meshes with the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ Said differently, ${\displaystyle x}$ is a cluster point of the prefilter ${\displaystyle \{S\}.}$
6. The prefilter ${\displaystyle \{S\}}$ meshes with some (or equivalently, with every) filter base for ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ (that is, with every neighborhood basis at ${\displaystyle x}$).

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle x}$ is a limit points of ${\displaystyle S{\text{ in }}X.}$
2. There exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}\{S\}\setminus \{x\}}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$^[50]

Closed sets

If ${\displaystyle S\subseteq X}$ is not empty then the following are equivalent:

1. ${\displaystyle S}$ is a closed subset of ${\displaystyle X.}$
2. If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ is a prefilter on ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X,}$ then ${\displaystyle x\in S.}$
3. If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ is a prefilter on ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle x}$ is an accumulation points of ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}X,}$ then ${\displaystyle x\in S.}$^[50]
4. If ${\displaystyle x\in X}$ is such that the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ meshes with ${\displaystyle \{S\}}$ then ${\displaystyle x\in S.}$

Hausdorffness

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle X}$ is a Hausdorff space.
2. Every prefilter on ${\displaystyle X}$ converges to at most one point in ${\displaystyle X.}$^[8]
3. The above statement but with the word "prefilter" replaced by any one of the following: filter, ultra prefilter, ultrafilter.^[8]

Compactness

As discussed in this article, the Ultrafilter Lemma is closely related to many important theorems involving compactness.

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a compact space.
2. Every ultrafilter on ${\displaystyle X}$ converges to at least one point in ${\displaystyle X.}$^[56]
   • That this condition implies compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma. That compactness implies this condition can be proven without the ultrafilter lemma (or even the axiom of choice).
3. The above statement but with the word "ultrafilter" replaced by "ultra prefilter".^[8]
4. For every filter ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ there exists a filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ converges to some point of ${\displaystyle X.}$
5. The above statement but with each instance of the word "filter" replaced by: prefilter.
6. Every filter on ${\displaystyle X}$ has at least one cluster point in ${\displaystyle X.}$^[56]
   • That this condition is equivalent to compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma.
7. The above statement but with the word "filter" replaced by "prefilter".^[8]
8. Alexander subbase theorem: There exists a subbase ${\displaystyle {\mathcal {S}}{\text{ for }}\tau }$ such that every cover of ${\displaystyle X}$ by sets in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ has a finite subcover.
   • That this condition is equivalent to compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma.

If ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is the set of all complements of compact subsets of a given topological space ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle X}$ is not compact.

Theorem^[57] — If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a filter on a compact space and ${\displaystyle C}$ is the set of cluster points of ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ then every neighborhood of ${\displaystyle C}$ belongs to ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Thus a filter on a compact Hausdorff space converges if and only if it has a single cluster point.

Continuity

Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a map between topological spaces ${\displaystyle (X,\tau ){\text{ and }}(Y,\upsilon ).}$

Given ${\displaystyle x\in X,}$ the following are equivalent:

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous at ${\displaystyle x.}$
2. Definition: For every neighborhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle f(x){\text{ in }}Y}$ there exists some neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle x{\text{ in }}X}$ such that ${\displaystyle f(N)\subseteq V.}$
3. ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x){\text{ in }}Y.}$^[52]
4. If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ then ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$
5. The above statement but with the word "filter" replaced by "prefilter".

The following are equivalent:

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous.
2. If ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ then ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$^[52]
3. If ${\displaystyle x\in X}$ is a limit point of a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ then ${\displaystyle f(x)}$ is a limit point of ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y.}$
4. Any one of the above two statements but with the word "prefilter" replaced by "filter".

If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X,x\in X}$ is a cluster point of ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\text{ and }}f:X\to Y}$ is continuous, then ${\displaystyle f(x)}$ is a cluster point in ${\displaystyle Y}$ of the prefilter ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$^[45]

A subset ${\displaystyle D}$ of a topological space ${\displaystyle X}$ is dense in ${\displaystyle X}$ if and only if for every ${\displaystyle x\in X,}$ the trace ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}}$ of the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ along ${\displaystyle D}$ does not contain the empty set (in which case it will be a filter on ${\displaystyle D}$).

Suppose ${\displaystyle f:D\to Y}$ is a continuous map into a Hausdorff regular space ${\displaystyle Y}$ and that ${\displaystyle D}$ is a dense subset of a topological space ${\displaystyle X.}$ Then ${\displaystyle f}$ has a continuous extension ${\displaystyle F:X\to Y}$ if and only if for every ${\displaystyle x\in X,}$ the prefilter ${\displaystyle f\left({\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}\right)}$ converges to some point in ${\displaystyle Y.}$ Furthermore, this continuous extension will be unique whenever it exists.^[58]

Products

Suppose ${\displaystyle X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ is a non-empty family of non-empty topological spaces and that is a family of prefilters where each ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X_{i}.}$ Then the product ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ of these prefilters (defined above) is a prefilter on the product space ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$ which as usual, is endowed with the product topology.

If ${\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$ then ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }\to x_{\bullet }{\text{ in }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\to x_{i}{\text{ in }}X_{i}{\text{ for every }}i\in I.}$

Suppose ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ are topological spaces, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle X}$ having ${\displaystyle x\in X}$ as a cluster point, and ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is a prefilter on ${\displaystyle Y}$ having ${\displaystyle y\in Y}$ as a cluster point. Then ${\displaystyle (x,y)}$ is a cluster point of ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}}$ in the product space ${\displaystyle X\times Y.}$^[45] However, if ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ then there exist sequences ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ and }}\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq Y}$ such that both of these sequences have a cluster point in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ but the sequence ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\times Y}$ does not have a cluster point in ${\displaystyle X\times Y.}$^[45]

Example application: The ultrafilter lemma along with the axioms of ZF imply Tychonoff's theorem for compact Hausdorff spaces:

Examples of applications of prefilters

Uniformities and Cauchy prefilters

A uniform space is a set ${\displaystyle X}$ equipped with a filter on ${\displaystyle X\times X}$ that has certain properties. A base or fundamental system of entourages is a prefilter on ${\displaystyle X\times X}$ whose upward closure is a uniform space. A prefilter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on a uniform space ${\displaystyle X}$ with uniformity ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is called a Cauchy prefilter if for every entourage ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}},}$ there exists some ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ that is ${\displaystyle N}$-small, which means that ${\displaystyle B\times B\subseteq N.}$ A minimal Cauchy filter is a minimal element (with respect to ${\displaystyle \,\leq \,}$ or equivalently, to ${\displaystyle \,\subseteq }$) of the set of all Cauchy filters on ${\displaystyle X.}$ Examples of minimal Cauchy filters include the neighborhood filter ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ of any point ${\displaystyle x\in X.}$ Every convergent filter on a uniform space is Cauchy. Moreover, every cluster point of a Cauchy filter is a limit point.

A uniform space ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ is called complete (resp. sequentially complete) if every Cauchy prefilter (resp. every elementary Cauchy prefilter) on ${\displaystyle X}$ converges to at least one point of ${\displaystyle X}$ (replacing all instance of the word "prefilter" with "filter" results in equivalent statement). Every compact uniform space is complete because any Cauchy filter has a cluster point (by compactness), which is necessarily also a limit point (since the filter is Cauchy).

Uniform spaces were the result of attempts to generalize notions such as "uniform continuity" and "uniform convergence" that are present in metric spaces. Every topological vector space, and more generally, every topological group can be made into a uniform space in a canonical way. Every uniformity also generates a canonical induced topology. Filters and prefilters play an important role in the theory of uniform spaces. For example, the completion of a Hausdorff uniform space (even if it is not metrizable) is typically constructed by using minimal Cauchy filters. Nets are less ideal for this construction because their domains are extremely varied (for example, the class of all Cauchy nets is not a set); sequences cannot be used in the general case because the topology might not be metrizable, first-countable, or even sequential. The set of all minimal Cauchy filters on a Hausdorff topological vector space (TVS) ${\displaystyle X}$ can made into a vector space and topologized in such a way that it becomes a completion of ${\displaystyle X}$ (with the assignment ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ becoming a linear topological embedding that identifies ${\displaystyle X}$ as a dense vector subspace of this completion).

More generally, a Cauchy space is a pair ${\displaystyle (X,{\mathfrak {C}})}$ consisting of a set ${\displaystyle X}$ together a family ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\subseteq \wp (\wp (X))}$ of (proper) filters, whose members are declared to be "Cauchy filters", having all of the following properties:

1. For each ${\displaystyle x\in X,}$ the discrete ultrafilter at ${\displaystyle x}$ is an element of ${\displaystyle {\mathfrak {C}}.}$
2. If ${\displaystyle F\in {\mathfrak {C}}}$ is a subset of a proper filter ${\displaystyle G,}$ then ${\displaystyle G\in {\mathfrak {C}}.}$
3. If ${\displaystyle F,G\in {\mathfrak {C}}}$ and if each member of ${\displaystyle F}$ intersects each member of ${\displaystyle G,}$ then ${\displaystyle F\cap G\in {\mathfrak {C}}.}$

The set of all Cauchy filters on a uniform space forms a Cauchy space. Every Cauchy space is also a convergence space. A map ${\displaystyle f:X\to Y}$ between two Cauchy spaces is called Cauchy continuous if the image of every Cauchy filter in ${\displaystyle X}$ is a Cauchy filter in ${\displaystyle Y.}$ Unlike the category of topological spaces, the category of Cauchy spaces and Cauchy continuous maps is Cartesian closed, and contains the category of proximity spaces.

Topologizing the set of prefilters

Starting with nothing more than a set ${\displaystyle X,}$ it is possible to topologize the set $${\displaystyle \mathbb {P} :=\operatorname {Prefilters} (X)}$$of all filter bases on ${\displaystyle X}$ with the Stone topology, which is named after Marshall Harvey Stone.

To reduce confusion, this article will adhere to the following notational conventions:

• Lower case letters for elements ${\displaystyle x\in X.}$
• Upper case letters for subsets ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• Upper case calligraphy letters for subsets ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ (or equivalently, for elements ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X)),}$ such as prefilters).
• Upper case double-struck letters for subsets ${\displaystyle \mathbb {P} \subseteq \wp (\wp (X)).}$

For every ${\displaystyle S\subseteq X,}$ let $${\displaystyle \mathbb {O} (S):=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}}$$where ${\displaystyle \mathbb {O} (X)=\mathbb {P} {\text{ and }}\mathbb {O} (\varnothing )=\varnothing .}$^{[note 8]} These sets will be the basic open subsets of the Stone topology. If ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X}$ then $${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~R\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}~\subseteq ~\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}.}$$

From this inclusion, it is possible to deduce all of the subset inclusions displayed below with the exception of ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S).}$^{[note 9]} For all ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~=~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R)\cup \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R\cup S)}$$where in particular, the equality ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)=\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ shows that the family ${\displaystyle \{\mathbb {O} (S)~:~S\subseteq X\}}$ is a ${\displaystyle \pi }$-system that forms a basis for a topology on ${\displaystyle \mathbb {P} }$ called the Stone topology. It is henceforth assumed that ${\displaystyle \mathbb {P} }$ carries this topology and that any subset of ${\displaystyle \mathbb {P} }$ carries the induced subspace topology.

In contrast to most other general constructions of topologies (for example, the product, quotient, subspace topologies, etc.), this topology on ${\displaystyle \mathbb {P} }$ was defined without using anything other than the set ${\displaystyle X;}$ there were no preexisting structures or assumptions on ${\displaystyle X}$ so this topology is completely independent of everything other than ${\displaystyle X}$ (and its subsets).

The following criteria can be used for checking for points of closure and neighborhoods. If ${\displaystyle \mathbb {B} \subseteq \mathbb {P} {\text{ and }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {P} }$ then:

• Closure in ${\displaystyle \mathbb {P} }$: ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$ belongs to the closure of ${\displaystyle \mathbb {B} {\text{ in }}\mathbb {P} }$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$
• Neighborhoods in ${\displaystyle \mathbb {P} }$: ${\displaystyle \ \mathbb {B} }$ is a neighborhood of ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}\mathbb {P} }$ if and only if there exists some ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ such that ${\displaystyle \mathbb {O} (F)=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}\subseteq \mathbb {B} }$ (that is, such that for all ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ,{\text{ if }}F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }$).

It will be henceforth assumed that ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ because otherwise ${\displaystyle \mathbb {P} =\varnothing }$ and the topology is ${\displaystyle \{\varnothing \},}$ which is uninteresting.

Subspace of ultrafilters

The set of ultrafilters on ${\displaystyle X}$ (with the subspace topology) is a Stone space, meaning that it is compact, Hausdorff, and totally disconnected. If ${\displaystyle X}$ has the discrete topology then the map ${\displaystyle \beta :X\to \operatorname {UltraFilters} (X),}$ defined by sending ${\displaystyle x\in X}$ to the principal ultrafilter at ${\displaystyle x,}$ is a topological embedding whose image is a dense subset of ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$ (see the article Stone–Čech compactification for more details).

Relationships between topologies on ${\displaystyle X}$ and the Stone topology on ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Every ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ induces a canonical map ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ defined by ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ which sends ${\displaystyle x\in X}$ to the neighborhood filter of ${\displaystyle x{\text{ in }}(X,\tau ).}$ If ${\displaystyle \tau ,\sigma \in \operatorname {Top} (X)}$ then ${\displaystyle \tau =\sigma }$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }={\mathcal {N}}_{\sigma }.}$ Thus every topology ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ can be identified with the canonical map ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }\in \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ which allows ${\displaystyle \operatorname {Top} (X)}$ to be canonically identified as a subset of ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} )}$ (as a side note, it is now possible to place on ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ and thus also on ${\displaystyle \operatorname {Top} (X),}$ the topology of pointwise convergence on ${\displaystyle X}$ so that it now makes sense to talk about things such as sequences of topologies on ${\displaystyle X}$ converging pointwise). For every ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ the surjection ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \operatorname {image} {\mathcal {N}}_{\tau }}$ is always continuous, closed, and open, but it is injective if and only if ${\displaystyle \tau {\text{ is }}T_{0}}$ (that is, a Kolmogorov space). In particular, for every ${\displaystyle T_{0}}$ topology ${\displaystyle \tau {\text{ on }}X,}$ the map ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \mathbb {P} }$ is a topological embedding (said differently, every Kolmogorov space is a topological subspace of the space of prefilters).

In addition, if ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ is a map such that ${\displaystyle x\in \ker {\mathfrak {F}}(x):={\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathfrak {F}}(x)}}F{\text{ for every }}x\in X}$ (which is true of ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:={\mathcal {N}}_{\tau },}$ for instance), then for every ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}F\in {\mathfrak {F}}(x),}$ the set ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(F)=\{{\mathfrak {F}}(f):f\in F\}}$ is a neighborhood (in the subspace topology) of ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(x){\text{ in }}\operatorname {image} {\mathfrak {F}}.}$

See also

• Characterizations of the category of topological spaces
• Convergence space – Generalization of the notion of convergence that is found in general topology
• Filtration (mathematics) – Indexed set in mathematics
• Filtration (probability theory) – Model of information available at a given point of a random process
• Filtration (abstract algebra)
• Fréchet filter – frechet filterPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Generic filter – in set theory, given a collection of dense open subsets of a poset, a filter that meets all sets in that collectionPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ideal (set theory) – Non-empty family of sets that is closed under finite unions and subsets
• Stone–Čech compactification#Construction using ultrafilters – Concept in topology
• The fundamental theorem of ultraproducts – Mathematical constructionPages displaying short descriptions of redirect targets

Notes

1. Sequences and nets in a space ${\displaystyle X}$ are maps from directed sets like the natural numbers, which in general maybe entirely unrelated to the set ${\displaystyle X}$ and so they, and consequently also their notions of convergence, are not intrinsic to ${\displaystyle X.}$
2. Technically, any infinite subfamily of this set of tails is enough to characterize this sequence's convergence. But in general, unless indicated otherwise, the set of all tails is taken unless there is some reason to do otherwise.
3. Indeed, net convergence is defined using neighborhood filters while (pre)filters are directed sets with respect to ${\displaystyle \,\supseteq \,,}$ so it is difficult to keep these notions completely separate.
4. The terms "Filter base" and "Filter" are used if and only if ${\displaystyle S\neq \varnothing .}$
5. For instance, one sense in which a net ${\displaystyle u_{\bullet }}$ could be interpreted as being "maximally deep" is if all important properties related to ${\displaystyle X}$ (such as convergence for example) of any subnet is completely determined by ${\displaystyle u_{\bullet }}$ in all topologies on ${\displaystyle X.}$ In this case ${\displaystyle u_{\bullet }}$ and its subnet become effectively indistinguishable (at least topologically) if one's information about them is limited to only that which can be described in solely in terms of ${\displaystyle X}$ and directly related sets (such as its subsets).
6. The set equality ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ holds more generally: if the family of sets ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ then the family of tails of the map ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ (defined by ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$) is equal to ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
7. The topology on ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ is defined as follows: Every subset of ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ is open in this topology and the neighborhoods of ${\displaystyle (0,0)}$ are all those subsets ${\displaystyle U\subseteq X}$ containing ${\displaystyle (0,0)}$ for which there exists some positive integer ${\displaystyle N>0}$ such that for every integer ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle U}$ contains all but at most finitely many points of ${\displaystyle \{n\}\times \mathbb {N} .}$ For example, the set ${\displaystyle W:=[\{2,3,\ldots \}\times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ is a neighborhood of ${\displaystyle (0,0).}$ Any diagonal enumeration of ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ furnishes a sequence that clusters at ${\displaystyle (0,0)}$ but possess not convergent subsequence. An explicit example is the inverse of the bijective Hopcroft and Ullman pairing function ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,}$ which is defined by ${\displaystyle (p,q)\mapsto p+{\tfrac {1}{2}}(p+q-1)(p+q-2).}$
8. As a side note, had the definitions of "filter" and "prefilter" not required propriety then the degenerate dual ideal ${\displaystyle \wp (X)}$ would have been a prefilter on ${\displaystyle X}$ so that in particular, ${\displaystyle \mathbb {O} (\varnothing )=\{\wp (X)\}\neq \varnothing }$ with ${\displaystyle \wp (X)\in \mathbb {O} (S){\text{ for every }}S\subseteq X.}$
9. This is because the inclusion ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ is the only one in the sequence below whose proof uses the defining assumption that ${\displaystyle \mathbb {O} (S)\subseteq \mathbb {P} .}$

Proofs

1. By definition, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ Since ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ transitivity implies ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {N}}(x).\blacksquare }$

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