En filosofía y teología, el infinito se explora en artículos bajo títulos como el Absoluto , Dios y las paradojas de Zenón .
En la filosofía griega , por ejemplo en Anaximandro , 'lo Ilimitado' es el origen de todo lo que existe. Consideró que el principio o primer principio era una masa primordial infinita e ilimitada (ἄπειρον, apeiron ). La metafísica y las matemáticas jainistas fueron las primeras en definir y delinear diferentes "tipos" de infinitos. [1] El trabajo del matemático Georg Cantor colocó por primera vez el infinito en un marco matemático coherente. Muy consciente de su alejamiento de la sabiduría tradicional, Cantor también presentó una discusión histórica y filosófica integral sobre el infinito. [2] En la teología cristiana , por ejemplo en la obra de Duns Escoto , la naturaleza infinita de Dios invoca una sensación de ser sin restricciones, en lugar de una sensación de ser ilimitado en cantidad.
...qué triste es el descenso en la tierra del silencio, el despierto duerme, el que de noche no durmió yace quieto para siempre. Los escarnecedores dicen: La morada de los habitantes de Occidente es profunda y oscura, no tiene puerta, ni ventana, ni luz que la ilumine, ni viento del norte que refresque el corazón, allí no sale el sol, pero yacen. todos los días en la oscuridad: el guardián ha sido llevado a la tierra del infinito...
— un doliente egipcio [3]
Anaximandro se comprometió tempranamente con la idea del infinito, quien consideraba que el infinito era una base fundamental y primitiva de la realidad. [4] Anaximandro fue el primero en la tradición filosófica griega en proponer que el universo era infinito. [5]
Anaxágoras (500-428 a. C.) opinaba que la materia del universo tenía una capacidad innata de división infinita. [6]
Un grupo de pensadores de la antigua Grecia (más tarde identificados como los atomistas ) consideraban de manera similar que la materia estaba hecha de un número infinito de estructuras, tal como se consideraba imaginando dividir o separar la materia de sí misma un número infinito de veces. [7]
A Aristóteles, que vivió entre 384 y 322 a. C., se le atribuye ser la raíz de un campo de pensamiento, por su influencia en el pensamiento posterior durante un período que abarca más de un milenio posterior, por su rechazo de la idea del infinito real . [8]
En el Libro 3 de la obra titulada Física , escrita por Aristóteles , Aristóteles aborda el concepto de infinito en términos de su noción de actualidad y de potencialidad . [9] [10] [11]
... Siempre es posible pensar en un número mayor: porque el número de veces que se puede dividir una magnitud es infinito. Por tanto, el infinito es potencial, nunca actual; el número de piezas que se pueden tomar siempre supera cualquier número asignado.
— Física 207b8
A esto se le suele llamar infinito potencial; sin embargo, hay dos ideas mezcladas con esto. Una es que siempre es posible encontrar un número de cosas que supere cualquier número dado, incluso si en realidad no existen tales cosas. La otra es que podemos cuantificar conjuntos infinitos sin restricciones. Por ejemplo, que dice "para cualquier número entero n, existe un número entero m > n tal que P(m)". La segunda visión la encuentran de forma más clara escritores medievales como Guillermo de Ockham :
Sed omne continuum est actualiter existe. Igitur quaelibet pars sua est vere existe in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existente.
Pero todo continuo existe en realidad. Luego cualquiera de sus partes existe realmente en la naturaleza. Pero las partes del continuo son infinitas porque no hay tantas como para que no haya más y, por tanto, las infinitas partes existen realmente.
Las partes realmente están ahí, en cierto sentido. Sin embargo, desde este punto de vista, ninguna magnitud infinita puede tener un número, pues sea cual sea el número que podamos imaginar, siempre hay uno mayor: "No hay tantos (en número) que no haya más".
Las opiniones de Aristóteles sobre el continuo presagian algunos aspectos topológicos de las teorías matemáticas modernas del continuo. El énfasis de Aristóteles en la conexión del continuo puede haber inspirado, de diferentes maneras, a filósofos y matemáticos modernos como Charles Sanders Peirce, Cantor y LEJ Brouwer. [12] [13]
Entre los escolásticos, Tomás de Aquino también argumentó en contra de la idea de que el infinito pudiera ser en algún sentido completo o una totalidad.
Aristóteles trata del infinito en el contexto del primer motor , en el Libro 7 de la misma obra, cuyo razonamiento fue posteriormente estudiado y comentado por Simplicio . [14]
Plotino consideró el infinito, en vida, durante el siglo III d.C. [4]
Simplicio, [15] que vivió alrededor del 490 al 560 d.C., [16] pensaba que el concepto "Mente" era infinito. [15]
Agustín pensaba que el infinito era "incomprensible para la mente humana". [15]
El jainista upanga āgama Surya Prajnapti (c. 400 a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables, innumerables e infinitos. Cada uno de estos se subdividió en tres órdenes:
Los jainistas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos fueran iguales o iguales. Reconocieron diferentes tipos de infinitos: infinito en longitud (una dimensión ), infinito en área (dos dimensiones), infinito en volumen (tres dimensiones) e infinito perpetuamente (un número infinito de dimensiones).
Según Singh (1987), Joseph (2000) y Agrawal (2000), el número enumerable más alto N de los jainistas corresponde al concepto moderno de aleph-null (el número cardinal del conjunto infinito de números enteros 1, 2, .. .), el número transfinito cardinal más pequeño . Los jainistas también definieron todo un sistema de infinitos números cardinales, de los cuales el número enumerable más alto, N, es el más pequeño.
En la obra jainista sobre teoría de conjuntos se distinguen dos tipos básicos de números infinitos. Tanto desde el punto de vista físico como ontológico , se hizo una distinción entre asaṃkhyāta ("innumerable, innumerable") y ananta ("infinito, ilimitado"), entre infinitos rígidamente delimitados y vagamente delimitados.
Galileo Galilei (febrero de 1564 - enero de 1642 [17] ) analizó el ejemplo de comparar los números cuadrados {1, 4, 9, 16, ...} con los números naturales {1, 2, 3, 4, ...} como sigue:
Según este razonamiento, parecía como si un "conjunto" (Galileo no utilizó esa terminología) que es naturalmente más pequeño que el "conjunto" del que forma parte (ya que no contiene todos los miembros) fuera en algún sentido el mismo. "tamaño". Galileo no encontró manera de solucionar este problema:
Por lo que veo, sólo podemos inferir que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito y que el número de sus raíces es infinito; ni el número de cuadrados es menor que la totalidad de todos los números, ni éste mayor que el primero; y finalmente los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables a cantidades infinitas, sino sólo a finitas.
— Sobre dos ciencias nuevas , 1638
La idea de que el tamaño puede medirse mediante correspondencia uno a uno se conoce hoy como principio de Hume , aunque Hume, al igual que Galileo, creía que el principio no podía aplicarse al infinito. El mismo concepto, aplicado por Georg Cantor , se utiliza en relación a los conjuntos infinitos.
Es famoso que el ultraempirista Hobbes (abril de 1588 – diciembre de 1679 [18] ) intentó defender la idea de un infinito potencial a la luz del descubrimiento, por Evangelista Torricelli , de una figura ( el Cuerno de Gabriel ) cuya superficie es infinita, pero cuyo volumen es finito. No se informó, esta motivación de Hobbes llegó demasiado tarde ya que las curvas que tenían una longitud infinita pero que limitaban áreas finitas se conocían mucho antes.
Locke (agosto de 1632 - octubre de 1704 [19] ), al igual que la mayoría de los filósofos empiristas , también creía que no podemos tener una idea adecuada del infinito. Creían que todas nuestras ideas se derivaban de datos sensoriales o "impresiones" y, dado que todas las impresiones sensoriales son inherentemente finitas, también lo son nuestros pensamientos e ideas. Nuestra idea de infinito es meramente negativa o privativa.
Cualesquiera que sean las ideas positivas que tengamos en nuestra mente, de cualquier espacio, duración o número, que nunca sean tan grandes, siguen siendo finitas; pero cuando suponemos un resto inagotable, del cual eliminamos todos los límites, y en el que permitimos a la mente una progresión interminable de pensamiento, sin completar nunca la idea, ahí tenemos nuestra idea de infinito... sin embargo, cuando enmarcamos en nuestro Si se le ocurre la idea de un espacio o duración infinita, esa idea es muy oscura y confusa, porque está formada por dos partes muy diferentes, si no inconsistentes. Porque si un hombre se forma en su mente una idea de cualquier espacio o número, por grande que quiera, es claro que la mente descansa y termina en esa idea; lo cual es contrario a la idea de infinito, que consiste en una supuesta progresión sin fin.
— Ensayo, II. xvii. 7., énfasis del autor
Consideró que en las consideraciones sobre el tema de la eternidad, que clasificó como un infinito, los humanos son propensos a cometer errores. [20]
La discusión moderna sobre el infinito se considera ahora parte de la teoría de conjuntos y las matemáticas. Los filósofos de las matemáticas contemporáneos abordan el tema del infinito y, en general, reconocen su papel en la práctica matemática. Pero, aunque hoy en día la teoría de conjuntos es ampliamente aceptada, no siempre fue así. Influenciado en parte por LEJ Brouwer y el verificacionismo , Wittgenstein (abril de 1889 – abril de 1951 [21] ) realizó un apasionado ataque a la teoría axiomática de conjuntos y a la idea del infinito real, durante su "período medio". [22]
¿La relación correlaciona la clase de todos los números con una de sus subclases? No. Correlaciona cualquier número arbitrario con otro, y de esa manera llegamos a infinitos pares de clases, de las cuales una está correlacionada con la otra, pero que nunca se relacionan como clase y subclase. Este proceso infinito tampoco es en un sentido u otro un par de clases... En la superstición que correlaciona una clase con su subclase, simplemente tenemos otro caso más de gramática ambigua.
— Observaciones filosóficas § 141, cf. Gramática filosófica p. 465
A diferencia de los empiristas tradicionales, pensaba que el infinito estaba de alguna manera dado a la experiencia sensorial .
... Puedo ver en el espacio la posibilidad de cualquier experiencia finita... reconocemos [la] infinidad esencial del espacio en su parte más pequeña." "[El tiempo] es infinito en el mismo sentido que el espacio tridimensional de la vista. y el movimiento es infinito, aunque en realidad sólo puedo ver hasta las paredes de mi habitación.
... lo que tiene de infinito lo infinito es sólo el infinito mismo.
El filósofo Emmanuel Levinas (enero de 1906 – diciembre de 1995 [23] ) utiliza el infinito para designar aquello que no puede definirse ni reducirse a conocimiento o poder. En la obra maestra de Levinas, Totalidad e infinito, dice:
...el infinito se produce en la relación del mismo con el otro, y cómo lo particular y lo personal, que son como insuperables, magnetizan el campo mismo en el que se produce la producción del infinito...
La idea de infinito no es una noción incidental forjada por una subjetividad para reflejar el caso de una entidad que no encuentra en el exterior nada que la limite, que desborda todo límite y, por tanto, es infinita. La producción de la entidad infinita es inseparable de la idea de infinito, pues es precisamente en la desproporción entre la idea de infinito y la idea de infinito de la que es idea que se produce esta superación de los límites. La idea de infinito es el modo de ser, la infinición, la infinidad... Todo conocimiento en cuanto intencionalidad presupone ya la idea de infinito, que es eminentemente no adecuación.
- pag. 26-27
Levinas también escribió una obra titulada La filosofía y la idea del infinito , que se publicó durante 1957. [24]
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} (\exists m\in \mathbb {Z} [m>n\wedge P(m)])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e20e41222c6fdc572c167e7b2b8e2a112e4ef5)
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