Espectro de un anillo

Conjunto de ideales primos de un anillo

En álgebra conmutativa , el espectro primo (o simplemente el espectro ) de un anillo conmutativo R es el conjunto de todos los ideales primos de R , y usualmente se denota por ; ^[1] en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con el haz de anillos . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Topología de Zariski

Para cualquier ideal I de R , definamos como el conjunto de ideales primos que contienen a I . Podemos plantear una topología definiendo la colección de conjuntos cerrados como ${\displaystyle V_{I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle \{V_{I}\colon I{\text{ is an ideal of }}R\}.}$

Esta topología se llama topología de Zariski .

Se puede construir una base para la topología de Zariski de la siguiente manera. Para f ∈ R , definamos D _f como el conjunto de ideales primos de R que no contienen a f . Entonces cada D _f es un subconjunto abierto de , y es una base para la topología de Zariski. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \{D_{f}:f\in R\}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$es un espacio compacto , pero casi nunca de Hausdorff : de hecho, los ideales maximales en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento, no es, en general, un espacio T 1 . ^[3] Sin embargo, es siempre un espacio de Kolmogorov (satisface el axioma T ₀ ); también es un espacio espectral . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Gavillas y esquemas

Dado el espacio con la topología de Zariski, el haz de estructura se define en los subconjuntos abiertos distinguidos estableciendo la localización de R por las potencias de f . Se puede demostrar que esto define un B-haz y, por lo tanto, que define un haz . Con más detalle, los subconjuntos abiertos distinguidos son una base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U , escrito como la unión de , establecemos donde denota el límite inverso con respecto a los homomorfismos de anillo naturales Se puede verificar que este prehaz es un haz, por lo que es un espacio anillado . Cualquier espacio anillado isomorfo a una de esta forma se llama esquema afín . Los esquemas generales se obtienen pegando esquemas afines. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},}$ ${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$ ${\textstyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$ ${\displaystyle \varprojlim }$ ${\displaystyle R_{f}\to R_{fg}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

De manera similar, para un módulo M sobre el anillo R , podemos definir un haz sobre . Sobre el conjunto de subconjuntos abiertos distinguidos utilizando la localización de un módulo . Como antes, esta construcción se extiende a un prehaz sobre todos los subconjuntos abiertos de y satisface el axioma de unión . Un haz de esta forma se denomina haz cuasicoherente . ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\tilde {M}})=M_{f},}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Si P es un punto en , es decir, un ideal primo, entonces el tallo del haz de estructura en P es igual a la localización de R en el ideal P , y este es un anillo local . En consecuencia, es un espacio anillado localmente . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Si R es un dominio integral , con cuerpo de fracciones K , entonces podemos describir el anillo de manera más concreta de la siguiente manera. Decimos que un elemento f en K es regular en un punto P en X si se puede representar como una fracción f = a / b con b no en P. Nótese que esto concuerda con la noción de función regular en geometría algebraica. Usando esta definición, podemos describir con precisión el conjunto de elementos de K que son regulares en cada punto P en U. ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Perspectiva funcional

Es útil utilizar el lenguaje de la teoría de categorías y observar que es un funtor . Todo homomorfismo de anillos induce una función continua (ya que la preimagen de cualquier ideal primo en es un ideal primo en ). De esta manera, puede verse como un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios topológicos . Además, para cada primo el homomorfismo desciende a homomorfismos ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

de anillos locales. Por lo tanto, incluso define un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios anillados localmente . De hecho, es el funtor universal de este tipo y, por lo tanto, puede usarse para definir el funtor hasta el isomorfismo natural . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

El funtor produce una equivalencia contravariante entre la categoría de anillos conmutativos y la categoría de esquemas afines ; cada una de estas categorías se considera a menudo como la categoría opuesta de la otra. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Motivación desde la geometría algebraica

Siguiendo con el ejemplo, en geometría algebraica se estudian los conjuntos algebraicos , es decir, los subconjuntos de K ⁿ (donde K es un cuerpo algebraicamente cerrado ) que se definen como los ceros comunes de un conjunto de polinomios en n variables. Si A es un conjunto algebraico de este tipo, se considera el anillo conmutativo R de todas las funciones polinómicas A → K . Los ideales máximos de R corresponden a los puntos de A (porque K es algebraicamente cerrado), y los ideales primos de R corresponden a las subvariedades de A (un conjunto algebraico se llama irreducible o variedad si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios).

El espectro de R consiste, por lo tanto, en los puntos de A junto con elementos para todas las subvariedades de A . Los puntos de A están cerrados en el espectro, mientras que los elementos correspondientes a las subvariedades tienen una clausura que consiste en todos sus puntos y subvariedades. Si solo se consideran los puntos de A , es decir, los ideales maximales en R , entonces la topología de Zariski definida anteriormente coincide con la topología de Zariski definida en conjuntos algebraicos (que tiene precisamente los subconjuntos algebraicos como conjuntos cerrados). Específicamente, los ideales maximales en R , es decir , junto con la topología de Zariski, son homeomorfos a A también con la topología de Zariski. ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$

De este modo, se puede considerar el espacio topológico como un "enriquecimiento" del espacio topológico A (con la topología de Zariski): para cada subvariedad de A , se ha introducido un punto no cerrado adicional, y este punto "sigue la pista" de la subvariedad correspondiente. Se piensa en este punto como el punto genérico para la subvariedad. Además, el haz en y el haz de funciones polinómicas en A son esencialmente idénticos. Al estudiar espectros de anillos polinómicos en lugar de conjuntos algebraicos con la topología de Zariski, se pueden generalizar los conceptos de geometría algebraica a cuerpos no algebraicamente cerrados y más allá, llegando finalmente al lenguaje de los esquemas . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Ejemplos

• El espectro de los números enteros: El esquema afín es el objeto final en la categoría de esquemas afines ya que es el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El esquema afín es un análogo teórico de : el esquema afín . Desde la perspectiva del funtor de puntos , un punto puede identificarse con el morfismo de evaluación . Esta observación fundamental nos permite dar sentido a otros esquemas afines. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\mathbb {C} }$
• La cruz: parece topológicamente la intersección transversal de dos planos complejos en un punto, aunque típicamente esto se representa como un , ya que los únicos morfismos bien definidos son los morfismos de evaluación asociados con los puntos . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• El espectro primo de un anillo booleano (por ejemplo, un anillo de conjuntos de potencias ) es un espacio de Hausdorff compacto totalmente desconectado (es decir, un espacio de Stone ). ^[4]
• ( M. Hochster ) Un espacio topológico es homeomorfo al espectro primo de un anillo conmutativo (es decir, un espacio espectral ) si y sólo si es compacto, cuasi-separado y sobrio . ^[5]

Ejemplos no afines

A continuación se presentan algunos ejemplos de esquemas que no son esquemas afines, sino que se construyen mediante la unión de esquemas afines.

• El espacio proyectivo ${\displaystyle n}$ sobre un cuerpo . Esto se puede generalizar fácilmente a cualquier anillo base, véase Construcción de Proj (de hecho, podemos definir el espacio proyectivo para cualquier esquema base). El espacio proyectivo para no es afín ya que la sección global de es . ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k}$
• Plano afín menos el origen. ^[6] En su interior se distinguen subesquemas afines abiertos . Su unión es el plano afín con el origen eliminado. Las secciones globales de son pares de polinomios en que se restringen al mismo polinomio en , que se puede demostrar que es , la sección global de . no es afín como en . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{xy}}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$ ${\displaystyle U}$

Topologías no Zariski en un espectro principal

Algunos autores (notablemente M. Hochster) consideran topologías en espectros primos distintas de la topología de Zariski.

En primer lugar, está la noción de topología construible : dado un anillo A , los subconjuntos de la forma satisfacen los axiomas para conjuntos cerrados en un espacio topológico. Esta topología se denomina topología construible. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

En Hochster (1969), Hochster considera lo que él llama la topología de parche en un espectro primo. ^{[9] [10] [11]} Por definición, la topología de parche es la topología más pequeña en la que los conjuntos de las formas y están cerrados. ${\displaystyle V(I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

Especificación global o relativa

Hay una versión relativa del funtor llamada global o relativa . Si es un esquema, entonces relativo se denota por o . Si es claro a partir del contexto, entonces relativo Spec puede denotarse por o . Para un esquema y un haz cuasi coherente de -álgebras , hay un esquema y un morfismo tales que para cada afín abierto , hay un isomorfismo , y tales que para afines abiertos , la inclusión es inducida por el mapa de restricción . Es decir, como los homomorfismos de anillo inducen mapas opuestos de espectros, los mapas de restricción de un haz de álgebras inducen los mapas de inclusión de los espectros que componen el Spec del haz. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

La Spec global tiene una propiedad universal similar a la propiedad universal para la Spec ordinaria. Más precisamente, así como la Spec y el funtor de sección global son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de anillos conmutativos y esquemas, la Spec global y el funtor de imagen directa para el mapa de estructura son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de -álgebras conmutativas y esquemas sobre . ^{[ dudoso – discutir ]} En fórmulas, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

donde es un morfismo de esquemas. ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

Ejemplo de una especificación relativa

La especificación relativa es la herramienta correcta para parametrizar la familia de líneas que pasan por el origen de sobre Considere el haz de álgebras y sea un haz de ideales de Entonces la especificación relativa parametriza la familia deseada. De hecho, la fibra sobre es la línea que pasa por el origen de que contiene el punto Suponiendo que la fibra se puede calcular observando la composición de los diagramas de pullback ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$ ${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

donde la composición de las flechas inferiores

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

da la línea que contiene el punto y el origen. Este ejemplo se puede generalizar para parametrizar la familia de líneas a través del origen de over haciendo y ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

Perspectiva de la teoría de la representación

Desde la perspectiva de la teoría de la representación , un ideal primo I corresponde a un módulo R / I , y el espectro de un anillo corresponde a representaciones cíclicas irreducibles de R , mientras que las subvariedades más generales corresponden a representaciones posiblemente reducibles que no necesitan ser cíclicas. Recordemos que, de manera abstracta, la teoría de la representación de un grupo es el estudio de los módulos sobre su álgebra de grupo .

La conexión con la teoría de la representación es más clara si se considera el anillo polinómico o, sin una base, Como lo deja claro la última formulación, un anillo polinómico es el álgebra de grupo sobre un espacio vectorial , y escribir en términos de corresponde a elegir una base para el espacio vectorial. Entonces, un ideal I, o equivalentemente un módulo, es una representación cíclica de R (el significado cíclico es generado por 1 elemento como un R -módulo; esto generaliza representaciones unidimensionales). ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R=K[V].}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle R/I,}$

En el caso de que el campo sea algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos), cada ideal máximo corresponde a un punto en el espacio n , por el Nullstellensatz (el ideal máximo generado por corresponde al punto ). Estas representaciones de se parametrizan entonces por el espacio dual, el covector se da enviando cada uno al correspondiente . Por lo tanto, una representación de ( K -aplicaciones lineales ) está dada por un conjunto de n números, o equivalentemente un covector ${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K.}$

Así, los puntos en el espacio n , considerados como la especificación máxima de corresponden precisamente a representaciones unidimensionales de R , mientras que los conjuntos finitos de puntos corresponden a representaciones finitodimensionales (que son reducibles, correspondiendo geométricamente a ser una unión, y algebraicamente a no ser un ideal primo). Los ideales no máximos corresponden entonces a representaciones infinitesimales . ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

Perspectiva del análisis funcional

El término "espectro" proviene de su uso en la teoría de operadores . Dado un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V , se puede considerar el espacio vectorial con operador como un módulo sobre el anillo polinomial en una variable R = K [ T ], como en el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . Entonces, el espectro de K [ T ] (como un anillo) es igual al espectro de T (como un operador).

Además, la estructura geométrica del espectro del anillo (equivalentemente, la estructura algebraica del módulo) captura el comportamiento del espectro del operador, como la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica. Por ejemplo, para la matriz identidad 2×2 tiene módulo correspondiente:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

La matriz cero 2×2 tiene módulo

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

mostrando multiplicidad geométrica 2 para el valor propio cero , mientras que una matriz nilpotente no trivial 2×2 tiene módulo

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

mostrando multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1.

Más detalladamente:

• los valores propios (con multiplicidad geométrica) del operador corresponden a los puntos (reducidos) de la variedad, con multiplicidad;
• La descomposición primaria del módulo corresponde a los puntos no reducidos de la variedad;
• un operador diagonalizable (semisimple) corresponde a una variedad reducida;
• un módulo cíclico (un generador) corresponde al operador que tiene un vector cíclico (un vector cuya órbita bajo T abarca el espacio);
• el último factor invariante del módulo es igual al polinomio mínimo del operador, y el producto de los factores invariantes es igual al polinomio característico .

Generalizaciones

El espectro puede generalizarse desde anillos a C*-álgebras en teoría de operadores , produciendo la noción de espectro de una C*-álgebra . En particular, para un espacio de Hausdorff , el álgebra de escalares (las funciones continuas acotadas en el espacio, siendo análogas a las funciones regulares) es una C*-álgebra conmutativa , con el espacio siendo recuperado como un espacio topológico a partir del álgebra de escalares, de hecho funcionalmente así; este es el contenido del teorema de Banach-Stone . De hecho, cualquier C*-álgebra conmutativa puede realizarse como el álgebra de escalares de un espacio de Hausdorff de esta manera, produciendo la misma correspondencia que entre un anillo y su espectro. Generalizando a C*-álgebras no conmutativas produce topología no conmutativa . ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

Véase también

• Esquema (matemáticas)
• Esquema proyectivo
• Espectro de una matriz
• Teorema de Serre sobre la afinidad
• Espectro de estrellas
• Espectro de Ziegler
• Espectro primitivo
• Dualidad de piedra ^[12]

Citas

1. Sharp (2001), pág. 44, definición 3.26
2. Hartshorne (1977), pág. 70, Definición
3. Arkhangel'skii y Pontryagin (1990), ejemplo 21, sección 2.6
4. Atiyah y Macdonald (1969), Cap. 1. Ejercicio 23. (iv)
5. Hochster (1969)
6. Vakil (sin fecha), Capítulo 4, ejemplo 4.4.1
7. Atiyah y Macdonald (1969), Cap. 5, Ejercicio 27
8. Tarizadeh (2019)
9. Kock (2007)
10. Fontana y Loper (2008)
11. Brandal (1979)
12. ver https://www.math.ias.edu/~lurie/261ynotes/lecture14.pdf

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Arkhangel'skii, AV ; Pontryagin, LS , eds. (1990). Topología general I. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 17.doi :10.1007/978-3-642-61265-7 . ISBN 978-3-642-64767-3.
• Brandal, Willy (1979). Anillos conmutativos cuyos módulos finitamente generados se descomponen . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 723. doi :10.1007/BFb0069021. ISBN 978-3-540-09507-1.
• Cox, David ; O'Shea, Donal; Little, John (1997), Ideales, variedades y algoritmos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94680-1
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (2000), La geometría de los esquemas , Graduate Texts in Mathematics, vol. 197, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98637-1, Sr.  1730819
• Fontana, Marco; Loper, K. Alan (2008). "La topología de parches y la topología de ultrafiltros en el espectro primo de un anillo conmutativo". Communications in Algebra . 36 (8): 2917–2922. arXiv : 0707.1525 . doi :10.1080/00927870802110326. S2CID  17045655.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Hochster, M. (1969). "Estructura ideal prima en anillos conmutativos". Transacciones de la American Mathematical Society . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X . JSTOR  1995344.
• Kock, Joachim (2007). "Observaciones sobre espectros, soportes y dualidad de Hochster" (PDF) . S2CID  54501563.
• Sharp, Rodney Y. (2001). Pasos en álgebra conmutativa (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-511-62368-4.
• Tarizadeh, Abolfazl (2019). "Topología plana y sus aspectos duales". Communications in Algebra . 47 : 195–205. arXiv : 1503.04299 . doi :10.1080/00927872.2018.1469637. S2CID  119574163.
• Vakil, Ravi (sin fecha). "Fundamentos de la geometría algebraica". math.stanford.edu .{{cite web}}: CS1 maint: year (link)

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/441029/intrinsic-topology-on-the-zariski-spectrum

Enlaces externos

• Kevin R. Coombes: El espectro de un anillo
• Los autores del Proyecto Stacks. "27.3 Espectro relativo mediante pegado".