La electromagnética computacional ( CEM ), electrodinámica computacional o modelado electromagnético es el proceso de modelar la interacción de campos electromagnéticos con objetos físicos y el medio ambiente utilizando computadoras.
Por lo general, implica el uso de programas informáticos para calcular soluciones aproximadas a las ecuaciones de Maxwell para calcular el rendimiento de la antena , la compatibilidad electromagnética , la sección transversal del radar y la propagación de ondas electromagnéticas cuando no se encuentra en el espacio libre. Un gran subcampo son los programas informáticos de modelado de antenas , que calculan el patrón de radiación y las propiedades eléctricas de las antenas de radio, y se utilizan ampliamente para diseñar antenas para aplicaciones específicas.
Varios problemas electromagnéticos del mundo real, como la dispersión electromagnética , la radiación electromagnética , el modelado de guías de ondas , etc., no son calculables analíticamente debido a la multitud de geometrías irregulares que se encuentran en los dispositivos reales. Las técnicas numéricas computacionales pueden superar la incapacidad de derivar soluciones en forma cerrada de las ecuaciones de Maxwell bajo diversas relaciones constitutivas de medios y condiciones de contorno . Esto hace que el electromagnetismo computacional (CEM) sea importante para el diseño y modelado de antenas, radares, satélites y otros sistemas de comunicación, dispositivos nanofotónicos y electrónica de silicio de alta velocidad , imágenes médicas , diseño de antenas de teléfonos celulares, entre otras aplicaciones.
CEM normalmente resuelve el problema de calcular los campos E (eléctrico) y H (magnético) en todo el dominio del problema (por ejemplo, para calcular el patrón de radiación de la antena para una estructura de antena de forma arbitraria). También se pueden calcular la dirección del flujo de potencia ( vector de Poynting ), los modos normales de una guía de ondas , la dispersión de ondas generadas por los medios y la dispersión a partir de los campos E y H. Los modelos CEM pueden asumir o no simetría , simplificando las estructuras del mundo real a cilindros , esferas y otros objetos geométricos regulares idealizados. Los modelos CEM hacen uso extensivo de la simetría y resuelven la dimensionalidad reducida de 3 dimensiones espaciales a 2D e incluso 1D.
Una formulación de problema de valores propios de CEM nos permite calcular modos normales de estado estacionario en una estructura. La respuesta transitoria y los efectos del campo de impulso se modelan con mayor precisión mediante CEM en el dominio del tiempo, mediante FDTD . Los objetos geométricos curvos se tratan con mayor precisión como elementos finitos FEM o cuadrículas no ortogonales. El método de propagación del haz (BPM) puede resolver el flujo de potencia en las guías de ondas. CEM es una aplicación específica, incluso si diferentes técnicas convergen en el mismo campo y distribuciones de potencia en el dominio modelado.
Un enfoque consiste en discretizar el espacio en términos de cuadrículas (tanto ortogonales como no ortogonales) y resolver las ecuaciones de Maxwell en cada punto de la cuadrícula. La discretización consume memoria de la computadora y resolver las ecuaciones lleva mucho tiempo. Los problemas de CEM a gran escala enfrentan limitaciones de memoria y CPU. A partir de 2007, los problemas de CEM requieren supercomputadoras, [ cita necesaria ] clústeres de alto rendimiento, [ cita necesaria ] procesadores vectoriales y/o paralelismo . Las formulaciones típicas implican avanzar en el tiempo a través de las ecuaciones en todo el dominio para cada instante de tiempo; o mediante inversión de matrices de bandas para calcular los pesos de funciones básicas, cuando se modelan mediante métodos de elementos finitos; o productos matriciales cuando se utilizan métodos matriciales de transferencia; o calcular integrales cuando se utiliza el método de momentos (MoM); o utilizando transformadas rápidas de Fourier e iteraciones de tiempo al calcular mediante el método de pasos divididos o mediante BPM.
Elegir la técnica correcta para resolver un problema es importante, ya que elegir la técnica incorrecta puede generar resultados incorrectos o resultados que requieren demasiado tiempo para calcularse. Sin embargo, el nombre de una técnica no siempre indica cómo se implementa, especialmente en el caso de herramientas comerciales, que a menudo tendrán más de un solucionador.
Davidson [1] ofrece dos tablas que comparan las técnicas FEM, MoM y FDTD en la forma en que se implementan normalmente. Una tabla es para regiones abiertas (problemas de radiación y dispersión) y otra tabla es para problemas de ondas guiadas.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular como un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales . Esto da acceso a poderosas técnicas para soluciones numéricas.
Se supone que las ondas se propagan en el plano ( x , y ) y restringen la dirección del campo magnético para que sea paralela al eje z y, por tanto, el campo eléctrico para que sea paralelo al plano ( x , y ). La onda se llama onda magnética transversal (TM). En 2D y sin términos de polarización presentes, las ecuaciones de Maxwell se pueden formular como:
En esta representación, es la función forzada y está en el mismo espacio que . Puede usarse para expresar un campo aplicado externamente o para describir una restricción de optimización . Como se formuló anteriormente:
También se puede definir explícitamente igual a cero para simplificar ciertos problemas o para encontrar una solución característica , que suele ser el primer paso en un método para encontrar la solución no homogénea particular.
La aproximación dipolar discreta es una técnica flexible para calcular la dispersión y la absorción por objetivos de geometría arbitraria . La formulación se basa en la forma integral de las ecuaciones de Maxwell. El DDA es una aproximación del objetivo continuo mediante una matriz finita de puntos polarizables. Los puntos adquieren momentos dipolares en respuesta al campo eléctrico local. Por supuesto, los dipolos interactúan entre sí a través de sus campos eléctricos, por lo que a veces la DDA también se denomina aproximación de dipolo acoplado . El sistema lineal de ecuaciones resultante se resuelve comúnmente mediante iteraciones de gradiente conjugado . La matriz de discretización tiene simetrías (la forma integral de las ecuaciones de Maxwell tiene forma de convolución) lo que permite que la transformada rápida de Fourier multiplique la matriz por el vector durante las iteraciones de gradiente conjugado.
El método de los momentos (MoM) [2] o método de los elementos de frontera (BEM) es un método computacional numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales que han sido formuladas como ecuaciones integrales (es decir, en forma integral de frontera ). Puede aplicarse en muchas áreas de la ingeniería y la ciencia, incluidas la mecánica de fluidos , la acústica , el electromagnetismo , la mecánica de fracturas y la plasticidad .
MoM se ha vuelto más popular desde la década de 1980. Debido a que requiere calcular sólo valores límite, en lugar de valores en todo el espacio, es significativamente más eficiente en términos de recursos computacionales para problemas con una relación superficie/volumen pequeña. Conceptualmente, funciona construyendo una "malla" sobre la superficie modelada. Sin embargo, para muchos problemas, los MoM son significativamente menos eficientes desde el punto de vista computacional que los métodos de discretización de volumen ( método de elementos finitos , método de diferencias finitas , método de volúmenes finitos ). Las formulaciones de elementos límite suelen dar lugar a matrices completamente pobladas. Esto significa que los requisitos de almacenamiento y el tiempo de cálculo tenderán a crecer según el cuadrado del tamaño del problema. Por el contrario, las matrices de elementos finitos suelen tener bandas (los elementos sólo están conectados localmente) y los requisitos de almacenamiento para las matrices del sistema suelen crecer linealmente con el tamaño del problema. Se pueden utilizar técnicas de compresión ( por ejemplo, expansiones multipolares o matrices jerárquicas/aproximaciones cruzadas adaptativas) para mejorar estos problemas, aunque a costa de una mayor complejidad y con una tasa de éxito que depende en gran medida de la naturaleza y la geometría del problema.
MoM es aplicable a problemas para los cuales se pueden calcular las funciones de Green . Generalmente se trata de campos en medios lineales homogéneos . Esto impone restricciones considerables sobre el rango y la generalidad de los problemas adecuados para los elementos de frontera. Se pueden incluir no linealidades en la formulación, aunque generalmente introducen integrales de volumen que requieren que el volumen se discretice antes de la solución, lo que elimina una ventaja de MoM frecuentemente citada.
El método multipolar rápido (FMM) es una alternativa a la suma MoM o Ewald. Es una técnica de simulación precisa y requiere menos memoria y potencia de procesador que MoM. El FMM fue introducido por primera vez por Greengard y Rokhlin [3] [4] y se basa en la técnica de expansión multipolar . La primera aplicación del FMM en electromagnetismo computacional fue por Engheta et al. (1992). [5] . El FMM también tiene aplicaciones en bioelectromagnética computacional en el método multipolar rápido de elemento límite basado en carga . FMM también se puede utilizar para acelerar MoM.
Mientras que el método multipolar rápido es útil para acelerar soluciones MoM de ecuaciones integrales con núcleos oscilatorios estáticos o en el dominio de la frecuencia, el algoritmo de onda plana en el dominio del tiempo (PWTD) emplea ideas similares para acelerar la solución MoM de ecuaciones integrales en el dominio del tiempo que involucran el retardo. potencial . El algoritmo PWTD fue introducido en 1998 por Ergin, Shanker y Michielssen. [6]
El circuito equivalente de elementos parciales (PEEC) es un método de modelado de onda completa 3D adecuado para el análisis combinado de circuitos y electromagnéticos . A diferencia de MoM, PEEC es un método de espectro completo válido desde CC hasta la frecuencia máxima determinada por el mallado. En el método PEEC, la ecuación integral se interpreta como la ley de voltaje de Kirchhoff aplicada a una celda PEEC básica que da como resultado una solución de circuito completa para geometrías 3D. La formulación del circuito equivalente permite incluir fácilmente elementos de circuito adicionales tipo SPICE . Además, los modelos y el análisis se aplican tanto al dominio del tiempo como al de la frecuencia. Las ecuaciones de circuito resultantes del modelo PEEC se construyen fácilmente utilizando una formulación de análisis de bucle modificado (MLA) o análisis de nodos modificados (MNA). Además de proporcionar una solución de corriente continua, tiene otras ventajas sobre un análisis MoM para esta clase de problemas, ya que cualquier tipo de elemento de circuito se puede incluir de forma sencilla con sellos de matriz adecuados. El método PEEC se ha ampliado recientemente para incluir geometrías no ortogonales. [7] Esta extensión del modelo, que es consistente con la formulación ortogonal clásica , incluye la representación de Manhattan de las geometrías además de los elementos cuadriláteros y hexaédricos más generales . Esto ayuda a mantener el número de incógnitas al mínimo y, por lo tanto, reduce el tiempo de cálculo para geometrías no ortogonales. [8]
El método de momentos de Cagniard-deHoop (CdH-MoM) es una técnica de ecuaciones integrales en el dominio del tiempo de onda completa tridimensional que se formula mediante el teorema de reciprocidad de Lorentz . Dado que el CdH-MoM depende en gran medida del método Cagniard-deHoop , un enfoque de transformación conjunta desarrollado originalmente para el análisis analítico de la propagación de ondas sísmicas en el modelo de la corteza terrestre, este enfoque es muy adecuado para el análisis TD EM de ondas sísmicas planas. estructuras en capas. El CdH-MoM se ha aplicado originalmente a estudios de rendimiento en el dominio del tiempo de antenas cilíndricas y planas [9] y, más recientemente, al análisis de dispersión TD EM de líneas de transmisión en presencia de láminas delgadas [10] y metasuperficies electromagnéticas . 11] [12] por ejemplo.
El dominio de frecuencia de diferencias finitas (FDFD) proporciona una solución rigurosa a las ecuaciones de Maxwell en el dominio de frecuencia utilizando el método de diferencias finitas. [13] FDFD es posiblemente el método numérico más simple que aún proporciona una solución rigurosa. Es increíblemente versátil y capaz de resolver prácticamente cualquier problema electromagnético. El principal inconveniente de FDFD es su escasa eficiencia en comparación con otros métodos. Sin embargo, en las computadoras modernas se pueden resolver fácilmente una gran variedad de problemas, como el cálculo de modos guiados en guías de ondas, el cálculo de la dispersión de un objeto, el cálculo de la transmisión y la reflexión de cristales fotónicos, el cálculo de diagramas de bandas fotónicas, la simulación de metamateriales y mucho más.
FDFD puede ser el mejor "primer" método para aprender electromagnetismo computacional (CEM). Implica casi todos los conceptos encontrados con otros métodos, pero en un marco mucho más simple. Los conceptos incluyen condiciones de contorno, álgebra lineal, inyección de fuentes, representación numérica de dispositivos y posprocesamiento de datos de campo para calcular cosas significativas. Esto ayudará a una persona a aprender otras técnicas y también proporcionará una manera de probar y comparar esas otras técnicas.
FDFD es muy similar al dominio del tiempo de diferencias finitas (FDTD). Ambos métodos representan el espacio como una serie de puntos y aplican las ecuaciones de Maxwell en cada punto. FDFD pone este gran conjunto de ecuaciones en una matriz y resuelve todas las ecuaciones simultáneamente usando técnicas de álgebra lineal. Por el contrario, FDTD itera continuamente sobre estas ecuaciones para desarrollar una solución con el tiempo. Numéricamente, FDFD y FDTD son muy similares, pero sus implementaciones son muy diferentes.
El dominio del tiempo en diferencias finitas (FDTD) es una técnica CEM popular. Es fácil de entender. Tiene una implementación excepcionalmente simple para un solucionador de onda completa. Es al menos un orden de magnitud menos trabajo implementar un solucionador FDTD básico que un solucionador FEM o MoM. FDTD es la única técnica en la que una persona puede implementarla de manera realista en un período de tiempo razonable, pero incluso entonces, esto será para un problema bastante específico. [1] Dado que es un método en el dominio del tiempo, las soluciones pueden cubrir un amplio rango de frecuencias con una sola ejecución de simulación, siempre que el paso de tiempo sea lo suficientemente pequeño como para satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon para la frecuencia más alta deseada.
FDTD pertenece a la clase general de métodos de modelado numérico en el dominio del tiempo diferencial basados en cuadrículas. Las ecuaciones de Maxwell (en forma diferencial parcial ) se modifican a ecuaciones en diferencias centrales, se discretizan y se implementan en software. Las ecuaciones se resuelven de forma cíclica: el campo eléctrico se resuelve en un instante dado, luego el campo magnético se resuelve en el siguiente instante y el proceso se repite una y otra vez.
El algoritmo FDTD básico se remonta a un artículo fundamental de 1966 de Kane Yee en IEEE Transactions on Antennas and Propagation . Allen Taflove originó el descriptor "dominio del tiempo en diferencias finitas" y su correspondiente acrónimo "FDTD" en un artículo de 1980 en IEEE Trans. Electromagn. Compat. Desde aproximadamente 1990, las técnicas FDTD han surgido como el medio principal para modelar muchos problemas científicos y de ingeniería que abordan las interacciones de ondas electromagnéticas con estructuras materiales. Mohammadian et al. introdujeron una técnica eficaz basada en un procedimiento de discretización de volumen finito en el dominio del tiempo. en 1991. [14] Las aplicaciones actuales de modelado FDTD van desde cerca de CC (geofísica de frecuencia ultrabaja que involucra toda la guía de ondas Tierra- ionosfera ) pasando por microondas (tecnología de firma de radar, antenas, dispositivos de comunicaciones inalámbricas, interconexiones digitales, imágenes/tratamientos biomédicos) hasta luz visible ( cristales fotónicos , nanoplasmónica, solitones y biofotónica ). Se encuentran disponibles aproximadamente 30 paquetes de software comerciales y desarrollados por universidades.
Entre muchos métodos de dominio del tiempo, el método de dominio de tiempo discontinuo de Galerkin (DGTD) se ha vuelto popular recientemente ya que integra las ventajas tanto del método de dominio de tiempo de volumen finito (FVTD) como del método de dominio de tiempo de elementos finitos (FETD). Al igual que FVTD, el flujo numérico se utiliza para intercambiar información entre elementos vecinos, por lo que todas las operaciones de DGTD son locales y fácilmente paralelizables. De manera similar a FETD, DGTD emplea una malla no estructurada y es capaz de lograr una precisión de alto orden si se adopta la función de base jerárquica de alto orden. Con los méritos anteriores, el método DGTD se implementa ampliamente para el análisis transitorio de problemas multiescala que involucran una gran cantidad de incógnitas. [15] [16]
MRTD es una alternativa adaptativa al método de dominio de tiempo de diferencias finitas (FDTD) basado en el análisis de wavelets .
El método de los elementos finitos (FEM) se utiliza para encontrar la solución aproximada de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y ecuaciones integrales . El enfoque de solución se basa en eliminar completamente las derivadas del tiempo (problemas de estado estacionario) o convertir la PDE en una ecuación diferencial ordinaria equivalente , que luego se resuelve utilizando técnicas estándar como diferencias finitas , etc.
Al resolver ecuaciones diferenciales parciales , el desafío principal es crear una ecuación que se aproxime a la ecuación que se va a estudiar, pero que sea numéricamente estable , lo que significa que los errores en los datos de entrada y los cálculos intermedios no se acumulan ni destruyen el significado del resultado resultante. Hay muchas formas de hacerlo, con diversas ventajas y desventajas. El método de los elementos finitos es una buena opción para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dominios complejos o cuando la precisión deseada varía en todo el dominio.
La técnica de integración finita (FIT) es un esquema de discretización espacial para resolver numéricamente problemas de campos electromagnéticos en el dominio del tiempo y la frecuencia. Preserva las propiedades topológicas básicas de las ecuaciones continuas, como la conservación de carga y energía. FIT fue propuesto en 1977 por Thomas Weiland y se ha mejorado continuamente a lo largo de los años. [17] Este método cubre toda la gama de aplicaciones electromagnéticas (desde estáticas hasta de alta frecuencia) y ópticas y es la base de las herramientas de simulación comerciales: CST Studio Suite desarrollado por Computer Simulation Technology (CST AG) y soluciones de simulación electromagnética desarrolladas por Nimbic. .
La idea básica de este enfoque es aplicar las ecuaciones de Maxwell en forma integral a un conjunto de cuadrículas escalonadas. Este método se destaca por su alta flexibilidad en el modelado geométrico y el manejo de límites, así como por la incorporación de distribuciones y propiedades de materiales arbitrarias como la anisotropía , la no linealidad y la dispersión. Además, el uso de una cuadrícula ortogonal dual consistente (p. ej., cuadrícula cartesiana ) junto con un esquema de integración temporal explícito (p. ej., esquema de salto de rana) conduce a algoritmos de cálculo y memoria eficientes, que están especialmente adaptados para el análisis de campos transitorios en radio. Aplicaciones de frecuencia (RF).
Esta clase de técnicas computacionales de marcha en el tiempo para las ecuaciones de Maxwell utiliza transformadas discretas de Fourier o de Chebyshev discretas para calcular las derivadas espaciales de los componentes vectoriales del campo eléctrico y magnético que están dispuestos en una cuadrícula 2D o una red 3D de celdas unitarias. PSTD causa errores de anisotropía de velocidad de fase numérica insignificantes en relación con FDTD y, por lo tanto, permite modelar problemas de tamaño eléctrico mucho mayor. [18]
PSSD resuelve las ecuaciones de Maxwell propagándolas hacia adelante en una dirección espacial elegida. Por lo tanto, los campos se consideran una función del tiempo y (posiblemente) de cualquier dimensión espacial transversal. El método es pseudoespectral porque las derivadas temporales se calculan en el dominio de la frecuencia con la ayuda de FFT. Debido a que los campos se mantienen en función del tiempo, esto permite modelar de forma rápida y precisa la dispersión arbitraria en el medio de propagación con un esfuerzo mínimo. [19] Sin embargo, la elección de propagarse hacia adelante en el espacio (en lugar de en el tiempo) trae consigo algunas sutilezas, particularmente si las reflexiones son importantes. [20]
La matriz de línea de transmisión (TLM) se puede formular de varias maneras como un conjunto directo de elementos agrupados que se pueden resolver directamente mediante un solucionador de circuitos (como SPICE, HSPICE , et al.), como una red personalizada de elementos o mediante un enfoque de matriz de dispersión . TLM es una estrategia de análisis muy flexible similar a FDTD en capacidades, aunque tiende a haber más códigos disponibles con motores FDTD.
Este es un método implícito. En este método, en el caso bidimensional, las ecuaciones de Maxwell se calculan en dos pasos, mientras que en el caso tridimensional las ecuaciones de Maxwell se dividen en tres direcciones de coordenadas espaciales. Se han analizado en detalle los análisis de estabilidad y dispersión del método LOD-FDTD tridimensional. [21] [22]
La expansión de modos propios (EME) es una técnica bidireccional rigurosa para simular la propagación electromagnética que se basa en la descomposición de los campos electromagnéticos en un conjunto básico de modos propios locales. Los modos propios se encuentran resolviendo las ecuaciones de Maxwell en cada sección transversal local. La expansión de modo propio puede resolver las ecuaciones de Maxwell en 2D y 3D y puede proporcionar una solución totalmente vectorial siempre que los solucionadores de modo sean vectoriales. Ofrece ventajas muy importantes en comparación con el método FDTD para el modelado de guías de ondas ópticas y es una herramienta popular para el modelado de dispositivos fotónicos de silicio y fibra óptica .
Óptica física (PO) es el nombre de una aproximación de alta frecuencia ( aproximación de longitud de onda corta ) comúnmente utilizada en óptica, ingeniería eléctrica y física aplicada . Es un método intermedio entre la óptica geométrica, que ignora los efectos de las ondas , y el electromagnetismo de onda completa , que es una teoría precisa . La palabra "física" significa que es más física que la óptica geométrica y no que sea una teoría física exacta.
La aproximación consiste en utilizar óptica de rayos para estimar el campo sobre una superficie y luego integrar ese campo sobre la superficie para calcular el campo transmitido o disperso. Esto se parece a la aproximación de Born , en que los detalles del problema se tratan como una perturbación .
La teoría uniforme de la difracción (UTD) es un método de alta frecuencia para resolver problemas de dispersión electromagnética a partir de discontinuidades eléctricamente pequeñas o discontinuidades en más de una dimensión en el mismo punto.
La teoría uniforme de la difracción aproxima los campos electromagnéticos de campo cercano como cuasi ópticos y utiliza la difracción de rayos para determinar los coeficientes de difracción para cada combinación objeto-fuente difractante. Estos coeficientes se utilizan luego para calcular la intensidad del campo y la fase para cada dirección alejada del punto de difracción. Estos campos luego se agregan a los campos del incidente y a los campos reflejados para obtener una solución total.
La validación es una de las cuestiones clave a las que se enfrentan los usuarios de simulación electromagnética. El usuario debe comprender y dominar el dominio de validez de su simulación. La medida es: "¿qué tan lejos de la realidad están los resultados?".
Responder a esta pregunta implica tres pasos: comparación entre los resultados de la simulación y la formulación analítica, comparación cruzada entre códigos y comparación de los resultados de la simulación con la medición.
Por ejemplo, evaluando el valor de la sección transversal radar de una placa con la fórmula analítica:
Un ejemplo es la comparación cruzada de resultados del método de momentos y métodos asintóticos en sus dominios de validez. [23]
El paso final de validación se realiza mediante comparación entre mediciones y simulación. Por ejemplo, el cálculo RCS [24] y la medición [25] de un objeto metálico complejo a 35 GHz. El cálculo implementa GO, PO y PTD para los bordes.
Los procesos de validación pueden revelar claramente que algunas diferencias pueden explicarse por las diferencias entre la configuración experimental y su reproducción en el entorno de simulación. [26]
En la actualidad existen muchos códigos eficaces para resolver problemas de dispersión electromagnética. Están listados como:
Las soluciones analíticas, como la solución de Mie para dispersión por esferas o cilindros, se pueden utilizar para validar técnicas más complicadas.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}&=\left({\begin{matrix}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matrix}}\ derecha),\\[1ex]A&=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\ end{matrix}}\right),\\[1ex]B&=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1} {\mu }}&0&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]C&=\left({\begin{matrix}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\ frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matrix}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41523398447a19e2ea2e1aedb1bcbb1cf5c93186)
