El método de dominio de frecuencia de diferencias finitas (FDFD) es un método de solución numérica para problemas generalmente en electromagnetismo y a veces en acústica , basado en aproximaciones de diferencias finitas de los operadores derivados en la ecuación diferencial que se está resolviendo. [1]
Aunque "FDFD" es un término genérico que describe todos los métodos de diferencias finitas en el dominio de la frecuencia, el título parece describir principalmente el método aplicado a problemas de dispersión. El método comparte muchas similitudes con el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD), tanto que la literatura sobre FDTD se puede aplicar directamente. El método funciona transformando las ecuaciones de Maxwell (u otra ecuación diferencial parcial) para fuentes y campos a una frecuencia constante en forma de matriz . La matriz A se deriva del operador de ecuación de onda, el vector columna x contiene los componentes del campo y el vector columna b describe la fuente. El método es capaz de incorporar materiales anisotrópicos, pero los componentes fuera de la diagonal del tensor requieren un tratamiento especial.
Estrictamente hablando, hay al menos dos categorías de problemas de "dominio de frecuencia" en electromagnetismo. [2] Una es encontrar la respuesta a una densidad de corriente J con una frecuencia constante ω, es decir, de la forma , o una fuente armónica temporal similar. Este problema de respuesta en el dominio de la frecuencia conduce a un sistema de ecuaciones lineales como el descrito anteriormente. Una descripción temprana de un método FDTD de respuesta en el dominio de la frecuencia para resolver problemas de dispersión fue publicada por Christ y Hartnagel (1987). [3] Otra es encontrar los modos normales de una estructura (por ejemplo, una guía de ondas) en ausencia de fuentes: en este caso, la frecuencia ω es en sí misma una variable, y se obtiene un problema propio (normalmente, el valor propio λ es ω 2 ). Una descripción temprana de un método FDTD para resolver problemas propios electromagnéticos fue publicada por Albani y Bernardi (1974). [4]
El método FDFD es muy similar al método de elementos finitos (FEM), aunque existen algunas diferencias importantes. A diferencia del método FDTD, no hay pasos de tiempo que deban calcularse secuencialmente, lo que hace que el FDFD sea más fácil de implementar. Esto también podría llevar a uno a imaginar que el FDFD es menos costoso computacionalmente; sin embargo, este no es necesariamente el caso. El método FDFD requiere resolver un sistema lineal disperso, que incluso para problemas simples puede tener 20.000 por 20.000 elementos o más, con más de un millón de incógnitas. En este sentido, el método FDFD es similar al FEM, que es un método diferencial finito y también se implementa generalmente en el dominio de la frecuencia. Hay solucionadores numéricos eficientes disponibles para que se pueda evitar la inversión de matrices, un proceso extremadamente costoso computacionalmente. Además, se pueden emplear técnicas de reducción del orden del modelo para reducir el tamaño del problema.
La FDFD, y la FDTD, en este sentido, no se prestan bien a geometrías complejas o estructuras multiescala, ya que la cuadrícula de Yee está restringida principalmente a estructuras rectangulares. Esto se puede evitar utilizando una malla de cuadrícula muy fina (que aumenta el costo computacional) o aproximando los efectos con condiciones de contorno de superficie. Una cuadrícula no uniforme puede generar cargas espurias en el límite de la interfaz, ya que las condiciones de divergencia cero no se mantienen cuando la cuadrícula no es uniforme a lo largo de un límite de interfaz. La continuidad de los campos E y H se puede mantener para evitar este problema imponiendo una continuidad débil a lo largo de la interfaz utilizando funciones de base, como se hace en FEM. Las condiciones de contorno de capa perfectamente coincidente (PML) también se pueden utilizar para truncar la cuadrícula y evitar el mallado de espacio vacío.
Las ecuaciones FDFD se pueden reorganizar de tal manera que describan un circuito equivalente de segundo orden, donde los voltajes nodales representan los componentes del campo E y las corrientes de rama representan los componentes del campo H. Esta representación de circuito equivalente puede ser extremadamente útil, ya que se pueden utilizar técnicas de la teoría de circuitos para analizar o simplificar el problema y se puede utilizar como una herramienta similar a una especie de especia para la simulación electromagnética tridimensional. Este modelo de circuito equivalente de elemento de susceptancia (SEEC) tiene las ventajas de un número reducido de incógnitas, ya que solo hay que resolver los componentes del campo E, y se pueden emplear técnicas de reducción de orden del modelo de segundo orden.
El método FDFD se ha utilizado para proporcionar simulación de onda completa para modelar interconexiones para diversas aplicaciones en encapsulado electrónico. El FDFD también se ha utilizado para diversos problemas de dispersión en frecuencias ópticas.
