Método de momentos (electromagnetismo)

Método numérico en electromagnetismo computacional

Simulación de la refracción negativa de una metasuperficie a 15 GHz para diferentes ángulos de incidencia. Las simulaciones se realizan mediante el método de momentos.

El método de momentos ( MoM ), también conocido como método de momentos y método de residuos ponderados , ^[1] es un método numérico en electromagnetismo computacional . Se utiliza en programas informáticos que simulan la interacción de campos electromagnéticos como las ondas de radio con la materia, por ejemplo, programas de simulación de antenas como NEC que calculan el patrón de radiación de una antena. Generalmente siendo un método de dominio de frecuencia , ^[a] implica la proyección de una ecuación integral en un sistema de ecuaciones lineales mediante la aplicación de condiciones de contorno apropiadas . Esto se hace utilizando mallas discretas como en los métodos de diferencias finitas y elementos finitos , a menudo para la superficie. Las soluciones se representan con la combinación lineal de funciones base predefinidas ; generalmente, los coeficientes de estas funciones base son las incógnitas buscadas. Las funciones de Green y el método de Galerkin juegan un papel central en el método de momentos.

Para muchas aplicaciones, el método de momentos es idéntico al método de elementos de contorno . ^[b] Es uno de los métodos más comunes en ingeniería de microondas y antenas .

Historia

El desarrollo del método de elementos de contorno y otros métodos similares para diferentes aplicaciones de ingeniería está asociado con el advenimiento de la computación digital en la década de 1960. [ ^6] Antes de esto, los métodos variacionales se aplicaron a problemas de ingeniería en frecuencias de microondas en el momento de la Segunda Guerra Mundial . ^[7] Mientras que Julian Schwinger y Nathan Marcuvitz han compilado respectivamente estos trabajos en notas de conferencias y libros de texto, ^{[8] [9]} Victor Rumsey ha formulado estos métodos en el "concepto de reacción" en 1954. ^[10] Más tarde se demostró que el concepto era equivalente al método de Galerkin . ^{[7] A fines de la década de 1950,} Yuen Lo introdujo una versión temprana del método de momentos en un curso sobre métodos matemáticos en teoría electromagnética en la Universidad de Illinois . ^[11]

Esquema y patrón de radiación de una antena de espiral logarítmica , diseñada con un software de modelado basado en NEC

En la década de 1960, Kenneth Mei, Jean van Bladel ^[12] y Jack Richmond publicaron los primeros trabajos de investigación sobre el método . ^{[13] En la misma década,} Roger Harrington formalizó en gran medida la teoría sistemática del método de momentos en electromagnetismo . ^[14] Si bien el término "método de momentos" fue acuñado anteriormente por Leonid Kantorovich y Gleb Akilov para aplicaciones numéricas análogas, ^[15] Harrington ha adaptado el término para la formulación electromagnética. ^[7] Harrington publicó el libro de texto seminal Field Computation by Moment Methods sobre el método de momentos en 1968. ^[14] El desarrollo del método y sus indicaciones en la ingeniería de radares y antenas atrajeron interés; la investigación de MoM fue posteriormente apoyada por el gobierno de los Estados Unidos . El método se popularizó aún más con la introducción de códigos de modelado de antenas generalizados como el Código de Electromagnetismo Numérico , que fue liberado al dominio público por el gobierno de los Estados Unidos a fines de la década de 1980. ^{[16] [17]} En la década de 1990, la introducción de métodos multipolares rápidos y multipolares rápidos multinivel permitieron soluciones MoM eficientes a problemas con millones de incógnitas. ^{[18] [19] [20]}

Al ser una de las técnicas de simulación más comunes en ingeniería de RF y microondas , el método de momentos constituye la base de muchos programas de diseño comerciales como FEKO . ^[21] También están disponibles muchos códigos no comerciales y de dominio público de diferentes sofisticaciones. ^[22] Además de su uso en ingeniería eléctrica, el método de momentos se ha aplicado a la dispersión de luz ^[23] y a problemas plasmónicos . ^{[24] [25] [26]}

Fondo

Conceptos básicos

Una ecuación integral no homogénea se puede expresar como: donde L denota un operador lineal , g denota la función de forzamiento conocida y f denota la función desconocida. f se puede aproximar mediante un número finito de funciones base ( ): $${\displaystyle L(f)=g}$$ ${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle f\approx \sum _{n}^{N}a_{n}f_{n}.}$$

Por linealidad , la sustitución de esta expresión en la ecuación da como resultado: $${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})\approx g.}$$

También podemos definir un residuo para esta expresión, que denota la diferencia entre la solución real y la aproximada: $${\displaystyle R=\sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})-g}$$

El objetivo del método de momentos es minimizar este residuo, lo que se puede hacer utilizando funciones de ponderación o prueba apropiadas, de ahí el nombre de método de residuos ponderados. ^[27] Después de la determinación de un producto interno adecuado para el problema, la expresión se convierte en: $${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}\langle w_{m},L(f_{n})\rangle \approx \langle w_{m},g\rangle }$$

Así, la expresión se puede representar en forma matricial: $${\displaystyle \left[\ell _{mn}\right]\left[\alpha _{m}\right]=[g_{n}]}$$

La matriz resultante se suele denominar matriz de impedancia. ^[28] Los coeficientes de las funciones base se pueden obtener invirtiendo la matriz . ^[29] Para matrices grandes con una gran cantidad de incógnitas, se pueden utilizar métodos iterativos como el método de gradiente conjugado para la aceleración . ^[30] Las distribuciones de campo reales se pueden obtener a partir de los coeficientes y las integrales asociadas. ^[31] Las interacciones entre cada función base en MoM están aseguradas por la función de Green del sistema. ^[32]

Funciones básicas y de prueba

Interpolación de funciones con funciones de base de tejado

Se pueden elegir diferentes funciones base para modelar el comportamiento esperado de la función desconocida en el dominio; estas funciones pueden ser subseccionales o globales. ^[33] La elección de la función delta de Dirac como función base se conoce como coincidencia de puntos o colocación . Esto corresponde a aplicar las condiciones de contorno en puntos discretos y se utiliza a menudo para obtener soluciones aproximadas cuando la operación del producto interno es complicada de realizar. ^{[34] [35]} Otras funciones base subseccionales incluyen pulso , funciones triangulares por partes, sinusoidales por partes y funciones de techo. ^[33] Los parches triangulares, introducidos por S. Rao, D. Wilton y A. Glisson en 1982, ^[36] se conocen como funciones base RWG y se utilizan ampliamente en MoM. ^[37] También se introdujeron funciones base características para acelerar el cálculo y reducir la ecuación matricial. ^{[38] [39]} ${\displaystyle N}$

Las funciones de prueba y base a menudo se eligen para que sean las mismas; esto se conoce como el método de Galerkin . ^[29] Dependiendo de la aplicación y la estructura estudiada, las funciones de prueba y base deben elegirse apropiadamente para garantizar la convergencia y la precisión, así como para evitar posibles singularidades algebraicas de alto orden . ^[40]

Ecuaciones integrales

Dependiendo de la aplicación y las variables buscadas, se utilizan diferentes ecuaciones integrales o integrodiferenciales en MoM. La radiación y la dispersión por estructuras de alambre fino, como muchos tipos de antenas, se pueden modelar mediante ecuaciones especializadas. ^[41] Para problemas de superficie, las formulaciones de ecuaciones integrales comunes incluyen la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE), la ecuación integral del campo magnético (MFIE) ^[42] y la ecuación integral de potencial mixto (MPIE). ^[43]

Ecuaciones de alambre delgado

Como muchas estructuras de antena pueden aproximarse como cables, las ecuaciones de cables delgados son de interés en aplicaciones de MoM. Dos ecuaciones de cables delgados comúnmente utilizadas son las ecuaciones integrodiferenciales de Pocklington y Hallén. ^[44] La ecuación de Pocklington precede a las técnicas computacionales, habiendo sido introducida en 1897 por Henry Cabourn Pocklington . ^[45] Para un cable lineal que está centrado en el origen y alineado con el eje z, la ecuación puede escribirse como: donde y denotan la longitud y el grosor totales, respectivamente. es la función de Green para el espacio libre. La ecuación puede generalizarse a diferentes esquemas de excitación, incluidos los volantes magnéticos . ^[46] $${\displaystyle \int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')\left[\left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)G(z,z')\right]\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G(z,z')}$

La ecuación integral de Hallén, publicada por E. Hallén en 1938, ^[47] se puede expresar como: $${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)\int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')G(z,z')\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)}$$

Esta ecuación, a pesar de tener un mejor comportamiento que la ecuación de Pocklington, ^[48] generalmente está restringida a las excitaciones de voltaje delta-gap en el punto de alimentación de la antena , que se pueden representar como un campo eléctrico impreso. ^[46]

Ecuación integral del campo eléctrico (EFIE)

La forma general de la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE) se puede escribir como: donde es el campo eléctrico incidente o impreso. es la función de Green para la ecuación de Helmholtz y representa la impedancia de onda . Las condiciones de contorno se cumplen en una superficie PEC definida . EFIE es una ecuación integral de Fredholm de primer tipo. ^[42] $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {E} ^{\text{inc}}(\mathbf {r} )={\hat {\mathbf {n} }}\times \int _{S}\left[\eta jk\,\mathbf {J} (\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\frac {\eta }{jk}}\left\{{\boldsymbol {\nabla }}_{s}'\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\right\}{\boldsymbol {\nabla }}'G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\right]\,dS'}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{inc}}}$ ${\displaystyle G(r,r')}$ ${\displaystyle \eta }$

Ecuación integral del campo magnético (MFIE)

Otra ecuación integral comúnmente utilizada en MoM es la ecuación integral del campo magnético (MFIE), que se puede escribir como: $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathbf {J} (r)+{\hat {\mathbf {n} }}\times \oint _{S}\mathbf {J} (r')\times {\boldsymbol {\nabla }}'G(r,r')\,dS'={\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {H} _{\text{inc}}(r)}$$

La ecuación integral de Fredholm de segundo tipo se formula a menudo como una ecuación integral de Fredholm y, en general, está bien planteada . Sin embargo, la formulación requiere el uso de superficies cerradas, lo que limita sus aplicaciones. ^[42]

Otras formulaciones

Existen muchas formulaciones integrales de superficie y volumen diferentes para MoM. En muchos casos, las EFIE se convierten en ecuaciones integrales de potencial mixto (MFIE) mediante el uso de la condición de calibre de Lorenz ; esto tiene como objetivo reducir los órdenes de singularidades mediante el uso de potenciales eléctricos escalares y vectoriales magnéticos . ^{[49] [50]} Para evitar el problema de resonancia interna en los cálculos de dispersión dieléctrica, también se utilizan la ecuación integral de campo combinado (CFIE) y las formulaciones de Poggio—Miller—Chang—Harrington—Wu—Tsai (PMCHWT). ^[51] Otro enfoque, la ecuación integral volumétrica, necesita la discretización de los elementos de volumen y, a menudo, es computacionalmente costosa. ^[52]

El MoM también se puede integrar con la teoría de la óptica física ^[53] y el método de elementos finitos . ^[54]

Funciones de Green

Un esquema de microbanda . El análisis MoM de dichas estructuras en capas requiere la derivación de funciones de Green apropiadas.

Para formular matrices de MoM es necesario conocer la función de Green adecuada para la estructura estudiada: la incorporación automática de la condición de radiación en la función de Green hace que MoM sea particularmente útil para problemas de radiación y dispersión. Aunque la función de Green puede derivarse en forma cerrada para casos muy simples, las estructuras más complejas requieren la derivación numérica de estas funciones. ^[55]

El análisis de onda completa de estructuras estratificadas planas en particular, como microbandas o antenas de parche , requiere la derivación de funciones de Green que son peculiares de estas geometrías. ^{[50] [56]} Esto se puede lograr con dos métodos diferentes. En el primer método, conocido como enfoque de dominio espectral, los productos internos y la operación de convolución para las entradas de la matriz MoM se evalúan en el espacio de Fourier con funciones de Green de dominio espectral derivadas analíticamente a través del teorema de Parseval . ^{[57] [58] [59] El otro enfoque se basa en el uso de funciones de Green de dominio espacial. Esto implica la} transformada de Hankel inversa de la función de Green de dominio espectral, que se define en la ruta de integración de Sommerfeld. Sin embargo, esta integral no se puede evaluar analíticamente, y su evaluación numérica a menudo es computacionalmente costosa debido a los núcleos oscilatorios y la naturaleza de convergencia lenta de la integral. ^[60] Los enfoques comunes para evaluar estas integrales incluyen enfoques de extrapolación de cola, como el método de promedios ponderados. ^[61]

Otros enfoques incluyen la aproximación del núcleo integral. Después de la extracción de los componentes de polos de superficie y cuasiestáticos , estas integrales se pueden aproximar como exponenciales complejos de forma cerrada a través del método de Prony o el método generalizado de lápiz de funciones ; por lo tanto, las funciones de Green espaciales se pueden derivar mediante el uso de identidades apropiadas como la identidad de Sommerfeld . ^{[62] [63] [64]} Este método se conoce en la literatura de electromagnetismo computacional como el método de imagen compleja discreta (DCIM), ya que la función de Green se aproxima de manera efectiva con un número discreto de dipolos de imagen que se encuentran dentro de una distancia compleja desde el origen. ^[65] Las funciones de Green asociadas se denominan funciones de Green de forma cerrada. ^{[63] [64]} El método también se ha extendido para estructuras de capas cilíndricas. ^[66]

El método de ajuste de funciones racionales, ^{[67] [68]} así como sus combinaciones con DCIM, ^[64] también se pueden utilizar para aproximar funciones de Green de forma cerrada. Alternativamente, la función de Green de forma cerrada se puede evaluar a través del método de descenso más pronunciado . ^[69] Para las estructuras periódicas como matrices en fase y superficies selectivas de frecuencia , los métodos de aceleración en serie como la transformación de Kummer y la suma de Ewald se utilizan a menudo para acelerar el cálculo de la función de Green periódica. ^{[70] [71]}

Véase también

• Método de elementos de contorno
• Análisis del modo característico
• Aproximación de dipolo discreto
• Método multipolar rápido
• Método de elementos finitos
• Método multipolar rápido multinivel

Notas

1. Si bien el método se formula comúnmente en el dominio de la frecuencia, se han informado formulaciones en el dominio del tiempo (MoM-TD) en la literatura. ^{[2] [3] [4]}
2. Para las formulaciones de integrales de superficie, el método de momentos y el método de elementos de contorno son sinónimos: el nombre "método de momentos" es utilizado particularmente por la comunidad electromagnética. Sin embargo, ciertas formulaciones volumétricas también están presentes en MoM. ^[5]

Referencias

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