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Partición de un intervalo

Partición de un intervalo que se utiliza en una suma de Riemann . La partición en sí se muestra en gris en la parte inferior, con la norma de la partición indicada en rojo.

En matemáticas , una partición de un intervalo [ a , b ] en la recta real es una secuencia finita x 0 , x 1 , x 2 , …, x n de números reales tales que

a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b .

En otros términos, una partición de un intervalo compacto I es una secuencia estrictamente creciente de números (pertenecientes al propio intervalo I ) que comienza en el punto inicial de I y llega al punto final de I.

Cada intervalo de la forma [ x i , x i + 1 ] se denomina subintervalo de la partición x .

Refinamiento de una partición

Otra partición Q del intervalo dado [a, b] se define como un refinamiento de la partición P , si Q contiene todos los puntos de P y posiblemente también algunos otros puntos; se dice que la partición Q es “más fina” que P . Dadas dos particiones, P y Q , siempre se puede formar su refinamiento común , denotado P  ∨  Q , que consiste en todos los puntos de P y Q , en orden creciente. [1]

Norma de una partición

La norma (o malla ) de la partición

x 0 < x 1 < x 2 < … < x n

es la longitud del más largo de estos subintervalos [2] [3]

máx{| x ix i −1 | : i = 1, … , n }.

Aplicaciones

Las particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann , la integral de Riemann-Stieltjes y la integral regulada . En concreto, a medida que se consideran particiones más finas de un intervalo dado, su malla se acerca a cero y la suma de Riemann basada en una partición dada se acerca a la integral de Riemann . [4]

Particiones etiquetadas

Una partición etiquetada [5] o partición de Perron es una partición de un intervalo dado junto con una secuencia finita de números t 0 , …, t n − 1 sujeta a las condiciones de que para cada i ,

x it ix i + 1 .

En otras palabras, una partición etiquetada es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo: su malla se define de la misma manera que para una partición ordinaria. Es posible definir un orden parcial en el conjunto de todas las particiones etiquetadas diciendo que una partición etiquetada es más grande que otra si la más grande es un refinamiento de la más pequeña. [ cita requerida ]

Supongamos que x 0 , …, x n junto con t 0 , …, t n − 1 es una partición etiquetada de [ a , b ] , y que y 0 , …, y m junto con s 0 , …, s m − 1 es otra partición etiquetada de [ a , b ] . Decimos que y 0 , …, y m junto con s 0 , …, s m − 1 es un refinamiento de una partición etiquetada x 0 , …, x n junto con t 0 , …, t n − 1 si para cada entero i con 0 ≤ in , hay un entero r ( i ) tal que x i = y r ( i ) y tal que t i = s j para algún j con r ( i ) ≤ jr ( i + 1) − 1 . Dicho de forma más sencilla, un refinamiento de una partición etiquetada toma la partición inicial y añade más etiquetas, pero no quita ninguna.

Véase también

Referencias

  1. ^ Brannan, DA (2006). Un primer curso de análisis matemático. Cambridge University Press. pág. 262. ISBN 9781139458955.
  2. ^ Hijab, Omar (2011). Introducción al cálculo y al análisis clásico. Springer. pág. 60. ISBN 9781441994882.
  3. ^ Zorich, Vladimir A. (2004). Análisis matemático II. Springer. pág. 108. ISBN 9783540406334.
  4. ^ Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). Un curso de cálculo y análisis real. Springer. pág. 213. ISBN 9780387364254.
  5. ^ Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). Cálculo funcional concreto. Springer. pág. 2. ISBN 9781441969507.

Lectura adicional