Método de volumen finito

Método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales

El método de volumen finito ( FVM ) es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas. ^[1] En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Estos términos se evalúan luego como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que ingresa a un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores . Otra ventaja del método de volumen finito es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional . "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. ^[2]

Los métodos de volumen finito se pueden comparar y contrastar con los métodos de diferencias finitas , que aproximan las derivadas utilizando valores nodales, o los métodos de elementos finitos , que crean aproximaciones locales de una solución utilizando datos locales y construyen una aproximación global uniéndolos. Por el contrario, un método de volumen finito evalúa expresiones exactas para el valor promedio de la solución sobre un volumen determinado y utiliza estos datos para construir aproximaciones de la solución dentro de las celdas. ^{[3] [4]}

Ejemplo

Consideremos un simple problema de advección 1D:

Aquí, representa la variable de estado y representa el flujo o caudal de . Convencionalmente, positivo representa el flujo hacia la derecha mientras que negativo representa el flujo hacia la izquierda. Si asumimos que la ecuación ( 1 ) representa un medio fluido de área constante, podemos subdividir el dominio espacial, , en volúmenes o celdas finitas con centros de celda indexados como . Para una celda particular, , podemos definir el valor promedio del volumen de en el tiempo y , como ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle {t=t_{1}}}$ ${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$

y en el momento como, ${\displaystyle t=t_{2}}$

donde y representan las ubicaciones de las caras o bordes ascendentes y descendentes respectivamente de la celda. ${\displaystyle x_{i-1/2}}$ ${\displaystyle x_{i+1/2}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

Integrando la ecuación ( 1 ) en el tiempo, tenemos:

dónde . ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Para obtener el volumen promedio de en el tiempo , integramos sobre el volumen de la celda y dividimos el resultado por , es decir ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle t=t_{2}}$ ${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$

Suponemos que se comporta bien y que podemos invertir el orden de integración. Además, recordemos que el flujo es normal al área unitaria de la celda. Ahora, dado que en una dimensión , podemos aplicar el teorema de divergencia , es decir , y sustituir la integral de volumen de la divergencia con los valores de evaluados en la superficie de la celda (aristas y ) del volumen finito de la siguiente manera: ${\displaystyle f\ }$ ${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$ ${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{i-1/2}}$ ${\displaystyle x_{i+1/2}}$

dónde . ${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$

Por lo tanto, podemos derivar un esquema numérico semidiscreto para el problema anterior con centros de celdas indexados como , y con flujos de bordes de celdas indexados como , diferenciando ( 6 ) con respecto al tiempo para obtener: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\pm 1/2}$

donde los valores de los flujos de borde, , se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de celda. La ecuación ( 7 ) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su derivación. ${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$

Este método también se puede aplicar a una situación 2D considerando las caras norte y sur junto con las caras este y oeste alrededor de un nodo.

Derecho general de conservación

También podemos considerar el problema general de la ley de conservación , representado por la siguiente EDP ,

Aquí, representa un vector de estados y representa el tensor de flujo correspondiente . Nuevamente podemos subdividir el dominio espacial en volúmenes o celdas finitas. Para una celda particular, , tomamos la integral de volumen sobre el volumen total de la celda, , lo que da, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Al integrar el primer término para obtener el promedio del volumen y aplicar el teorema de divergencia al segundo, se obtiene

donde representa la superficie total de la célula y es un vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia afuera. Por lo tanto, finalmente, podemos presentar el resultado general equivalente a ( 8 ), es decir ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

Nuevamente, los valores de los flujos de borde se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. El esquema numérico real dependerá de la geometría del problema y de la construcción de la malla. La reconstrucción MUSCL se utiliza a menudo en esquemas de alta resolución donde hay choques o discontinuidades en la solución.

Los esquemas de volumen finito son conservadores, ya que los promedios de las celdas cambian a través de los flujos de borde. En otras palabras, ¡ la pérdida de una celda siempre es la ganancia de otra !

Véase también

• Método de elementos finitos
• Limitador de flujo
• El plan de Godunov
• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• KIVA (programa informático)
• Modelo de circulación general del MIT
• Esquema MUSCL
• Serguéi K. Godunov
• Variación total decreciente
• Método de volumen finito para flujo inestable

Referencias

1. LeVeque, Randall (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos. ISBN 9780511791253.
2. Wanta, D.; Smolik, WT; Kryszyn, J.; Wróblewski, P.; Midura, M. (octubre de 2021). "Un método de volumen finito que utiliza una malla estructurada no uniforme de árbol cuádruple para modelado en tomografía de capacitancia eléctrica". Actas de la Academia Nacional de Ciencias, India Sección A: Ciencias Físicas . 92 (3): 443–452. doi : 10.1007/s40010-021-00748-7 .
3. Fallah, NA; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, GA (1 de junio de 2000). "Comparación de la aplicación de los métodos de elementos finitos y de volumen finito en el análisis de tensiones geométricamente no lineal". Modelado matemático aplicado . 24 (7): 439–455. doi : 10.1016/S0307-904X(99)00047-5 . ISSN  0307-904X.
4. Ranganayakulu, C. (Chennu) (2 de febrero de 2018). "Capítulo 3, Sección 3.1". Intercambiadores de calor compactos: análisis, diseño y optimización mediante el método de elementos finitos y CFD . Seetharamu, KN Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2.OCLC 1006524487  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Lectura adicional

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) El método del volumen finito Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, pág. 713–1020. Editores: PG Ciarlet y JL Lions.
• Hirsch, C. (1990), Cálculo numérico de flujos internos y externos, Volumen 2: Métodos computacionales para flujos no viscosos y viscosos , Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para leyes de conservación , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia de calor numérica y flujo de fluidos , Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2.a ed., Taylor y Francis.
• Toro, EF (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.

Enlaces externos

• Métodos de volumen finito de R. Eymard, T. Gallouët y R. Herbin , actualización del artículo publicado en Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. "El método de volúmenes finitos (MFF): una introducción". Archivado desde el original el 2 de octubre de 2009., disponible bajo la GFDL .
• FiPy: un solucionador de ecuaciones diferenciales parciales de volumen finito que utiliza Python del NIST.
• CLAWPACK: un paquete de software diseñado para calcular soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas utilizando un enfoque de propagación de ondas