Análisis nodal modificado

En ingeniería eléctrica , el análisis nodal modificado ^[1] o MNA es una extensión del análisis nodal que no solo determina los voltajes de los nodos del circuito (como en el análisis nodal clásico), sino también algunas corrientes derivadas. El análisis nodal modificado se desarrolló como un formalismo para mitigar la dificultad de representar componentes definidos por voltaje en el análisis nodal (por ejemplo, fuentes de voltaje controladas por voltaje). Es uno de esos formalismos. Otros, como la formulación de cuadros dispersos, ^[2] son ​​igualmente generales y están relacionados mediante transformaciones matriciales.

Método

El MNA utiliza las ecuaciones constitutivas de rama del elemento o BCE, es decir, su característica tensión - corriente y las leyes del circuito de Kirchhoff . El método suele realizarse en cuatro pasos, ^[3] pero se puede reducir a tres:

Paso 1

Escribe las ecuaciones KCL del circuito. En cada nodo de un circuito eléctrico , escribe las corrientes que entran y salen del nodo. Tenga cuidado, sin embargo, en el método MNA , la corriente de las fuentes de voltaje independientes se toma del "más" al "menos" (ver Figura 1). Además, tenga en cuenta que el lado derecho de cada ecuación siempre es igual a cero, de modo que las corrientes derivadas que entran al nodo reciben un signo negativo y las que salen reciben un signo positivo.

Paso 2

Utilice los BCE en términos de los voltajes de nodo del circuito para eliminar tantas corrientes derivadas como sea posible. Escribir los BCE en términos de voltajes de nodo ahorra un paso. Si los BCE se escribieran en términos de voltajes de rama, sería necesario un paso más, es decir, reemplazar los voltajes de rama por los de nodo. En este artículo se utiliza la letra "e" para nombrar los voltajes de los nodos, mientras que la letra "v" se utiliza para nombrar los voltajes de las ramas.

Paso 3

Finalmente, escribe las ecuaciones no utilizadas.

Ejemplo

La figura muestra un circuito en serie RC y la tabla muestra el BCE de una resistencia lineal y un capacitor lineal. Tenga en cuenta que en el caso de la resistencia se utiliza la admitancia i, , en lugar de . Ahora procedemos como se explicó anteriormente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=1/R}$ ${\displaystyle R}$

Figura 1: Circuito RC.

Paso 1

En este caso hay dos nodos y . También hay tres corrientes: , y . ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle i_{V_{s}}}$ ${\displaystyle i_{R}}$ ${\displaystyle i_{C}}$

En el nodo e1 el KCL produce:

${\displaystyle i_{V_{s}}+i_{R}=0}$

y en el nodo e2 :

${\displaystyle -i_{R}+i_{C}=0}$

Paso 2

Con los BCE proporcionados en la tabla y observando que:

${\displaystyle V_{s}=e_{1}}$

${\displaystyle V_{R}=e_{1}-e_{2}}$

${\displaystyle V_{C}=e_{2},}$

el resultado son las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle G(e_{1}-e_{2})+i_{V_{S}}=0}$

${\displaystyle C{\frac {de_{2}}{dt}}+G(e_{2}-e_{1})=0}$

Paso 3

Tenga en cuenta que en este punto hay dos ecuaciones pero tres incógnitas. La ecuación que falta proviene del hecho de que

${\displaystyle e_{1}=V_{s}}$

y finalmente tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, lo que conduce a un sistema lineal resoluble.

Análisis nodal modificado y DAE

Si el vector está definido, entonces las ecuaciones anteriores se pueden expresar en la forma ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{T}}$ ${\displaystyle Ex'(t)+Ax(t)=f,}$

dónde y . ​ ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}G&-G&1\\-G&G&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&C&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle f={\begin{pmatrix}0&0&V_{s}\end{pmatrix}}^{T}}$

Esta es una ecuación algebraica diferencial lineal (DAE), ya que es singular. Se puede demostrar que dicho DAE proveniente del Análisis Nodal Modificado tendrá un índice de diferenciación menor o igual a dos siempre que solo se utilicen componentes RLC pasivos. ^{[4] [ cita completa necesaria ]} Cuando se utilizan componentes activos, como amplificadores operacionales , el índice de diferenciación puede ser arbitrariamente alto. ^[5] ${\displaystyle E}$

Análisis no fluido

Los DAE asumen características suaves para los componentes individuales; por ejemplo, un diodo se puede modelar/representar en un MNA con DAE mediante la ecuación de Shockley , pero no se puede usar un modelo aparentemente más simple (más ideal) donde las regiones de conducción directa y de ruptura marcadamente exponenciales de la curva son solo líneas verticales rectas. El análisis de circuitos (incluido MNA) con el último tipo de ecuaciones es en realidad más complicado (que el uso de DAE) y es el tema del análisis de sistemas dinámicos no suaves (NSDS), que se basa en la teoría de inclusiones diferenciales . ^{[6] [7]}

Referencias

1. Ho, Ruehli y Brennan (abril de 1974). "El enfoque nodal modificado para el análisis de redes". Proc. 1974 Internacional. Simposio sobre circuitos y sistemas, San Francisco . págs. 505–509. doi :10.1109/TCS.1975.1084079.{{cite conference}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
2. Hachtel, G., Brayton, R y Gustavson, F. (enero de 1971). "El enfoque Sparse Tableau para el análisis y diseño de redes". Transacciones IEEE sobre teoría de circuitos . 18 (1): 101-113. doi :10.1109/TCT.1971.1083223.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
3. Cheng, Chung Kuan. Apuntes de la conferencia para CSE245: Verificación y simulación de circuitos asistida por computadora. Primavera de 2006. Conferencia 1.
4. Tischendorf C. Índice topológico de DAE en la simulación de circuitos.
5. KE Brenan; SL Campbell; LR Petzold (1996). Solución numérica de problemas de valores iniciales en ecuaciones algebraicas diferenciales . SIAM. págs. 173-177. ISBN 978-1-61197-122-4.
6. Vicente Acary; Olivier Bonnefon; Bernardo Brogliato (2010). Modelado y simulación no suaves para circuitos conmutados . Medios de ciencia y negocios de Springer. Págs. 3 y 4 (para el ejemplo del diodo). ISBN 978-90-481-9681-4.
7. Markus Kunze (2000). Sistemas dinámicos no suaves . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-67993-6.

enlaces externos

• "Análisis nodal modificado (descripción del algoritmo DC en la documentación técnica de Qucs)" . Consultado el 22 de diciembre de 2012 .