Aproximación nata

Teoría de la dispersión

En general, en la teoría de dispersión y en particular en la mecánica cuántica , la aproximación de Born consiste en tomar el campo incidente en lugar del campo total como campo impulsor en cada punto del dispersor. La aproximación de Born recibe su nombre de Max Born, quien propuso esta aproximación en los primeros días del desarrollo de la teoría cuántica. ^[1]

Es el método de perturbación aplicado a la dispersión por un cuerpo extenso. Es preciso si el campo dispersado es pequeño en comparación con el campo incidente en el dispersor.

Por ejemplo, la dispersión de ondas de radio por una columna ligera de poliestireno se puede aproximar asumiendo que cada parte del plástico está polarizada por el mismo campo eléctrico que estaría presente en ese punto sin la columna y luego calculando la dispersión como una integral de radiación sobre esa distribución de polarización.

Aproximación de Born a la ecuación de Lippmann-Schwinger

La ecuación de Lippmann-Schwinger para el estado de dispersión con un momento p y condiciones de contorno salientes (+) o entrantes (−) es ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle ,}$

donde es la función de Green de la partícula libre , es una cantidad infinitesimal positiva y el potencial de interacción. es la solución de dispersión libre correspondiente, a veces llamada campo incidente. El factor del lado derecho a veces se llama campo impulsor . ${\displaystyle G^{\circ }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$ ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$

Dentro de la aproximación de Born, la ecuación anterior se expresa como

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle ,}$

lo cual es mucho más fácil de resolver ya que el lado derecho ya no depende del estado desconocido . ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$

La solución obtenida es el punto de partida de la serie de Born .

Aproximación de Born a la amplitud de dispersión

Utilizando la función de Green libre saliente para una partícula con masa en el espacio de coordenadas, ${\displaystyle m}$

${\displaystyle G^{(+)}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{+ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$

Se puede extraer la aproximación de Born a la amplitud de dispersión a partir de la aproximación de Born a la ecuación de Lippmann-Schwinger anterior,

${\displaystyle f_{B}(\theta )=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}re^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }V(\mathbf {r} )\;,}$

donde es el ángulo entre el vector de onda incidente y el vector de onda dispersado , es el momento transferido. En el potencial simétrico central , la amplitud de dispersión se convierte en ^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} '}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} '-\mathbf {k} }$ ${\displaystyle V=V(r)}$

${\displaystyle f_{B}(\theta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }rV(r){\frac {\sin qr}{q}}dr}$

donde En la aproximación de Born para un campo simétrico central, la amplitud de dispersión y, por lo tanto, la sección transversal dependen del momento y de la amplitud de dispersión solo a través de la combinación . ${\displaystyle q=|\mathbf {q} |=2k\sin(\theta /2).}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p=k/\hbar }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p\sin(\theta /2)}$

Aplicaciones

La aproximación de Born se utiliza en varios contextos físicos diferentes.

En la dispersión de neutrones , la aproximación de Born de primer orden es casi siempre adecuada, excepto para fenómenos ópticos de neutrones como la reflexión total interna en una guía de neutrones o la dispersión de ángulo pequeño con incidencia rasante . Utilizando la primera aproximación de Born, se ha demostrado que la amplitud de dispersión para un potencial de dispersión es la misma que la transformada de Fourier del potencial de dispersión ^[3] . Utilizando este concepto, el análogo electrónico de la óptica de Fourier se ha estudiado teóricamente en grafeno monocapa. ^[4] La aproximación de Born también se ha utilizado para calcular la conductividad en grafeno bicapa ^[5] y para aproximar la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios elásticos . ^[6] ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$

Las mismas ideas también se han aplicado al estudio de los movimientos de las ondas sísmicas a través de la Tierra. ^[7]

Aproximación de Born de onda distorsionada

La aproximación de Born es más sencilla cuando las ondas incidentes son ondas planas, es decir, el dispersor se trata como una perturbación del espacio libre o de un medio homogéneo. ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$

En la aproximación de Born de ondas distorsionadas ( DWBA ), las ondas incidentes son soluciones a una parte del problema que se trata con algún otro método, ya sea analítico o numérico. La interacción de interés se trata como una perturbación de algún sistema que se puede resolver con algún otro método. Para las reacciones nucleares, se utilizan ondas de modelos ópticos numéricos. Para la dispersión de partículas cargadas por partículas cargadas, se utilizan soluciones analíticas para la dispersión de Coulomb. Esto da la ecuación preliminar no de Born ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$ ${\displaystyle V^{1}}$ ${\displaystyle V=V^{1}+V^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{2}}$ ${\displaystyle V^{1}}$

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$

y la aproximación de Born

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle .}$

Otras aplicaciones incluyen la radiación de frenado y el efecto fotoeléctrico . Para una reacción nuclear directa inducida por partículas cargadas, el procedimiento se utiliza dos veces. Existen métodos similares que no utilizan las aproximaciones de Born. En la investigación de la materia condensada, la DWBA se utiliza para analizar la dispersión de ángulo pequeño con incidencia rasante .

Véase también

• Serie nacida
• Ecuación de Lippmann-Schwinger
• Serie Dyson
• Modelado electromagnético
• Aproximación de Rayleigh-Gans

Referencias

1. Nacido, Max (1926). "Quantenmechanik der Stossvorgänge". Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Código bibliográfico : 1926ZPhy...38..803B. doi :10.1007/BF01397184. S2CID  126244962.
2. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
3. Sakurai, JJ; Napolitano, J. (2020). Mecánica cuántica moderna . Cambridge University Press.
4. Partha Sarathi Banerjee, Rahul Marathe, Sankalpa Ghosh (2024). "Análogo electrónico de la óptica de Fourier con fermiones de Dirac sin masa dispersados ​​por una red de puntos cuánticos". Journal of Optics . 26 (9). IOP Publishing: 095602. arXiv : 2402.11259 . doi :10.1088/2040-8986/ad645b.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
5. Koshino, Mikito; Ando, ​​Tsuneya (2006). "Transporte en grafeno bicapa: cálculos dentro de una aproximación de Born autoconsistente". Physical Review B . 73 (24): 245403. arXiv : cond-mat/0606166 . Código Bibliográfico :2006PhRvB..73x5403K. doi :10.1103/physrevb.73.245403. S2CID  119415260.
6. Gubernatis, JE; Domany, E.; Krumhansl, JA; Huberman, M. (1977). "La aproximación de Born en la teoría de la dispersión de ondas elásticas por fallas". Journal of Applied Physics . 48 (7): 2812–2819. Bibcode :1977JAP....48.2812G. doi :10.1063/1.324142.
7. Hudson, JA; Heritage, JR (1980). "El uso de la aproximación de Born en problemas de dispersión sísmica". Revista geofísica de la Royal Astronomical Society . 66 (1): 221–240. Código Bibliográfico :1981GeoJ...66..221H. doi : 10.1111/j.1365-246x.1981.tb05954.x .

• Sakurai, JJ (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison Wesley. ISBN 0-201-53929-2.
• Newton, Roger G. (2002). Teoría de la dispersión de ondas y partículas . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-42535-5.
• Wu y Ohmura, Teoría cuántica de la dispersión , Prentice Hall, 1962