Ecuación de Lippmann-Schwinger

Ecuación utilizada en problemas de dispersión cuántica.

La ecuación de Lippmann-Schwinger (llamada así en honor a Bernard Lippmann y Julian Schwinger ^[1] ) es una de las ecuaciones más utilizadas para describir las colisiones de partículas (o, más precisamente, la dispersión  ) en la mecánica cuántica . Puede usarse en la dispersión de moléculas, átomos, neutrones, fotones o cualquier otra partícula y es importante principalmente en física atómica, molecular y óptica , física nuclear y física de partículas , pero también para problemas de dispersión sísmica en geofísica . Relaciona la función de onda dispersada con la interacción que produce la dispersión (el potencial de dispersión) y por tanto permite el cálculo de los parámetros experimentales relevantes ( amplitud de dispersión y secciones transversales ).

La ecuación más fundamental para describir cualquier fenómeno cuántico, incluida la dispersión, es la ecuación de Schrödinger . En problemas físicos, esta ecuación diferencial debe resolverse con la entrada de un conjunto adicional de condiciones iniciales y/o de contorno para el sistema físico específico estudiado. La ecuación de Lippmann-Schwinger es equivalente a la ecuación de Schrödinger más las condiciones de contorno típicas para problemas de dispersión. Para incorporar las condiciones de contorno, la ecuación de Lippmann-Schwinger debe escribirse como una ecuación integral . ^[2] Para problemas de dispersión, la ecuación de Lippmann-Schwinger suele ser más conveniente que la ecuación de Schrödinger original.

La forma general de la ecuación de Lippmann-Schwinger es (en realidad, a continuación se muestran dos ecuaciones, una para el signo y otra para el signo): ^[3] ${\displaystyle +\,}$ ${\displaystyle -\,}$

$${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$$

La energía potencial describe la interacción entre los dos sistemas en colisión. El hamiltoniano describe la situación en la que los dos sistemas están infinitamente alejados y no interactúan. Sus funciones propias son y sus valores propios son las energías . Finalmente, es necesario un tecnicismo matemático para el cálculo de las integrales necesarias para resolver la ecuación. Es una consecuencia de la causalidad, que garantiza que las ondas dispersas estén formadas únicamente por ondas salientes. Esto se vuelve riguroso mediante el principio de absorción limitante . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle \,}$ ${\displaystyle E\,}$ ${\displaystyle i\epsilon \,}$

Uso

La ecuación de Lippmann-Schwinger es útil en una gran cantidad de situaciones que involucran dispersión de dos cuerpos. Para tres o más cuerpos en colisión no funciona bien debido a limitaciones matemáticas; En su lugar, se pueden utilizar las ecuaciones de Faddeev . ^[4] Sin embargo, existen aproximaciones que pueden reducir un problema de muchos cuerpos a un conjunto de problemas de dos cuerpos en una variedad de casos. Por ejemplo, en una colisión entre electrones y moléculas, pueden haber decenas o cientos de partículas involucradas. Pero el fenómeno puede reducirse a un problema de dos cuerpos describiendo todos los potenciales de las partículas constituyentes de la molécula junto con un pseudopotencial . ^[5] En estos casos, se pueden utilizar las ecuaciones de Lippmann-Schwinger. Por supuesto, la principal motivación de estos enfoques es también la posibilidad de realizar los cálculos con esfuerzos computacionales mucho menores.

Derivación

Supondremos que el hamiltoniano puede escribirse como

$${\displaystyle H=H_{0}+V}$$

H ₀H ₀

$${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$$

Intuitivamente V es la energía de interacción del sistema. Sea un estado propio de H ₀ :

$${\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .}$$

Ahora, si sumamos la interacción a la mezcla, la ecuación de Schrödinger queda como ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .}$$

Consideremos ahora el teorema de Hellmann-Feynman , que requiere que los valores propios de energía del hamiltoniano cambien continuamente con cambios continuos en el hamiltoniano. Por lo tanto, deseamos que así sea . Una solución ingenua a esta ecuación sería ${\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V\to 0}$

$${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .}$$

1/ AinversaAE − H ₀singularEH ₀

$${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .}$$

Mediante la inserción de un conjunto completo de estados de partículas libres,

$${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{\beta }|\phi _{\beta }\rangle ,}$$

la ecuación de Schrödinger se convierte en una ecuación integral. Se supone que los estados "dentro" (+) y "fuera" (-) también forman bases , teniendo en el pasado distante y en el futuro distante respectivamente la apariencia de estados de partículas libres, pero siendo funciones propias del hamiltoniano completo. Al dotarlos así de un índice, la ecuación se convierte en

$${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi _{\alpha }\rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{(\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }^{(\pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle .}$$

Métodos de solución

Desde el punto de vista matemático la ecuación de Lippmann-Schwinger en representación de coordenadas es una ecuación integral de tipo Fredholm . Se puede resolver mediante discretización . Dado que es equivalente a la ecuación diferencial de Schrödinger independiente del tiempo con las condiciones de contorno apropiadas, también puede resolverse mediante métodos numéricos para ecuaciones diferenciales. En el caso del potencial esféricamente simétrico, normalmente se resuelve mediante análisis de ondas parciales . Para energías altas y/o potencial débil también se puede resolver perturbativamente mediante series de Born . Un método conveniente también en el caso de la física de muchos cuerpos, como en la descripción de colisiones atómicas, nucleares o moleculares, es el método de la matriz R de Wigner y Eisenbud. Otra clase de métodos se basa en la expansión separable del potencial o operador de Green como el método de fracciones continuas de Horáček y Sasakawa. Una clase de métodos muy importante se basa en principios variacionales, por ejemplo, el método de Schwinger-Lanczos que combina el principio variacional de Schwinger con el algoritmo de Lanczos . ${\displaystyle V}$

Interpretación como estados de entrada y salida.

El paradigma de la matriz S

En la formulación de matriz S de la física de partículas , en la que John Archibald Wheeler fue pionero, entre otros, ^[6] todos los procesos físicos se modelan según el siguiente paradigma. ^[7]

Se comienza con un estado de múltiples partículas que no interactúan en un pasado lejano. No interactuar no significa que todas las fuerzas se hayan desactivado, en cuyo caso, por ejemplo, los protones se desintegrarían, sino que existe un H ₀ hamiltoniano libre de interacción , para el cual los estados ligados tienen el mismo espectro de niveles de energía. como el hamiltoniano real H . Este estado inicial se conoce como estado de entrada . Intuitivamente, consta de partículas elementales o estados unidos que están lo suficientemente separados como para ignorar sus interacciones entre sí.

La idea es que cualquier proceso físico que uno intente estudiar pueda modelarse como un proceso de dispersión de estos estados ligados bien separados. Este proceso se describe mediante el hamiltoniano completo H , pero una vez finalizado, todas las nuevas partículas elementales y los nuevos estados ligados se separan nuevamente y se encuentra un nuevo estado que no interactúa llamado estado exterior . La matriz S es más simétrica bajo la relatividad que la hamiltoniana, porque no requiere una elección de intervalos de tiempo para definirla.

Este paradigma permite calcular las probabilidades de todos los procesos que hemos observado en 70 años de experimentos con colisionadores de partículas con notable precisión. Pero muchos fenómenos físicos interesantes no encajan evidentemente en este paradigma. Por ejemplo, si uno desea considerar la dinámica dentro de una estrella de neutrones, a veces quiere saber más que en qué se desintegrará finalmente. En otras palabras, uno puede estar interesado en mediciones que no estén en el futuro asintótico. A veces ni siquiera está disponible un pasado o un futuro asintótico. Por ejemplo, es muy posible que no exista un pasado anterior al Big Bang .

En la década de 1960, muchos físicos elevaron el paradigma de la matriz S a la categoría de ley fundamental de la naturaleza. En la teoría de la matriz S , se afirmó que cualquier cantidad que se pudiera medir debería encontrarse en la matriz S para algún proceso. Esta idea se inspiró en la interpretación física que las técnicas de matriz S podían dar a los diagramas de Feynman restringidos a la masa-capa , y condujo a la construcción de modelos de resonancia dual . Pero fue muy controvertido porque negaba la validez de la teoría cuántica de campos basada en campos locales y hamiltonianos.

La conexión con Lippmann-Schwinger

Intuitivamente, las funciones propias ligeramente deformadas del hamiltoniano H completo son los estados de entrada y salida. Son estados que no interactúan y que se asemejan a los estados de entrada y salida del pasado infinito y del futuro infinito. ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \phi }$

Creando paquetes de ondas

Esta imagen intuitiva no es del todo correcta, porque es una función propia del hamiltoniano y, por lo tanto, en diferentes momentos solo difiere en una fase. Así, en particular, el estado físico no evoluciona y, por tanto, no puede dejar de interactuar. Este problema se soluciona fácilmente ensamblando paquetes de ondas con cierta distribución de energías en una escala característica . El principio de incertidumbre ahora permite que las interacciones de los estados asintóticos ocurran en una escala de tiempo y, en particular, ya no es inconcebible que las interacciones puedan desactivarse fuera de este intervalo. El siguiente argumento sugiere que este es efectivamente el caso. ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \hbar /\Delta E}$

Introduciendo las ecuaciones de Lippmann-Schwinger en las definiciones

$${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$$

$${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$$

E ${\displaystyle \psi _{g}(t)}$ ${\displaystyle \phi _{g}(t)}$

Una integral de contorno

Esta integral se puede evaluar definiendo la función de onda sobre el plano E complejo y cerrando el contorno E mediante un semicírculo en el que las funciones de onda desaparecen. La integral sobre el contorno cerrado puede entonces evaluarse, utilizando el teorema integral de Cauchy , como una suma de los residuos en los distintos polos. Ahora argumentaremos que los residuos de se acercan a los de at en el tiempo y, por lo tanto, los paquetes de ondas correspondientes son iguales en el infinito temporal. ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t\to \mp \infty }$

De hecho, para tiempos t muy positivos, el factor en un estado de imagen de Schrödinger obliga a cerrar el contorno en el semiplano inferior. El polo en la ecuación de Lippmann-Schwinger refleja la incertidumbre temporal de la interacción, mientras que el de la función de peso de los paquetes de ondas refleja la duración de la interacción. Ambas variedades de polos se producen con energías imaginarias finitas y, por tanto, se suprimen en momentos muy prolongados. El polo en la diferencia de energía en el denominador está en el semiplano superior en el caso de , por lo que no se encuentra dentro del contorno integral y no contribuye a la integral. El resto es igual al paquete de ondas. Por lo tanto, en momentos muy tardíos , identificándose como el estado asintótico de no interacción . ${\displaystyle e^{-iEt}}$ ${\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$

De manera similar, se puede integrar el paquete de ondas correspondiente a momentos muy negativos. En este caso es necesario cerrar el contorno sobre el semiplano superior, por lo que no pasa por el polo de energía de , que se encuentra en el semiplano inferior. Luego se encuentra que los paquetes de ondas y son iguales en el pasado asintótico, identificándose como el estado asintótico que no interactúa . ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi ^{+}}$

El denominador complejo de Lippmann-Schwinger

Esta identificación de los como estados asintóticos es la justificación de los en el denominador de las ecuaciones de Lippmann-Schwinger. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \pm \epsilon }$

Una fórmula para la matriz S

La matriz S se define como el producto interno

$${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$$

thbHeisenberg representanSVS ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{-}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}$$

En la aproximación de Born , correspondiente a la teoría de perturbaciones de primer orden , se reemplaza esta última con la función propia correspondiente del hamiltoniano libre H ₀ , obteniendo ${\displaystyle \psi ^{+}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$$

V

Estas fórmulas se pueden utilizar a su vez para calcular la velocidad de reacción del proceso , que es igual a ${\displaystyle b\to a}$ ${\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.}$

Homogeneización

Con el uso de la función de Green, la ecuación de Lippmann-Schwinger tiene contrapartes en la teoría de la homogeneización (p. ej., mecánica, conductividad, permitividad).

Ver también

• Ecuación de Bethe-Salpeter

Referencias

1. Lippmann y Schwinger 1950, pág. 469
2. Joachain 1983, pag. 112
3. Weinberg 2002, pag. 111
4. Joachain 1983, pag. 517
5. Joachain 1983, pag. 576
6. Wheeler 1937, págs.1107
7. Weinberg 2002, sección 3.1.

Bibliografía

• Joachain, CJ (1983). Teoría de la colisión cuántica. Holanda del Norte . ISBN 978-0-7204-0294-0.
• Sakurai, JJ (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison Wesley . ISBN 978-0-201-53929-5.
• Weinberg, S. (2002) [1995]. Fundaciones . La teoría cuántica de campos. vol. 1. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55001-7.

Publicaciones originales

• Lippmann, BA ; Schwinger, J. (1950). "Principios variacionales para procesos de dispersión. I". Física. Rev. Lett . 79 (3): 469–480. Código bibliográfico : 1950PhRv...79..469L. doi : 10.1103/PhysRev.79.469.
• Wheeler, JA (1937). "Sobre la descripción matemática de los núcleos ligeros mediante el método de estructura de grupos resonantes". Física. Rdo . 52 (11): 1107-1122. Código bibliográfico : 1937PhRv...52.1107W. doi : 10.1103/PhysRev.52.1107.