En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. El alargamiento de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ).
Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero solo aproximaciones para su perímetro (también conocido como circunferencia ), para lo cual se requiere integración para obtener una solución exacta.
Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es:
Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es:
Una elipse también se puede definir en términos de un punto focal y una línea fuera de la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad antes mencionada:
Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo ocurre con las lunas que orbitan alrededor de planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas suelen estar bien descritas mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple que se forma cuando los movimientos horizontal y vertical son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .
El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perga en sus Cónicas .
Definición como lugar geométrico de puntos.
Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:
Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a :
El punto medio del segmento de recta que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a él que pasa por el centro es el eje menor .El eje mayor cruza la elipse en dos vértices , que están a distancia del centro. La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad .
El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse.
La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura):
Si el círculo tiene centro y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco :
se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. [1] [2] Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse utilizando una línea directriz a continuación.
Usando esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.
En coordenadas cartesianas
Ecuación estándar
La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:
los focos son los puntos ,
los vértices son .
Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por tanto el punto está en la elipse siempre que:
Eliminando los radicales mediante elevaciones al cuadrado adecuadas y usando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: [3]
y
Los parámetros de ancho y alto se denominan semieje mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los co-vértices . Las distancias desde un punto de la elipse a los focos izquierdo y derecho son y .
De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.
En principio, la ecuación canónica de la elipse puede tenerlo (y por tanto la elipse sería más alta que ancha). Este formulario se puede convertir al formulario estándar transponiendo los nombres de las variables y los nombres de los parámetros y
excentricidad lineal
Esta es la distancia del centro a un foco: .
Excentricidad
La excentricidad se puede expresar como:
suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo.
Recto semilato
La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se denomina latus rectum . La mitad es el recto semilatus . Un cálculo muestra: [4]
El recto semi-latus es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura).
Tangente
Una recta arbitraria corta a una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente recta exterior , tangente y secante . Por cualquier punto de una elipse pasa una tangente única. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas:
Una ecuación vectorial paramétrica de la tangente es:
Prueba:
Sea un punto en una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la línea en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene:
Entonces la recta y la elipse sólo tienen un punto en común y son tangentes. La dirección tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene una ecuación para algunos . Como está en la tangente y la elipse, se obtiene .
Entonces la recta tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante.
Usando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que demuestra la ecuación vectorial.
Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal").
elipse desplazada
Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es
Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y.
Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. [7] : 63
Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir del semieje mayor , el semieje menor , las coordenadas centrales y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas:
Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica.
Por el contrario, los parámetros de la forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de la forma general mediante las ecuaciones: [3]
donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.
El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , pero tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses a continuación). [8]
Representación racional
Con las fórmulas de sustitución y trigonométricas se obtiene
y la ecuación paramétrica racional de una elipse
que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo .
Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse moviéndose en sentido antihorario al aumentar. El vértice izquierdo es el límite.
Alternativamente, si el parámetro se considera un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es
Se puede obtener una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, a partir de la derivada de la representación estándar :
Reemplazando y de la representación estándar se obtiene:
Aquí está la pendiente de la tangente en el punto de la elipse correspondiente, es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices , al tener tangentes verticales, no están cubiertos por la representación.
La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . Lo aún desconocido se puede determinar insertando las coordenadas del punto de elipse correspondiente :
Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo de ortóptica contiene otra prueba, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.
Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación .
Representación paramétrica
Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , se asigna a la elipse:
Aquí está el centro y están las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares.
Vértices
Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por:
(Si , entonces .) Esto se deriva de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es:
En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, entonces:
Expandiendo y aplicando las identidades se obtiene la ecuación para
Área
Del teorema de Apolonio (ver más abajo) se obtiene: El área de una elipse es
Semiejes
Con las abreviaturas los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como:
Representación implícita
Resolviendo la representación paramétrica por la regla de Cramer y usando , se obtiene la representación implícita
de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores
Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son
Elipse estándar girada
Se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar girada por un ángulo :
Elipse en el espacio
La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que sean vectores en el espacio.
Formas polares
Forma polar relativa al centro.
En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es [7] : 75
Forma polar relativa al foco.
Si en cambio usamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular aún medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es
donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha) y positivo si esa dirección apunta en dirección opuesta al centro.
En el caso ligeramente más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es
Cada una de las dos líneas paralelas al eje menor, y a una distancia de él, se llama directriz de la elipse (ver diagrama).
Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:
La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación
El segundo caso se demuestra de manera análoga.
Lo contrario también es cierto y puede usarse para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):
Para cualquier punto (foco), cualquier línea (directriz) que no pasa por y cualquier número real con elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la línea es, es decir:
La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo .
(La elección produce una parábola y, si , una hipérbola).
Prueba
Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones
y
La sustitución produce
Esta es la ecuación de una elipse ( ), una parábola ( ) o una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama).
Si , introduce nuevos parámetros para que , entonces la ecuación anterior se convierta en
que es la ecuación de una elipse con centro , el eje x como eje mayor y el semieje mayor/menor .
Construcción de una directriz.
Porque el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde). Por lo tanto se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto .
elipse general
Si el foco es y la directriz se obtiene la ecuación
(El lado derecho de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ).
Propiedad de reflexión de foco a foco
Una elipse posee la siguiente propiedad:
La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas .
Prueba
Debido a que la recta tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las rectas a los focos (ver diagrama). Sea el punto de la recta a distancia del foco , donde está el semieje mayor de la elipse. Sea la recta la bisectriz del ángulo externo de las rectas y tome cualquier otro punto . Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo cruza la elipse en un único punto, también debe serlo la línea tangente.
Solicitud
Los rayos de un foco son reflejados por la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad reflectante de una parábola (ver galería de susurros ).
Diámetros conjugados
Definición de diámetros conjugados
Un círculo tiene la siguiente propiedad:
Los puntos medios de cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.
Una transformación afín preserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es cierta para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).
Definición
Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de cuerdas paralelas se encuentran sobre
Del diagrama se encuentra:
Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a .
Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.
En la ecuación paramétrica para una elipse general dada arriba,
cualquier par de puntos pertenece a un diámetro y el par pertenece a su diámetro conjugado.
Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos
(signos: (+,+) o (-,-) )
(signos: (-,+) o (+,-) )
son conjugados y
En el caso de un círculo, la última ecuación se colapsa a
Teorema de Apollonios sobre diámetros conjugados
Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: [9] [10]
Sea y la mitad de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces
.
El triángulo con lados (ver diagrama) tiene el área constante , que también puede expresarse por . es la altitud del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (consulte la sección Propiedades métricas) se puede escribir como .
El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la
Prueba
Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica.
Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). De fórmulas trigonométricas se obtiene y
El área del triángulo generado por es
y en el diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces mayor que la de . Por eso
Tangentes ortogonales
Para la elipse, los puntos de intersección de tangentes ortogonales se encuentran en el círculo .
Este círculo se llama círculo ortóptico o director de la elipse (no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).
Dibujar elipses
Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin ordenador. El principio de los elipsógrafos era conocido por matemáticos griegos como Arquímedes y Proklos .
Si no hay un elipsógrafo disponible, se puede dibujar una elipse utilizando una aproximación de los cuatro círculos osculadores en los vértices.
Para cualquier método descrito a continuación, es necesario el conocimiento de los ejes y los semiejes (o equivalentemente: los focos y los semiejes mayores). Si no se cumple esta presunción es necesario conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz se pueden recuperar las hachas y las semiejes.
Construcción del punto de La Hire
La siguiente construcción de puntos únicos de una elipse se debe a de La Hire . [11] Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse:
Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con radios y los ejes de la elipse.
Dibuja una línea que pase por el centro , que interseca los dos círculos en el punto y , respectivamente.
Dibuja una línea que sea paralela al eje menor y una línea que sea paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de elipse (ver diagrama).
Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas en el centro.
El método de La Hire.
Animación del método.
Método de alfileres y cuerdas
La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método de dibujar una utilizando dos chinchetas , un trozo de cuerda y un lápiz. En este método, se introducen alfileres en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a los dos alfileres; su longitud después de atar es . Luego, la punta del lápiz traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Utilizando dos clavijas y una cuerda, los jardineros utilizan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico; por eso se le llama elipse del jardinero .
Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (consulte § Representación paramétrica estándar , más arriba):
Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos es necesario conocer el centro, los ejes y semiejes .
Método 1
El primer método comienza con
una tira de papel de largo .
El punto donde se unen los semiejes está marcado por . Si la tira se desliza con ambos extremos sobre los ejes de la elipse deseada, entonces el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel.
Una pareja Tusi puede realizar una realización técnica del movimiento de la tira de papel (ver animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de tiras de papel.
Construcción de elipse: método 1 con tiras de papel
Elipses con pareja Tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.
Una variación del método 1 de la tira de papel utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con centro (de la elipse) y radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en dos mitades , unirlas nuevamente mediante una junta y fijar el extremo deslizante en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad sin cambios de la tira de papel no cambia. [12] Esta variación requiere solo un zapato deslizante.
Variación del método de la tira de papel 1.
Animación de la variación del método 1 de la tira de papel.
Método 2
El segundo método comienza con
una tira de papel de largo .
Se marca el punto que divide la franja en dos subfranjas de longitud y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras se mueve la tira. Para la prueba, se reconoce que el punto de calco se puede describir paramétricamente mediante , donde parámetro es el ángulo de inclinación de la tira de papel.
Este método es la base de varios elipsógrafos (consulte la sección siguiente).
De manera similar a la variación del método 1 de tiras de papel, se puede establecer una variación del método 2 de tiras de papel (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.
Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.
Para la generación de puntos de la elipse se utilizan los lápices en los vértices . Sea un co-vértice superior de la elipse y .
es el centro del rectángulo . El lado del rectángulo se divide en n segmentos de línea espaciados iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea y se asigna la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con el reverso de la orientación es parte del mapeo proyectivo entre los lápices en y necesario. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas son puntos de la elipse definida de forma única. Con ayuda de los puntos se pueden determinar los puntos del segundo cuarto de la elipse. De manera análoga se obtienen los puntos de la mitad inferior de la elipse.
La generación Steiner también se puede definir para hipérbolas y parábolas. A veces se le llama método del paralelogramo porque se pueden usar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.
Como hipotrocoide
La elipse es un caso especial del hipotrocoide cuando , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo en movimiento con radio dentro de un círculo con radio se llama pareja Tusi .
Ángulos inscritos y forma de tres puntos.
circulos
Un círculo con ecuación está determinado únicamente por tres puntos que no están en una línea. Una forma sencilla de determinar los parámetros utiliza el teorema del ángulo inscrito para círculos:
Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es cierta:
Los cuatro puntos están en un círculo si y sólo si los ángulos en y son iguales.
Generalmente se miden los ángulos inscritos en grados o radianes θ , pero aquí es más conveniente la siguiente medida:
Para medir el ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente:
Teorema del ángulo inscrito para círculos
Para cuatro puntos, no tres, en una recta, tenemos lo siguiente (ver diagrama):
Los cuatro puntos están en un círculo, si y sólo si los ángulos en y son iguales. En términos de la medida del ángulo anterior, esto significa:
Al principio, el compás está disponible sólo para acordes que no son paralelos al eje y, pero la fórmula final funciona para cualquier acorde.
Forma de tres puntos de la ecuación circular
Como consecuencia, se obtiene una ecuación para el círculo determinado por tres puntos no colineales :
El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro.
elipses
Esta sección considera la familia de elipses definidas por ecuaciones con una excentricidad fija . Es conveniente utilizar el parámetro:
y escribir la ecuación de la elipse como:
donde q es fijo y varía con los números reales. (Tales elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas: si , el eje mayor es paralelo al eje x ; si , es paralelo al eje y .)
Al igual que un círculo, una elipse de este tipo está determinada por tres puntos que no están en una línea recta.
Para esta familia de elipses, se introduce la siguiente medida de ángulo q-analógica , que no es función de la medida de ángulo habitual θ : [13] [14]
Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente:
Teorema del ángulo inscrito para elipses
Dados cuatro puntos , no hay tres en una línea (ver diagrama).
Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación si y sólo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medición anterior, es decir, si
Al principio, el compás está disponible sólo para cuerdas que no son paralelas al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier acorde. La prueba se desprende de un cálculo sencillo. Para la dirección de la prueba dado que los puntos están en una elipse, se puede suponer que el centro de la elipse es el origen.
Forma de tres puntos de la ecuación de elipse
Como consecuencia, se obtiene una ecuación para la elipse determinada por tres puntos no colineales :
Por ejemplo, para y se obtiene la forma de tres puntos
y después de la conversión
De manera análoga al caso del círculo, la ecuación se puede escribir más claramente usando vectores:
Cualquier elipse se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la elipse es. Si se permite que el punto sea un punto arbitrario diferente del origen, entonces
El punto se asigna a la línea , no a través del centro de la elipse.
Esta relación entre puntos y rectas es una biyección .
Tal relación entre puntos y líneas generadas por una cónica se llama relación polo-polar o polaridad . El polo es el punto; el polar la línea.
Mediante cálculo se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:
Para un punto (polo) en la elipse, la polar es la tangente en este punto (ver diagrama: ).
Para un polo fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ).
Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto en común con la elipse (ver diagrama: ).
El punto de intersección de dos polares es el polo de la recta que pasa por sus polos.
Los focos y , respectivamente, y las directrices y , respectivamente, pertenecen a pares de polo y polar. Debido a que son pares polares pares respecto del círculo , las directrices pueden construirse mediante compás y regla (ver Geometría inversiva ).
También existen relaciones polo-polar para hipérbolas y parábolas.
Propiedades métricas
Todas las propiedades métricas que se indican a continuación se refieren a una elipse con ecuación
excepto en la sección del área encerrada por una elipse inclinada, donde se dará la forma generalizada de la ecuación ( 1 ).
Área
El área encerrada por una elipse es:
donde y son las longitudes de los ejes semimayor y semimenor, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comienza con un círculo de radio (por lo que su área es ) y estíralo en un factor para formar una elipse. Esto escala el área por el mismo factor: [15] Sin embargo, usar el mismo enfoque para la circunferencia sería falaz: compare las integrales y . También es fácil probar rigurosamente la fórmula del área mediante la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como Para esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces el doble de la integral sobre el intervalo será el área de la elipse:
La segunda integral es el área de un círculo de radio , es decir, entonces
Una elipse definida implícitamente por tiene área.
El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del semieje mayor como (se obtiene resolviendo el aplanamiento y luego calculando el semieje menor).
Hasta ahora hemos tratado con elipses erectas , cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes y . Sin embargo, algunas aplicaciones requieren elipses inclinadas . En la óptica de haces de partículas cargadas, por ejemplo, el área encerrada de una elipse erecta o inclinada es una propiedad importante del haz, su emitancia . En este caso todavía se aplica una fórmula simple, a saber
donde , son interceptos y , son valores máximos. Se deduce directamente del teorema de Apolonio.
La circunferencia de la elipse puede evaluarse utilizando la media aritmético-geométrica de Gauss ; [16] este es un método iterativo cuadráticamente convergente (ver aquí para más detalles).
Srinivasa Ramanujan dio dos aproximaciones cercanas a la circunferencia en el §16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a "; [19] ellos son
Longitud de arco
De manera más general, la longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido (o las coordenadas x de dos puntos cualesquiera en la mitad superior de la elipse), viene dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por
Entonces la longitud del arco desde hasta es:
Esto es equivalente a
¿Dónde está la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro?
Algunos límites inferiores y superiores de la circunferencia de la elipse canónica son [ 20]
Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor.
Si la superficie del agua se perturba en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un solo punto: el segundo foco . Esto es una consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.
De manera similar, si se coloca una fuente de luz en un foco de un espejo elíptico , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan hacia el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene tal propiedad, se puede utilizar como definición alternativa de elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de regreso al centro). Si la elipse se gira a lo largo de su eje mayor para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide alargado ), esta propiedad se cumple. para todos los rayos que salen de la fuente. Alternativamente, se puede utilizar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel; Estos espejos se utilizan en algunos escáneres de documentos .
De manera más general, en el problema gravitacional de dos cuerpos , si los dos cuerpos están unidos entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares siendo el baricentro común uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquiera de las elipses no tiene significado físico conocido. La órbita de cada cuerpo en el sistema de referencia del otro también es una elipse, estando el otro cuerpo en el mismo foco.
Las órbitas elípticas keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Así, en principio, el movimiento de dos partículas con cargas opuestas en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos , que se vuelven significativos cuando las partículas se mueven a alta velocidad).
Para órbitas elípticas , las relaciones útiles que involucran la excentricidad son:
dónde
es el radio en la apoapsis (la distancia más lejana)
es el radio en el periapsis (la distancia más cercana)
La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones es también una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que puede moverse libremente en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo mediante un resorte perfectamente elástico ; o de cualquier objeto que se mueve bajo la influencia de una fuerza de atracción que es directamente proporcional a su distancia a un atractor fijo. Sin embargo, a diferencia de las órbitas keplerianas, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.
Visualización de fase
En electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar alimentándolas a las entradas verticales y horizontales de un osciloscopio . Si la figura de Lissajous mostrada es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están desfasadas.
Engranajes elípticos
Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada uno de los cuales gira alrededor de un foco y están colocados en el ángulo adecuado, giran suavemente manteniendo el contacto en todo momento. Alternativamente, pueden estar conectados mediante una cadena de eslabones o una correa de distribución , o en el caso de una bicicleta, el plato principal puede ser elíptico o un ovoide de forma similar a una elipse. Dichos engranajes elípticos se pueden usar en equipos mecánicos para producir velocidad angular variable o par a partir de una rotación constante del eje motriz, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación de manivela variable con una ventaja mecánica que varía inversamente .
Los engranajes de bicicleta elíptica facilitan que la cadena se deslice fuera del piñón al cambiar de marcha. [21]
Un ejemplo de aplicación de engranajes sería un dispositivo que enrolla hilo en una bobina cónica en una máquina de hilar . La bobina deberá enrollarse más rápido cuando el hilo esté cerca del vértice que cuando esté cerca de la base. [22]
En los láseres de estado sólido bombeados por lámpara , se han utilizado reflectores elípticos en forma de cilindro para dirigir la luz desde la lámpara de la bomba (coaxial con un eje focal de elipse) a la varilla del medio activo (coaxial con el segundo eje focal). [23]
En las fuentes de luz EUV producidas por plasma láser utilizadas en la litografía con microchips , la luz EUV se genera mediante plasma colocado en el foco primario de un espejo elipsoide y se recoge en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía. [24]
Estadística y finanzas
En estadística , un vector aleatorio bivariado se distribuye conjuntamente elípticamente si sus contornos de isodensidad (lugares de valores iguales de la función de densidad) son elipses. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso, en general, los contornos de isodensidad son elipsoides. Un caso especial es la distribución normal multivariada . Las distribuciones elípticas son importantes en finanzas porque si las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen conjuntamente de manera elíptica, entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, dos carteras cualesquiera con media y varianza idénticas de rendimiento de cartera tienen distribuciones idénticas de rentabilidad de cartera. devolver. [25] [26]
Gráficos de computadora
Dibujar una elipse como primitiva de gráficos es común en las bibliotecas de visualización estándar, como la API QuickDraw de MacIntosh y Direct2D en Windows. Jack Bresenham de IBM es famoso por la invención de primitivas de dibujo 2D, incluido el dibujo de líneas y círculos, utilizando únicamente operaciones enteras rápidas como la suma y la bifurcación en el bit de acarreo. MLV Pitteway amplió el algoritmo de Bresenham para líneas a cónicas en 1967. [27] Jerry Van Aken inventó otra generalización eficiente para dibujar elipses en 1984. [28]
En 1970, Danny Cohen presentó en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y demostró que tenían buenas propiedades. [29] Estos algoritmos necesitan sólo unas pocas multiplicaciones y sumas para calcular cada vector.
Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos por computadora porque la densidad de puntos es mayor donde hay mayor curvatura. Por tanto, el cambio de pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, lo que reduce la aparente "irregularidad" de la aproximación.
Dibujando con caminos de Bézier
Las curvas de Bézier compuestas también se pueden utilizar para dibujar una elipse con suficiente precisión, ya que cualquier elipse puede interpretarse como una transformación afín de un círculo. Los métodos spline utilizados para dibujar un círculo se pueden utilizar para dibujar una elipse, ya que las curvas de Bézier constituyentes se comportan apropiadamente bajo tales transformaciones.
Teoría de la optimización
A veces resulta útil encontrar la elipse delimitadora mínima en un conjunto de puntos. El método del elipsoide es bastante útil para resolver este problema.
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^ El término alemán para este círculo es Leitkreis , que puede traducirse como "Círculo de directores", pero ese término tiene un significado diferente en la literatura inglesa (ver Círculo de directores ).
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Referencias
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enlaces externos
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