La construcción de Rytz

Método para hallar ejes y vértices de una elipse

Construcción de Rytz: inicio - fin

La construcción de los ejes de Rytz es un método básico de geometría descriptiva para hallar los ejes, el semieje mayor y el semieje menor y los vértices de una elipse , a partir de dos semidiámetros conjugados . Si se determinan el centro y el semieje de una elipse, la elipse puede dibujarse utilizando un elipsógrafo o a mano (véase elipse ).

La construcción de Rytz es una construcción clásica de la geometría euclidiana , en la que solo se permiten como ayudas el compás y la regla . El diseño recibe el nombre de su inventor, David Rytz de Brugg (1801–1868).

Los diámetros conjugados aparecen siempre que se proyecta un círculo o una elipse en paralelo (los rayos son paralelos) como imágenes de diámetros ortogonales de un círculo (véase el segundo diagrama) o como imágenes de los ejes de una elipse. Una propiedad esencial de dos diámetros conjugados es que las tangentes en los puntos de la elipse de un diámetro son paralelas al segundo diámetro (véase el segundo diagrama). ${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$

Cubo con círculos: proyección militar

Construcción de Rytz en 6 pasos.
Dados: centro C y dos semidiámetros conjugados
CP, CQ de una elipse. Se buscan: los semiejes y los vértices de la elipse.

Planteamiento del problema y solución

Proyección paralela (oblicua u ortogonal) de un círculo que, en general, es una elipse (se omite el caso especial de un segmento de línea como imagen). Una tarea fundamental en geometría descriptiva es dibujar una imagen de este tipo de un círculo. El diagrama muestra una proyección militar de un cubo con 3 círculos en 3 caras del cubo. El plano de la imagen para una proyección militar es horizontal. Esto significa que el círculo en la parte superior aparece en su forma verdadera (como círculo). Las imágenes de los círculos en las otras dos caras son obviamente elipses con ejes desconocidos. Pero en cualquier caso se reconocen las imágenes de dos diámetros ortogonales de los círculos. Estos diámetros de las elipses ya no son ortogonales, sino que, como imágenes de diámetros ortogonales del círculo, son conjugados (¡las tangentes en los puntos finales de un diámetro son paralelas al otro diámetro!). Esta es una situación estándar en geometría descriptiva:

• A partir de una elipse se conocen el centro y dos puntos sobre dos diámetros conjugados. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P,Q}$
• Tarea: encontrar los ejes y semiejes de la elipse.

Pasos de la construcción

(1) rotar el punto 90 °. (2) Determinar el centro del segmento de línea . (3) Dibujar la línea y el círculo con centro en . Intersecar el círculo y la línea. Los puntos de intersección son . (4) Las líneas y son los ejes de la elipse. (5) El segmento de línea puede considerarse como una tira de papel de longitud (ver elipse ) que genera el punto . Por lo tanto y son los semiejes . (Si entonces es el semieje mayor ). (6) Se conocen los vértices y covértices y la elipse puede dibujarse mediante uno de los métodos de dibujo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$
${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$
${\displaystyle P'Q}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B}$
${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle CB}$
${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle a=|AQ|}$ ${\displaystyle b=|BQ|}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle a}$

Si se realiza un giro a la izquierda del punto , entonces la configuración muestra el método de la segunda tira de papel (ver el segundo diagrama en la siguiente sección) y y sigue siendo verdadero. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a=|AQ|}$ ${\displaystyle b=|BQ|}$

Prueba de la afirmación

Rytz: prueba

La prueba estándar se realiza geométricamente. ^[1] Una prueba alternativa utiliza geometría analítica:

La prueba está hecha, si uno es capaz de demostrar que

• los puntos de intersección de la línea con los ejes de la elipse se encuentran en el círculo que pasa por el centro , por lo tanto y , y ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle P'Q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U=A}$ ${\displaystyle V=B}$ ${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

Prueba

(1): Cualquier elipse puede representarse en un sistema de coordenadas adecuado paramétricamente mediante

${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\;b\sin t)^{T}}$.

Dos puntos se encuentran en diámetros conjugados si (ver Elipse: diámetros conjugados ). ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{1}),\ {\vec {p}}(t_{2})}$ ${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\pm {\tfrac {\pi }{2}}\ .}$

(2): Sea y ${\displaystyle Q=(a\cos t,\;b\sin t)}$

${\displaystyle P=(a\cos(t+{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t+{\tfrac {\pi }{2}}))=(-a\sin t,b\cos t)}$

dos puntos sobre diámetros conjugados.

Entonces y el punto medio del segmento de línea es . ${\displaystyle P'=(b\cos t,a\sin t)}$ ${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$ ${\displaystyle D=\left({\tfrac {a+b}{2}}\cos t,{\tfrac {a+b}{2}}\sin t\right)}$

(3): La línea tiene ecuación ${\displaystyle P'Q}$ ${\displaystyle x\sin t+y\cos t=(a+b)\;\cos t\sin t\ .}$

Los puntos de intersección de esta línea con los ejes de la elipse son

${\displaystyle U=\left(0,\;(a+b)\sin t\right)\ ,\quad V=\left((a+b)\cos t,\;0\right)\ .}$

Rytz: punto de giro a la izquierda ${\displaystyle P}$

(4): Debido a que los puntos se encuentran en el círculo con centro y radio ${\displaystyle |UD|=|VD|=|CD|}$ ${\displaystyle U,V,C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle |CD|\ .}$

Por eso ${\displaystyle A=U,\ B=V\ .}$

(5): ${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

La prueba utiliza un giro a la derecha del punto , lo que conduce a un diagrama que muestra el método de la primera tira de papel . ${\displaystyle P}$

Variaciones

Si se realiza un giro a la izquierda del punto , los resultados (4) y (5) siguen siendo válidos y la configuración muestra ahora el método de la segunda tira de papel (ver diagrama). Si se utiliza , la construcción y la prueba funcionan también. ${\displaystyle P}$
${\displaystyle P=(a\cos(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}))=(a\sin t,-b\cos t)}$

Solución asistida por computadora

Para encontrar los vértices de la elipse con ayuda de una computadora,

• Se deben conocer las coordenadas de los tres puntos . ${\displaystyle C,P,Q}$

Una idea sencilla es escribir un programa que realice los pasos descritos anteriormente. Una idea mejor es utilizar la representación de una elipse arbitraria de forma paramétrica:

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\ .}$

Con (el centro) y (dos semidiámetros conjugados) se pueden calcular puntos y dibujar la elipse. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {OC}}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\vec {CP}},\;{\vec {f}}_{2}={\vec {CQ}}}$

Si es necesario: Con uno se obtienen los cuatro vértices de la elipse: ${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi )\ .}$

Referencias

• Rudolf Fucke; Konrad Kirch; Níquel Heinz (2007). Darstellende Geometrie für Ingenieure [ Geometría descriptiva para ingenieros ] (en alemán) (17ª ed.). Múnich: Carl Hanser. pag. 183.ISBN​ 978-3446411432. Consultado el 31 de mayo de 2013 .
• Klaus Ulshöfer; Dietrich Tilp (2010). "5: Ellipse als orthogonal-affines Bild des Hauptkreises " [5: "Ellipse como imagen afín ortogonal del círculo unitario"]. Darstellende Geometrie in systematischen Beispielen [ Geometría descriptiva en una colección sistemática de ejemplos ]. Übungen für die gymnasiale Oberstufe (en alemán) (1ª ed.). Bamberg: CC Buchner. ISBN 978-3-7661-6092-8.
• Alexander Ostermann; Gerhard Wanner (2012). La geometría según su historia. Springer Science & Business Media. Págs. 68-69. ISBN 9783642291630.

1. Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle y Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 , p.114 

Enlaces externos

• Animación de la construcción de Rytz.