grupoide

En matemáticas , especialmente en teoría de categorías y teoría de homotopía , un grupoide (con menos frecuencia grupoide de Brandt o grupo virtual ) generaliza la noción de grupo de varias maneras equivalentes. Un grupoide puede verse como:

• Grupo con una función parcial que reemplaza la operación binaria ;
• Categoría en la que todo morfismo es invertible. Una categoría de este tipo puede verse aumentada con una operación unaria sobre los morfismos, llamada inversa por analogía con la teoría de grupos . ^[1] Un grupoide donde solo hay un objeto es un grupo habitual.

En presencia de escritura dependiente , una categoría en general puede verse como un monoide escrito y, de manera similar, un grupoide puede verse simplemente como un grupo escrito. Los morfismos llevan uno de un objeto a otro y forman una familia de tipos dependiente, por lo que los morfismos podrían tipificarse , por ejemplo. La composición es entonces una función total: , de modo que . ${\displaystyle g:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle h:B\rightarrow C}$ ${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$ ${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$

Los casos especiales incluyen:

• Setoides : conjuntos que vienen con una relación de equivalencia ,
• G-sets : conjuntos dotados de una acción de grupo. ${\displaystyle G}$

Los grupoides se utilizan a menudo para razonar sobre objetos geométricos como variedades . Heinrich Brandt  (1927) introdujo los grupoides implícitamente a través de los semigrupos de Brandt . ^[2]

Definiciones

Algebraico

Un grupoide puede verse como una estructura algebraica que consta de un conjunto con una función parcial binaria . Precisamente, es un conjunto no vacío con operación unaria y función parcial . Aquí * no es una operación binaria porque no está necesariamente definida para todos los pares de elementos de . Las condiciones precisas bajo las cuales se define no se articulan aquí y varían según la situación. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle *}$

Las operaciones y ⁻¹ tienen las siguientes propiedades axiomáticas: Para todo , y en , ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

1. Asociatividad : Siyestán definidos, entoncesyestán definidos y son iguales. Por el contrario, si uno deoestá definido, entonces ambos están definidos (y son iguales entre sí) y ytambiénestán definidos. ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle b*c}$ ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle a*(b*c)}$ ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle a*(b*c)}$ ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle b*c}$
2. Inversa :ysiempre están definidas. ${\displaystyle a^{-1}*a}$ ${\displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. Identidad : Siestá definida, entoncesy. (Los dos axiomas anteriores ya muestran que estas expresiones están definidas y son inequívocas). ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$ ${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$

De estos axiomas se derivan dos propiedades fáciles y convenientes:

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$,
• Si está definido, entonces . ^[3] ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

Teórico de categorías

Un grupoide es una categoría pequeña en la que cada morfismo es un isomorfismo , es decir, invertible. ^[1] Más explícitamente, un grupoide G es un conjunto G ₀ de objetos con

• para cada par de objetos xey un conjunto (posiblemente vacío) G ( x , y ) de morfismos (o flechas ) de xay ; escribimos f  : x → y para indicar que f es un elemento de G ( x , y );
• para cada objeto x un elemento designado de G ( x , x ); ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• para cada triplete de objetos x , y , yz una función ; ${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$
• para cada par de objetos x , y una función que satisfaga, para cualquier f  : x → y , g  : y → z , y h  : z → w : ${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$
  • ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$y ; ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$
  • ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$;
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$y . ${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$

Si f es un elemento de G ( x , y ), entonces x se llama fuente de f , escrito s ( f ), y y se llama destino de f , escrito t ( f ).

Un grupoide G a veces se denota como , donde es el conjunto de todos los morfismos y las dos flechas representan el origen y el destino. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$

De manera más general, se puede considerar un objeto grupoide en una categoría arbitraria que admite productos de fibra finitos.

Comparando las definiciones

Las definiciones algebraicas y teóricas de categorías son equivalentes, como ahora mostramos. Dado un grupoide en el sentido de la teoría de categorías, sea G la unión disjunta de todos los conjuntos G ( x , y ) (es decir, los conjuntos de morfismos de x a y ). Entonces y se convertirán en operaciones parciales en G y, de hecho, se definirán en todas partes. Definimos ∗ como y ⁻¹ como , lo que da un grupoide en sentido algebraico. Se puede eliminar la referencia explícita a G ₀ (y por tanto a ). ${\displaystyle \mathrm {comp} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {comp} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$

Por el contrario, dado un grupoide G en sentido algebraico, defina una relación de equivalencia en sus elementos mediante si y solo si a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Sea G ₀ el conjunto de clases de equivalencia de , es decir . Denotemos a ∗ a ⁻¹ por si con . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ ${\displaystyle 1_{x}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$

Ahora definamos como el conjunto de todos los elementos f tales que existen. Dado y su compuesto se define como . Para ver que esto está bien definido, observe que desde y existen, también lo hace . El morfismo de identidad en x es entonces , y la inversa teórica de categorías de f es f ⁻¹ . ${\displaystyle G(x,y)}$ ${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$ ${\displaystyle f\in G(x,y)}$ ${\displaystyle g\in G(y,z),}$ ${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$ ${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$ ${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$ ${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$ ${\displaystyle 1_{x}}$

Los conjuntos en las definiciones anteriores pueden reemplazarse con clases , como suele ser el caso en la teoría de categorías.

Grupos de vértices y órbitas.

Dado un grupoide G , los grupos de vértices o grupos de isotropía o grupos de objetos en G son los subconjuntos de la forma G ( x , x ) , donde x es cualquier objeto de G. De los axiomas anteriores se deduce fácilmente que estos son efectivamente grupos, ya que cada par de elementos es componible y los inversos están en el mismo grupo de vértices.

La órbita de un grupoide G en un punto está dada por el conjunto que contiene cada punto que puede unirse a x mediante un morfismo en G. Si dos puntos y están en las mismas órbitas, sus grupos de vértices y son isomorfos : si hay cualquier morfismo de a , entonces el isomorfismo viene dado por el mapeo . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle G(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

Las órbitas forman una partición del conjunto X, y un grupoide se llama transitivo si tiene una sola órbita (de manera equivalente, si está conectado como una categoría). En ese caso, todos los grupos de vértices son isomorfos (por otro lado, esta no es una condición suficiente para la transitividad; consulte la sección siguiente para ver contraejemplos).

Subgrupoides y morfismos

Un subgrupoide de es una subcategoría que en sí misma es un grupoide. Se llama amplia o completa si es amplia o completa como subcategoría, es decir, respectivamente, si o para cada . ${\displaystyle G\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in Y}$

Un morfismo grupoide es simplemente un funtor entre dos grupoides (teóricos de categorías).

Son de interés tipos particulares de morfismos de grupoides. Un morfismo de grupoides se llama fibración si para cada objeto de y cada morfismo de comenzar en hay un morfismo de comenzar en tal que . Una fibración se denomina morfismo de cobertura o cobertura de grupoides si, además, es única. Los morfismos de cobertura de grupoides son especialmente útiles porque pueden usarse para modelar mapas de cobertura de espacios. ^[4] ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(e)=b}$ ${\displaystyle e}$

También es cierto que la categoría de morfismos de cobertura de un grupoide dado es equivalente a la categoría de acciones del grupoide en conjuntos. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplos

Topología

Dado un espacio topológico , sea el conjunto . Los morfismos del punto al punto son clases de equivalencia de caminos continuos desde hasta , siendo dos caminos equivalentes si son homotópicos . Dos de estos morfismos se componen siguiendo primero el primer camino y luego el segundo; la equivalencia de homotopía garantiza que esta composición es asociativa . Este grupoide se llama grupoide fundamental de , denotado (o, a veces, ). ^[5] El grupo fundamental habitual es entonces el grupo de vértices del punto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle x}$

Las órbitas del grupoide fundamental son los componentes conectados por trayectoria de . En consecuencia, el grupoide fundamental de un espacio conexo por caminos es transitivo, y recuperamos el hecho conocido de que los grupos fundamentales en cualquier punto base son isomorfos. Además, en este caso, el grupoide fundamental y los grupos fundamentales son equivalentes como categorías (consulte la sección siguiente para conocer la teoría general). ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Una extensión importante de esta idea es considerar el grupoide fundamental donde hay un conjunto elegido de "puntos base". Aquí hay un subgrupoide (amplio) de , donde se consideran solo las rutas cuyos puntos finales pertenecen a . El conjunto podrá elegirse según la geometría de la situación en cuestión. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Relación de equivalencia

Si es un setoide , es decir, un conjunto con una relación de equivalencia , entonces un grupoide "que represente" esta relación de equivalencia se puede formar de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$

• Los objetos del grupoide son los elementos de ; ${\displaystyle X}$
• Para dos elementos cualesquiera y en , hay un único morfismo de a (denotado por ) si y sólo si ; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (y,x)}$ ${\displaystyle x\sim y}$
• La composición de y es . ${\displaystyle (z,y)}$ ${\displaystyle (y,x)}$ ${\displaystyle (z,x)}$

Los grupos de vértices de este grupoide son siempre triviales; además, este grupoide en general no es transitivo y sus órbitas son precisamente las clases de equivalencia. Hay dos ejemplos extremos:

• Si cada elemento de está en relación con todos los demás elementos de , obtenemos el par grupoide de , que tiene el conjunto completo como conjunto de flechas y que es transitivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Si cada elemento de está sólo en relación consigo mismo, se obtiene el grupoide unitario , que tiene como conjunto de flechas, y que es completamente intransitivo (cada singleton es una órbita). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s=t=id_{X}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Ejemplos

• Si es una inmersión sobreyectiva suave de variedades suaves , entonces es una relación de equivalencia ^[6] ya que tiene una topología isomorfa a la topología cociente de bajo el mapa sobreyectivo de espacios topológicos. Si escribimos, obtenemos un grupoide. ${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$ ${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$

  ${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

  que a veces se llama el grupoide banal de una inmersión sobreyectiva de variedades suaves.
• Si relajamos el requisito de reflexividad y consideramos relaciones de equivalencia parciales , entonces es posible considerar nociones de equivalencia semidecidibles sobre realizadores computables para conjuntos. Esto permite que los grupoides se utilicen como una aproximación computable a la teoría de conjuntos, llamados modelos PER . Considerados como una categoría, los modelos PER son una categoría cerrada cartesiana con clasificador de objetos y subobjetos de números naturales, dando lugar al topos efectivo introducido por Martin Hyland .

grupoide checo

Un grupoide de Čech ^{[6] p. 5} es un tipo especial de grupoide asociado a una relación de equivalencia dada por una cubierta abierta de alguna variedad . Sus objetos están dados por la unión disjunta. ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$,

y sus flechas son las intersecciones

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$.

Los mapas de origen y de destino vienen dados por los mapas inducidos.

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

y el mapa de inclusión

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

dando la estructura de un grupoide. De hecho, esto se puede ampliar aún más estableciendo

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

como el producto de fibra iterado donde representa tuplas de flechas componibles. El mapa de estructura del producto de fibra es implícitamente el mapa objetivo, ya que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

es un diagrama cartesiano donde los mapas son los mapas de destino. Esta construcción puede verse como un modelo para algunos ∞-grupoides . Además, otro artefacto de esta construcción son las k-cociclos. ${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

para alguna gavilla constante de grupos abelianos se puede representar como una función

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

dando una representación explícita de las clases de cohomología.

Acción grupal

Si el grupo actúa sobre el conjunto , entonces podemos formar el grupoide de acción (o grupoide de transformación ) que representa esta acción grupal de la siguiente manera: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• Los objetos son los elementos de ; ${\displaystyle X}$
• Para dos elementos cualesquiera y en , los morfismos de to corresponden a los elementos de tal que ; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gx=y}$
• La composición de morfismos interpreta la operación binaria de . ${\displaystyle G}$

Más explícitamente, el grupoide de acción es una categoría pequeña con y y con mapas de origen y destino y . A menudo se denota (o por una acción correcta). La multiplicación (o composición) en el grupoide es entonces la que se define proporcionada . ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$ ${\displaystyle s(g,x)=x}$ ${\displaystyle t(g,x)=gx}$ ${\displaystyle G\ltimes X}$ ${\displaystyle X\rtimes G}$ ${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$ ${\displaystyle y=gx}$

Porque en , el grupo de vértices consta de aquellos con , que es solo el subgrupo de isotropía en para la acción dada (razón por la cual los grupos de vértices también se denominan grupos de isotropía). De manera similar, las órbitas del grupoide de acción son la órbita de la acción grupal, y el grupoide es transitivo si y solo si la acción grupal es transitiva . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (g,x)}$ ${\displaystyle gx=x}$ ${\displaystyle x}$

Otra forma de describir conjuntos es la categoría de functor , donde es el grupoide (categoría) con un elemento e isomorfo al grupo . De hecho, cada funtor de esta categoría define un conjunto y para cada in (es decir , para cada morfismo en ) induce una biyección  :. La estructura categórica del funtor nos asegura que define una acción en el conjunto . El funtor representable (único)  : es la representación de Cayley de . De hecho, este functor es isomorfo y por lo tanto envía al conjunto que es por definición el "conjunto" y el morfismo de (es decir, el elemento de ) a la permutación del conjunto . De la incorporación de Yoneda deducimos que el grupo es isomorfo al grupo , un subgrupo del grupo de permutaciones de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle F_{g}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$ ${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{g}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$ ${\displaystyle G}$

Conjunto finito

Considere la acción grupal de sobre el conjunto finito que lleva cada número a su negativo, entonces y . El grupoide cociente es el conjunto de clases de equivalencia de este grupo action y tiene una acción grupal de sobre él. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$ ${\displaystyle -2\mapsto 2}$ ${\displaystyle 1\mapsto -1}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$ ${\displaystyle [0]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

variedad de cociente

Cualquier grupo finito que se asigne da una acción de grupo en el espacio afín (ya que este es el grupo de automorfismos). Entonces, un grupoide cociente puede tener la forma , que tiene un punto con estabilizador en el origen. Ejemplos como estos forman la base de la teoría de los orbifolds . Otra familia de orbifolds comúnmente estudiada son los espacios proyectivos ponderados y sus subespacios, como los orbifolds de Calabi-Yau . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

Producto de fibra de grupoides.

Dado un diagrama de grupoides con morfismos grupoides.

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

donde y , podemos formar el grupoide cuyos objetos son triples , donde , y en . Los morfismos se pueden definir como un par de morfismos donde y tal que para ternas , hay un diagrama conmutativo en de , y el . ^[7] ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ ${\displaystyle (x,\phi ,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$ ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$ ${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ ${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$ ${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$ ${\displaystyle \phi ,\phi '}$

Álgebra homológica

Un complejo de dos términos

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

de objetos en una categoría abeliana concreta se puede utilizar para formar un grupoide. Tiene como objetos el conjunto y como flechas el conjunto ; el morfismo de origen es solo la proyección sobre, mientras que el morfismo de destino es la adición de la proyección sobre compuesta con y la proyección sobre . Es decir, dado que tenemos ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

Por supuesto, si la categoría abeliana es la categoría de haces coherentes en un esquema, entonces esta construcción se puede utilizar para formar un prehaz de grupoides.

Rompecabezas

Si bien los acertijos como el Cubo de Rubik se pueden modelar utilizando la teoría de grupos (ver Grupo del cubo de Rubik ), ciertos acertijos se modelan mejor como grupoides. ^[8]

Las transformaciones de los quince rompecabezas forman un grupoide (no un grupo, ya que no todos los movimientos se pueden componer). ^{[9] [10] [11]} Este grupoide actúa sobre las configuraciones.

Grupoide Mathieu

El grupoide de Mathieu es un grupoide introducido por John Horton Conway que actúa sobre 13 puntos de modo que los elementos que fijan un punto forman una copia del grupo de Mathieu M ₁₂ .

Relación con grupos

Si un grupoide tiene un solo objeto, entonces el conjunto de sus morfismos forma un grupo . Usando la definición algebraica, dicho grupoide es literalmente solo un grupo. ^[12] Muchos conceptos de la teoría de grupos se generalizan a los grupoides, y la noción de funtor reemplaza a la de homomorfismo de grupo .

Cada grupoide transitivo/conectado, es decir, como se explicó anteriormente, uno en el que dos objetos cualesquiera están conectados por al menos un morfismo, es isomorfo a un grupoide de acción (como se definió anteriormente) . Por transitividad, sólo habrá una órbita bajo la acción. ${\displaystyle (G,X)}$

Tenga en cuenta que el isomorfismo que acabamos de mencionar no es único y no existe una elección natural . Elegir tal isomorfismo para un grupoide transitivo equivale esencialmente a elegir un objeto , un isomorfismo de grupo de a , y para cada uno de los demás , un morfismo de desde a . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G(x_{0})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$

Si un grupoide no es transitivo, entonces es isomorfo a una unión disjunta de grupoides del tipo anterior, también llamados componentes conectados (posiblemente con diferentes grupos y conjuntos para cada componente conectado). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

En términos de teoría de categorías, cada componente conectado de un grupoide es equivalente (pero no isomórfico ) a un grupoide con un solo objeto, es decir, un solo grupo. Por tanto, cualquier grupoide es equivalente a un conjunto múltiple de grupos no relacionados. En otras palabras, para equivalencia en lugar de isomorfismo, no es necesario especificar los conjuntos , sino sólo los grupos. Por ejemplo, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.}$

• El grupoide fundamental de es equivalente a la colección de los grupos fundamentales de cada componente conectado por camino de , pero un isomorfismo requiere especificar el conjunto de puntos en cada componente; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto con la relación de equivalencia es equivalente (como grupoide) a una copia del grupo trivial para cada clase de equivalencia , pero un isomorfismo requiere especificar cuál es cada clase de equivalencia: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$
• El conjunto equipado con una acción del grupo es equivalente (como grupoide) a una copia de para cada órbita de la acción, pero un isomorfismo requiere especificar qué conjunto es cada órbita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El colapso de un grupoide en una mera colección de grupos pierde algo de información, incluso desde un punto de vista teórico de categorías, porque no es natural . Por lo tanto, cuando surgen grupoides en términos de otras estructuras, como en los ejemplos anteriores, puede resultar útil mantener el grupoide completo. De lo contrario, hay que elegir una manera de ver cada uno en términos de un solo grupo, y esta elección puede ser arbitraria. En el ejemplo de topología , uno tendría que hacer una elección coherente de caminos (o clases de equivalencia de caminos) desde cada punto a cada punto en el mismo componente conectado por camino. ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Como ejemplo más esclarecedor, la clasificación de grupoides con un endomorfismo no se reduce a consideraciones puramente teóricas de grupo. Esto es análogo al hecho de que la clasificación de espacios vectoriales con un endomorfismo no es trivial.

Los morfismos de grupoides vienen en más tipos que los de grupos: tenemos, por ejemplo, fibraciones , que cubren morfismos, morfismos universales y morfismos de cociente. Por lo tanto, un subgrupo de un grupo produce una acción de sobre el conjunto de clases laterales de in y, por lo tanto, un morfismo de cobertura de, digamos, a , donde es un grupoide con grupos de vértices isomorfos a . De esta manera, las presentaciones del grupo se pueden "elevar" a presentaciones del grupoide , y esta es una forma útil de obtener información sobre las presentaciones del subgrupo . Para obtener más información, consulte los libros de Higgins y Brown en las Referencias. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

Categoría de grupoides

La categoría cuyos objetos son grupoides y cuyos morfismos son morfismos grupoides se llama categoría grupoide , o categoría de grupoides , y se denota por Grpd .

La categoría Grpd es, como la categoría de categorías pequeñas, cartesiana cerrada : para cualquier grupoide podemos construir un grupoide cuyos objetos son los morfismos y cuyas flechas son las equivalencias naturales de los morfismos. Por lo tanto, si son solo grupos, entonces tales flechas son conjugaciones de morfismos. El resultado principal es que para cualquier grupoide existe una biyección natural. ${\displaystyle H,K}$ ${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$ ${\displaystyle H\to K}$ ${\displaystyle H,K}$ ${\displaystyle G,H,K}$

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Este resultado es interesante incluso si todos los grupoides son solo grupos. ${\displaystyle G,H,K}$

Otra propiedad importante de Grpd es que es a la vez completo y cocompleto .

Relación con el gato

La inclusión tiene un adjunto izquierdo y otro derecho : ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

Aquí, denota la localización de una categoría que invierte cada morfismo y denota la subcategoría de todos los isomorfismos. ${\displaystyle C[C^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$

Relación con sSet

El functor nervioso incorpora Grpd como una subcategoría completa de la categoría de conjuntos simpliciales. El nervio de un grupoide es siempre un complejo de Kan . ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$

El nervio tiene un adjunto izquierdo.

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Aquí, denota el grupoide fundamental del conjunto simplicial X. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Grupoides en Grpd

Hay una estructura adicional que puede derivarse de los grupoides internos a la categoría de grupoides, los grupoides dobles . ^{[13] [14]} Debido a que Grpd es una categoría 2, estos objetos forman una categoría 2 en lugar de una categoría 1, ya que hay una estructura adicional. Esencialmente, estos son grupoides con functores. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

y una incrustación dada por un funtor de identidad

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Una forma de pensar en estos 2 grupos es que contienen objetos, morfismos y cuadrados que pueden componerse vertical y horizontalmente. Por ejemplo, dados los cuadrados

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$y ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

con el mismo morfismo, se pueden unir verticalmente dando un diagrama ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

que se puede convertir en otro cuadrado componiendo las flechas verticales. Existe una ley de composición similar para la unión horizontal de cuadrados.

Grupoides con estructuras geométricas.

Al estudiar objetos geométricos, los grupoides que surgen a menudo llevan una topología , convirtiéndolos en grupoides topológicos , o incluso alguna estructura diferenciable , convirtiéndolos en grupoides de Lie . Estos últimos objetos también pueden estudiarse en términos de sus algebroides de Lie asociados , en analogía con la relación entre grupos de Lie y álgebras de Lie .

Los grupoides que surgen de la geometría a menudo poseen estructuras adicionales que interactúan con la multiplicación de grupoides. Por ejemplo, en geometría de Poisson se tiene la noción de grupoide simpléctico , que es un grupoide de Lie dotado de una forma simpléctica compatible . De manera similar, se pueden tener grupoides con una métrica de Riemann compatible , o una estructura compleja , etc.

Ver también

• ∞-grupoide
• 2 grupos
• Teoría del tipo de homotopía
• categoría inversa
• Álgebra grupoide (no confundir con grupoide algebraico)
• algebroide R

Notas

1. Dicks y Ventura (1996). El grupo fijado por una familia de endomorfismos inyectivos de un grupo libre. pag. 6.
2. "Semigrupo Brandt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994], ISBN 1-4020-0609-8
3. Prueba de la primera propiedad: de 2. y 3. obtenemos a ⁻¹ = a ⁻¹ * a * a ⁻¹ y ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * ( a ⁻¹ ) ⁻¹ . Sustituyendo el primero en el segundo y aplicando 3. dos veces más se obtiene ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * a * a ⁻¹ * ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * un ⁻¹ * un = un . ✓
   Prueba de la segunda propiedad: dado que a * b está definido, también lo está ( a * b ) ⁻¹ * a * b . Por lo tanto ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a también está definido. Además, dado que a * b está definido, también lo está a * b * b ⁻¹ = a . Por lo tanto a * b * b ⁻¹ * a ⁻¹ también está definido. De 3. obtenemos ( a * b ) ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a * a ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ * a ⁻¹ = b ⁻¹ * un ⁻¹ . ✓
4. JP May, Un curso conciso en topología algebraica , 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 ( ver capítulo 2 ) 
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12. Asignar un grupo al grupoide correspondiente con un objeto a veces se denomina eliminación del bucle, especialmente en el contexto de la teoría de la homotopía , consulte "desconexión en nLab". ncatlab.org . Consultado el 31 de octubre de 2017 ..
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