Se dice que un espacio topológico esdesconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. En caso contrario,se dice que estáconectado.unsubconjuntode un espacio topológico es conexo si lo está bajo su topología subespacial. Algunos autores excluyen elconjunto vacío(con su topología única) como un espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.
Para un espacio topológico las siguientes condiciones son equivalentes:
está conectado, es decir, no se puede dividir en dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos.
Los únicos subconjuntos que son abiertos y cerrados ( conjuntos cerrados ) son y el conjunto vacío.
Los únicos subconjuntos de con límite vacío son y el conjunto vacío.
Todas las funciones continuas desde hasta son constantes, donde está el espacio de dos puntos dotado de topología discreta .
Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conectividad (en términos de no división en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (de forma independiente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Consulte [1] para obtener más detalles.
Componentes conectados
Dado algún punto en un espacio topológico, la unión de cualquier colección de subconjuntos conectados de modo que cada uno de los contenidos vuelva a ser un subconjunto conectado. El componente conectado de un punto en es la unión de todos los subconjuntos conectados de que contiene es el único subconjunto conectado más grande (con respecto a) de que contiene
Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se llaman los componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico forman una partición de : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( singletons ), que no son abiertos. Prueba: dos números racionales distintos cualesquiera tienen componentes diferentes. Tome un número irracional y luego establezca y Entonces es una separación de y . Por tanto, cada componente es un conjunto de un punto.
Sea el componente conectado de en un espacio topológico y sea la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen (llamado cuasicomponente de ) Entonces, donde se cumple la igualdad si es compacto de Hausdorff o localmente conectado. [2]
Espacios desconectados
Un espacio en el que todos sus componentes son conjuntos de un punto se llamatotalmente desconectado . Relacionado con esta propiedad, un espaciose llamatotalmente separados si, para dos elementos distintosyde, existenconjuntos abiertosque contienenycontienental quees la unión dey. Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero lo contrario no se cumple. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionalese identifíquelas en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con latopología del cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera esHausdorff, y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.
Ejemplos
El intervalo cerrado en la topología subespacial estándar es conexo; aunque puede, por ejemplo, escribirse como la unión de y el segundo conjunto no está abierto en la topología elegida de
La unión de y está desconectada; Ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar.
Un plano euclidiano que excluye el origen está conexo, pero no simplemente conexo. El espacio euclidiano tridimensional sin origen está conexo, e incluso simplemente conexo. Por el contrario, el espacio euclidiano unidimensional sin origen no está conexo.
Un plano euclidiano al que se le elimina una línea recta no está conexo ya que consta de dos semiplanos.
, el espacio de números reales con la topología habitual, está conexo.
Si se elimina incluso un solo punto , el resto se desconecta. Sin embargo, si se eliminan incluso una infinidad contable de puntos , el resto está conectado. Si , entonces permanece simplemente conectado después de eliminar un número contable de puntos.
La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo de un conjunto que está conexo pero que no está conexo por trayectoria ni localmente.
El grupo lineal general (es decir, el grupo de matrices invertibles por reales) consta de dos componentes conectados: uno con matrices de determinante positivo y el otro de determinante negativo. En particular, no está conectado. Por el contrario, está conectado. De manera más general, el conjunto de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert complejo es conexo.
Los espectros de dominios integral y de anillo local conmutativo están conectados. De manera más general, los siguientes son equivalentes [5]
El espectro de un anillo conmutativo está conectado.
no tiene idempotente (es decir, no es producto de dos anillos de forma no trivial).
Un ejemplo de un espacio que no está conectado es un plano al que se le ha eliminado una línea infinita. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano al que se le ha quitado un anillo , así como la unión de dos discos cerrados disjuntos , donde todos los ejemplos de este párrafo llevan la topología subespacial inducida por euclidiana bidimensional. espacio.
Conectividad del camino
AEl espacio conectado por caminos es una noción más fuerte de conectividad, que requiere la estructura de un camino. Un camino de un puntoa un puntoen unespacio topológicoes una función continuadesde elintervalo unitariohastawithy. Acomponente de ruta dees unaclase de equivalenciadebajo larelación de equivalenciaque haceequivalente asi hay una ruta dea.el espacioestáconectado por ruta(oconectado por rutaoconectado) si hay exactamente un componente de ruta. Para espacios no vacíos, esto equivale a afirmar que hay un camino que une dos puntos cualesquiera en. Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío.
Todo espacio conectado por camino está conectado. Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida y la curva sinusoidal del topólogo .
Los subconjuntos de la línea real están conectados si y sólo si están conectados por caminos; estos subconjuntos son los intervalos y rayos de . Además, los subconjuntos abiertos de o están conectados si y sólo si están conectados por ruta. Además, la conectividad y la conectividad de caminos son las mismas para espacios topológicos finitos .
Conectividad del arco
Se dice que un espacio está conectado en forma de arco o conectado en forma de arco si dos puntos cualesquiera, topológicamente distinguibles, pueden unirse mediante un arco , lo cual es una incrustación . Un componente de arco de es un subconjunto máximo conectado por arco de ; o de manera equivalente, una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden unirse mediante un arco o mediante un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles.
Todo espacio de Hausdorff que está conectado por caminos también está conectado por arco; De manera más general, esto es cierto para un espacio de -Hausdorff , que es un espacio donde cada imagen de un camino está cerrada. Un ejemplo de un espacio que está conectado por caminos pero no por arco lo da la línea con dos orígenes ; sus dos copias de pueden estar conectadas por un camino pero no por un arco.
La intuición para los espacios conectados por caminos no se transfiere fácilmente a los espacios conectados por arcos. Sea la recta con dos orígenes . Los siguientes son hechos cuyos análogos son válidos para espacios conectados por caminos, pero no válidos para espacios conectados por arco:
La imagen continua del espacio conectado por arco puede no estar conectada por arco: por ejemplo, un mapa de cociente de un espacio conectado por arco a su cociente con muchos (al menos 2) puntos topológicamente distinguibles no puede conectarse por arco debido a una cardinalidad demasiado pequeña .
Los componentes del arco no pueden estar separados. Por ejemplo, tiene dos componentes de arco superpuestos.
El espacio de producto conectado por arco puede no ser un producto de espacios conectados por arco. Por ejemplo, está conectado por arco, pero no lo está.
Los componentes de arco de un espacio de producto no pueden ser productos de componentes de arco de los espacios marginales. Por ejemplo, tiene un solo componente de arco, pero tiene dos componentes de arco.
Si los subconjuntos conectados por arco tienen una intersección no vacía, entonces su unión puede no estar conectada por arco. Por ejemplo, los componentes del arco de se cruzan, pero su unión no está conectada por arco.
Conectividad local
Se dice que un espacio topológico está conectado localmente en un punto si cada vecindad de contiene una vecindad abierta conectada. Está conectado localmente si tiene una base de conjuntos conectados. Se puede demostrar que un espacio está conectado localmente si y sólo si cada componente de cada conjunto abierto de está abierto.
De manera similar, se dice que un espacio topológico esconectado localmente por ruta si tiene una base de conjuntos conectados por ruta. Un subconjunto abierto de un espacio conectado por ruta local está conectado si y sólo si está conectado por ruta. Esto generaliza la afirmación anterior sobrey, cada uno de los cuales está conectado localmente por una ruta. De manera más general, cualquiervariedad topológicaestá conectada localmente por caminos.
Conectado localmente no implica conectado, ni conectado localmente por ruta implica conectado por ruta. Un ejemplo simple de un espacio conectado localmente (y conectado por ruta local) que no está conectado (o conectado por ruta) es la unión de dos intervalos separados en , como por ejemplo .
La intersección de conjuntos conexos no es necesariamente conexa.
La unión de conjuntos conexos no es necesariamente conexa, como se puede ver considerando .
Cada elipse es un conjunto conexo, pero la unión no es conexa, ya que se puede dividir en dos conjuntos abiertos disjuntos y .
Esto significa que, si la unión está desconectada, entonces la colección se puede dividir en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean separadas y abiertas (ver imagen). Esto implica que en varios casos, una unión de conjuntos conexos es necesariamente conexa. En particular:
Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía ( ), entonces obviamente no se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas . Por tanto, la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía es conexa.
Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía ( ), tampoco se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe estar conectada.
Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y , entonces nuevamente su unión debe estar conectada.
Si los conjuntos son disjuntos por pares y el espacio cociente es conexo, entonces X debe ser conexo. De lo contrario, si es una separación de X entonces es una separación del espacio cociente (ya que son disjuntos y abiertos en el espacio cociente). [6]
La diferencia de conjuntos de conjuntos conexos no es necesariamente conexa. Sin embargo, si y su diferencia es desconectada (y por lo tanto puede escribirse como una unión de dos conjuntos abiertos y ), entonces la unión de con cada componente es conexa (es decir, es conexa para todos ).
Prueba [7]
Por contradicción, supongamos que no está conectado. Por tanto, puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, por ejemplo . Debido a que está conectado, debe estar completamente contenido en uno de estos componentes, digamos , y por lo tanto está contenido en . Ahora sabemos que:
Los dos conjuntos en la última unión son disjuntos y abiertos en , por lo que hay una separación de , contradiciendo el hecho de que está conexo.
Teoremas
Teorema principal de la conectividad : sean espacios topológicos y sean una función continua. Si está conectada (ruta) entonces la imagen está conectada (ruta-). Este resultado puede considerarse una generalización del teorema del valor intermedio .
Todo espacio conectado por camino está conectado.
En un espacio conectado por caminos localmente, cada conjunto conectado abierto está conectado por caminos.
Cada espacio conectado por una ruta local está conectado localmente.
Un espacio conectado por ruta local está conectado por ruta si y solo si está conectado.
El cierre de un subconjunto conexo es conexo. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conexo y su cierre es conexo.
Los componentes conectados siempre están cerrados (pero en general no abiertos)
Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también están abiertos.
Los componentes conectados de un espacio son uniones disjuntas de los componentes conectados por caminos (que en general no son ni abiertos ni cerrados).
Cada cociente de un espacio conexo (respectivamente conectado localmente, conectado por ruta, conectado por ruta local) es conexo (resp. conectado localmente, conectado por ruta, conectado por ruta localmente).
Cada producto de una familia de espacios conectados (o conectados por caminos) está conectado (o conectados por caminos).
Cada subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (o conectado por ruta local) está conectado localmente (o conectado por ruta local).
Cada variedad está conectada localmente por caminos.
El espacio conectado en forma de arco está conectado por ruta, pero el espacio conectado por ruta puede no estar conectado en forma de arco
La imagen continua del conjunto conectado en forma de arco está conectada en forma de arco.
Graficos
Los gráficos tienen subconjuntos conectados por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de aristas que los une. Pero no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conectados. El gráfico de 5 ciclos (y cualquier ciclo impar) es un ejemplo de ello.
Como consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. A saber, existe una categoría de espacios conectivos que consta de conjuntos con colecciones de subconjuntos conectados que satisfacen axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que asignan conjuntos conexos a conjuntos conexos (Muscat y Buhagiar 2006). Los espacios topológicos y los gráficos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.
Sin embargo, cada gráfico se puede convertir canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y los bordes como copias del intervalo unitario (ver teoría de grafos topológicos # Gráficos como espacios topológicos ). Entonces se puede demostrar que el grafo es conexo (en el sentido teórico del grafo) si y sólo si es conexo como un espacio topológico.
Formas más fuertes de conexión
Existen formas más fuertes de conectividad para espacios topológicos , por ejemplo:
Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio topológico , deben estar conectados y, por lo tanto, los espacios hiperconectados también están conectados.
Dado que, por definición, un espacio simplemente conexo también debe estar conexo por caminos, cualquier espacio simplemente conexo también está conexo. Si el requisito de "conectividad de ruta" se elimina de la definición de conectividad simple, no es necesario conectar un espacio simplemente conectado.
Sin embargo, las versiones más fuertes de la conectividad incluyen la noción de un espacio contraíble . Todo espacio contráctil está conectado por caminos y, por tanto, también conectado.
Mascate, J; Buhagiar, D (2006). "Espacios Conectivos" (PDF) . Memoria. fac. Ciencia. Ing. Universidad Shimane, Serie B: Matemáticas. SC . 39 : 1–13. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 17 de mayo de 2010 ..