Indistinguibilidad topológica

En topología , dos puntos de un espacio topológico X son topológicamente indistinguibles si tienen exactamente los mismos vecindarios . Es decir, si x e y son puntos en X , y N _x es el conjunto de todos los vecindarios que contienen a x , y N _y es el conjunto de todos los vecindarios que contienen a y , entonces x e y son "topológicamente indistinguibles" si y solo si N _x = N _y . (Véase los sistemas de vecindarios axiomáticos de Hausdorff ).

Intuitivamente, dos puntos son topológicamente indistinguibles si la topología de X no puede discernir entre los puntos.

Dos puntos de X son topológicamente distinguibles si no son topológicamente indistinguibles. Esto significa que existe un conjunto abierto que contiene precisamente uno de los dos puntos (equivalentemente, existe un conjunto cerrado que contiene precisamente uno de los dos puntos). Este conjunto abierto puede utilizarse entonces para distinguir entre los dos puntos. Un espacio T 0 es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible. Este es el más débil de los axiomas de separación .

La indistinguibilidad topológica define una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X. Si x e y son puntos de X, escribimos x ≡ y para " x e y son topológicamente indistinguibles". La clase de equivalencia de x se denotará por [ x ].

Ejemplos

Por definición, dos puntos cualesquiera en un espacio T 0 son topológicamente distinguibles. Por otra parte, la regularidad y la normalidad no implican T ₀ , por lo que podemos encontrar ejemplos no triviales de puntos topológicamente indistinguibles en espacios topológicos regulares o normales. De hecho, casi todos los ejemplos que se dan a continuación son completamente regulares .

En un espacio indiscreto , dos puntos son topológicamente indistinguibles.
En un espacio pseudométrico , dos puntos son topológicamente indistinguibles si y sólo si la distancia entre ellos es cero.
En un espacio vectorial semirnormalizado , x ≡ y si y sólo si ‖ x − y ‖ = 0.
- Por ejemplo, sea L ² ( R ) el espacio de todas las funciones mensurables desde R hasta R que son integrables al cuadrado (ver espacio L p ). Entonces dos funciones f y g en L ² ( R ) son topológicamente indistinguibles si y solo si son iguales casi en todas partes .
En un grupo topológico , x ≡ y si y solo si x ⁻¹y ∈ cl{ e } donde cl{ e } es la clausura del subgrupo trivial . Las clases de equivalencia son simplemente las clases laterales de cl{ e } (que siempre es un subgrupo normal ).
Los espacios uniformes generalizan tanto los espacios pseudométricos como los grupos topológicos. En un espacio uniforme, x ≡ y si y solo si el par ( x , y ) pertenece a cada entorno . La intersección de todos los entornos es una relación de equivalencia en X que es justamente la de indistinguibilidad topológica.
Sea X la topología inicial con respecto a una familia de funciones . Entonces, dos puntos x e y en X serán topológicamente indistinguibles si la familia no los separa (es decir, para todos los ). $\{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}$ $f_{\alpha }$ $f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)$ $\alpha$
Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto X existe una topología en X para la cual la noción de indistinguibilidad topológica concuerda con la relación de equivalencia dada. Se pueden tomar simplemente las clases de equivalencia como base para la topología. Esto se denomina topología de partición en X.

Pedido anticipado de especialización

La relación de indistinguibilidad topológica en un espacio X se puede recuperar a partir de un preorden natural en X llamado preorden de especialización . Para los puntos x e y en X, este preorden se define por

x ≤ y si y sólo si x ∈ cl{ y }

donde cl{ y } denota el cierre de { y }. Equivalentemente, x ≤ y si el sistema de vecindad de x , denotado N _x , está contenido en el sistema de vecindad de y :

x ≤ y si y sólo si N _x ⊂ N _y .

Es fácil ver que esta relación en X es reflexiva y transitiva y, por lo tanto, define un preorden. Sin embargo, en general, este preorden no será antisimétrico . De hecho, la relación de equivalencia determinada por ≤ es precisamente la de indistinguibilidad topológica:

x ≡ y si y sólo si x ≤ y y y ≤ x .

Se dice que un espacio topológico es simétrico (o R ₀ ) si el preorden de especialización es simétrico (es decir, x ≤ y implica y ≤ x ). En este caso, las relaciones ≤ y ≡ son idénticas. La indistinguibilidad topológica se comporta mejor en estos espacios y es más fácil de entender. Nótese que esta clase de espacios incluye todos los espacios regulares y completamente regulares .

Propiedades

Condiciones equivalentes

Existen varias formas equivalentes de determinar cuándo dos puntos son topológicamente indistinguibles. Sea X un espacio topológico y sean x e y puntos de X . Denotemos las respectivas clausuras de x e y por cl{ x } y cl{ y }, y los respectivos sistemas de vecindad por N _x y N _y . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

x ≡ y
Para cada conjunto abierto U en X , U contiene tanto x como y o ninguno de ellos.
Nx = Ny
x ∈ cl{ y } y y ∈ cl{ x }
cl{ x } = cl{ y }
x ∈ ∩ N _y y y ∈ ∩ N _x
∩ N _x = ∩ N _y
x ∈ cl{ y } y x ∈ ∩ N _y
x pertenece a todo conjunto abierto y a todo conjunto cerrado que contenga y
Una red o filtro converge a x si y sólo si converge a y

Estas condiciones se pueden simplificar en el caso en que X sea un espacio simétrico . Para estos espacios (en particular, para los espacios regulares ), las siguientes afirmaciones son equivalentes:

x ≡ y
para cada conjunto abierto U , si x ∈ U entonces y ∈ U
Nx ⊂ Ny
x ∈ cl{ y }
x ∈ ∩ N _y
x pertenece a todo conjunto cerrado que contiene y
x pertenece a todo conjunto abierto que contiene y
Toda red o filtro que converge a x converge a y

Clases de equivalencia

Para analizar la clase de equivalencia de x , es conveniente definir primero los conjuntos superior e inferior de x . Ambos se definen con respecto al preorden de especialización analizado anteriormente.

El conjunto inferior de x es simplemente el cierre de { x }:

\mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}

mientras que el conjunto superior de x es la intersección del sistema de vecindad en x :

\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.

La clase de equivalencia de x viene dada entonces por la intersección

[x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}.

Dado que ↓ x es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen x y ↑ x es la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen x , la clase de equivalencia [ x ] es la intersección de todos los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados que contienen x .

Tanto cl{ x } como ∩ N _x contendrán la clase de equivalencia [ x ]. En general, ambos conjuntos contendrán también puntos adicionales. Sin embargo, en espacios simétricos (en particular, en espacios regulares ), los tres conjuntos coinciden:

[x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.

En general, las clases de equivalencia [ x ] estarán cerradas si y sólo si el espacio es simétrico.

Funciones continuas

Sea f : X → Y una función continua . Entonces, para cualquier x e y en X

x ≡ y implica f ( x ) ≡ f ( y ).

La recíproca es generalmente falsa (hay cocientes de espacios T _{0 que son}triviales ). La recíproca se cumplirá si X tiene la topología inicial inducida por f . De manera más general, si X tiene la topología inicial inducida por una familia de funciones entonces $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$

x ≡ y si y sólo si f _α ( x ) ≡ f _α ( y ) para todo α.

De ello se deduce que dos elementos de un espacio de producto son topológicamente indistinguibles si y sólo si cada uno de sus componentes es topológicamente indistinguible.

Cociente de Kolmogorov

Puesto que la indistinguibilidad topológica es una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X , podemos formar el espacio cociente KX = X /≡. El espacio KX se llama cociente de Kolmogorov o identificación T ₀ de X . El espacio KX es, de hecho, T ₀ (es decir, todos los puntos son topológicamente distinguibles). Además, por la propiedad característica de la función cociente, cualquier función continua f : X → Y de X a un espacio T _{0 se factoriza a través de la función cociente}q : X → KX .

Aunque la función cociente q no es generalmente un homeomorfismo (ya que no es generalmente inyectiva ), sí induce una biyección entre la topología en X y la topología en KX . Intuitivamente, el cociente de Kolmogorov no altera la topología de un espacio. Simplemente reduce el conjunto de puntos hasta que estos se vuelven topológicamente distinguibles.

Véase también

Espacio de Hausdorff – Tipo de espacio topológico
Espacio Hausdorff local
Axioma de separación – Axiomas en topología que definen nociones de “separación”
Preorden de especialización – asignatura en topología
Espacio T ₀ – Concepto en topología