En matemáticas , una categoría concreta es una categoría que está dotada de un funtor fiel a la categoría de conjuntos (o a veces a otra categoría). Este funtor permite pensar en los objetos de la categoría como conjuntos con estructura adicional , y en sus morfismos como funciones preservadoras de la estructura. Muchas categorías importantes tienen interpretaciones obvias como categorías concretas, por ejemplo la categoría de espacios topológicos y la categoría de grupos , y trivialmente también la propia categoría de conjuntos. Por otro lado, la categoría de homotopía de los espacios topológicos no es concretizable , es decir, no admite un funtor fiel a la categoría de conjuntos.
Una categoría concreta, cuando se define sin referencia a la noción de categoría, consiste en una clase de objetos , cada uno equipado con un conjunto subyacente ; y para dos objetos cualesquiera A y B un conjunto de funciones, llamadas homomorfismos , del conjunto subyacente de A al conjunto subyacente de B. Además, para cada objeto A , la función identidad en el conjunto subyacente de A debe ser un homomorfismo de A a A , y la composición de un homomorfismo de A a B seguido por un homomorfismo de B a C debe ser un homomorfismo de A a C. [1 ]
Una categoría concreta es un par ( C , U ) tal que
El funtor U debe considerarse como un funtor olvidadizo , que asigna a cada objeto de C su "conjunto subyacente", y a cada morfismo en C su "función subyacente".
Es habitual llamar a los morfismos de una categoría concreta homomorfismos (por ejemplo, homomorfismos de grupo, homomorfismos de anillo, etc.). Debido a la fidelidad del funtor U , los homomorfismos de una categoría concreta pueden identificarse formalmente con sus funciones subyacentes (es decir, sus imágenes bajo U ); los homomorfismos recuperan entonces la interpretación habitual como funciones "preservadoras de la estructura".
Una categoría C es concretizable si existe una categoría concreta ( C , U ); es decir, si existe un funtor fiel U : C → Set . Todas las categorías pequeñas son concretizables: defina U de modo que su parte objeto mapee cada objeto b de C al conjunto de todos los morfismos de C cuyo codominio es b (es decir, todos los morfismos de la forma f : a → b para cualquier objeto a de C ), y su parte morfismo mapee cada morfismo g : b → c de C a la función U ( g ): U ( b ) → U ( c ) que mapea cada miembro f : a → b de U ( b ) a la composición gf : a → c , un miembro de U ( c ). (El ítem 6 bajo Otros ejemplos expresa el mismo U en lenguaje menos elemental a través de prehaces.) La sección Contraejemplos exhibe dos grandes categorías que no son concretizables.
Contrariamente a la intuición, la concreción no es una propiedad que una categoría pueda o no satisfacer, sino más bien una estructura con la que una categoría puede o no estar dotada. En particular, una categoría C puede admitir varios funtores fieles en Set . Por lo tanto, puede haber varias categorías concretas ( C , U ) todas correspondientes a la misma categoría C .
En la práctica, sin embargo, la elección del funtor fiel suele ser clara y en este caso simplemente hablamos de la "categoría concreta C ". Por ejemplo, "la categoría concreta Set " significa el par ( Set , I ) donde I denota el funtor identidad Set → Set .
El requisito de que U sea fiel significa que asigna diferentes morfismos entre los mismos objetos a diferentes funciones. Sin embargo, U puede asignar diferentes objetos al mismo conjunto y, si esto ocurre, también asignará diferentes morfismos a la misma función.
Por ejemplo, si S y T son dos topologías diferentes en el mismo conjunto X , entonces ( X , S ) y ( X , T ) son objetos distintos en la categoría Top de espacios topológicos y aplicaciones continuas, pero mapeados al mismo conjunto X por el funtor olvidadizo Top → Set . Además, el morfismo identidad ( X , S ) → ( X , S ) y el morfismo identidad ( X , T ) → ( X , T ) se consideran morfismos distintos en Top , pero tienen la misma función subyacente, a saber, la función identidad en X .
De manera similar, a cualquier conjunto con cuatro elementos se le pueden dar dos estructuras de grupo no isomorfas: una isomorfa a , y la otra isomorfa a .
La categoría hTop , donde los objetos son espacios topológicos y los morfismos son clases de homotopía de funciones continuas, es un ejemplo de una categoría que no es concretizable. Mientras que los objetos son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino más bien clases de funciones. El hecho de que no exista ningún funtor fiel desde hTop hasta Set fue demostrado por primera vez por Peter Freyd . En el mismo artículo, Freyd cita un resultado anterior de que la categoría de "pequeñas categorías y clases de equivalencia natural de funtores" tampoco es concretizable.
Dada una categoría concreta ( C , U ) y un número cardinal N , sea U N el funtor C → Conjunto determinado por U N (c) = (U(c)) N . Entonces un subfuntor de U N se llama predicado N-ario y una transformación natural U N → U una operación N-aria .
La clase de todos los predicados N -arios y operaciones N -arias de una categoría concreta ( C , U ), con N abarcando la clase de todos los números cardinales, forma una gran firma . La categoría de modelos para esta firma contiene entonces una subcategoría completa que es equivalente a C.
En algunas partes de la teoría de categorías, en particular la teoría de topos , es común reemplazar la categoría Set por una categoría diferente X , a menudo llamada categoría base . Por esta razón, tiene sentido llamar a un par ( C , U ) donde C es una categoría y U un funtor fiel C → X una categoría concreta sobre X . Por ejemplo, puede ser útil pensar en los modelos de una teoría con N tipos como si formaran una categoría concreta sobre Set N .
En este contexto, una categoría concreta sobre un conjunto se denomina a veces constructo .
