En matemáticas, el grupoide de Mathieu M 13 es un grupoide que actúa sobre 13 puntos de modo que el estabilizador de cada punto es el grupo de Mathieu M 12 . Fue introducido por Conway (1987, 1997) y estudiado en detalle por Conway, Elkies y Martin (2006).
El plano proyectivo de orden 3 tiene 13 puntos y 13 rectas, cada una de las cuales contiene 4 puntos. El grupoide de Mathieu se puede visualizar como un rompecabezas de bloques deslizantes colocando 12 fichas en 12 de los 13 puntos del plano proyectivo. Un movimiento consiste en mover una ficha desde cualquier punto x al punto vacío y , luego intercambiar las otras 2 fichas en la línea que contiene x e y . El grupoide de Mathieu consta de las permutaciones que se pueden obtener componiendo varios movimientos.
Este no es un grupo porque dos operaciones A y B solo se pueden componer si el punto vacío después de realizar A es el punto vacío al comienzo de B. De hecho , es un grupoide (una categoría tal que todo morfismo es invertible) cuyos 13 objetos son los 13 puntos, y cuyos morfismos de xay son las operaciones que toman el punto vacío de xay . Los morfismos que fijan el punto vacío forman un grupo isomorfo al grupo de Mathieu M 12 con 12×11×10×9×8 elementos.