Flujo que acorta la curva

En matemáticas, el flujo de acortamiento de la curva es un proceso que modifica una curva suave en el plano euclidiano moviendo sus puntos perpendicularmente a la curva a una velocidad proporcional a la curvatura . El flujo de acortamiento de la curva es un ejemplo de flujo geométrico y es el caso unidimensional del flujo de curvatura media . Otros nombres para el mismo proceso incluyen flujo de acortamiento euclidiano , flujo de calor geométrico ^[1] y evolución de la longitud del arco .

A medida que los puntos de cualquier curva cerrada simple y suave se mueven de esta manera, la curva permanece simple y suave. Pierde área a una tasa constante y su perímetro disminuye lo más rápido posible para cualquier evolución de curva continua. Si la curva no es convexa, su curvatura absoluta total disminuye monótonamente, hasta que se vuelve convexa. Una vez convexa, la relación isoperimétrica de la curva disminuye a medida que la curva converge a una forma circular, antes de colapsar a una singularidad . Si evolucionan dos curvas cerradas simples y suaves disjuntas, permanecen disjuntas hasta que una de ellas colapsa en un punto. El círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el flujo de acortamiento de la curva, pero algunas curvas que se cruzan entre sí o tienen una longitud infinita mantienen su forma, incluida la curva de la parca, una curva infinita que se traslada hacia arriba y las espirales que giran mientras permanecen del mismo tamaño y forma.

Se puede calcular numéricamente una aproximación del flujo de acortamiento de la curva, aproximando la curva como un polígono y utilizando el método de diferencias finitas para calcular el movimiento de cada vértice del polígono. Los métodos alternativos incluyen calcular una convolución de los vértices del polígono y luego volver a muestrear los vértices en la curva resultante, o aplicar repetidamente un filtro de mediana a una imagen digital cuyos píxeles en blanco y negro representan el interior y el exterior de la curva.

El flujo de acortamiento de curvas se estudió originalmente como un modelo para el recocido de láminas de metal. Más tarde, se aplicó en el análisis de imágenes para dar una representación multiescala de formas. También puede modelar sistemas de reacción-difusión y el comportamiento de autómatas celulares . El flujo de acortamiento de curvas se puede utilizar para encontrar geodésicas cerradas en variedades de Riemann y como modelo para el comportamiento de flujos de dimensiones superiores.

Definiciones

Un flujo es un proceso en el que los puntos de un espacio cambian continuamente sus ubicaciones o propiedades a lo largo del tiempo. Más específicamente, en un flujo geométrico unidimensional como el flujo de acortamiento de curva, los puntos que experimentan el flujo pertenecen a una curva , y lo que cambia es la forma de la curva, su inserción en el plano euclidiano determinada por las ubicaciones de cada uno de sus puntos. ^[2] En el flujo de acortamiento de curva, cada punto de una curva se mueve en la dirección de un vector normal a la curva, a una velocidad proporcional a la curvatura . Para una curva en evolución representada por una función de dos parámetros $C (s, t)$ donde $s$ parametriza la longitud del arco a lo largo de la curva y $t$ parametriza un tiempo en la evolución de la curva, el flujo de acortamiento de curva se puede describir mediante la ecuación diferencial parcial parabólica

{\frac {\parcial C}{\parcial t}}={\frac {\parcial ^{2}C}{\parcial s^{2}}}=\kappa n,

una forma de la ecuación del calor , donde $κ$ es la curvatura y $n$ es el vector normal unitario. ^[3]

Como los componentes de esta ecuación, la longitud del arco, la curvatura y el tiempo, no se ven afectados por las traslaciones y rotaciones del plano euclidiano, se deduce que el flujo definido por esta ecuación es invariante bajo traslaciones y rotaciones (o, más precisamente, equivariante ). Si el plano se escala mediante un factor de dilatación constante, el flujo permanece esencialmente inalterado, pero se ralentiza o acelera por el mismo factor. ^[4]

Curvas no suaves

Para que el flujo esté bien definido, la curva dada debe ser lo suficientemente suave como para tener una curvatura continua. Sin embargo, una vez que comienza el flujo, la curva se vuelve analítica y permanece así hasta alcanzar una singularidad en la que la curvatura explota. Para una curva suave sin cruces, la única singularidad posible ocurre cuando la curva colapsa en un punto, pero las curvas inmersas pueden tener otros tipos de singularidad. ^[5] En tales casos, con cierto cuidado es posible continuar el flujo más allá de estas singularidades hasta que toda la curva se encoja a un solo punto. ^[6]

Para una curva cerrada simple, utilizando una extensión del flujo a curvas no suaves basadas en el método de conjunto de niveles , solo hay dos posibilidades. Las curvas con medida de Lebesgue cero (incluidos todos los polígonos y curvas suaves por partes) evolucionan instantáneamente en curvas suaves, después de lo cual evolucionan como lo haría cualquier curva suave. Sin embargo, las curvas de Osgood con medida distinta de cero en cambio evolucionan inmediatamente en un anillo topológico con área distinta de cero y límites suaves. ^[7] La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo que se vuelve suave instantáneamente, a pesar de no estar conectada localmente ; ejemplos como este muestran que la evolución inversa del flujo de acortamiento de curvas puede llevar curvas con buen comportamiento a singularidades complicadas en una cantidad finita de tiempo. ^[8]

Superficies no euclidianas

El flujo de acortamiento de curvas, y muchos de los resultados sobre el flujo de acortamiento de curvas, se pueden generalizar desde el plano euclidiano a cualquier variedad riemanniana bidimensional . Para evitar tipos adicionales de singularidad, es importante que la variedad sea convexa en el infinito ; esto se define como que cada conjunto compacto tiene una envoltura convexa compacta , como se define utilizando la convexidad geodésica . El flujo de acortamiento de curvas no puede hacer que una curva se aleje de su envoltura convexa, por lo que esta condición evita que partes de la curva alcancen el límite de la variedad. ^[9]

Curvas espaciales

El flujo de acortamiento de curvas también se ha estudiado para curvas en el espacio euclidiano tridimensional . El vector normal en este caso se puede definir (como en el plano) como la derivada del vector tangente con respecto a la longitud del arco, normalizado para ser un vector unitario; es uno de los componentes del marco de Frenet-Serret . No está bien definido en puntos de curvatura cero, pero el producto de la curvatura y el vector normal permanece bien definido en esos puntos, lo que permite definir el flujo de acortamiento de curvas. Las curvas en el espacio pueden cruzarse entre sí o entre sí mismas de acuerdo con este flujo, y el flujo puede conducir a singularidades en las curvas; cada singularidad es asintótica a un plano. ^[10] Sin embargo, se sabe que las curvas esféricas y las curvas que se pueden proyectar ortogonalmente en una curva plana convexa regular siguen siendo simples. ^[11] El flujo de acortamiento de curvas para curvas espaciales se ha utilizado como una forma de definir el flujo más allá de las singularidades en curvas planas. ^[12]

Más allá de las curvas

Es posible extender la definición del flujo a entradas más generales que las curvas, por ejemplo, utilizando variables rectificables o el método de conjunto de niveles . Sin embargo, estas definiciones extendidas pueden permitir que partes de las curvas desaparezcan instantáneamente o se engrosen en conjuntos de área distinta de cero. ^[13]

Una variación del problema que se estudia con frecuencia consiste en redes de curvas suaves disjuntas en el interior, con uniones en las que se encuentran tres o más de las curvas. Cuando todas las uniones tienen exactamente tres curvas que se encuentran en ángulos de 2 $π$ /3 (las mismas condiciones que se observan en un árbol de Steiner óptimo o en una espuma bidimensional de burbujas de jabón ), el flujo está bien definido a corto plazo. Sin embargo, puede llegar a un estado singular con cuatro o más curvas que se encuentran en una unión, y puede haber más de una forma de continuar el flujo más allá de dicha singularidad. ^[14]

Comportamiento

Principio de evitación, radio y factor de estiramiento

Si dos curvas cerradas simples y disjuntas experimentan simultáneamente el flujo de acortamiento de la curva, permanecerán disjuntas a medida que avanza el flujo. La razón es que, si dos curvas suaves se mueven de manera que se crea un cruce, entonces, en el momento del primer cruce, las curvas necesariamente serían tangentes entre sí, sin cruzarse. Pero, en tal situación, las curvaturas de las dos curvas en el punto de tangencia necesariamente las separarían en lugar de empujarlas hacia un cruce. Por la misma razón, una única curva cerrada simple nunca puede evolucionar para cruzarse a sí misma. Este fenómeno se conoce como el principio de evitación. ^[15]

El principio de evitación implica que cualquier curva suave y cerrada debe alcanzar eventualmente una singularidad, como un punto de curvatura infinita. Porque, si una curva suave dada $C$ está rodeada por un círculo, ambos permanecerán disjuntos mientras ambos existan. Pero el círculo que lo encierra se encoge bajo el flujo de curvatura, permaneciendo circular, hasta que colapsa, y por el principio de evitación $C$ debe permanecer contenido dentro de él. Entonces, si $C$ nunca alcanzara una singularidad, estaría atrapado en un solo punto en el momento en que el círculo colapsa, lo cual es imposible para una curva suave. Esto se puede cuantificar observando que el radio del círculo más pequeño que encierra $a C$ debe disminuir a una tasa que es al menos tan rápida como la disminución del radio de un círculo que experimenta el mismo flujo. ^[16]

Huisken (1998) cuantifica el principio de evitación para una única curva en términos de la relación entre la longitud del arco (del más corto de dos arcos) y la distancia euclidiana entre pares de puntos, a veces llamada factor de estiramiento . Muestra que el factor de estiramiento es estrictamente decreciente en cada uno de sus máximos locales, excepto en el caso de los dos extremos de un diámetro de un círculo, en cuyo caso el factor de estiramiento es constante en $π$ . Esta propiedad de monotonía implica el principio de evitación, ya que si la curva alguna vez se tocara a sí misma, el factor de estiramiento se volvería infinito en los dos puntos de contacto. ^[17]

Longitud

A medida que una curva experimenta el flujo de acortamiento de la curva, su longitud $L$ disminuye a una velocidad dada por la fórmula

{\frac {dL}{dt}}=-\int \kappa ^{2}\,ds,

donde la integral se toma sobre la curva, $κ$ es la curvatura y $s$ es la longitud del arco a lo largo de la curva. El integrando siempre es no negativo y para cualquier curva cerrada suave existen arcos dentro de los cuales es estrictamente positivo, por lo que la longitud disminuye monótonamente. De manera más general, para cualquier evolución de curvas cuya velocidad normal es $f$ , la tasa de cambio en la longitud es

{\frac {dL}{dt}}=-\int f\kappa \,ds,

que puede interpretarse como un producto interno negado entre la evolución dada y el flujo de acortamiento de la curva. Así, el flujo de acortamiento de la curva puede describirse como el flujo de gradiente de longitud, el flujo que (localmente) disminuye la longitud de la curva lo más rápido posible en relación con la norma L 2 del flujo. Esta propiedad es la que da nombre al flujo de acortamiento de la curva. ^[18]

Área

En el caso de una curva cerrada simple, el área encerrada por la curva se contrae a una tasa constante de 2 $π$ unidades de área por unidad de tiempo, independientemente de la curva. Por lo tanto, el tiempo total que tarda una curva en contraerse hasta un punto es proporcional a su área, independientemente de su forma inicial. ^[19] Como el área de una curva se reduce a una tasa constante y (por la desigualdad isoperimétrica ) un círculo tiene la mayor área posible entre las curvas cerradas simples de una longitud dada, se deduce que los círculos son las curvas más lentas en colapsar hasta un punto bajo el flujo de acortamiento de la curva. Todas las demás curvas tardan menos tiempo en colapsar que un círculo de la misma longitud. ^[20]

La tasa constante de reducción de área es la única ley de conservación satisfecha por el flujo de acortamiento de la curva. Esto implica que no es posible expresar el "punto de fuga" donde la curva finalmente colapsa como una integral sobre la curva de cualquier función de sus puntos y sus derivadas, porque tal expresión llevaría a una segunda ley de conservación prohibida. ^[21] Sin embargo, al combinar la tasa constante de pérdida de área con el principio de evitación, es posible demostrar que el punto de fuga siempre se encuentra dentro de un círculo, concéntrico con el círculo circundante mínimo, cuya área es la diferencia de áreas entre el círculo circundante y la curva dada. ^[22]

Curvatura absoluta total

La curvatura absoluta total de una curva suave es la integral del valor absoluto de la curvatura a lo largo de la longitud del arco de la curva,

K=\int |\kappa |\,ds.

También se puede expresar como una suma de los ángulos entre los vectores normales en pares consecutivos de puntos de inflexión . Es 2 $π$ para curvas convexas y mayor para curvas no convexas, y sirve como una medida de la no convexidad de una curva. ^[23]

No se pueden crear nuevos puntos de inflexión mediante el flujo de acortamiento de la curva. ^[24] Cada uno de los ángulos en la representación de la curvatura absoluta total como suma disminuye monótonamente, excepto en los instantes en que dos puntos de inflexión consecutivos alcanzan el mismo ángulo o posición y ambos son eliminados. Por lo tanto, la curvatura absoluta total nunca puede aumentar a medida que evoluciona la curva. Para curvas convexas es constante en 2 $π$ y para curvas no convexas disminuye monótonamente. ^[25]

Teorema de Gage-Hamilton-Grayson

Si una curva cerrada simple y suave experimenta el flujo de acortamiento de la curva, permanece suavemente incrustada sin autointersecciones. Eventualmente se volverá convexa y, una vez que lo haga, seguirá siendo convexa. Después de este tiempo, todos los puntos de la curva se moverán hacia adentro y la forma de la curva convergerá a un círculo a medida que toda la curva se encoge a un solo punto. Este comportamiento a veces se resume diciendo que toda curva cerrada simple se encoge a un "punto redondo". ^[26]

Este resultado se debe a Michael Gage , Richard S. Hamilton y Matthew Grayson. Gage (1983, 1984) demostró la convergencia a un círculo para curvas convexas que se contraen hasta un punto. Más específicamente, Gage demostró que la relación isoperimétrica (la relación entre la longitud de la curva al cuadrado y el área, un número que es 4 $π$ para un círculo y mayor para cualquier otra curva convexa) disminuye de manera monótona y rápida. Gage y Hamilton (1986) demostraron que todas las curvas convexas suaves eventualmente se contraen hasta un punto sin formar ninguna otra singularidad, y Grayson (1987) demostró que toda curva no convexa eventualmente se volverá convexa. ^[27] Andrews y Bryan (2011) proporcionan una prueba más simple del resultado de Grayson, basada en la monotonía del factor de estiramiento.

Resultados similares pueden extenderse de curvas cerradas a curvas ilimitadas que satisfacen una condición de Lipschitz local . Para tales curvas, si ambos lados de la curva tienen un área infinita, entonces la curva evolucionada permanece suave y libre de singularidades para siempre. Sin embargo, si un lado de una curva ilimitada tiene un área finita, y la curva tiene una curvatura absoluta total finita, entonces su evolución alcanza una singularidad en el tiempo proporcional al área en el lado del área finita de la curva, con una curvatura ilimitada cerca de la singularidad. ^[28] Para curvas que son gráficos de funciones suficientemente bien comportadas, asintóticas a un rayo en cada dirección, la solución converge en forma a una forma única que es asintótica a los mismos rayos. ^[29] Para redes formadas por dos rayos disjuntos en la misma línea, junto con dos curvas suaves que conectan los puntos finales de los dos rayos, se cumple un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson, según el cual la región entre las dos curvas se vuelve convexa y luego converge a una forma de vesica piscis . ^[30]

Singularidades de curvas que se cruzan entre sí

Las curvas que se cruzan entre sí pueden alcanzar singularidades antes de contraerse en un punto. Por ejemplo, si una lemniscata (cualquier curva inmersa suave con un solo cruce, similar a una figura de 8 o al símbolo de infinito ) tiene áreas desiguales en sus dos lóbulos, entonces eventualmente el lóbulo más pequeño colapsará en un punto. Sin embargo, si los dos lóbulos tienen áreas iguales, entonces permanecerán iguales durante toda la evolución de la curva, y la relación isoperimétrica divergirá a medida que la curva colapsa en una singularidad. ^[4]

Cuando una curva autocruzada localmente convexa se acerca a una singularidad a medida que uno de sus bucles se encoge, se encoge de manera autosimilar o se aproxima asintóticamente a la curva de la parca (descrita a continuación) a medida que se encoge. Cuando un bucle colapsa en una singularidad, la cantidad de curvatura absoluta total que se pierde es al menos 2 $π$ o exactamente $π$ . ^[31]

Sobre las variedades de Riemann

En una variedad de Riemann, cualquier curva cerrada suave y simple seguirá siendo suave y simple a medida que evoluciona, tal como en el caso euclidiano. O bien colapsará hasta un punto en un tiempo finito, o bien permanecerá suave y simple para siempre. En el último caso, la curva converge necesariamente a una geodésica cerrada de la superficie. ^[32]

Las curvas inmersas en variedades de Riemann, con un número finito de autocruces, se vuelven autotangentes sólo en un conjunto discreto de momentos, en cada uno de los cuales pierden un cruce. Como consecuencia, el número de puntos de autocruce no aumenta. ^[33]

El acortamiento de una curva en una esfera se puede utilizar como parte de una prueba del teorema de la pelota de tenis . Este teorema establece que toda curva cerrada simple y suave en la esfera que divida la superficie de la esfera en dos áreas iguales (como la costura de una pelota de tenis ) debe tener al menos cuatro puntos de inflexión . La prueba proviene de la observación de que el acortamiento de la curva preserva las propiedades de suavidad y de bisección de área de la curva, y no aumenta su número de puntos de inflexión. Por lo tanto, permite reducir el problema al problema de las curvas cercanas a la forma límite del acortamiento de la curva, un círculo máximo . ^[34]

Fórmula de monotonicidad de Huisken

Según la fórmula de monotonía de Huisken , la convolución de una curva evolutiva con un núcleo de calor invertido en el tiempo no es creciente. Este resultado se puede utilizar para analizar las singularidades de la evolución. ^[35]

Curvas específicas

Curvas con evolución autosimilar

Como todas las demás curvas cerradas simples convergen en un círculo, el círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el flujo de acortamiento de la curva. Sin embargo, hay muchos otros ejemplos de curvas que no son simples (incluyen autocruces) o no cerradas (se extienden hasta el infinito) y mantienen su forma. En particular, ^[36]

Toda línea permanece inalterada por el flujo de acortamiento de la curva. Las líneas son las únicas curvas que no se ven afectadas por el flujo de acortamiento de la curva, ^[36] aunque existen redes estables de curvas más complejas, como el mosaico hexagonal del plano.
La curva de la parca $y = - log cos x$ se mueve hacia arriba sin cambiar su forma. De la misma manera, cualquier curva similar a la parca es trasladada por el flujo de acortamiento de la curva, desplazándose en la dirección del eje de simetría de la curva sin cambiar su forma u orientación. La parca es la única curva con esta propiedad. ^[36] También se le llama modelo de horquilla en la literatura de física. ^[37]
Una familia de curvas cerradas que se cruzan entre sí, derivadas de proyecciones de nudos toroidales , se encogen homotéticamente pero permanecen autosimilares bajo el flujo de acortamiento de la curva. ^[36] Estas se conocen como curvas de Abresch-Langer, después del trabajo de Abresch y Langer (1986), ^[38] aunque fueron mencionadas anteriormente por Mullins (1956) y redescubiertas independientemente por Epstein y Weinstein (1987). Estas curvas son localmente convexas y, por lo tanto, pueden describirse mediante sus funciones de soporte . Las versiones adecuadamente escaladas de estas funciones de soporte obedecen a la ecuación diferencial
$h''+h={\frac {1}{h}},$

que tiene soluciones periódicas positivas (correspondientes a curvas con evolución autosimilar) para cualquier período que esté estrictamente entre

π

y . ^[38]

\pi {\sqrt {2}}

Otras curvas, incluidas algunas espirales infinitas , siguen siendo autosimilares con movimientos más complicados que incluyen rotación o combinaciones de rotación, contracción o expansión y traslación. ^[36]
Para redes de curvas suaves, que se encuentran de a tres en uniones con ángulos de 2 $π$ /3, las soluciones de contracción autosimilares incluyen una doble burbuja que rodea dos áreas iguales, una forma de lente ( vesica piscis ) limitada por dos arcos de círculos congruentes junto con dos rayos colineales que tienen sus vértices en las esquinas de la lente, y una red "en forma de pez" limitada por un segmento de línea, dos rayos y una curva convexa. Cualquier otra red de contracción autosimilar implica un mayor número de curvas. ^[39] Otra familia de redes crece homotéticamente y permanece autosimilar; estas son redes de curvas similares a árboles, que se encuentran en ángulos de 2 $π$ /3 en uniones triples, asintóticas a un abanico de dos o más rayos que se encuentran en un punto final común. El caso de dos rayos de estas formas es una curva suave ilimitada; para tres o más rayos, la evolución de estas formas se puede definir utilizando variantes generalizadas del flujo de acortamiento de la curva, como el de los varifolds. Un abanico dado de cuatro o más rayos puede ser asintótico a más de una solución diferente de este tipo, por lo que estas soluciones no proporcionan una definición única para el flujo de acortamiento de la curva a partir de un abanico de rayos. ^[40]

Soluciones antiguas

Una solución antigua para un problema de flujo es una curva cuya evolución puede extrapolarse hacia atrás para siempre, sin singularidades. Todas las soluciones autosimilares que se encogen o mantienen el mismo tamaño en lugar de crecer son soluciones antiguas en este sentido; pueden extrapolarse hacia atrás invirtiendo la transformación de autosimilitud que sufrirían por el flujo que acorta la curva hacia adelante. Así, por ejemplo, las curvas del círculo, de la parca y de Abresch-Langer son todas soluciones antiguas. ^[41]

También existen ejemplos que no son autosimilares. Un ejemplo explícito es la solución oval de Angenent según el trabajo de Angenent (1992). Esta familia de curvas se puede parametrizar especificando la curvatura como función del ángulo tangente utilizando la fórmula

k(\theta ,t)={\sqrt {\cos 2\theta -\operatorname {coth} 2t}}

y tienen como forma límite bajo evolución inversa un par de curvas de la parca que se aproximan entre sí desde direcciones opuestas. ^[42] En el sistema de coordenadas cartesianas , pueden darse por la ecuación de curva implícita ^[43]

\cosh ye^{-t}\cos x=0.

En la literatura de física, las mismas formas se conocen como el modelo del clip . ^[37]

Las soluciones de óvalo angular y círculo encogido son las únicas soluciones antiguas cuyas porciones de tiempo delimitan conjuntos convexos acotados. ^[41] Las soluciones de Grim Reaper, semiespacio estacionario y franja estacionaria son los únicos ejemplos cuyas porciones de tiempo delimitan conjuntos convexos no acotados. ^[44] Existen muchos otros ejemplos localmente convexos (no incrustados) así como muchos otros ejemplos incrustados (no convexos). ^[45]^[46]

Aproximaciones numéricas

Para calcular eficientemente el flujo de acortamiento de la curva, tanto la curva continua como la evolución continua de la curva deben reemplazarse por una aproximación discreta.

Seguimiento frontal

Los métodos de seguimiento frontal se han utilizado durante mucho tiempo en dinámica de fluidos para modelar y rastrear el movimiento de los límites entre diferentes materiales, de gradientes pronunciados en las propiedades de los materiales, como los frentes meteorológicos , o de ondas de choque dentro de un solo material. Estos métodos implican la derivación de las ecuaciones de movimiento del límite y su uso para simular directamente el movimiento del límite, en lugar de simular el fluido subyacente y tratar el límite como una propiedad emergente del fluido. ^[47] Los mismos métodos también se pueden utilizar para simular el flujo de acortamiento de la curva, incluso cuando la curva que sufre el flujo no es un límite o un choque.

En los métodos de seguimiento frontal para el acortamiento de curvas, la curva que experimenta la evolución se discretiza como un polígono. El método de diferencias finitas se utiliza para derivar fórmulas para el vector normal aproximado y la curvatura en cada vértice del polígono, y estos valores se utilizan para determinar cómo mover cada vértice en cada paso de tiempo. ^[48] Aunque el flujo de acortamiento de curvas se define por el movimiento de una curva perpendicularmente a sí misma, algunas parametrizaciones del flujo de acortamiento de curvas pueden permitir que los vértices que se aproximan a la curva se muevan de forma no perpendicular. En efecto, esto permite que los vértices se muevan a lo largo de la curva, a medida que esta evoluciona. La elección de una reparametrización cuidadosa puede ayudar a redistribuir los vértices de forma más uniforme a lo largo de la curva en situaciones en las que el movimiento perpendicular haría que se amontonaran. ^[49] Merriman, Bence y Osher (1992) escriben que estos métodos son rápidos y precisos pero que es mucho más complicado extenderlos a versiones del flujo de acortamiento de curvas que se aplican a entradas más complicadas que las curvas cerradas simples, donde es necesario lidiar con singularidades y cambios de topología.

Para la mayoría de estos métodos, Cao (2003) advierte que "Las condiciones de estabilidad no se pueden determinar fácilmente y el paso de tiempo debe elegirse ad hoc". ^[50] Otro método de diferenciación finita de Crandall y Lions (1996) modifica la fórmula para la curvatura en cada vértice añadiéndole un pequeño término basado en el operador de Laplace . Esta modificación se llama regularización elíptica y se puede utilizar para ayudar a demostrar la existencia de flujos generalizados, así como en su simulación numérica. ^[51] Al utilizarlo, se puede demostrar que el método de Crandall y Lions converge y es el único método numérico enumerado por Cao que está equipado con límites en su tasa de convergencia. ^[52] Para una comparación empírica de los métodos de diferencia finita de Euler hacia adelante , Euler hacia atrás y Crank-Nicolson más precisos , consulte Balažovjech y Mikula (2009).

Convolución remuestreada

Mokhtarian y Mackworth (1992) sugieren un método numérico para calcular una aproximación al flujo de acortamiento de la curva que mantiene una aproximación discreta a la curva y alterna entre dos pasos:

Vuelva a muestrear la curva actual colocando nuevos puntos de muestra con un espaciado uniforme, medido según la longitud del arco normalizado.
Convolucione las ubicaciones de los puntos con una función gaussiana con una desviación estándar pequeña, reemplazando en efecto la ubicación de cada punto con un promedio ponderado de las ubicaciones de los puntos cercanos a lo largo de la curva, con ponderaciones gaussianas. La desviación estándar de la función gaussiana debe elegirse lo suficientemente pequeña como para que, después de este paso, los puntos de muestra aún tengan un espaciado casi uniforme.

Como muestran, este método converge a la distribución de acortamiento de la curva en el límite a medida que el número de puntos de muestra crece y la longitud del arco normalizado del radio de convolución se contrae. ^[53]

Filtrado de mediana

Merriman, Bence y Osher (1992) describen un esquema que opera sobre una cuadrícula bidimensional, que es en realidad una matriz de píxeles . La curva que se va a desarrollar se representa asignando el valor 0 (negro) a los píxeles exteriores a la curva y 1 (blanco) a los píxeles interiores a la curva, lo que da la función indicadora para el interior de la curva. Esta representación se actualiza alternando dos pasos:

Convolucione la imagen pixelada con un núcleo de calor para simular su evolución bajo la ecuación de calor durante un breve intervalo de tiempo. El resultado es un desenfoque gaussiano de la imagen o, equivalentemente, la transformada de Weierstrass de la función indicadora, con un radio proporcional a la raíz cuadrada del intervalo de tiempo.
Establezca cada píxel con un valor numérico menor que 1/2 en 0, y cada píxel con un valor numérico mayor que 1/2 en 1, restableciendo el umbral de la imagen a sus valores originales en nuevas posiciones.

Para que este esquema sea preciso, el paso de tiempo debe ser lo suficientemente grande como para hacer que la curva se mueva al menos un píxel incluso en puntos de baja curvatura, pero lo suficientemente pequeño como para hacer que el radio de desenfoque sea menor que el radio mínimo de curvatura. Por lo tanto, el tamaño de un píxel debe ser $O (min κ /max κ 2)$ , lo suficientemente pequeño como para permitir que se elija un paso de tiempo intermedio adecuado. ^[54]

El método se puede generalizar a la evolución de redes de curvas, que se encuentran en las uniones y dividen el plano en más de tres regiones, aplicando el mismo método simultáneamente a cada región. ^[54] En lugar de difuminar y establecer un umbral, este método se puede describir alternativamente como la aplicación de un filtro mediano con pesos gaussianos a cada píxel. Es posible utilizar núcleos distintos del núcleo de calor, o refinar adaptativamente la cuadrícula para que tenga una alta resolución cerca de la curva pero no desperdicie tiempo y memoria en píxeles alejados de la curva que no contribuyen al resultado. ^[55] En lugar de utilizar solo los dos valores en la imagen pixelada, una versión de este método que utiliza una imagen cuyos valores de píxel representan la distancia con signo a la curva puede lograr una precisión de subpíxeles y requerir una resolución menor. ^[56]

Aplicaciones

Recocido de chapas metálicas

Una referencia temprana al flujo de acortamiento de curvas por parte de William W. Mullins (1956) lo motiva como un modelo para el proceso físico de recocido , en el que el tratamiento térmico hace que los límites entre los granos de metal cristalizado se desplacen. A diferencia de las películas de jabón , que se ven obligadas por las diferencias en la presión del aire a convertirse en superficies de curvatura media constante , los límites de grano en el recocido están sujetos solo a efectos locales, que hacen que se muevan de acuerdo con el flujo de curvatura media. El caso unidimensional de este flujo, el flujo de acortamiento de curvas, corresponde al recocido de láminas de metal que son lo suficientemente delgadas para que los granos se vuelvan efectivamente bidimensionales y sus límites se vuelvan unidimensionales. ^[57]

Análisis de forma

En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , Mokhtarian y Mackworth (1992) sugieren aplicar el flujo de acortamiento de la curva al contorno de una forma derivada de una imagen digital, para eliminar el ruido de la forma y proporcionar un espacio de escala que proporcione una descripción simplificada de la forma en diferentes niveles de resolución. El método de Mokhtarian y Mackworth implica calcular el flujo de acortamiento de la curva, rastrear los puntos de inflexión de la curva a medida que progresan a través del flujo y dibujar un gráfico que trace las posiciones de los puntos de inflexión alrededor de la curva contra el parámetro de tiempo. Los puntos de inflexión generalmente se eliminarán de la curva en pares a medida que la curva se vuelve convexa (de acuerdo con el teorema de Gage-Hamilton-Grayson) y la vida útil de un par de puntos corresponde a la prominencia de una característica de la forma. Debido al método de convolución remuestreada que describen para calcular una aproximación numérica del flujo de acortamiento de la curva, llaman a su método el espacio de escala de curvatura remuestreada . Observan que este espacio de escala es invariante bajo las transformaciones euclidianas de la forma dada, y afirman que determina de manera única la forma y es robusto frente a pequeñas variaciones en la forma. Lo comparan experimentalmente con varias definiciones alternativas relacionadas de un espacio de escala para formas, y encuentran que el espacio de escala de curvatura remuestreado es menos intensivo computacionalmente, más robusto frente al ruido no uniforme y menos fuertemente influenciado por diferencias de forma a pequeña escala. ^[58]

Reacción-difusión

En los sistemas de reacción-difusión modelados por la ecuación de Allen-Cahn , el comportamiento limitante para la reacción rápida, la difusión lenta y dos o más mínimos locales de energía con el mismo nivel de energía entre sí es que el sistema se asiente en regiones de diferentes mínimos locales, y los frentes que delimitan los límites entre estas regiones evolucionan de acuerdo con el flujo de acortamiento de la curva. ^[59]

Autómatas celulares

En un autómata celular , cada célula de una cuadrícula infinita de células puede tener uno de un conjunto finito de estados, y todas las células actualizan sus estados simultáneamente basándose únicamente en la configuración de un pequeño conjunto de células vecinas. Una regla de autómata celular similar a la vida es aquella en la que la cuadrícula es la red cuadrada infinita, hay exactamente dos estados de celda, el conjunto de vecinos de cada celda son los ocho vecinos del vecindario de Moore , y la regla de actualización depende únicamente del número de vecinos con cada uno de los dos estados en lugar de cualquier función más complicada de esos estados. En una regla similar a la vida en particular, introducida por Gerard Vichniac y llamada regla de mayoría torcida o regla de recocido, la regla de actualización establece que el nuevo valor para cada celda sea la mayoría entre las nueve celdas dadas por ella y sus ocho vecinos, excepto cuando estas celdas se dividen entre cuatro con un estado y cinco con el otro estado, en cuyo caso el nuevo valor de la celda es la minoría en lugar de la mayoría. La dinámica detallada de esta regla es complicada, incluida la existencia de pequeñas estructuras estables. ^[60] Sin embargo, en conjunto (cuando se comienza con todas las células en estados aleatorios) tiende a formar grandes regiones de células que están todas en el mismo estado unas que otras, y los límites entre estas regiones evolucionan de acuerdo con el flujo de acortamiento de la curva. ^[61]

Construcción de geodésicas cerradas

El flujo de acortamiento de curvas se puede utilizar para demostrar una desigualdad isoperimétrica para superficies cuya curvatura gaussiana es una función no creciente de la distancia desde el origen , como el paraboloide . En una superficie de este tipo, el conjunto compacto suave que tiene cualquier área dada y perímetro mínimo para esa área es necesariamente un círculo centrado en el origen. La prueba aplica el flujo de acortamiento de curvas a dos curvas, un círculo métrico y el límite de cualquier otro conjunto compacto, y compara el cambio en el perímetro de las dos curvas a medida que ambas se reducen a un punto por el flujo. ^[62] El flujo de acortamiento de curvas también se puede utilizar para demostrar el teorema de las tres geodésicas , que cada variedad de Riemann suave topológicamente equivalente a una esfera tiene tres geodésicas que forman curvas cerradas simples . ^[63]

Flujos relacionados

Otros flujos geométricos relacionados con el flujo de acortamiento de la curva incluyen los siguientes.

Para simular el comportamiento de cristales u otros materiales anisotrópicos , es importante tener variantes del flujo de acortamiento de curva para las cuales la velocidad del flujo depende de la orientación de una curva así como de su curvatura. Una forma de hacer esto es definir la energía de una curva como la integral de una función suave $γ$ de sus vectores normales, y formar el flujo de gradiente de esta energía, según el cual la velocidad normal a la que fluye la curva es proporcional a un análogo anisotrópico de la curvatura. Este flujo se puede simular discretizando la curva como un polígono. En experimentos numéricos, las curvas iniciales parecen converger a la forma de Wulff para $γ$ antes de encogerse a un punto. ^[64] Alternativamente, se puede dejar que la curva fluya con velocidad $a (θ) κ + b (θ)$ donde $κ$ es la curvatura (usual) y $a$ y $b$ son funciones suaves de la orientación $θ$ . Cuando $a (θ + π) = a (θ)$ y $b (θ + π) = - b (θ)$ (de modo que el flujo es invariante bajo la reflexión puntual ), se puede demostrar que el flujo resultante obedece al principio de evitación y un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson. ^[65]
El flujo de acortamiento de curvas afines fue investigado por primera vez por Alvarez et al. (1993) y Sapiro & Tannenbaum (1993). En este flujo, la velocidad normal de la curva es proporcional a la raíz cúbica de la curvatura. ^[66] El flujo resultante es invariante (con una escala temporal correspondiente) bajo las transformaciones afines del plano euclidiano, un grupo de simetría más grande que las transformaciones de similitud bajo las cuales el flujo de acortamiento de curvas es invariante. Bajo este flujo, se aplica un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson, bajo el cual cualquier curva cerrada simple eventualmente se vuelve convexa y luego converge a una elipse a medida que colapsa en un punto. ^[67]
La transformación de una curva con velocidades normales iguales en todos los puntos se ha denominado transformación Grassfire . Las curvas que evolucionan de esta manera desarrollarán, en general, esquinas agudas, cuyo trazo forma el eje medial de la curva. ^[68] Una evolución de curva estrechamente relacionada que mueve segmentos rectos de una curva poligonal a velocidades iguales pero permite que las esquinas cóncavas se muevan más rápido que la velocidad unitaria, forma en cambio un tipo diferente de esqueleto topológico de la curva dada, su esqueleto recto . ^[69]
Para superficies de dimensiones superiores, existe más de una definición de curvatura, incluidas medidas extrínsecas (dependientes de la incrustación) como la curvatura media y medidas intrínsecas como la curvatura escalar y la curvatura de Ricci . En consecuencia, existen varias formas de definir flujos geométricos basados en la curvatura, incluido el flujo de curvatura media (en el que la velocidad normal de una superficie incrustada es su curvatura media), el flujo de Ricci (un flujo intrínseco en la métrica de un espacio basado en su curvatura de Ricci), el flujo de curvatura de Gauss y el flujo de Willmore (el flujo de gradiente para una función de energía que combina la curvatura media y la curvatura gaussiana). El flujo de acortamiento de curva es un caso especial del flujo de curvatura media y del flujo de curvatura de Gauss para curvas unidimensionales. ^[20]
En la planificación de rutas en tiempo real para robots móviles , se ha utilizado una versión modificada del flujo de acortamiento de curvas con fuerzas adicionales para encontrar rutas que logren un equilibrio entre ser cortas y mantenerse libres de obstáculos. ^[70]
Inspirados por el flujo de acortamiento de curvas en curvas suaves, los investigadores han estudiado métodos para hacer fluir polígonos de modo que permanezcan poligonales, con aplicaciones que incluyen la formación de patrones y la sincronización en sistemas distribuidos de robots. ^[71] Los flujos poligonales que preservan la longitud se pueden utilizar para resolver el problema de la regla del carpintero . ^[72]
En visión por computadora , el modelo de contorno activo para la detección de bordes y la segmentación de imágenes se basa en el acortamiento de la curva y desarrolla curvas en función de una combinación de su curvatura y las características de una imagen. ^[73]

Notas

^ La frase "flujo de calor geométrico" también se ha utilizado para flujos en otros tipos de objetos que no sean curvas, como las formas diferenciales .
^ Devadoss y O'Rourke (2011), p.140: "un flujo geométrico [es] una evolución de la geometría de $C$ a lo largo del tiempo $t$ ".
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