Por lo general, los instructores preparan a los estudiantes con ejemplos resueltos : se plantea el ejercicio y luego se proporciona una respuesta modelo. A menudo, se muestran varios ejemplos resueltos antes de que los estudiantes estén preparados para intentar resolver los ejercicios por su cuenta. Algunos textos, como los de Outlines de Schaum , se centran en ejemplos resueltos en lugar de en el tratamiento teórico de un tema matemático.
Descripción general
Según Lev Vygotsky , los ejercicios apropiados se encuentran en una zona donde los estudiantes pueden completar la tarea con orientación.
El estudiante de aritmética que ha dominado las primeras cuatro reglas de su arte y ha logrado resolver con éxito sumas y fracciones se encuentra ante una extensión ininterrumpida de cuestiones conocidas como problemas. Se trata de breves historias de aventuras y de trabajo en las que se omite el final y, aunque delatan un fuerte parecido familiar, no están exentas de cierto elemento romántico.
Los estudiantes deben dominar la materia pertinente y los ejercicios son apropiados para ello. Pero si los ejercicios de memoria son los únicos tipos de problemas que los estudiantes ven en sus clases, les estamos haciendo un flaco favor.
Abogó por establecer retos:
Por "problemas reales" me refiero a tareas matemáticas que plantean un desafío honesto al estudiante y que el estudiante necesita trabajar para obtener una solución.
Marvin Bittinger expresó un sentimiento similar cuando preparó la segunda edición [3] de su libro de texto:
En respuesta a los comentarios de los usuarios, los autores han agregado ejercicios que requieren algo más que la comprensión de los objetivos inmediatos de la lección en cuestión por parte del estudiante, pero que no son necesariamente muy desafiantes.
La zona de desarrollo próximo de cada estudiante, o cohorte de estudiantes, establece ejercicios en un nivel de dificultad que los desafía pero no los frustra.
Algunos comentarios en el prefacio de un libro de texto de cálculo [4] muestran el lugar central de los ejercicios en el libro:
Los ejercicios comprenden aproximadamente una cuarta parte del texto, la parte más importante del texto en nuestra opinión. ... Los ejercicios complementarios al final de cada capítulo amplían los otros conjuntos de ejercicios y proporcionan ejercicios acumulativos que requieren habilidades de los capítulos anteriores.
Este texto incluye "Funciones y gráficos en aplicaciones" (Capítulo 0.6), que consta de catorce páginas de preparación para problemas de palabras.
Los autores de un libro sobre campos finitos eligieron libremente sus ejercicios: [5]
Para aumentar el atractivo de este libro como libro de texto , hemos incluido ejemplos resueltos en los puntos apropiados del texto y hemos incluido listas de ejercicios para los capítulos 1 al 9. Estos ejercicios van desde problemas rutinarios hasta pruebas alternativas de teoremas clave, pero también contienen material que va más allá de lo cubierto en el texto.
Como matemáticos, realizamos ciertas operaciones mentales con los símbolos de números o cantidades y, al proceder paso a paso de operaciones más simples a operaciones más complejas, podemos expresar la misma cosa en muchas formas diferentes. La equivalencia de estas diferentes formas, aunque es una consecuencia necesaria de axiomas evidentes, no siempre es evidente para nosotros; pero el matemático, que mediante una larga práctica ha adquirido familiaridad con muchas de estas formas y se ha vuelto experto en los procesos que conducen de una a otra, puede a menudo transformar una expresión confusa en otra que explica su significado en un lenguaje más inteligible.
Los profesores de varias universidades utilizan ejercicios como parte de sus cursos de matemáticas. Al investigar la resolución de problemas en las universidades, Schoenfeld señaló: [7]
Ofertas de cursos superiores para estudiantes de matemáticas, donde la mayoría de los estudiantes trabajaban en colecciones de problemas que habían sido compilados por sus instructores individuales. En esos cursos, el énfasis estaba en aprender haciendo, sin intentar enseñar heurísticas específicas: los estudiantes trabajaban en muchos problemas porque (según el modelo de instrucción implícito detrás de esos cursos) así es como uno se vuelve bueno en matemáticas.
Estas colecciones de ejercicios pueden ser propiedad del instructor y de su institución. Como ejemplo del valor de los conjuntos de ejercicios, considere el logro de Toru Kumon y su método Kumon . En su programa, un estudiante no avanza antes de dominar cada nivel de ejercicio. En la Escuela Rusa de Matemáticas , los estudiantes comienzan a resolver problemas de varios pasos ya en primer grado, aprendiendo a construir sobre resultados anteriores para avanzar hacia la solución.
En la década de 1960, se tradujeron del ruso colecciones de ejercicios matemáticos y fueron publicadas por WH Freeman and Company : The URSS Olympiad Problem Book (1962), [8] Problems in Higher Algebra (1965), [9] y Problems in Differential Equations (1963). [10]
Hacia el año 980, Al-Sijzi escribió su obra Formas de facilitar la derivación de figuras geométricas , que fue traducida y publicada por Jan Hogendijk en 1996. [12]
Una colección de ejercicios en idioma árabe fue traducida al español como Compendio de Álgebra de Abenbéder y revisada en Nature . [13]
En primer lugar, se trataba casi exclusivamente de exposiciones con muy pocos ejercicios. Estos últimos adquirieron importancia en los siglos XVIII y XIX. Como comparación, podemos fijarnos en otro best seller, concretamente en Tutor's Assistant de Walkingame , publicado por primera vez en 1751, del que el 70 por ciento estaba dedicado a ejercicios, frente al 1 por ciento de Recorde. La inclusión de ejercicios fue uno de los avances posteriores más significativos en los libros de texto de aritmética, y fue paralelo al desarrollo de la educación, ya que los profesores empezaron a utilizar los libros de texto como fuentes de ejercicios. Recorde escribía principalmente para aquellos que se enseñaban a sí mismos, es decir, para aquellos estudiantes que no tenían a nadie que comprobara sus respuestas a los ejercicios.
En Europa, antes de 1900, la ciencia de la perspectiva gráfica enmarcaba los ejercicios geométricos. Por ejemplo, en 1719 Brook Taylor escribió en Nuevos principios de la perspectiva lineal
[El lector] encontrará mucho más placer en observar cuán extensos son estos principios, aplicándolos a casos particulares que él mismo ideará, mientras se ejercita en este arte... [15]
Taylor continuó
...porque la verdadera y mejor manera de aprender cualquier arte no es ver muchos ejemplos realizados por otra persona, sino poseer primero los principios del mismo y luego familiarizarse con ellos mediante el ejercicio de la práctica. [16]
El uso de pizarras para escribir en las escuelas proporcionó un formato temprano para los ejercicios. El crecimiento de los programas de ejercicios siguió a la introducción de exámenes escritos y el estudio basado en lápiz y papel.
...un curso de "matemáticas especiales". Se trata de una concentración extraordinariamente intensa de enseñanza de las matemáticas (hasta 16 horas semanales) en la que se estudian a fondo la geometría analítica y la mecánica elementales y, recientemente, también el cálculo infinitesimal, y se convierten en una herramienta de dominio seguro mediante numerosos ejercicios.
Sylvestre Lacroix fue un profesor y expositor talentoso. Su libro sobre geometría descriptiva utiliza secciones denominadas "Problema" para ejercitar la comprensión del lector. En 1816 escribió Ensayos sobre la enseñanza en general y sobre la enseñanza de las matemáticas en particular, en los que destacaba la necesidad de ejercitar y poner a prueba:
El examinador, obligado a corto plazo a multiplicar sus preguntas bastante para cubrir las materias que plantea, hasta la mayor parte de la materia enseñada, no puede ser menos minucioso, pues si, para abreviar, deja de lado las aplicaciones, no ganará así nada para las facultades de los alumnos. [18]
Andrew Warwick ha llamado la atención sobre la cuestión histórica de los ejercicios:
La inclusión de ejercicios y problemas ilustrativos al final de los capítulos en los libros de texto de física matemática es ahora tan común que parece poco excepcional, pero es importante apreciar que este dispositivo pedagógico es de origen relativamente reciente y se introdujo en un contexto histórico específico. [19] : 168
Este aprendizaje acumulativo y competitivo también se lograba con mayor eficacia con tutores privados que utilizaban clases individuales, manuscritos especialmente preparados y ejemplos y problemas calificados, que con profesores universitarios que enseñaban en clases grandes al ritmo de los mediocres. [19] : 79
Al explicar la relación entre el examen y el ejercicio, escribe:
...en la década de 1830, eran los problemas en los exámenes, más que los ejercicios en los libros de texto, los que definían el estándar al que aspiraban los estudiantes ambiciosos... [Los estudiantes de Cambridge] no sólo esperaban encontrar su camino a través del mero esbozo de un ejemplo, sino que se les enseñaba a considerar dichos ejercicios como una preparación útil para abordar problemas difíciles en los exámenes. [19] : 152
Al explicar cómo se arraigó la reforma, Warwick escribió:
En Cambridge se creía ampliamente que la mejor manera de enseñar matemáticas, incluidos los nuevos métodos analíticos, era a través de ejemplos y problemas prácticos y, a mediados de la década de 1830, algunos de los miembros de la primera generación de jóvenes universitarios a los que se les había enseñado análisis superior de esta manera estaban empezando a realizar sus propias investigaciones y a ser designados examinadores del Tripos. [19] : 155
Warwick informa que en Alemania, Franz Ernst Neumann, por la misma época, "desarrolló un sistema común de ejercicios graduados que introducían a los estudiantes a una jerarquía de habilidades y técnicas matemáticas esenciales, y... comenzó a construir sus propios conjuntos de problemas a través de los cuales sus estudiantes podían aprender su oficio". [19] : 174
En Rusia, Stephen Timoshenko reformó la instrucción en torno a ejercicios. En 1913 enseñaba resistencia de materiales en la Universidad Estatal de Medios de Comunicación de San Petersburgo . Como escribió en 1968,
En el instituto no se daban ejercicios prácticos y en los exámenes a los alumnos sólo se les planteaban cuestiones teóricas del libro de texto adoptado. Tuve que poner fin a este tipo de enseñanza lo antes posible. Los alumnos comprendían claramente la situación, se daban cuenta de la necesidad de asimilar mejor la materia y no se oponían al gran aumento de su carga de trabajo. La principal dificultad estaba con los profesores, o más precisamente, con los examinadores, que estaban acostumbrados a basar sus exámenes en el libro. Poner problemas prácticos en los exámenes complicaba su trabajo. Eran personas mayores... la única esperanza era atraer a gente más joven al mundo de la docencia. [20]
^ Alan H. Schoenfeld (1988) "Resolución de problemas", (ver página 85), capítulo 5 de Educación matemática en escuelas secundarias y universidades de dos años , de Paul J. Campbell y Louis S. Grinstein, Garland Publishing, ISBN 0-8240-8522-1
^ R. Lidl y H. Niederreitter (1986) Introducción a los campos finitos y sus aplicaciones , página viii, Cambridge University Press
^ JC Maxwell (1890) Documentos científicos de James Clerk Maxwell, volumen 2, editor WD Niven , página 216, vía Internet Archive
^ Schoenfeld 1988 pág. 82
^ DO Shklansky, NN Chetzov y IM Yaglom , traducido por John Maykovich, revisado por Irving Sussman, The URSS Olympiad Problem Book , WH Freeman and Company
^ DK Faddeev & IS Sominski, traducido por Joel Lee Brenner (1965) Problemas en álgebra superior , WH Freeman & Company
^ Aleksei Fedorovich Filippov , traductor y editor JL Brenner (1963,6) Problemas en ecuaciones diferenciales , WH Freeman
^ Hart, Roger (2010). Las raíces chinas del álgebra lineal. JHU Press . ISBN9780801899584.
^ Jan Hogendijk (1996) Las formas de facilitar la derivación de figuras geométricas por Al-Sijzi
^ GB Mathews (1917) Compendio de Álgebra de Abenbéder de Nature 98:466,7 (#2465).
^ John Denniss y Fenny Smith, "Robert Recorde y su notable aritmética", páginas 25 a 38 en Gareth Roberts y Fenny Smith (editores) (2012) Robert Recorde: La vida y los tiempos de un matemático Tudor , Cardiff: University of Wales Press ISBN 978-0-7083-2526-1
^ Brook Taylor (1719) Nuevos principios de la perspectiva lineal , Prefacio, pág. vi, como se encuentra en Kirsti Andersen (1992) El trabajo de Brook Taylor sobre la perspectiva lineal , pág. 152, Springer, ISBN 0-387-97486-5
^ Taylor pág. VII, Andersen pág. 153
^ Felix Klein , traductor de M. Ackerman (1979) Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX , pág. 59, Math Sci Press
^ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier , página 201
Vladimir Arnold (2004) Ejercicios para alumnos de 5 a 15 años en la plataforma IMAGINARY
James Alfred Ewing (1911) Ejemplos de matemáticas, mecánica, navegación y astronomía náutica, calor y vapor, electricidad, para uso de oficiales subalternos a flote de Internet Archive .
Jim Hefferon y otros (2004)Álgebra lineal en Wikilibros
Álgebra lineal en Wikilibros