Esta teoría se ocupa del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos y estudia la naturaleza y, cuando sea posible, las soluciones de las ecuaciones de movimiento de sistemas que a menudo son principalmente de naturaleza mecánica o física, como las órbitas planetarias y las órbitas planetarias . comportamiento de los circuitos electrónicos , así como de los sistemas que surgen en biología , economía y otros campos. Gran parte de la investigación moderna se centra en el estudio de sistemas caóticos .
Este campo de estudio también se denomina simplemente sistemas dinámicos , teoría matemática de sistemas dinámicos o teoría matemática de sistemas dinámicos .
Una solución caótica del sistema de Lorenz , que es un ejemplo de sistema dinámico no lineal . El estudio del sistema de Lorenz ayudó a dar origen a la teoría del caos .
Descripción general
La teoría de los sistemas dinámicos y la teoría del caos tratan del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos . Aquí, la atención no se centra en encontrar soluciones precisas a las ecuaciones que definen el sistema dinámico (lo que a menudo es inútil), sino más bien en responder preguntas como "¿Se estabilizará el sistema en un estado estable a largo plazo y, de ser así, qué ocurrirá?". ¿Cuáles son los posibles estados estacionarios?", o "¿El comportamiento a largo plazo del sistema depende de su condición inicial?"
Un objetivo importante es describir los puntos fijos o estados estacionarios de un sistema dinámico determinado; estos son valores de la variable que no cambian con el tiempo. Algunos de estos puntos fijos son atractivos , lo que significa que si el sistema comienza en un estado cercano, converge hacia el punto fijo.
De manera similar, uno está interesado en puntos periódicos , estados del sistema que se repiten después de varios pasos de tiempo. Los puntos periódicos también pueden resultar atractivos. El teorema de Sharkovskii es una afirmación interesante sobre el número de puntos periódicos de un sistema dinámico discreto unidimensional.
Incluso los sistemas dinámicos no lineales simples a menudo exhiben un comportamiento aparentemente aleatorio que se ha denominado caos . [1] La rama de los sistemas dinámicos que se ocupa de la definición limpia y la investigación del caos se llama teoría del caos .
Historia
El concepto de teoría de sistemas dinámicos tiene su origen en la mecánica newtoniana . Allí, como en otras ciencias naturales y disciplinas de ingeniería, la regla de evolución de los sistemas dinámicos está dada implícitamente por una relación que da el estado del sistema sólo en un corto período de tiempo en el futuro.
Antes de la llegada de las máquinas informáticas rápidas , resolver un sistema dinámico requería técnicas matemáticas sofisticadas y sólo podía lograrse para una pequeña clase de sistemas dinámicos.
Algunas presentaciones excelentes de la teoría matemática de sistemas dinámicos incluyen a Beltrami (1998), Luenberger (1979), Padulo y Arbib (1974) y Strogatz (1994). [2]
Conceptos
Sistemas dinámicos
El concepto de sistema dinámico es una formalización matemática para cualquier "regla" fija que describa la dependencia temporal de la posición de un punto en su espacio ambiental . Los ejemplos incluyen los modelos matemáticos que describen el balanceo del péndulo de un reloj, el flujo de agua en una tubería y la cantidad de peces que nacen cada vez en un lago.
Un sistema dinámico tiene un estado determinado por una colección de números reales , o más generalmente por un conjunto de puntos en un espacio de estados apropiado . Pequeños cambios en el estado del sistema corresponden a pequeños cambios en los números. Los números también son las coordenadas de un espacio geométrico: una variedad . La regla de evolución del sistema dinámico es una regla fija que describe qué estados futuros se derivan del estado actual. La regla puede ser determinista (para un intervalo de tiempo dado se puede predecir con precisión un estado futuro dado el estado actual) o estocástica (la evolución del estado sólo se puede predecir con una cierta probabilidad).
En matemáticas , un sistema no lineal es un sistema que no es lineal , es decir, un sistema que no satisface el principio de superposición . De manera menos técnica, un sistema no lineal es cualquier problema en el que las variables a resolver no pueden escribirse como una suma lineal de componentes independientes. Un sistema no homogéneo , que es lineal aparte de la presencia de una función de las variables independientes , es no lineal según una definición estricta, pero tales sistemas generalmente se estudian junto con los sistemas lineales, porque pueden transformarse en un sistema lineal siempre que un Se conoce una solución particular.
Campos relacionados
Dinámica aritmética
La dinámica aritmética es un campo surgido en la década de 1990 que amalgama dos áreas de las matemáticas, los sistemas dinámicos y la teoría de números . Clásicamente, la dinámica discreta se refiere al estudio de la iteración de automapas del plano complejo o línea real . La dinámica aritmética es el estudio de las propiedades teóricas de números de puntos enteros, racionales, p -ádicos y/o algebraicos bajo la aplicación repetida de una función polinómica o racional .
Teoría del caos
La teoría del caos describe el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos (es decir, sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo) que pueden exhibir dinámicas muy sensibles a las condiciones iniciales (conocido popularmente como efecto mariposa ). Como resultado de esta sensibilidad, que se manifiesta como un crecimiento exponencial de las perturbaciones en las condiciones iniciales, el comportamiento de los sistemas caóticos parece aleatorio . Esto sucede a pesar de que estos sistemas son deterministas , lo que significa que su dinámica futura está completamente definida por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. Este comportamiento se conoce como caos determinista, o simplemente caos .
Sistemas complejos
Los sistemas complejos es un campo científico que estudia las propiedades comunes de los sistemas considerados complejos en la naturaleza , la sociedad y la ciencia . También se le llama teoría de sistemas complejos , ciencia de la complejidad , estudio de sistemas complejos y/o ciencias de la complejidad . Los problemas clave de tales sistemas son las dificultades con su modelado y simulación formales . Desde tal perspectiva, en diferentes contextos de investigación los sistemas complejos se definen en base a sus diferentes atributos.
El concepto de sistemas dinámicos de gráficos (GDS) se puede utilizar para capturar una amplia gama de procesos que tienen lugar en gráficos o redes. Un tema importante en el análisis matemático y computacional de sistemas dinámicos de gráficos es relacionar sus propiedades estructurales (por ejemplo, la conectividad de la red) y la dinámica global resultante.
La dinámica de sistemas es un enfoque para comprender el comportamiento de los sistemas a lo largo del tiempo. Se ocupa de bucles de retroalimentación internos y retrasos de tiempo que afectan el comportamiento y el estado de todo el sistema. [3] Lo que diferencia el uso de la dinámica de sistemas de otros enfoques para estudiar sistemas es el lenguaje utilizado para describir ciclos de retroalimentación con existencias y flujos . Estos elementos ayudan a describir cómo incluso los sistemas aparentemente simples muestran una desconcertante no linealidad .
Dinámica topológica
La dinámica topológica es una rama de la teoría de los sistemas dinámicos en la que se estudian las propiedades asintóticas cualitativas de los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general .
Aplicaciones
En biomecánica
En biomecánica deportiva , la teoría de sistemas dinámicos ha surgido en las ciencias del movimiento como un marco viable para modelar el rendimiento y la eficiencia atléticos. Desde una perspectiva de sistemas dinámicos, el sistema de movimiento humano es una red muy intrincada de subsistemas codependientes (p. ej., respiratorio, circulatorio, nervioso, esqueletomuscular, perceptual) que están compuestos por un gran número de componentes que interactúan (p. ej., células sanguíneas, oxígeno). moléculas, tejido muscular, enzimas metabólicas, tejido conectivo y hueso). En la teoría de sistemas dinámicos, los patrones de movimiento surgen a través de procesos genéricos de autoorganización que se encuentran en los sistemas físicos y biológicos. [4] No existe ninguna validación de investigación de ninguna de las afirmaciones asociadas a la aplicación conceptual de este marco.
En la ciencia cognitiva
La teoría de los sistemas dinámicos se ha aplicado en el campo de la neurociencia y el desarrollo cognitivo , especialmente en las teorías neopiagetianas del desarrollo cognitivo . Es la creencia de que el desarrollo cognitivo está mejor representado por teorías físicas que por teorías basadas en la sintaxis y la inteligencia artificial . También creía que las ecuaciones diferenciales son la herramienta más adecuada para modelar el comportamiento humano. Se interpreta que estas ecuaciones representan la trayectoria cognitiva de un agente a través del espacio de estados . En otras palabras, los dinámicos sostienen que la psicología debería ser (o es) la descripción (mediante ecuaciones diferenciales) de las cogniciones y comportamientos de un agente bajo ciertas presiones ambientales e internas. También se adopta con frecuencia el lenguaje de la teoría del caos.
En él, la mente del alumno alcanza un estado de desequilibrio en el que los viejos patrones se han derrumbado. Esta es la transición de fase del desarrollo cognitivo. La autoorganización (la creación espontánea de formas coherentes) se establece a medida que los niveles de actividad se vinculan entre sí. Las estructuras macroscópicas y microscópicas recién formadas se apoyan entre sí, acelerando el proceso. Estos vínculos forman la estructura de un nuevo estado de orden en la mente a través de un proceso llamado festoneado (la construcción y el colapso repetidos de una actuación compleja). Este nuevo y novedoso estado es progresivo, discreto, idiosincrásico e impredecible. [5]
La teoría de los sistemas dinámicos se ha utilizado recientemente para explicar un problema del desarrollo infantil que lleva mucho tiempo sin respuesta, conocido como error A-no-B . [6]
Además, desde mediados de la década de 1990 [7] la ciencia cognitiva , orientada hacia un conexionismo teórico de sistemas , ha adoptado cada vez más los métodos de la (no lineal) “Teoría de Sistemas Dinámicos (DST)”. [8] [9] [10] Una variedad de neuroarquitecturas cognitivas neurosimbólicas en el conexionismo moderno, considerando su núcleo estructural matemático, pueden clasificarse como sistemas dinámicos (no lineales). [11] [12] [13] Estos intentos en neurocognición de fusionar neuroarquitecturas cognitivas conexionistas con DST provienen no solo de la neuroinformática y el conexionismo, sino también recientemente de la psicología del desarrollo (“Teoría de campos dinámicos (DFT)” [14] [15] ) y de la “ robótica evolutiva ” y la “ robótica del desarrollo ” [16] en relación con el método matemático de “ computación evolutiva (CE)”. Para obtener una descripción general, consulte Maurer. [17] [18]
En el desarrollo de una segunda lengua
La aplicación de la teoría de sistemas dinámicos para estudiar la adquisición de una segunda lengua se atribuye a Diane Larsen-Freeman , quien publicó un artículo en 1997 en el que afirmaba que la adquisición de una segunda lengua debe verse como un proceso de desarrollo que incluye tanto el desgaste como la adquisición de la lengua. [19] En su artículo afirmó que el lenguaje debe verse como un sistema dinámico, complejo, no lineal, caótico, impredecible, sensible a las condiciones iniciales, abierto, autoorganizado, sensible a la retroalimentación y adaptativo.
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^ Larsen-Freeman, D. (1997). "Ciencia del caos/complejidad y adquisición de una segunda lengua". La lingüística aplicada . págs. 141-165. doi : 10.1093/applin/18.2.141.
Otras lecturas
Abraham, Federico D.; Abraham, Ralph ; Shaw, Christopher D. (1990). Una introducción visual a la teoría de sistemas dinámicos para psicología. Prensa aérea. ISBN 978-0-942344-09-7. OCLC 24345312.
Beltrami, Edward J. (1998). Matemáticas para modelado dinámico (2ª ed.). Prensa académica. ISBN 978-0-12-085566-7. OCLC 36713294.
Hájek, Otomar (1968). Sistemas dinámicos en el avión. Prensa académica. ISBN 9780123172402. OCLC 343328.
Miguel, Antonio; Kaining Wang; Bo Hu (2001). Teoría cualitativa de sistemas dinámicos. Taylor y Francisco. ISBN 978-0-8247-0526-8. OCLC 45873628.
Padulo, Luis; Arbib, Michael A. (1974). Teoría de sistemas: un enfoque de espacio de estados unificado para sistemas continuos y discretos. Saunders. ISBN 9780721670355. OCLC 947600.
Strogatz, Steven H. (1994). Caos y dinámica no lineal: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC 49839504.
enlaces externos
Entrada de la Enciclopedia de sistemas dinámicos de ciencias cognitivas.
