Curl (matemáticas)

Densidad de circulación en un campo vectorial

Representación de un campo vectorial bidimensional con un rizo uniforme.

En cálculo vectorial , el rotacional , también conocido como rotor , es un operador vectorial que describe la circulación infinitesimal de un campo vectorial en el espacio euclidiano tridimensional . El rotacional en un punto del campo se representa mediante un vector cuya longitud y dirección denotan la magnitud y el eje de la circulación máxima. ^[1] El rotacional de un campo se define formalmente como la densidad de circulación en cada punto del campo.

Un campo vectorial cuyo rotacional es cero se denomina irrotacional . El rotacional es una forma de diferenciación para campos vectoriales. La forma correspondiente del teorema fundamental del cálculo es el teorema de Stokes , que relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial con la integral de línea del campo vectorial alrededor de la curva límite.

La notación curl F es más común en América del Norte. En el resto del mundo, particularmente en la literatura científica del siglo XX, se utiliza tradicionalmente la notación alternativa rot F , que proviene de la "velocidad de rotación" que representa. Para evitar confusiones, los autores modernos tienden a utilizar la notación del producto vectorial con el operador del (nabla), como en , ^[2] que también revela la relación entre los operadores curl (rotor), divergencia y gradiente . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

A diferencia del gradiente y la divergencia , el rizo, tal como se formula en el cálculo vectorial, no se generaliza simplemente a otras dimensiones; algunas generalizaciones son posibles, pero solo en tres dimensiones el rizo geométricamente definido de un campo vectorial es nuevamente un campo vectorial. Esta deficiencia es una consecuencia directa de las limitaciones del cálculo vectorial; por otro lado, cuando se expresa como un campo tensorial antisimétrico a través del operador cuña del cálculo geométrico , el rizo se generaliza a todas las dimensiones. La circunstancia es similar a la que se da en el producto vectorial tridimensional y, de hecho, la conexión se refleja en la notación del rizo. ${\displaystyle \nabla \times }$

El nombre "rizo" fue sugerido por primera vez por James Clerk Maxwell en 1871 ^[3] pero el concepto aparentemente fue utilizado por primera vez en la construcción de una teoría de campo óptico por James MacCullagh en 1839. ^{[4] [5]}

Definición

Los componentes de F en la posición r , normales y tangentes a una curva cerrada C en un plano, que encierra un área vectorial plana . ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Regla de la mano derecha

El rotacional de un campo vectorial F , denotado por rotacional F , o rotacional F , es un operador que asigna funciones C k en R ³ a funciones C ^{k −1 en} R ³ , y en particular, asigna funciones continuamente diferenciables R ³ → R ³ a funciones continuas R ³ → R ³ . Puede definirse de varias maneras, que se mencionan a continuación: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Una forma de definir el rizo de un campo vectorial en un punto es implícitamente a través de sus componentes a lo largo de varios ejes que pasan por el punto: si es cualquier vector unitario, el componente del rizo de F a lo largo de la dirección puede definirse como el valor límite de una integral de línea cerrada en un plano perpendicular a dividido por el área encerrada, ya que el camino de integración se contrae indefinidamente alrededor del punto. ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

Más específicamente, el rizo se define en un punto p como ^{[6] [7]} donde la integral de línea se calcula a lo largo del límite C del área A en cuestión, siendo | A | la magnitud del área. Esta ecuación define el componente del rizo de F a lo largo de la dirección . Las superficies infinitesimales limitadas por C tienen como normal . C se orienta a través de la regla de la mano derecha . $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

La fórmula anterior significa que el componente del rotacional de un campo vectorial a lo largo de un eje determinado es la densidad de área infinitesimal de la circulación del campo en un plano perpendicular a ese eje. Esta fórmula no define a priori un campo vectorial legítimo, ya que las densidades de circulación individuales con respecto a varios ejes a priori no necesitan relacionarse entre sí de la misma manera que lo hacen las componentes de un vector; que efectivamente se relacionan entre sí de esta manera precisa debe probarse por separado.

A esta definición se aplica naturalmente el teorema de Kelvin-Stokes , como fórmula global correspondiente a la definición. Éste equipara la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial a la integral de línea anterior tomada alrededor del límite de la superficie.

Otra forma de definir el vector rotacional de una función F en un punto es explícitamente como el valor límite de una integral de superficie con valores vectoriales alrededor de una capa que encierra p dividido por el volumen encerrado, a medida que la capa se contrae indefinidamente alrededor de p .

Más específicamente, el rizo puede definirse mediante la fórmula vectorial donde la integral de superficie se calcula a lo largo del límite S del volumen V , siendo | V | la magnitud del volumen, y apuntando hacia afuera desde la superficie S perpendicularmente en cada punto en S. $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

En esta fórmula, el producto vectorial del integrando mide el componente tangencial de F en cada punto de la superficie S y apunta a lo largo de la superficie en ángulo recto con respecto a la proyección tangencial de F. Al integrar este producto vectorial sobre toda la superficie, se obtiene un vector cuya magnitud mide la circulación general de F alrededor de S y cuya dirección está en ángulo recto con respecto a esta circulación. La fórmula anterior dice que el rotacional de un campo vectorial en un punto es la densidad de volumen infinitesimal de este "vector de circulación" alrededor del punto.

A esta definición se ajusta naturalmente otra fórmula global (similar al teorema de Kelvin-Stokes) que iguala la integral de volumen del rotacional de un campo vectorial a la integral de superficie anterior tomada sobre el límite del volumen.

Mientras que las dos definiciones anteriores del rizo no tienen coordenadas, existe otra definición "fácil de memorizar" del rizo en coordenadas ortogonales curvilíneas , por ejemplo, en coordenadas cartesianas , esféricas , cilíndricas o incluso elípticas o parabólicas : $${\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

La ecuación para cada componente (curl F ) _k se puede obtener intercambiando cada aparición de un subíndice 1, 2, 3 en permutación cíclica: 1 → 2, 2 → 3 y 3 → 1 (donde los subíndices representan los índices relevantes).

Si ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) son las coordenadas cartesianas y ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) son las coordenadas ortogonales, entonces es la longitud del vector de coordenadas correspondiente a u _i . Los dos componentes restantes de curl resultan de la permutación cíclica de índices : 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1. $${\displaystyle h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}$$

Uso

En la práctica, las dos definiciones libres de coordenadas descritas anteriormente rara vez se utilizan porque en prácticamente todos los casos, el operador curl se puede aplicar utilizando algún conjunto de coordenadas curvilíneas , para las cuales se han derivado representaciones más simples.

La notación ∇ × F tiene su origen en las similitudes con el producto vectorial tridimensional y es útil como mnemotécnico en coordenadas cartesianas si se toma ∇ como operador diferencial vectorial del . Este tipo de notación que involucra operadores es común en física y álgebra .

Desarrollado en coordenadas cartesianas tridimensionales (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para representaciones de coordenadas esféricas y cilíndricas ), ∇ × F es, para F compuesto de [ F _x , F _y , F _z ] (donde los subíndices indican los componentes del vector, no derivadas parciales): donde i , j y k son los vectores unitarios para los ejes x -, y -, y z - , respectivamente. Esto se desarrolla de la siguiente manera: ^[8] $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}-\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

Aunque se expresa en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones adecuadas de los ejes de coordenadas, pero el resultado se invierte bajo reflexión.

En un sistema de coordenadas general, el rizo se da por ^[1] donde ε denota el tensor de Levi-Civita , ∇ la derivada covariante , es el determinante del tensor métrico y la convención de suma de Einstein implica que los índices repetidos se suman. Debido a la simetría de los símbolos de Christoffel que participan en la derivada covariante, esta expresión se reduce a la derivada parcial: donde R _k son los vectores base locales. De manera equivalente, utilizando la derivada exterior , el rizo se puede expresar como: $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }\mathbf {F} ^{\flat }{\big )}\right)^{\sharp }}$$

Aquí ♭ y ♯ son los isomorfismos musicales y ★ es el operador de estrella de Hodge . Esta fórmula muestra cómo calcular el rizo de F en cualquier sistema de coordenadas y cómo extender el rizo a cualquier variedad riemanniana tridimensional orientada . Como esto depende de la elección de la orientación, el rizo es una operación quiral . En otras palabras, si se invierte la orientación, entonces también se invierte la dirección del rizo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Supongamos que el campo vectorial describe el campo de velocidad de un flujo de fluido (como un gran tanque de líquido o gas ) y una pequeña bola está ubicada dentro del fluido o gas (el centro de la bola está fijo en un punto determinado). Si la bola tiene una superficie rugosa, el fluido que fluye más allá de ella la hará girar. El eje de rotación (orientado según la regla de la mano derecha) apunta en la dirección del rizo del campo en el centro de la bola, y la velocidad angular de la rotación es la mitad de la magnitud del rizo en este punto. ^[9] El rizo del campo vectorial en cualquier punto está dado por la rotación de un área infinitesimal en el plano xy (para el componente del eje z del rizo), el plano zx (para el componente del eje y del rizo) y el plano yz (para el componente del eje x del vector del rizo). Esto se puede ver en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 2

Campo vectorial F ( x , y )=[ y ,− x ] (izquierda) y su rotacional (derecha).

El campo vectorial se puede descomponer como $${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {\imath }}}-x{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$ $${\displaystyle F_{x}=y,F_{y}=-x,F_{z}=0.}$$

Tras una inspección visual, el campo puede describirse como "rotativo". Si los vectores del campo representaran una fuerza lineal que actúa sobre los objetos presentes en ese punto y se colocara un objeto dentro del campo, el objeto comenzaría a girar en el sentido de las agujas del reloj sobre sí mismo. Esto es así independientemente de dónde se coloque el objeto.

Calculando el rizo: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

El campo vectorial resultante que describe el rizo apuntaría en todos los puntos en la dirección z negativa . Los resultados de esta ecuación coinciden con lo que se podría haber predicho utilizando la regla de la mano derecha utilizando un sistema de coordenadas para diestros . Al ser un campo vectorial uniforme, el objeto descrito anteriormente tendría la misma intensidad rotacional independientemente de dónde se colocara.

Ejemplo 3

Campo vectorial F ( x , y ) = [0, − x ² ] (izquierda) y su rotacional (derecha).

Para el campo vectorial $${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$

El rizo no es tan obvio en el gráfico. Sin embargo, si tomamos el objeto del ejemplo anterior y lo colocamos en cualquier lugar de la línea x = 3 , la fuerza ejercida en el lado derecho sería ligeramente mayor que la fuerza ejercida en el izquierdo, lo que provocaría que girara en el sentido de las agujas del reloj. Si se utiliza la regla de la mano derecha, se puede predecir que el rizo resultante sería recto en la dirección z negativa . A la inversa, si se coloca en x = −3 , el objeto giraría en el sentido contrario a las agujas del reloj y la regla de la mano derecha daría como resultado una dirección z positiva .

Calculando el rizo: $${\displaystyle {\nabla }\times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-x^{2}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {k}}}.}$$

El rizo apunta en la dirección z negativa cuando x es positivo y viceversa. En este campo, la intensidad de rotación sería mayor a medida que el objeto se aleja del plano x = 0 .

Más ejemplos

• En un campo vectorial que describe las velocidades lineales de cada parte de un disco giratorio en movimiento circular uniforme , el rizo tiene el mismo valor en todos los puntos, y este valor resulta ser exactamente dos veces la velocidad angular vectorial del disco (orientada como es habitual por la regla de la mano derecha ). De manera más general, para cualquier masa que fluye, el campo vectorial de velocidad lineal en cada punto del flujo de masa tiene un rizo (la vorticidad del flujo en ese punto) igual a exactamente dos veces la velocidad angular vectorial local de la masa alrededor del punto.
• Para cualquier objeto sólido sujeto a una fuerza física externa (como la gravedad o la fuerza electromagnética), se puede considerar el campo vectorial que representa las contribuciones infinitesimales de fuerza por unidad de volumen que actúan en cada uno de los puntos del objeto. Este campo de fuerza puede crear un torque neto sobre el objeto en torno a su centro de masa, y este torque resulta ser directamente proporcional y vectorialmente paralelo a la integral (de valor vectorial) del rizo del campo de fuerza sobre todo el volumen.
• De las cuatro ecuaciones de Maxwell , dos ( la ley de Faraday y la ley de Ampère ) se pueden expresar de forma compacta utilizando el rizo. La ley de Faraday establece que el rizo de un campo eléctrico es igual al opuesto de la tasa de cambio temporal del campo magnético, mientras que la ley de Ampère relaciona el rizo del campo magnético con la corriente y la tasa de cambio temporal del campo eléctrico.

Identidades

En coordenadas curvilíneas generales (no solo en coordenadas cartesianas), se puede demostrar que el rotacional de un producto vectorial de los campos vectoriales v y F es $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .}$$

Intercambiando el campo vectorial v y el operador ∇ , llegamos al producto vectorial de un campo vectorial con el rotacional de un campo vectorial: donde ∇ _F es la notación de subíndice de Feynman, que considera solo la variación debida al campo vectorial F (es decir, en este caso, v se trata como constante en el espacio). $${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$$

Otro ejemplo es el rotacional de un rotacional de un campo vectorial. Se puede demostrar que en coordenadas generales y esta identidad define el laplaciano vectorial de F , simbolizado como ∇ ² F . $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$$

El rizo del gradiente de cualquier campo escalar φ es siempre el campo vectorial cero que se deduce de la antisimetría en la definición del rizo y la simetría de las segundas derivadas . $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$$

La divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es igual a cero: $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

Si φ es una función escalar y F es un campo vectorial, entonces $${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$$

Generalizaciones

Las operaciones de cálculo vectorial de grad , curl y div se generalizan más fácilmente en el contexto de las formas diferenciales, lo que implica una serie de pasos. En resumen, corresponden a las derivadas de las formas 0, 1 y 2, respectivamente. La interpretación geométrica de curl como rotación corresponde a la identificación de bivectores (2-vectores) en 3 dimensiones con el álgebra de Lie ortogonal especial de rotaciones infinitesimales (en coordenadas, matrices 3 × 3 antisimétricas), mientras que la representación de rotaciones por vectores corresponde a la identificación de 1-vectores (equivalentemente, 2-vectores) y , siendo todos ellos espacios tridimensionales. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Formas diferenciales

En 3 dimensiones, una forma 0 diferencial es una función de valor real f ( x , y , z ) ; una forma 1 diferencial es la siguiente expresión, donde los coeficientes son funciones: una forma 2 diferencial es la suma formal, nuevamente con coeficientes de función: y una forma 3 diferencial se define por un solo término con una función como coeficiente: (Aquí los coeficientes a son funciones reales de tres variables; los "productos de cuña", por ejemplo, dx ∧ dy , se pueden interpretar como algún tipo de elementos de área orientada, dx ∧ dy = − dy ∧ dx , etc.) $${\displaystyle a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;}$$ $${\displaystyle a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;}$$ $${\displaystyle a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.}$$

La derivada exterior de una forma k en R ³ se define como la forma ( k + 1) de arriba, y en R ⁿ si, por ejemplo, entonces la derivada exterior d conduce a $${\displaystyle \omega ^{(k)}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},}$$ $${\displaystyle d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.}$$

La derivada exterior de una forma 1 es, por tanto, una forma 2, y la de una forma 2 es una forma 3. Por otra parte, debido a la intercambiabilidad de las derivadas mixtas y a la antisimetría, $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}},}$$ $${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}$$

La doble aplicación de la derivada exterior produce (la forma cero ). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k+2}$

Así, denotando el espacio de k -formas por Ω ^k ( R ³ ) y la derivada exterior por d se obtiene una secuencia: $${\displaystyle 0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.}$$

Aquí Ω ^k ( R ⁿ ) es el espacio de secciones del fibrado vectorial del álgebra exterior Λ ^k ( R ⁿ ) sobre R ⁿ , cuya dimensión es el coeficiente binomial ( ^no
_k) ; tenga en cuenta queΩ ^k ( R ³ ) = 0para k > 3o k < 0. Escribiendo sólo dimensiones, se obtiene una fila deltriángulo de Pascal:

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

Las fibras unidimensionales corresponden a campos escalares y las fibras tridimensionales a campos vectoriales, como se describe a continuación. Las tres apariciones no triviales de la derivada exterior corresponden a grad, curl y div.

Las formas diferenciales y la diferencial pueden definirse en cualquier espacio euclidiano, o incluso en cualquier variedad, sin ninguna noción de métrica riemanniana. En una variedad riemanniana , o más generalmente en una variedad pseudo-riemanniana , las k -formas pueden identificarse con k - cuerpos vectoriales ( las k -formas son k -cuerpos covectoriales, y una métrica pseudo-riemanniana da un isomorfismo entre vectores y covectores), y en un espacio vectorial orientado con una forma no degenerada (un isomorfismo entre vectores y covectores), hay un isomorfismo entre k -vectores y ( n − k ) -vectores; en particular en (el espacio tangente de) una variedad pseudo-riemanniana orientada. Así, en una variedad pseudo-riemanniana orientada, se pueden intercambiar k -formas, k -cuerpos vectoriales, ( n − k ) -formas y ( n − k ) -cuerpos vectoriales; esto se conoce como dualidad de Hodge . Concretamente, en R ³ esto viene dado por:

• 1-formas y 1-campos vectoriales: la 1-forma a _x dx + a _y dy + a _z dz corresponde al campo vectorial ( a _x , a _y , a _z ) .
• 1-formas y 2-formas: se reemplaza dx por la cantidad dual dy ∧ dz (es decir, se omite dx ), y, de la misma manera, teniendo en cuenta la orientación: dy corresponde a dz ∧ dx = − dx ∧ dz , y dz corresponde a dx ∧ dy . Por lo tanto, la forma a _x dx + a _y dy + a _z dz corresponde a la "forma dual" a _z dx ∧ dy + a _y dz ∧ dx + a _x dy ∧ dz .

Así, identificando las formas 0 y 3 con campos escalares, y las formas 1 y 2 con campos vectoriales:

• grad convierte un campo escalar (forma 0) en un campo vectorial (forma 1);
• curl convierte un campo vectorial (forma 1) en un campo pseudovectorial (forma 2);
• div convierte un campo pseudovectorial (forma 2) en un campo pseudoescalar (forma 3)

Por otra parte, el hecho de que d ² = 0 corresponde a las identidades para cualquier campo escalar f , y para cualquier campo vectorial v . $${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=\mathbf {0} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0}$$

Grad y div se generalizan a todas las variedades pseudo-Riemannianas orientadas, con la misma interpretación geométrica, porque los espacios de 0-formas y n -formas en cada punto son siempre unidimensionales y pueden identificarse con campos escalares, mientras que los espacios de 1-formas y ( n − 1) -formas son siempre n -dimensionales en términos de fibras y pueden identificarse con campos vectoriales.

Curl no se generaliza de esta manera a 4 o más dimensiones (o hasta 2 o menos dimensiones); en 4 dimensiones las dimensiones son

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

por lo tanto, el rizo de un campo 1-vectorial (fibra por fibra, 4 dimensiones) es un campo 2-vectorial , que en cada punto pertenece a un espacio vectorial de 6 dimensiones, y por lo tanto se tiene que produce una suma de seis términos independientes, y no se puede identificar con un campo 1-vectorial. Tampoco se puede pasar significativamente de un campo 1-vectorial a un campo 2-vectorial a un campo 3-vectorial (4 → 6 → 4), ya que tomar la diferencial dos veces produce cero ( d ² = 0 ). Por lo tanto, no hay una función rizo de campos vectoriales a campos vectoriales en otras dimensiones que surja de esta manera. $${\displaystyle \omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},}$$

Sin embargo, se puede definir un rizo de un campo vectorial como un campo de 2 vectores en general, como se describe a continuación.

Rizo geométrico

Los 2-vectores corresponden a la potencia exterior Λ ² V ; en presencia de un producto interior, en coordenadas son las matrices antisimétricas, que se consideran geométricamente como el álgebra de Lie ortogonal especial ( V ) de rotaciones infinitesimales. Esto tiene ( ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$^número
₂) = ⁠1/2⁠ n ( n − 1) dimensiones, y permite interpretar la diferencial de un campo 1-vectorial como sus rotaciones infinitesimales. Solo en 3 dimensiones (o trivialmente en 0 dimensiones) tenemos n = ⁠1/2⁠ n ( n − 1) , que es el caso más elegante y común. En 2 dimensiones el rotacional de un campo vectorial no es un campo vectorial sino una función, ya que las rotaciones bidimensionales están dadas por un ángulo (un escalar – se requiere una orientación para elegir si uno cuenta las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj como positivas); este no es el div, sino que es perpendicular a él. En 3 dimensiones el rotacional de un campo vectorial es un campo vectorial como es familiar (en 1 y 0 dimensiones el rotacional de un campo vectorial es 0, porque no hay 2-vectores no triviales), mientras que en 4 dimensiones el rotacional de un campo vectorial es, geométricamente, en cada punto un elemento del álgebra de Lie de 6 dimensiones . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)}$

El rizo de un campo vectorial tridimensional que solo depende de dos coordenadas (por ejemplo, x e y ) es simplemente un campo vectorial vertical (en la dirección z ) cuya magnitud es el rizo del campo vectorial bidimensional, como en los ejemplos de esta página.

La consideración del rotacional como un campo de 2 vectores (un 2-tensor antisimétrico) se ha utilizado para generalizar el cálculo vectorial y la física asociada a dimensiones superiores. ^[10]

Inverso

En el caso en que la divergencia de un campo vectorial V es cero, existe un campo vectorial W tal que V = curl( W ) . ^{[ cita requerida ]} Es por esto que el campo magnético , caracterizado por divergencia cero, puede expresarse como el rizo de un potencial vectorial magnético .

Si W es un campo vectorial con curl( W ) = V , entonces al sumar cualquier campo vectorial gradiente grad( f ) a W se obtendrá otro campo vectorial W + grad( f ) tal que curl( W + grad( f )) = V también. Esto se puede resumir diciendo que el rizo inverso de un campo vectorial tridimensional se puede obtener hasta un campo irrotacional desconocido con la ley de Biot-Savart .

Véase también

• Descomposición de Helmholtz
• Preacondicionador Hiptmair–Xu
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Vorticidad

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Curl". MathWorld .
2. Norma ISO/IEC 80000-2 Norma ISO/IEC 80000-2, ítem 2-17.16
3. Actas de la Sociedad Matemática de Londres, 9 de marzo de 1871
4. Obras completas de James MacCullagh. Dublín: Hodges. 1880.
5. Usos más antiguos conocidos de algunas palabras de las matemáticas tripod.com
6. Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
7. Análisis vectorial (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
8. Arfken, George Brown (2005). Métodos matemáticos para físicos . Weber, Hans-Jurgen (6.ª ed.). Boston: Elsevier. pág. 43. ISBN 978-0-08-047069-6.OCLC 127114279  .
9. Gibbs, Josiah Willard ; Wilson, Edwin Bidwell (1901), Análisis vectorial, publicaciones del bicentenario de Yale, C. Scribner's Sons, hdl :2027/mdp.39015000962285
10. McDavid, AW; McMullen, CD (30 de octubre de 2006). "Generalización de productos cruzados y ecuaciones de Maxwell a dimensiones extra universales". arXiv : hep-ph/0609260 .

Lectura adicional

• Korn, Granino Arthur y Theresa M. Korn (enero de 2000). Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión . Nueva York: Dover Publications. págs. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . Nueva York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.

Enlaces externos

• "Curl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Cálculo multivariable". mathinsight.org . Consultado el 12 de febrero de 2022 .
• "Divergencia y rizo: el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, el flujo de fluidos y más". 21 de junio de 2018. Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2021 – vía YouTube .