teorema de stokes

Teorema en cálculo vectorial

Una ilustración del teorema de Stokes, con la superficie Σ , su frontera ∂Σ y el vector normal n .

El teorema de Stokes , ^[1] también conocido como teorema de Kelvin-Stokes ^{[2] [3]} en honor a Lord Kelvin y George Stokes , el teorema fundamental de los rizos o simplemente teorema de los rizos , ^[4] es un teorema del cálculo vectorial en . Dado un campo vectorial , el teorema relaciona la integral de la curvatura del campo vectorial sobre alguna superficie con la integral de línea del campo vectorial alrededor del límite de la superficie. El teorema clásico de Stokes se puede enunciar en una frase: la integral de línea de un campo vectorial sobre un bucle es igual a la integral de superficie de su curvatura sobre la superficie encerrada. Se ilustra en la figura, donde la dirección de circulación positiva del contorno delimitador ∂Σ y la dirección n del flujo positivo a través de la superficie Σ están relacionadas por la regla de la mano derecha. Para la mano derecha los dedos circulan a lo largo de ∂Σ y el pulgar se dirige a lo largo de n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El teorema de Stokes es un caso especial del teorema de Stokes generalizado . ^{[5] [6]} En particular, un campo vectorial puede considerarse como una forma 1, en cuyo caso su curvatura es su derivada exterior , una forma 2. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Teorema

Sea una superficie lisa orientada con límite . Si un campo vectorial está definido y tiene derivadas parciales continuas de primer orden en una región que contiene , entonces ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$ ${\displaystyle \Sigma }$

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

El principal desafío en una formulación precisa del teorema de Stokes es definir la noción de límite. Es bien sabido que superficies como el copo de nieve de Koch , por ejemplo, no presentan una frontera integrable de Riemann, y la noción de medida de superficie en la teoría de Lebesgue no puede definirse para una superficie que no sea de Lipschitz . Una técnica (avanzada) consiste en pasar a una formulación débil y luego aplicar la maquinaria de la teoría de la medida geométrica ; para ese enfoque consulte la fórmula del coárea . En este artículo, utilizamos una definición más elemental, basada en el hecho de que se puede discernir un límite para subconjuntos de dimensiones completas de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Se dará una declaración más detallada para discusiones posteriores. Sea una curva plana de Jordan suave por tramos . El teorema de la curva de Jordan implica que se divide en dos componentes, uno compacto y otro no compacto. Denotemos la parte compacta; entonces está acotado por . Ahora basta con transferir esta noción de límite a lo largo de un mapa continuo a nuestra superficie en . Pero ya tenemos ese mapa: la parametrización de . ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Supongamos que es suave por partes en la vecindad de , con . ^{[nota 1]} Si la curva espacial está definida por ^{[nota 2]} , entonces llamamos al límite de , escrito . ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Con la notación anterior, si hay algún campo vectorial suave en , entonces ^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .}$$

Aquí, " " representa el producto escalar en . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Prueba

La demostración del teorema consta de 4 pasos. Asumimos el teorema de Green , por lo que lo que nos preocupa es cómo reducir el complicado problema tridimensional (teorema de Stokes) a un problema bidimensional rudimentario (teorema de Green). ^[9] Al demostrar este teorema, los matemáticos normalmente lo deducen como un caso especial de un resultado más general , que se expresa en términos de formas diferenciales y se demuestra utilizando maquinaria más sofisticada. Si bien son poderosas, estas técnicas requieren una base sustancial, por lo que la siguiente demostración las evita y no presupone ningún conocimiento más allá de la familiaridad con el cálculo vectorial básico y el álgebra lineal. ^[8] Al final de esta sección, se ofrece una breve prueba alternativa del teorema de Stokes, como corolario del teorema de Stokes generalizado.

Prueba elemental

Primer paso de la prueba elemental (parametrización de integral)

Como en § Teorema, reducimos la dimensión utilizando la parametrización natural de la superficie. Sean ψ y γ como en esa sección, y observe que por cambio de variables

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }}$$

J _y ψmatriz jacobianaψy = γ ( t )

Ahora sea { e _u , e _v } una base ortonormal en las direcciones de coordenadas de R ² . ^{[nota 3]}

Reconociendo que las columnas de J _y ψ son precisamente las derivadas parciales de ψ en y , podemos expandir la ecuación anterior en coordenadas como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}$$

Segundo paso en la prueba elemental (definir el retroceso)

El paso anterior sugiere que definamos la función.

$${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}$$

Ahora, si el valor escalar funciona y se define de la siguiente manera, ${\displaystyle P_{u}}$ ${\displaystyle P_{v}}$

$${\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}$$

$${\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}$$

Este es el retroceso de F a lo largo de ψ y, por lo anterior, satisface

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}$$

Hemos reducido con éxito un lado del teorema de Stokes a una fórmula bidimensional; ahora pasamos al otro lado.

Tercer paso de la prueba elemental (segunda ecuación)

Primero, calcula las derivadas parciales que aparecen en el teorema de Green , mediante la regla del producto :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}$$

Convenientemente, el segundo término se anula en la diferencia, por igualdad de parciales mixtos . Entonces, ^{[nota 4]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}$$

Pero consideremos ahora la matriz en esa forma cuadrática, es decir, . Afirmamos que esta matriz de hecho describe un producto cruzado. Aquí el superíndice " " representa la transposición de matrices . ${\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Para ser precisos, sea una matriz arbitraria de 3 × 3 y sea ${\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}$$

Tenga en cuenta que x ↦ a × x es lineal, por lo que está determinado por su acción sobre los elementos base. Pero por cálculo directo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }^{[nota 5]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por lo tanto ( A − A ^T ) x = a × x para cualquier x .

Sustituyendo A , obtenemos ${\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}$

$${\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$$

Ahora podemos reconocer la diferencia de parciales como un producto triple (escalar) :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}$$

Por otro lado, la definición de integral de superficie también incluye un producto triple: ¡el mismo!

$${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}$$

Entonces, obtenemos

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Cuarto paso de la demostración elemental (reducción al teorema de Green)

Combinando el segundo y tercer paso y luego aplicando el teorema de Green se completa la demostración. El teorema de Green afirma lo siguiente: para cualquier región D delimitada por la curva cerrada de Jordan γ y dos funciones suaves con valores escalares definidas en D; ${\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Podemos sustituir la conclusión del PASO 2 en el lado izquierdo del teorema de Green anterior y sustituir la conclusión del PASO 3 en el lado derecho. QED

Prueba mediante formas diferenciales

Las funciones se pueden identificar con el diferencial 1-forms a través del mapa. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}$$

Escribe la forma diferencial 1 asociada a una función F como ω _F . Entonces se puede calcular que

$${\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}$$

donde ★ es la estrella de Hodge y es la derivada exterior . Así, según el teorema generalizado de Stokes, ^[10] ${\displaystyle \mathrm {d} }$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}$$

Aplicaciones

Campos irritacionales

En esta sección, discutiremos el campo irrotacional ( campo vectorial laminar ) basado en el teorema de Stokes.

Definición 2-1 (campo irrotacional). Un campo vectorial suave F en un campo abierto es irrotacional ( campo vectorial laminar ) si ∇ × F = 0 . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

Este concepto es muy fundamental en mecánica; como demostraremos más adelante, si F es irrotacional y el dominio de F es simplemente conexo , entonces F es un campo vectorial conservador .

Los teoremas de Helmholtz

En esta sección, presentaremos un teorema que se deriva del teorema de Stokes y caracteriza los campos vectoriales libres de vórtices. En dinámica de fluidos se denomina teoremas de Helmholtz .

Teorema 2-1 (teorema de Helmholtz en dinámica de fluidos). ^{[5] [3] : 142} Sea un subconjunto abierto con un campo vectorial laminar F y sean c ₀ , c ₁ : [0, 1] → U bucles suaves por partes. Si existe una función H : [0, 1] × [0, 1] → U tal que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [TLH0] H es liso por partes,
• [TLH1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [TLH2] H ( t , 1) = c ₁ ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) para todo s ∈ [0, 1] .

Entonces,

$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}$$

Algunos libros de texto como Lawrence ^[5] llaman a la relación entre c ₀ y c ₁ establecida en el teorema 2-1 como "homotópica" y a la función H : [0, 1] × [0, 1] → U como "homotópica entre c ₀ yc ₁ " . Sin embargo, "homotópico" u "homotópico" en el sentido mencionado anteriormente son diferentes (más fuertes) que las definiciones típicas de "homotópico" u "homotópico"; estos últimos omiten la condición [TLH3]. Entonces, de ahora en adelante nos referiremos a la homotopía (homotopo) en el sentido del teorema 2-1 como una homotopía tubular (resp. tubular-homotópica) . ^{[nota 6]}

Prueba de los teoremas de Helmholtz

Las definiciones de γ ₁ , ..., γ ₄

En lo que sigue, abusamos de la notación y utilizamos " " para la concatenación de caminos en el grupoide fundamental y " " para invertir la orientación de un camino. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

Sea D = [0, 1] × [0, 1] y divida ∂ D en cuatro segmentos de línea γ _j .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}$$

Según nuestra suposición de que c ₀ y c ₁ son homotópicos suaves por partes, existe una homotopía suave por partes H : D → M

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}$$

Sea S la imagen de D bajo H . Eso

$${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

se sigue inmediatamente del teorema de Stokes. F es laminar, por lo que el lado izquierdo desaparece, es decir

$${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Como H es tubular (que satisface [TLH3]), y . Por lo tanto, las integrales de línea a lo largo de Γ ₂ ( s ) y Γ ₄ ( s ) se cancelan, dejando ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$

$${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Por otro lado, c ₁ = Γ ₁ , , de modo que la igualdad deseada se produce casi inmediatamente. ${\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}$

Fuerzas conservadoras

El teorema de Helmholtz explica por qué el trabajo realizado por una fuerza conservativa al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria. Primero, presentamos el Lema 2-2, que es un corolario y un caso especial del teorema de Helmholtz.

Lema 2-2. ^{[5] [6]} Sea un subconjunto abierto , con un campo vectorial lamelar F y un bucle suave por partes c ₀ : [0, 1] → U . Fijar un punto p ∈ U , si existe una homotopía H : [0, 1] × [0, 1] → U tal que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [SC0] H es liso por partes ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p para todo s ∈ [0, 1] .

Entonces,

$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

El lema 2-2 anterior se deriva del teorema 2-1. En el Lema 2-2, la existencia de H que satisface [SC0] a [SC3] es crucial; la pregunta es si tal homotopía puede tomarse para bucles arbitrarios. Si U es simplemente conexo, tal H existe. La definición de espacio simplemente conexo es la siguiente:

Definición 2-2 (espacio simplemente conexo). ^{[5] [6]} Sea no vacío y conectado por ruta . M se llama simplemente conexo si y sólo si para cualquier bucle continuo, c : [0, 1] → M existe una homotopía tubular continua H : [0, 1] × [0, 1] → M desde c hasta un punto fijo p ∈ c ; eso es, ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• [SC0'] H es continuo ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p para todo t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p para todo s ∈ [0, 1] .

La afirmación de que "para una fuerza conservativa, el trabajo realizado al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria" podría parecer inmediata si M es simplemente conexa. Sin embargo, recuerde que la conexión simple solo garantiza la existencia de una homotopía continua que satisfaga [SC1-3]; En su lugar, buscamos una homotopía suave por partes que satisfaga esas condiciones.

Afortunadamente, la brecha en la regularidad se resuelve mediante el teorema de aproximación de Whitney. ^{[6] : 136, 421  [11]} En otras palabras, la posibilidad de encontrar una homotopía continua, pero no poder integrarla, en realidad se elimina con el beneficio de las matemáticas superiores. Obtenemos así el siguiente teorema.

Teorema 2-2. ^[5] [ ^6] Sea abierto y simplemente conectado con un campo vectorial irrotacional F . Para todos los bucles suaves por partes c : [0, 1] → U ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

ecuaciones de maxwell

En la física del electromagnetismo , el teorema de Stokes proporciona la justificación de la equivalencia de la forma diferencial de la ecuación de Maxwell-Faraday y la ecuación de Maxwell-Ampère y la forma integral de estas ecuaciones. Para la ley de Faraday, el teorema de Stokes se aplica al campo eléctrico : ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Para la ley de Ampère, el teorema de Stokes se aplica al campo magnético : ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Notas

1. representa el conjunto de imágenes de por ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \psi }$
2. puede no ser una curva de Jordan si el bucle interactúa mal con . No obstante, siempre es un bucle y topológicamente una suma conexa de un número contable de curvas de Jordan, de modo que las integrales están bien definidas. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. En este artículo,
   $${\displaystyle \mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$
   Tenga en cuenta que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos se asignan a cosas diferentes. Por ejemplo, en la notación de algún libro de texto, { e _u , e _v } puede significar lo siguiente { t _u , t _v } respectivamente. En este artículo, sin embargo, se trata de dos cosas completamente diferentes.
   $${\displaystyle \mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.}$$
   Aquí,
   $${\displaystyle h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,}$$
   y " " representa la norma euclidiana . ${\displaystyle \|\cdot \|}$
4. Para todos , para todas las matrices cuadradas , y por lo tanto . ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A;n\times n}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}}$
5. En este artículo,
   $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$
   Tenga en cuenta que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos se asignan a cosas diferentes.
6. Existen libros de texto que utilizan los términos "homotopía" y "homotópica" en el sentido del teorema 2-1. ^[5] De hecho, esto es muy conveniente para el problema específico de las fuerzas conservadoras. Sin embargo, ambos usos de homotopía aparecen con suficiente frecuencia como para que sea necesario algún tipo de terminología para eliminar la ambigüedad, y el término "homotopía tubular" adoptado aquí sirve bastante bien para ese fin.

Referencias

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2. Nagayoshi Iwahori y otros: "Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou (jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (escrito en japonés) 
3. Atsuo Fujimoto; "Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C(1)" Bai-Fu-Kan(jp)(1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (Escrito en japonés) 
4. Griffiths, David (2013). Introducción a la Electrodinámica . Pearson. pag. 34.ISBN _ 978-0-321-85656-2.
5. Conlon, Lawrence (2008). Colectores diferenciables. Clásicos modernos de Birkhauser. Boston: Birkhaeuser.
6. Lee, John M. (2002). Introducción a los colectores lisos. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 218. Saltador.
7. Stewart, James (2010). Cálculo esencial: primeros trascendentales. Col.
8. Robert Scheichl, apuntes del curso de matemáticas de la Universidad de Bath [3]
9. Colley, Susan Jane (2002). Cálculo vectorial (4ª ed.). Boston: Pearson. págs. 500–3.
10. Edwards, Harold M. (1994). Cálculo avanzado: un enfoque de formas diferenciales . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.
11. LS Pontryagin, variedades suaves y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía, Traducciones de la American Mathematical Society, Ser. 2, vol. 11, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , Providence, RI, 1959, págs. SEÑOR 0115178 (22 #5980 [4]). Ver teoremas 7 y 8.