Un decimal periódico o decimal recurrente es una representación decimal de un número cuyos dígitos son periódicos (repitiendo sus valores a intervalos regulares) y la porción infinitamente repetida no es cero . Se puede demostrar que un número es racional si y sólo si su representación decimal es repetida o terminante (es decir, todos excepto un número finito de dígitos son cero). Por ejemplo, la representación decimal de1/3se vuelve periódico justo después del punto decimal , repitiendo el dígito "3" para siempre, es decir, 0,333.... Un ejemplo más complicado es3227/555, cuyo decimal se vuelve periódico en el segundo dígito que sigue al punto decimal y luego repite la secuencia "144" para siempre, es decir, 5.8144144144.... En la actualidad, no existe una notación o frase única universalmente aceptada para los decimales periódicos. Otro ejemplo de esto es593/53, que se vuelve periódico después del punto decimal, repitiendo el patrón de 13 dígitos "1886792452830" para siempre, es decir, 11.18867924528301886792452830....
La secuencia de dígitos infinitamente repetida se llama repetición o reptend . Si la repetición es un cero, esta representación decimal se llama decimal terminal en lugar de decimal periódico, ya que los ceros se pueden omitir y el decimal termina antes de estos ceros. [1] Cada representación decimal terminal se puede escribir como una fracción decimal , una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (por ejemplo, 1,585 =1585/1000); también se puede escribir como una proporción de la formak/2n · 5m _(por ejemplo, 1,585 =317/2 3 ·5 2). Sin embargo, cada número con una representación decimal terminal también tiene trivialmente una segunda representación alternativa como un decimal periódico cuya repetición es el dígito 9 . Esto se obtiene disminuyendo en uno el último dígito distinto de cero (el más a la derecha) y añadiendo una repetición de 9. Dos ejemplos de esto son 1,000... = 0,999... y 1,585000... = 1,584999... . (Este tipo de decimal periódico se puede obtener mediante división larga si se utiliza una forma modificada del algoritmo de división habitual . [2] )
Cualquier número que no pueda expresarse como una razón de dos números enteros se dice que es irracional . Su representación decimal no termina ni se repite infinitamente, sino que se extiende para siempre sin repetición (ver § Todo número racional es un decimal terminador o periódico). Ejemplos de tales números irracionales son √ 2 y π . [3]
Existen varias convenciones de notación para representar decimales periódicos. Ninguno de ellos es aceptado universalmente.
En inglés, hay varias formas de leer en voz alta los decimales periódicos. Por ejemplo, 1.2 34 puede leerse "un punto dos repitiéndose tres cuatro", "un punto dos repetido tres cuatro", "un punto dos repitiéndose tres cuatro", "un punto dos repitiéndose tres cuatro" o "un punto dos hasta el infinito". tres cuatro". Asimismo, 11. 1886792452830 podrá leerse “once punto repetido un doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero”, “once punto repetido un doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero”, “once punto recurrente uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero" "once puntos repetidos uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero" o "once puntos hasta el infinito uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero".
Para convertir un número racional representado como fracción a forma decimal, se puede utilizar una división larga . Por ejemplo, considere el número racional5/74:
0,0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500
etc. Observa que en cada paso tenemos un resto; los restos sucesivos que se muestran arriba son 56, 42, 50. Cuando llegamos a 50 como resto y bajamos el "0", nos encontramos dividiendo 500 entre 74, que es el mismo problema con el que comenzamos. Por tanto, el decimal se repite: 0,0675 675 675 ....
Para cualquier fracción entera A/B, el resto en el paso k, para cualquier entero positivo k, es A × 10 k (módulo B).
Para cualquier divisor dado, sólo pueden aparecer un número finito de restos diferentes. En el ejemplo anterior, los 74 restos posibles son 0, 1, 2,..., 73. Si en algún punto de la división el resto es 0, la expansión termina en ese punto. Entonces la duración de la repetición, también llamada "período", se define como 0.
Si 0 nunca aparece como resto, entonces el proceso de división continúa para siempre y, eventualmente, debe aparecer un resto que ya ocurrió antes. El siguiente paso en la división producirá el mismo dígito nuevo en el cociente y el mismo resto nuevo, ya que la vez anterior el resto era el mismo. Por tanto, la siguiente división repetirá los mismos resultados. La secuencia repetitiva de dígitos se llama "repetir" y tiene una longitud determinada mayor que 0, también llamada "punto". [4]
En base 10, una fracción tiene un decimal periódico si y solo si , en términos más bajos , su denominador tiene factores primos además de 2 o 5, o en otras palabras, no se puede expresar como 2 m 5 n , donde m y n no son números enteros negativos.
Cada número decimal periódico satisface una ecuación lineal con coeficientes enteros y su única solución es un número racional. En el ejemplo anterior, α = 5.8144144144... satisface la ecuación
El proceso de cómo encontrar estos coeficientes enteros se describe a continuación.
Dado un decimal periódico donde , y son grupos de dígitos, sea , el número de dígitos de . Multiplicar por separa los grupos repetidos y terminados:
Si los decimales terminan en ( ), la prueba está completa. [5] Para dígitos , sea donde sea un grupo terminal de dígitos. Entonces,
donde denota el i- ésimo dígito , y
Desde , [6]
Como es la suma de un número entero ( ) y un número racional ( ), también es racional. [7]
Por lo tanto, la fracción es la fracción unitaria. 1/nortey ℓ 10 es la longitud de la repetición (decimal).
Las longitudes ℓ 10 ( n ) del decimal repiten de1/norte, n = 1, 2, 3, ..., son:
A modo de comparación, las longitudes ℓ 2 ( n ) de los repetidos binarios de las fracciones1/norte, n = 1, 2, 3, ..., son:
El decimal repite de1/norte, n = 1, 2, 3, ..., son:
Las longitudes de repetición decimal de1/pag, p = 2, 3, 5, ... ( n ésimo primo), son:
Los primos mínimos p para los cuales1/pagtiene longitud de repetición decimal n , n = 1, 2, 3, ..., son:
Los primos mínimos p para los cualesk/pagtiene n ciclos diferentes ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., son:
Una fracción en términos mínimos con un denominador primo distinto de 2 o 5 (es decir, coprimo a 10) siempre produce un decimal periódico. La duración de la repetición (período del segmento decimal periódico) de1/pages igual al orden de 10 módulo p . Si 10 es un módulo raíz primitivo p , entonces la longitud repetida es igual a p − 1; si no, entonces la longitud repetida es un factor de p − 1. Este resultado se puede deducir del pequeño teorema de Fermat , que establece que 10 p −1 ≡ 1 (mod p ) .
La raíz digital en base 10 del repetido del recíproco de cualquier número primo mayor que 5 es 9. [1]
Si la duración repetida de1/pagpara p primo es igual a p − 1 entonces el repetido, expresado como un número entero, se llama número cíclico .
Ejemplos de fracciones pertenecientes a este grupo son:
La lista puede continuar para incluir las fracciones.1/109,1/113,1/131,1/149,1/167,1/179,1/181,1/193,1/223,1/229, etc. (secuencia A001913 en la OEIS ).
Todo múltiplo propio de un número cíclico (es decir, un múltiplo que tiene el mismo número de dígitos) es una rotación:
La razón del comportamiento cíclico se desprende de un ejercicio aritmético de división larga de1/7: los restos secuenciales son la secuencia cíclica {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Véase también el artículo 142.857 para más propiedades de este número cíclico.
Por lo tanto, una fracción que es cíclica tiene un decimal recurrente de longitud par que se divide en dos secuencias en forma de complemento a nueve . Por ejemplo1/7comienza '142' y es seguido por '857' mientras6/7(por rotación) comienza con '857' seguido de su complemento de nueves '142'.
La rotación de la repetición de un número cíclico siempre ocurre de tal manera que cada repetición sucesiva sea un número mayor que el anterior. En la sucesión anterior, por ejemplo, vemos que 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142... Esto, para fracciones cíclicas con repeticiones largas, nos permite predecir fácilmente cuál será el resultado de multiplicar la fracción por cualquier número natural n, siempre que se conozca el repetido.
Un primo propio es un primo p que termina en el dígito 1 en base 10 y cuyo recíproco en base 10 tiene una repetición con longitud p − 1. En tales primos, cada dígito 0, 1,..., 9 aparece en la repetición secuencia el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos (es decir,pag -1/10veces). Ellos son: [2] : 166
Un primo es un primo propio si y sólo si es un primo reptendido completo y congruente con 1 mod 10.
Si un primo p es a la vez primo reptendido completo y primo seguro , entonces1/pagproducirá una secuencia de p − 1 dígitos pseudoaleatorios . Esos primos son
Algunos recíprocos de números primos que no generan números cíclicos son:
(secuencia A006559 en la OEIS )
La razón es que 3 es divisor de 9, 11 es divisor de 99, 41 es divisor de 99999, etc. Para encontrar el período de1/pag, podemos comprobar si el primo p divide algún número 999...999 en el que el número de dígitos divide a p − 1. Como el período nunca es mayor que p − 1, podemos obtener esto calculando10 pags −1 − 1/pag. Por ejemplo, para 11 obtenemos
y luego mediante inspección encuentre el repetido 09 y el período de 2.
Esos recíprocos de números primos pueden asociarse con varias secuencias de decimales periódicos. Por ejemplo, los múltiplos de1/13Se puede dividir en dos conjuntos, con diferentes repeticiones. El primer conjunto es:
donde la repetición de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 076923. El segundo conjunto es:
donde la repetición de cada fracción es una reordenación cíclica de 153846.
En general, el conjunto de múltiplos propios de recíprocos de un primo p consta de n subconjuntos, cada uno con una longitud repetida k , donde nk = p − 1.
Para un número entero arbitrario n , la longitud L ( n ) del repetido decimal de1/nortedivide φ ( n ), donde φ es la función totiente . La longitud es igual a φ ( n ) si y sólo si 10 es una raíz primitiva módulo n . [3]
En particular, se deduce que L ( p ) = p − 1 si y sólo si p es un primo y 10 es una raíz primitiva módulo p . Entonces, las expansiones decimales denorte/pagpara n = 1, 2, ..., p − 1, todos tienen período p − 1 y difieren sólo por una permutación cíclica. Estos números p se llaman primos repetidos completos .
Si p es un primo distinto de 2 o 5, la representación decimal de la fracción1/página 2repite:
El período (longitud repetida) L (49) debe ser un factor de λ (49) = 42, donde λ ( n ) se conoce como función de Carmichael . Esto se desprende del teorema de Carmichael que establece que si n es un entero positivo entonces λ ( n ) es el entero más pequeño m tal que
para cada número entero a que es coprimo con n .
El periodo de1/página 2suele ser pT p , donde T p es el período de1/pag. Hay tres primos conocidos para los cuales esto no es cierto, y para ellos el período de1/página 2es el mismo que el período de1/pagporque p 2 divide 10 p −1 −1. Estos tres números primos son 3, 487 y 56598313 (secuencia A045616 en OEIS ). [4]
De manera similar, el período de1/paquete _suele ser p k –1 T p
Si p y q son primos distintos de 2 o 5, la representación decimal de la fracción1/pqrepite. Un ejemplo es1/119:
donde MCM denota el mínimo común múltiplo .
El período T de1/pqes un factor de λ ( pq ) y resulta ser 48 en este caso:
El período T de1/pqes MCM( T p , T q ), donde T p es el período de1/pagy T q es el periodo de1/q.
Si p , q , r , etc. son primos distintos de 2 o 5, y k , ℓ , m , etc. son números enteros positivos, entonces
es un decimal periódico con un periodo de
donde T p k , T q ℓ , T r m ,... son respectivamente el período de los decimales periódicos1/paquete _,1/qℓ _,1/r m,... como se define anteriormente.
Un número entero que no es coprimo con 10 pero que tiene un factor primo distinto de 2 o 5 tiene un recíproco que eventualmente es periódico, pero con una secuencia de dígitos no repetitivos que preceden a la parte repetida. El recíproco se puede expresar como:
donde a y b no son ambos cero.
Esta fracción también se puede expresar como:
si a > b , o como
si b > a , o como
si a = b .
El decimal tiene:
Por ejemplo1/28= 0,03 571428 :
Dado un decimal periódico, es posible calcular la fracción que lo produce. Por ejemplo:
Otro ejemplo:
El procedimiento siguiente se puede aplicar en particular si el repetido tiene n dígitos, todos los cuales son 0 excepto el final que es 1. Por ejemplo, para n = 7:
Entonces este decimal periódico en particular corresponde a la fracción1/10 norte - 1, donde el denominador es el número escrito como n 9s. Sabiendo precisamente eso, un decimal periódico general se puede expresar como una fracción sin tener que resolver una ecuación. Por ejemplo, se podría razonar:
o
Es posible obtener una fórmula general que exprese un decimal periódico con un período de n dígitos (longitud de repetición), comenzando justo después del punto decimal, como una fracción:
Más explícitamente, se obtienen los siguientes casos:
Si el decimal periódico está entre 0 y 1, y el bloque periódico tiene n dígitos y aparece primero justo después del punto decimal, entonces la fracción (no necesariamente reducida) será el número entero representado por el bloque de n dígitos dividido por uno representado por n 9s. Por ejemplo,
Si el decimal periódico es como el anterior, excepto que hay k dígitos (extra) 0 entre el punto decimal y el bloque periódico de n dígitos, entonces uno puede simplemente sumar k dígitos 0 después de los n dígitos 9 del denominador (y, como antes, la fracción podrá simplificarse posteriormente). Por ejemplo,
Cualquier decimal periódico que no tenga la forma descrita anteriormente se puede escribir como una suma de un decimal terminal y un decimal periódico de uno de los dos tipos anteriores (en realidad, el primer tipo es suficiente, pero eso podría requerir que el decimal terminal sea negativo). Por ejemplo,
Un método aún más rápido es ignorar completamente el punto decimal y hacer lo siguiente
De ello se deduce que cualquier decimal periódico con período n y k dígitos después del punto decimal que no pertenezcan a la parte periódica, puede escribirse como una fracción (no necesariamente reducida) cuyo denominador es (10 n − 1)10 k .
Por el contrario, el período del decimal periódico de una fracción.C/dserá (como máximo) el número más pequeño n tal que 10 n − 1 es divisible por d .
Por ejemplo, la fracción2/7tiene d = 7, y el k más pequeño que hace que 10 k − 1 sea divisible por 7 es k = 6, porque 999999 = 7 × 142857. El período de la fracción2/7por lo tanto es 6.
La siguiente imagen sugiere un tipo de compresión del atajo anterior. De esta manera representa los dígitos de la parte entera del número decimal (a la izquierda del punto decimal), conforma la cadena de dígitos del preperíodo y su longitud, y siendo la cadena de dígitos repetidos (el punto) con longitud que es distinto de cero.
En la fracción generada, el dígito se repetirá veces y el dígito se repetirá veces.
Tenga en cuenta que en ausencia de una parte entera en el decimal, estará representado por cero, que al estar a la izquierda de los demás dígitos, no afectará el resultado final, y podrá omitirse en el cálculo de la función generadora.
Ejemplos:
El símbolo en los ejemplos anteriores denota la ausencia de dígitos de la parte en el decimal y, por lo tanto , la ausencia correspondiente en la fracción generada.
Un decimal periódico también se puede expresar como una serie infinita . Es decir, un decimal periódico puede considerarse como la suma de un número infinito de números racionales. Para tomar el ejemplo más simple,
La serie anterior es una serie geométrica con el primer término como1/10y el factor común1/10. Debido a que el valor absoluto del factor común es menor que 1, podemos decir que la serie geométrica converge y encontrar el valor exacto en forma de fracción usando la siguiente fórmula donde a es el primer término de la serie y r es el factor común.
Similarmente,
El comportamiento cíclico de los decimales periódicos en la multiplicación también conduce a la construcción de números enteros que se permutan cíclicamente cuando se multiplican por ciertos números. Por ejemplo, 102564 × 4 = 410256 . 102564 es la repetición de4/39y 410256 la repetición dedieciséis/39.
Mitchell [5] y Dickson dan varias propiedades de las longitudes repetidas (períodos) . [6]
Para conocer otras propiedades de los repetidos, consulte también. [7]
Varias características de los decimales periódicos se extienden a la representación de números en todas las demás bases enteras, no solo en base 10:
Por ejemplo, en duodecimal ,1/2= 0,6,1/3= 0,4,1/4= 0,3 y1/6= 0,2 todos terminan;1/5= 0,2497 repeticiones con una duración de período 4, en contraste con la expansión decimal equivalente de 0,2;1/7= 0. 186A35 tiene el período 6 en duodecimal, al igual que en decimal.
Si b es una base entera y k es un número entero, entonces
Por ejemplo 1/7 en duodecimal:
que es 0.186A35 base12 . 10 base12 es 12 base10 , 10 2 base12 es 144 base10 , 21 base12 es 25 base10 , A5 base12 es 125 base10 .
Para un 0 racional <pag/q< 1 (y base b ∈ N >1 ) existe el siguiente algoritmo que produce el repetido junto con su longitud:
función b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q dígitos = "0123..." ; // hasta el dígito con valor b–1 comenzar s = "" ; // la cadena de dígitos pos = 0 ; // todos los lugares están justo hasta el punto de base mientras no estén definidos ( ocurre [ p ]) ocurre [ p ] = pos ; // la posición del lugar con resto p bp = b * p ; z = piso ( pb / q ) ; // índice z del dígito dentro de: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q si p = 0 entonces L = 0 ; si no z = 0 entonces s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) finaliza si regresa ( s ) ; terminar si s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) ; // agrega el carácter del dígito pos += 1 ; terminar mientras L = pos - ocurre [ p ] ; // la longitud del repetido (siendo < q) // marque los dígitos del repetido mediante un vínculo: para i desde ocurre [ p ] hasta pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , yo , 1 )) ; final para retorno ( s ) ; fin función
La primera línea resaltada calcula el dígito z .
La línea siguiente calcula el nuevo resto p′ del módulo de división del denominador q . Como consecuencia de la función del suelo floor
tenemos
de este modo
y
Debido a que todos estos restos p son enteros no negativos menores que q , sólo puede haber un número finito de ellos, con la consecuencia de que deben repetirse en el while
ciclo. Esta recurrencia es detectada por la matriz asociativa occurs
. El nuevo dígito z se forma en la línea amarilla, donde p es el único no constante. La longitud L de la repetición es igual al número de restos (consulte también la sección Todo número racional es un decimal terminal o periódico).
Los decimales repetidos (también llamados secuencias decimales) han encontrado aplicaciones de codificación criptográfica y de corrección de errores. [8] En estas aplicaciones generalmente se utilizan decimales repetidos en base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para1/pag(cuando 2 es una raíz primitiva de p ) viene dada por: [9]
Estas secuencias de período p − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para el desplazamiento depag -1/2. La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas intransigentes . [10]
Para números primos mayores que 5, todas las raíces digitales parecen tener el mismo valor, 9. Podemos confirmar esto si...