Fracción unitaria

uno sobre un numero entero

Porciones de aproximadamente 1/8 de pizza

Una fracción unitaria es una fracción positiva con uno como numerador , 1/ n . Es el inverso multiplicativo (recíproco) del denominador de la fracción, que debe ser un número natural positivo . Los ejemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc. Cuando un objeto se divide en partes iguales, cada parte es una fracción unitaria del todo.

Multiplicar dos fracciones unitarias produce otra fracción unitaria, pero otras operaciones aritméticas no conservan las fracciones unitarias. En aritmética modular, las fracciones unitarias se pueden convertir en números enteros equivalentes, lo que permite transformar la división modular en multiplicación. Todo número racional se puede representar como una suma de fracciones unitarias distintas; estas representaciones se denominan fracciones egipcias debido a su uso en las matemáticas del antiguo Egipto . Muchas sumas infinitas de fracciones unitarias tienen significado matemático.

En geometría, las fracciones unitarias se pueden utilizar para caracterizar la curvatura de grupos de triángulos y las tangencias de círculos de Ford . Las fracciones unitarias se utilizan comúnmente en la división equitativa y esta aplicación familiar se utiliza en la educación matemática como un primer paso hacia la comprensión de otras fracciones. Las fracciones unitarias son comunes en la teoría de la probabilidad debido al principio de indiferencia . También tienen aplicaciones en optimización combinatoria y en el análisis del patrón de frecuencias en la serie espectral del hidrógeno .

Aritmética

Las fracciones unitarias son los números racionales que se pueden escribir en la forma

$${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$

número naturalinversos multiplicativos^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Aritmética elemental

Multiplicar dos fracciones unitarias cualesquiera da como resultado un producto que es otra fracción unitaria: ^[2]

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$

sumar^[3] restar^[3]dividir

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

Como muestra la última de estas fórmulas, cada fracción se puede expresar como un cociente de dos fracciones unitarias. ^[4]

Aritmética modular

En aritmética modular , cualquier fracción unitaria se puede convertir en un número entero equivalente utilizando el algoritmo euclidiano extendido . ^{[5] [6]} Esta conversión se puede utilizar para realizar una división modular: dividir por un número , módulo , se puede realizar convirtiendo la fracción unitaria en un número entero equivalente módulo y luego multiplicando por ese número. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle y}$

Con más detalle, supongamos que es primo relativo a (de lo contrario, la división por no está definida módulo ). El algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor se puede utilizar para encontrar números enteros que satisfagan la identidad de Bézout : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle by}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$

^{[5] [6]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$

^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$

Combinaciones

Varias construcciones en matemáticas implican combinar múltiples fracciones unitarias, a menudo sumándolas.

sumas finitas

Cualquier número racional positivo se puede escribir como la suma de fracciones unitarias distintas, de múltiples formas. Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Estas sumas se llaman fracciones egipcias , porque las antiguas civilizaciones egipcias las utilizaban como notación para números racionales más generales . Todavía hoy existe interés en analizar los métodos utilizados por los antiguos para elegir entre las posibles representaciones de un número fraccionario y calcular con dichas representaciones. ^[8] El tema de las fracciones egipcias también ha despertado interés en la teoría de números moderna ; por ejemplo, la conjetura de Erdős-Graham ^[9] y la conjetura de Erdős-Straus ^[10] se refieren a sumas de fracciones unitarias, al igual que la definición de los números armónicos de Ore . ^[11]

Un patrón de triángulos esféricos con simetría de reflexión en cada borde del triángulo. Los patrones de reflexión esféricos como este con , y triángulos en cada vértice (aquí, ) solo existen cuando . ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2y}$ ${\displaystyle 2z}$ ${\displaystyle x,y,z=2,3,5}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1}$

En la teoría geométrica de grupos , los grupos de triángulos se clasifican en casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos según si una suma asociada de fracciones unitarias es igual a uno, mayor que uno o menor que uno, respectivamente. ^[12]

Series infinitas

Muchas series infinitas conocidas tienen términos que son fracciones unitarias. Éstas incluyen:

• La serie armónica , la suma de todas las fracciones unitarias positivas. Esta suma diverge y sus sumas parciales
  $${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$
  se aproxima mucho al logaritmo natural de más la constante de Euler-Mascheroni . ^[13] Cambiar cada dos sumas a una resta produce la serie armónica alterna, que suma el logaritmo natural de 2 : ^[14] ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• La fórmula de Leibniz para π es ^[15]
  $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• El problema de Basilea se refiere a la suma de las fracciones unitarias cuadradas: ^[16]
  $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$
  De manera similar, la constante de Apéry es un número irracional , la suma de las fracciones unitarias al cubo. ^[17]
• La serie geométrica binaria es ^[18]
  $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

matrices

Una matriz de Hilbert es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de la antidiagonal son iguales a la fracción unitaria . Es decir, tiene elementos ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/i}$

$${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$

matriz inversa^[19]números de Fibonacci

$${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$

número de^[20] ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Adyacencia y círculos de Ford

Las fracciones con círculos de Ford tangentes difieren en una fracción unitaria

Dos fracciones y (en términos mínimos) se llaman adyacentes si ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$

$${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$

^[21] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle ad-bc=3}$

Esta terminología proviene del estudio de los círculos Ford . Se trata de un sistema de círculos que son tangentes a la recta numérica en una fracción dada y que tienen el denominador al cuadrado de la fracción como diámetro. Las fracciones y son adyacentes si y sólo si sus círculos de Ford son círculos tangentes . ^[21] ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Aplicaciones

División justa y educación matemática.

En educación matemática , las fracciones unitarias suelen introducirse antes que otros tipos de fracciones, debido a la facilidad de explicarlas visualmente como partes iguales de un todo. ^{[22] [23]} Un uso práctico común de las fracciones unitarias es dividir los alimentos en partes iguales entre varias personas, y los ejercicios para realizar este tipo de división justa son un ejemplo estándar en el aula para enseñar a los estudiantes a trabajar con fracciones unitarias. ^[24]

Probabilidades y estadísticas

Un dado de seis caras tiene una probabilidad de 1/6 de caer en cada cara.

En una distribución uniforme en un espacio discreto , todas las probabilidades son fracciones unitarias iguales. Debido al principio de indiferencia , probabilidades de esta forma surgen con frecuencia en los cálculos estadísticos. ^[25]

Las probabilidades desiguales relacionadas con fracciones unitarias surgen en la ley de Zipf . Esto establece que, para muchos fenómenos observados que involucran la selección de elementos de una secuencia ordenada, la probabilidad de que se seleccione el enésimo elemento es proporcional a la fracción unitaria . ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Optimización combinatoria

En el estudio de problemas de optimización combinatoria , los problemas de embalaje de contenedores implican una secuencia de entrada de artículos con tamaños fraccionarios, que deben colocarse en contenedores cuya capacidad (el tamaño total de los artículos colocados en cada contenedor) es uno. La investigación sobre estos problemas ha incluido el estudio de problemas de embalaje en contenedores restringidos donde los tamaños de los artículos son fracciones unitarias. ^{[27] [28]}

Una motivación para esto es como caso de prueba para métodos de embalaje en contenedores más generales. Otro implica una forma de programación de molinete , en la que una colección de mensajes de igual longitud debe transmitirse repetidamente en un número limitado de canales de comunicación, y cada mensaje tiene un retraso máximo entre las horas de inicio de sus transmisiones repetidas. Un elemento cuyo retraso es multiplicado por la longitud de un mensaje debe ocupar una fracción de al menos los intervalos de tiempo en el canal al que está asignado, por lo que una solución al problema de programación sólo puede provenir de una solución al problema de embalaje del contenedor de fracción unitaria. con los canales como contenedores y las fracciones como tamaños de artículos. ^[27] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle 1/k}$

Incluso para problemas de embalaje en contenedores con tamaños de artículos arbitrarios, puede resultar útil redondear cada tamaño de artículo a la siguiente fracción unitaria más grande y luego aplicar un algoritmo de embalaje en contenedores especializado para tamaños de fracciones unitarias. En particular, el método de embalaje de contenedores armónicos hace exactamente esto y luego empaqueta cada contenedor utilizando artículos de un solo tamaño de fracción unitaria redondeada. ^[28]

Física

The hydrogen spectral series, on a logarithmic scale. The frequencies of the emission lines are proportional to differences of pairs of unit fractions.

The energy levels of photons that can be absorbed or emitted by a hydrogen atom are, according to the Rydberg formula, proportional to the differences of two unit fractions. An explanation for this phenomenon is provided by the Bohr model, according to which the energy levels of electron orbitals in a hydrogen atom are inversely proportional to square unit fractions, and the energy of a photon is quantized to the difference between two levels.^[29]

Arthur Eddington argued that the fine-structure constant was a unit fraction. He initially thought it to be 1/136 and later changed his theory to 1/137. This contention has been falsified, given that current estimates of the fine structure constant are (to 6 significant digits) 1/137.036.^[30]

See also

• 17-animal inheritance puzzle, a puzzle involving fair division into unit fractions
• Submultiple, a number that produces a unit fraction when used as the numerator with a given denominator
• Superparticular ratio, one plus a unit fraction, important in musical harmony

References

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