Número divisor armónico

Entero positivo cuyos divisores tienen una media armónica que es un número entero

En matemáticas , un número divisor armónico o número de Ore es un número entero positivo cuyos divisores tienen una media armónica que es un número entero. Los primeros números divisores armónicos son

1 , 6 , 28 , 140 , 270 , 496 , 672, 1638, 2970, 6200, 8128 , 8190 (secuencia A001599 en el OEIS ).

Los números divisores armónicos fueron introducidos por Øystein Ore , quien demostró que todo número perfecto es un número divisor armónico y conjeturó que no hay números divisores armónicos impares distintos de 1.

Ejemplos

El número 6 tiene los cuatro divisores 1, 2, 3 y 6. Su media armónica es un número entero:

$${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.}$$

$${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.}$$

Factorización de la media armónica.

La media armónica H ( n ) de los divisores de cualquier número n se puede expresar como la fórmula

$${\displaystyle H(n)={\frac {n\sigma _{0}(n)}{\sigma _{1}(n)}}}$$

σ _i ( n )suma de i- ésimas potencias de los divisoresnσ ₀σ ₁multiplicativoscompletamente multiplicativosH ( n )nH ( n )potencias primasfactorizaciónn

Por ejemplo, tenemos

$${\displaystyle H(4)={\frac {3}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {12}{7}},}$$

$${\displaystyle H(5)={\frac {2}{1+{\frac {1}{5}}}}={\frac {5}{3}},}$$

$${\displaystyle H(7)={\frac {2}{1+{\frac {1}{7}}}}={\frac {7}{4}},}$$

$${\displaystyle H(140)=H(4\cdot 5\cdot 7)=H(4)\cdot H(5)\cdot H(7)={\frac {12}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {7}{4}}=5.}$$

Números divisores armónicos y números perfectos.

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de la perfección del número 6

Para cualquier número entero M , como observó Ore, el producto de la media armónica y la media aritmética de sus divisores es igual al propio M , como se puede ver en las definiciones. Por tanto, M es armónica, con media armónica de los divisores k , si y sólo si el promedio de sus divisores es el producto de M con una fracción unitaria 1/ k .

Ore demostró que todo número perfecto es armónico. Para ver esto, observa que la suma de los divisores de un número perfecto M es exactamente 2M ; por lo tanto, el promedio de los divisores es M (2/τ( M )), donde τ( M ) denota el número de divisores de M . Para cualquier M , τ( M ) es impar si y sólo si M es un número cuadrado , de lo contrario cada divisor d de M puede emparejarse con un divisor diferente M / d . Pero ningún número perfecto puede ser un cuadrado: esto se deduce de la forma conocida de los números pares perfectos y del hecho de que los números perfectos impares (si existen) deben tener un factor de la forma q ^α donde α ≡ 1 ( mod 4). Por tanto, para un número perfecto M , τ( M ) es par y el promedio de los divisores es el producto de M por la fracción unitaria 2/τ( M ); por tanto, M es un número divisor armónico.

Ore conjeturó que no existen números divisores armónicos impares distintos de 1. Si la conjetura es cierta, esto implicaría la inexistencia de números perfectos impares .

Límites y búsquedas informáticas

WH Mills (inédito; véase Muskat) demostró que cualquier número divisor armónico impar superior a 1 debe tener un factor de potencia primo mayor que 10 ⁷ , y Cohen demostró que cualquier número de ese tipo debe tener al menos tres factores primos diferentes . Cohen y Sorli (2010) demostraron que no existen números divisores armónicos impares menores que 10 ²⁴ .

Cohen, Goto y otros, comenzando con el propio Ore, han realizado búsquedas por computadora enumerando todos los números divisores armónicos pequeños. A partir de estos resultados, se conocen listas de todos los números de divisores armónicos hasta 2 × 10 ⁹ , y de todos los números de divisores armónicos para los cuales la media armónica de los divisores es como máximo 300.

Referencias

• Portal de matemáticas

• Bogomolny, Alejandro . "Una identidad sobre los promedios de los divisores de un número entero dado" . Consultado el 10 de septiembre de 2006 .
• Cohen, Graeme L. (1997). "Números cuyos divisores positivos tienen una media armónica integral pequeña" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 66 (218): 883–891. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .
• Cohen, Graeme L.; Sorli, Ronald M. (2010). "Los números armónicos impares superan el 1024". Matemáticas de la Computación . 79 (272): 2451. doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . hdl : 10453/13014 . ISSN  0025-5718.
• Vamos, Takeshi. "Números armónicos (de Ore)" . Consultado el 10 de septiembre de 2006 .
• Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Muskat, Joseph B. (1966). "Sobre divisores de números perfectos impares". Matemáticas de la Computación . 20 (93): 141-144. doi : 10.2307/2004277 . JSTOR  2004277.
• Mineral, Øystein (1948). "Sobre las medias de los divisores de un número". Mensual Matemático Estadounidense . 55 (10): 615–619. doi :10.2307/2305616. JSTOR  2305616.
• Weisstein, Eric W. "Número divisor armónico". MundoMatemático .