Potencial cuántico

Estadística mecánica cuántica

El potencial cuántico o potencialidad cuántica es un concepto central de la formulación de De Broglie-Bohm de la mecánica cuántica , introducida por David Bohm en 1952.

Inicialmente se lo presentó con el nombre de potencial mecánico cuántico , posteriormente potencial cuántico , y más tarde fue desarrollado por Bohm y Basil Hiley en su interpretación como potencial de información que actúa sobre una partícula cuántica. También se lo conoce como energía potencial cuántica , potencial de Bohm , potencial cuántico de Bohm o potencial cuántico de Bohm .

En el marco de la teoría de De Broglie-Bohm, el potencial cuántico es un término dentro de la ecuación de Schrödinger que actúa para guiar el movimiento de partículas cuánticas. El enfoque del potencial cuántico introducido por Bohm ^{[1] [2]} proporciona una exposición físicamente menos fundamental de la idea presentada por Louis de Broglie : de Broglie había postulado en 1925 que la función de onda relativista definida en el espacio-tiempo representa una onda piloto que guía una partícula cuántica, representada como un pico oscilante en el campo de onda, pero posteriormente había abandonado su enfoque porque no podía derivar la ecuación de guía para la partícula a partir de una ecuación de onda no lineal. Los artículos seminales de Bohm en 1952 introdujeron el potencial cuántico e incluyeron respuestas a las objeciones que se habían planteado contra la teoría de la onda piloto.

El potencial cuántico de Bohm está estrechamente vinculado con los resultados de otros enfoques, en particular los relacionados con los trabajos de Erwin Madelung en 1927 ^[3] y Carl Friedrich von Weizsäcker en 1935. ^[4]

Basándose en la interpretación de la teoría cuántica introducida por Bohm en 1952, David Bohm y Basil Hiley en 1975 presentaron cómo el concepto de potencial cuántico conduce a la noción de una "totalidad ininterrumpida del universo entero", proponiendo que la nueva cualidad fundamental introducida por la física cuántica es la no localidad . ^[5]

Relación con la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

se reescribe utilizando la forma polar para la función de onda con funciones de valor real y , donde es la amplitud ( valor absoluto ) de la función de onda , y su fase. Esto produce dos ecuaciones: de la parte imaginaria y real de la ecuación de Schrödinger se sigue la ecuación de continuidad y la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi respectivamente. ^{[1] [6]} ${\displaystyle \psi =R\exp(iS/\hbar )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle S/\hbar }$

Ecuación de continuidad

La parte imaginaria de la ecuación de Schrödinger en forma polar da

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

que, siempre que , se puede interpretar como la ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad y el campo de velocidad ${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

Ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi

La parte real de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce una ecuación de Hamilton-Jacobi modificada

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\|\nabla S\|^{2}}{2m}}+V+Q}$

También conocida como ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi . ^[7] Se diferencia de la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi solo por el término

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}$

Este término , llamado potencial cuántico , depende entonces de la curvatura de la amplitud de la función de onda. ^{[8] [9]} ${\displaystyle Q}$

En el límite , la función es una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi (clásica); ^[1] por lo tanto, la función también se denomina función de Hamilton-Jacobi, o acción , extendida a la física cuántica. ${\displaystyle \hbar \to 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Propiedades

Trayectorias de Bohm bajo la influencia del potencial cuántico, en el ejemplo de un electrón pasando por el experimento de doble rendija .

Hiley destacó varios aspectos ^[10] que conciernen al potencial cuántico de una partícula cuántica:

• se deriva matemáticamente de la parte real de la ecuación de Schrödinger bajo descomposición polar de la función de onda, ^[11] no se deriva de un hamiltoniano ^[12] u otra fuente externa, y podría decirse que está involucrado en un proceso de autoorganización que involucra un campo subyacente básico;
• no cambia si se multiplica por una constante, ya que este término también está presente en el denominador, por lo que es independiente de la magnitud y, por tanto, de la intensidad del campo; por lo tanto, el potencial cuántico cumple una condición previa para la no localidad: no necesita disminuir a medida que aumenta la distancia; ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$
• Lleva información sobre todo el arreglo experimental en el que se encuentra la partícula.

En 1979, Hiley y sus colaboradores Philippidis y Dewdney presentaron un cálculo completo sobre la explicación del experimento de doble rendija en términos de trayectorias bohmianas que surgen para cada partícula que se mueve bajo la influencia del potencial cuántico, dando como resultado los conocidos patrones de interferencia . ^[13]

Esquema del experimento de doble rendija en el que se puede observar el efecto Aharonov-Bohm: los electrones pasan a través de dos rendijas, interfiriendo en una pantalla de observación, y el patrón de interferencia sufre un desplazamiento cuando se activa un campo magnético B en el solenoide cilíndrico.

También el cambio del patrón de interferencia que ocurre en presencia de un campo magnético en el efecto Aharonov-Bohm podría explicarse como resultado del potencial cuántico. ^[14]

Relación con el proceso de medición

El colapso de la función de onda de la interpretación de Copenhague de la teoría cuántica se explica en el enfoque del potencial cuántico por la demostración de que, después de una medición, "todos los paquetes de la función de onda multidimensional que no corresponden al resultado real de la medición no tienen efecto sobre la partícula" a partir de ese momento. ^[15] Bohm y Hiley señalaron que

...el potencial cuántico puede desarrollar puntos de bifurcación inestables, que separan las clases de trayectorias de partículas según los "canales" en los que finalmente entran y en los que permanecen. Esto explica cómo es posible la medición sin el "colapso" de la función de onda, y cómo todo tipo de procesos cuánticos, como las transiciones entre estados, la fusión de dos estados en uno y la fisión de un sistema en dos, pueden tener lugar sin la necesidad de un observador humano. ^[16]

La medición entonces “implica una transformación participativa en la que tanto el sistema bajo observación como el aparato observador experimentan una participación mutua de modo que las trayectorias se comportan de manera correlacionada, volviéndose correlacionadas y separadas en conjuntos diferentes, no superpuestos (a los que llamamos 'canales')”. ^[17]

Potencial cuántico de un sistema de n partículas

La función de onda de Schrödinger de un sistema cuántico de muchas partículas no se puede representar en el espacio tridimensional ordinario , sino en el espacio de configuración , con tres dimensiones por partícula. Un único punto en el espacio de configuración representa, por tanto, la configuración de todo el sistema de n partículas en su conjunto.

Una función de onda de dos partículas de masa idéntica tiene el potencial cuántico ^[18] ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

donde y se refieren a las partículas 1 y 2 respectivamente. Esta expresión se generaliza de manera directa a las partículas: ${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda de dos o más partículas sea separable, entonces el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. La separabilidad exacta es extremadamente poco física dado que las interacciones entre el sistema y su entorno destruyen la factorización; sin embargo, una función de onda que sea una superposición de varias funciones de onda de soporte aproximadamente disjunto se factorizará aproximadamente. ^[19]

Derivación para un sistema cuántico separable

Que la función de onda sea separable significa que se factoriza en la forma . Luego se deduce que también se factoriza, y el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. ^[20] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda sea separable, es decir, si se factoriza en la forma , los dos sistemas de una partícula se comportan de forma independiente. En términos más generales, el potencial cuántico de un sistema de una partícula con función de onda separable es la suma de los potenciales cuánticos, lo que separa el sistema en sistemas de una partícula independientes. ^[21] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Formulación en términos de densidad de probabilidad

Potencial cuántico en términos de la función de densidad de probabilidad

Bohm, así como otros físicos después de él, han tratado de proporcionar evidencia de que la regla de Born se vincula con la función de densidad de probabilidad. ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

Puede entenderse, en una formulación de onda piloto, como no una ley básica, sino más bien un teorema (llamado hipótesis de equilibrio cuántico ) que se aplica cuando se alcanza un equilibrio cuántico durante el curso del desarrollo temporal bajo la ecuación de Schrödinger. Con la regla de Born y la aplicación directa de las reglas de la cadena y del producto

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla \left({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho \right)={\frac {1}{2}}\left[\left(\nabla \rho ^{-1/2}\right)\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

El potencial cuántico, expresado en términos de la función de densidad de probabilidad, se convierte en: ^[22]

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

Fuerza cuántica

La fuerza cuántica , expresada en términos de distribución de probabilidad, asciende a: ^[23] ${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

Formulación en el espacio de configuración y en el espacio de momento, como resultado de proyecciones

M. R. Brown y B. Hiley demostraron que, como alternativa a su formulación en términos del espacio de configuración ( -espacio), el potencial cuántico también puede formularse en términos del espacio de momento ( -espacio). ^{[24] [25]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

En línea con el enfoque de David Bohm, Basil Hiley y el matemático Maurice de Gosson demostraron que el potencial cuántico puede verse como una consecuencia de una proyección de una estructura subyacente, más específicamente de una estructura algebraica no conmutativa , sobre un subespacio como el espacio ordinario ( -espacio). En términos algebraicos, el potencial cuántico puede verse como el resultado de la relación entre los órdenes implicado y explícito : si se emplea un álgebra no conmutativa para describir la estructura no conmutativa del formalismo cuántico, resulta que es imposible definir un espacio subyacente, sino que más bien se pueden construir " espacios de sombra " (espacios homomórficos) y que al hacerlo aparece el potencial cuántico. ^{[25] [26] [27] [28] [29]} El enfoque del potencial cuántico puede verse como una forma de construir los espacios de sombra. ^[27] El potencial cuántico resulta así como una distorsión debida a la proyección del espacio subyacente en el espacio -, de manera similar a como una proyección de Mercator inevitablemente resulta en una distorsión en un mapa geográfico. ^{[30] [31]} Existe una simetría completa entre la representación -, y el potencial cuántico tal como aparece en el espacio de configuración puede verse como el resultado de la dispersión de la representación - del momento. ^[32] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

El enfoque se ha aplicado al espacio de fase extendido , ^{[32] [33]} también en términos de un enfoque de álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau . ^{[34] [35]}

Relación con otras magnitudes y teorías

Relación con la información de Fisher

Se puede demostrar ^[36] que el valor medio del potencial cuántico es proporcional a la información de Fisher de la densidad de probabilidad sobre el observable. ${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

Usando esta definición para la información de Fisher, podemos escribir: ^[37]

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

Potencial cuántico como energía de movimiento interno asociada al espín

Giovanni Salesi, Erasmo Recami y colaboradores demostraron en 1998 que, de acuerdo con el teorema de König , el potencial cuántico puede identificarse con la energía cinética del movimiento interno (" zitterbewegung ") asociado con el espín de una partícula de espín 1/2 observada en un sistema de centro de masas. Más específicamente, demostraron que la velocidad de zitterbewegung interna para una partícula giratoria, no relativista, de espín constante sin precesión y en ausencia de un campo externo, tiene el valor al cuadrado: ^[38]

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}}$

de donde se demuestra que el segundo término es de tamaño insignificante; luego se sigue que ${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

Salesi dio más detalles sobre este trabajo en 2009. ^[39]

En 1999, Salvatore Esposito generalizó su resultado de partículas de espín 1/2 a partículas de espín arbitrario, confirmando la interpretación del potencial cuántico como energía cinética para un movimiento interno. Esposito demostró que (usando la notación =1) el potencial cuántico puede escribirse como: ^[40] ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

y que la interpretación causal de la mecánica cuántica puede reformularse en términos de velocidad de partículas.

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

donde la "velocidad de deriva" es

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

y la "velocidad relativa" es , con ${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

y representando la dirección de giro de la partícula. En esta formulación, según Esposito, la mecánica cuántica debe interpretarse necesariamente en términos probabilísticos, por la razón de que la condición de movimiento inicial de un sistema no puede determinarse con exactitud. ^[40] Esposito explicó que "los efectos cuánticos presentes en la ecuación de Schrödinger se deben a la presencia de una dirección espacial peculiar asociada con la partícula que, asumiendo la isotropía del espacio, puede identificarse con el giro de la partícula misma". ^[41] Esposito lo generalizó de partículas de materia a partículas de calibre , en particular fotones , para los cuales demostró que, si se modelan como , con función de probabilidad , pueden entenderse en un enfoque de potencial cuántico. ^[42] ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$

En 2002, James R. Bogan publicó la derivación de una transformación recíproca de la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de la mecánica cuántica, que surge de una transformación de calibre que representa el espín, bajo el simple requisito de conservación de la probabilidad . Esta transformación dependiente del espín es una función del potencial cuántico. ^[43]

Reinterpretación en términos de álgebras de Clifford

B. Hiley y RE Callaghan reinterpretan el papel del modelo de Bohm y su noción de potencial cuántico en el marco del álgebra de Clifford , teniendo en cuenta los avances recientes que incluyen el trabajo de David Hestenes sobre el álgebra del espacio-tiempo . Muestran cómo, dentro de una jerarquía anidada de álgebras de Clifford , para cada álgebra de Clifford se puede construir un elemento de un ideal izquierdo mínimo y un elemento de un ideal derecho que representa su conjugación de Clifford , y a partir de él el elemento de densidad de Clifford (CDE) , un elemento del álgebra de Clifford que es isomorfo a la matriz de densidad estándar pero independiente de cualquier representación específica. ^[44] Sobre esta base, se pueden formar invariantes bilineales que representan propiedades del sistema. Hiley y Callaghan distinguen invariantes bilineales de un primer tipo, de los cuales cada uno representa el valor esperado de un elemento del álgebra que se puede formar como , e invariantes bilineales de un segundo tipo que se construyen con derivadas y representan momento y energía. Utilizando estos términos, reconstruyen los resultados de la mecánica cuántica sin depender de una representación particular en términos de una función de onda ni requerir referencia a un espacio de Hilbert externo. En consonancia con resultados anteriores, se muestra que el potencial cuántico de una partícula no relativista con espín ( partícula de Pauli ) tiene un término adicional dependiente del espín, y se muestra que el momento de una partícula relativista con espín ( partícula de Dirac ) consiste en un movimiento lineal y una parte rotacional. ^[45] Las dos ecuaciones dinámicas que gobiernan la evolución temporal se reinterpretan como ecuaciones de conservación. Una de ellas representa la conservación de la energía ; la otra representa la conservación de la probabilidad y del espín . ^[46] El potencial cuántico juega el papel de una energía interna ^[47] que asegura la conservación de la energía total. ^[46] ${\displaystyle C\ell _{i,j}}$ ${\displaystyle \Phi _{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Phi _{R}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho _{c}(\mathbf {r} ,t)=\Phi _{L}(\mathbf {r} ,t){\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}B\rho _{c}}$

Extensiones relativistas y de teoría de campos

Potencial cuántico y relatividad

Bohm y Hiley demostraron que la no localidad de la teoría cuántica puede entenderse como un caso límite de una teoría puramente local, siempre que se permita que la transmisión de información activa sea mayor que la velocidad de la luz, y que este caso límite produce aproximaciones tanto a la teoría cuántica como a la relatividad. ^[48]

Hiley y sus colaboradores extendieron el enfoque del potencial cuántico a la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo de Minkowski ^{[49] [50] [51] [52]} y al espacio-tiempo curvo. ^[53]

Carlo Castro y Jorge Mahecha derivaron la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi junto con la ecuación de continuidad, y demostraron que las propiedades del potencial cuántico de Bohm relativista en términos de la densidad del conjunto pueden describirse mediante las propiedades de Weyl del espacio. En el espacio plano de Riemann, se demuestra que el potencial de Bohm es igual a la curvatura de Weyl . Según Castro y Mahecha, en el caso relativista , el potencial cuántico (utilizando el operador d'Alembert  y en la notación ) toma la forma ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$ ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

y se demuestra que la fuerza cuántica ejercida por el potencial cuántico relativista depende del potencial de calibración de Weyl y sus derivadas. Además, la relación entre el potencial de Bohm y la curvatura de Weyl en el espacio-tiempo plano corresponde a una relación similar entre la información de Fisher y la geometría de Weyl después de la introducción de un momento complejo . ^[54]

Diego L. Rapoport, por otro lado, asocia el potencial cuántico relativista con la curvatura escalar métrica (curvatura de Riemann). ^[55]

En relación con la ecuación de Klein-Gordon para una partícula con masa y carga, Peter R. Holland habló en su libro de 1993 de un "término similar al potencial cuántico" que es proporcional . Sin embargo, enfatizó que dar a la teoría de Klein-Gordon una interpretación de una sola partícula en términos de trayectorias, como se puede hacer para la mecánica cuántica de Schrödinger no relativista, conduciría a inconsistencias inaceptables. Por ejemplo, las funciones de onda que son soluciones a la ecuación de Klein-Gordon o a la ecuación de Dirac no pueden interpretarse como la amplitud de probabilidad de que una partícula se encuentre en un volumen dado en un momento dado de acuerdo con los axiomas habituales de la mecánica cuántica, y de manera similar en la interpretación causal no pueden interpretarse como la probabilidad de que la partícula esté en ese volumen en ese momento. Holland señaló que, si bien se han hecho esfuerzos para determinar un operador de posición hermítico que permita una interpretación de la teoría cuántica de campos del espacio de configuración, en particular utilizando el enfoque de localización de Newton-Wigner , hasta el momento no se ha establecido ninguna conexión con las posibilidades de una determinación empírica de la posición en términos de una teoría de medición relativista o para una interpretación de la trayectoria. Sin embargo, según Holland, esto no significa que el concepto de trayectoria deba descartarse de las consideraciones de la mecánica cuántica relativista. ^[56] ${\displaystyle \Box R/R}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle d^{3}x}$ ${\displaystyle t}$

Hrvoje Nikolić derivó una expresión para el potencial cuántico y propuso una formulación covariante de Lorentz de la interpretación bohmiana de las funciones de onda de muchas partículas. ^[57] También desarrolló una interpretación probabilística relativista-invariante generalizada de la teoría cuántica, ^{[58] [59] [60]} en la que ya no hay una densidad de probabilidad en el espacio sino una densidad de probabilidad en el espacio-tiempo. ^{[61] [62]} ${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Potencial cuántico en la teoría cuántica de campos

Partiendo de la representación espacial de la coordenada del campo, se ha construido una interpretación causal de la imagen de Schrödinger de la teoría cuántica relativista. Se puede demostrar ^[63] que la imagen de Schrödinger para un campo neutro, de espín 0, sin masa , con funcionales de valor real , conduce a ${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$ ${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

Bohm y sus colaboradores lo han llamado potencial supercuántico . ^[64]

Basil Hiley demostró que las relaciones energía-momento en el modelo de Bohm se pueden obtener directamente del tensor de energía-momento de la teoría cuántica de campos y que el potencial cuántico es un término de energía que se requiere para la conservación local de energía-momento. ^[65] También ha insinuado que para partículas con energías iguales o superiores al umbral de creación de pares , el modelo de Bohm constituye una teoría de muchas partículas que describe también los procesos de creación y aniquilación de pares. ^[66]

Interpretación y denominación del potencial cuántico

En su artículo de 1952, que ofrecía una interpretación alternativa de la mecánica cuántica , Bohm ya hablaba de un potencial "mecánico-cuántico". ^[67]

Bohm y Basil Hiley también denominaron al potencial cuántico potencial de información , dado que influye en la forma de los procesos y es a su vez moldeado por el entorno. ^[12] Bohm indicó que "El barco o el avión (con su piloto automático) es un sistema autoactivo , es decir, tiene su propia energía. Pero la forma de su actividad está determinada por el contenido de información sobre su entorno que es transportado por las ondas de radar. Esto es independiente de la intensidad de las ondas. De manera similar, podemos considerar el potencial cuántico como que contiene información activa . Es potencialmente activo en todas partes, pero realmente activo solo donde y cuando hay una partícula". (cursiva en el original). ^[68]

Hiley se refiere al potencial cuántico como energía interna ^[27] y como "una nueva cualidad de energía que sólo juega un papel en los procesos cuánticos". ^[69] Explica que el potencial cuántico es un término de energía adicional además de la energía cinética bien conocida y la energía potencial (clásica) y que es un término de energía no local que surge necesariamente en vista del requisito de conservación de la energía; agregó que gran parte de la resistencia de la comunidad de físicos contra la noción del potencial cuántico puede haberse debido a las expectativas de los científicos de que la energía debería ser local. ^[70]

Hiley ha destacado que el potencial cuántico, para Bohm, era "un elemento clave para comprender mejor lo que podría subyacer al formalismo cuántico. Bohm estaba convencido por su análisis más profundo de este aspecto del enfoque de que la teoría no podía ser mecánica. Más bien, es orgánica en el sentido de Whitehead . Es decir, que era el todo el que determinaba las propiedades de las partículas individuales y su relación, no al revés". ^{[71] [72]}

Peter R. Holland , en su completo libro de texto, también se refiere a ella como energía potencial cuántica . ^[73] El potencial cuántico también se conoce en asociación con el nombre de Bohm como potencial de Bohm , potencial cuántico de Bohm o potencial cuántico de Bohm .

Aplicaciones

El enfoque del potencial cuántico se puede utilizar para modelar efectos cuánticos sin requerir que la ecuación de Schrödinger se resuelva explícitamente, y se puede integrar en simulaciones, como las simulaciones de Monte Carlo que utilizan las ecuaciones de difusión hidrodinámica y de deriva . ^[74] Esto se hace en forma de un cálculo "hidrodinámico" de trayectorias: a partir de la densidad en cada "elemento de fluido", la aceleración de cada "elemento de fluido" se calcula a partir del gradiente de y , y la divergencia resultante del campo de velocidad determina el cambio en la densidad. ^[75] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

El método que utiliza trayectorias de Bohm y el potencial cuántico se utiliza para calcular propiedades de sistemas cuánticos que no se pueden resolver con exactitud, y que a menudo se aproximan utilizando métodos semiclásicos. Mientras que en los métodos de campo medio el potencial para el movimiento clásico resulta de un promedio sobre funciones de onda, este método no requiere el cálculo de una integral sobre funciones de onda. ^[76]

La expresión de la fuerza cuántica se ha utilizado, junto con el análisis estadístico bayesiano y los métodos de maximización de expectativas , para calcular conjuntos de trayectorias que surgen bajo la influencia de fuerzas clásicas y cuánticas. ^[23]

Lectura adicional

Artículos fundamentales

• Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de "variables ocultas" I". Physical Review . 85 (2): 166–179. Bibcode :1952PhRv...85..166B. doi :10.1103/PhysRev.85.166.(texto completo)
• Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de "variables ocultas", II". Physical Review . 85 (2): 180–193. Bibcode :1952PhRv...85..180B. doi :10.1103/PhysRev.85.180.(texto completo)
• D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, pp. 321–375, 1987 (texto completo Archivado el 19 de marzo de 2012 en Wayback Machine ), en: D. Bohm, BJ Hiley: I. Sistemas de partículas no relativistas , pp. 321–348, y D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: II. Una interpretación causal de los campos cuánticos , pp. 349–375

Artículos recientes

• Creación espontánea del universo a partir de la nada , arXiv:1404.1207v1, 4 de abril de 2014
• Maurice de Gosson, Basil Hiley: Propagador cuántico de corto plazo y trayectorias bohmianas , arXiv:1304.4771v1 (enviado el 17 de abril de 2013)
• Robert Carroll: Fluctuaciones, gravedad y potencial cuántico , 13 de enero de 2005, asXiv:gr-qc/0501045v1

Descripción general

• Davide Fiscaletti: Acerca de los diferentes enfoques del potencial cuántico de Bohm en la mecánica cuántica no relativista , Quantum Matter, Volumen 3, Número 3, junio de 2014, págs. 177–199(23), doi :10.1166/qm.2014.1113.
• Ignazio Licata , Davide Fiscaletti (con prólogo de BJ Hiley ): Potencial cuántico: Física, geometría y álgebra , AMC, Springer, 2013, ISBN 978-3-319-00332-0 (versión impresa) / ISBN 978-3-319-00333-7 (versión en línea)  
• Peter R. Holland : La teoría cuántica del movimiento: una explicación de la interpretación causal de De Broglie-Bohm de la mecánica cuántica , Cambridge University Press, Cambridge (publicado por primera vez el 25 de junio de 1993), ISBN 0-521-35404-8 en tapa dura, ISBN 0-521-48543-6 en rústica, transferido a impresión digital en 2004  
• David Bohm , Basil Hiley : El universo indiviso: una interpretación ontológica de la teoría cuántica , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 
• David Bohm, F. David Peat : Science, Order and Creativity , 1987, Routledge, 2.ª ed., 2000 (transferido a impresión digital en 2008, Routledge), ISBN 0-415-17182-2 

Referencias

1. Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de "variables ocultas" I". Physical Review . 85 (2): 166–179. Bibcode :1952PhRv...85..166B. doi :10.1103/PhysRev.85.166.(Texto completo Archivado el 18 de octubre de 2012 en Wayback Machine )
2. Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de "variables ocultas", II". Physical Review . 85 (2): 180–193. Bibcode :1952PhRv...85..180B. doi :10.1103/PhysRev.85.180.(Texto completo Archivado el 18 de octubre de 2012 en Wayback Machine )
3. Madelung, E. (1927). "Teoría cuantitativa en forma hidrodinámica". Zeitschrift für Physik (en alemán). 40 (3–4): 322–326. doi :10.1007/BF01400372. ISSN  1434-6001.
4. Weizsäcker, CF contra (1935). "Zur Theorie der Kernmassen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 96 (7–8): 431–458. doi :10.1007/BF01337700. ISSN  1434-6001.
5. D. Bohm, BJ Hiley: Sobre la comprensión intuitiva de la no localidad tal como la implica la teoría cuántica , Fundamentos de la física, volumen 5, número 1, págs. 93-109, 1975, doi :10.1007/BF01100319 (resumen)
6. David Bohm, Basil Hiley: El universo indiviso: una interpretación ontológica de la teoría cuántica , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , en el capítulo 3.1. Los puntos principales de la interpretación causal , págs. 22-23. 
7. David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , citado también en: BJ Hiley y RE Callaghan: Clifford Algebras and the Dirac-Bohm Quantum Hamilton-Jacobi Equation , Foundations of Physics, enero de 2012, volumen 42, número 1, págs. 192-208 (publicado en línea el 20 de mayo de 2011), doi :10.1007/s10701-011-9558-z (resumen, preimpresión de 2010 de B. Hiley) 
8. Véase, por ejemplo, Robert E. Wyatt y Eric R. Bittner : Dinámica de paquetes de ondas cuánticas con trayectorias: implementación con cuadrículas lagrangianas adaptativas de la amplitud de la función de onda , Journal of Chemical Physics, vol. 113, n.º 20, 22 de noviembre de 2000, pág. 8898 Archivado el 2 de octubre de 2011 en Wayback Machine.
9. Véase también: Onda piloto#Formulación matemática para una sola partícula
10. BJ Hiley: Información activa y teletransportación , pág. 7; apareció en: Perspectivas epistemológicas y experimentales sobre la física cuántica, D. Greenberger et al. (eds.), páginas 113-126, Kluwer, Países Bajos, 1999
11. BJ Hiley: De la imagen de Heisenberg a Bohm: una nueva perspectiva sobre la información activa y su relación con la información de Shannon, págs. 2 y 5. Publicado en: A. Khrennikov (ed.): Proc. Conf. Teoría cuántica: reconsideración de los fundamentos , págs. 141-162, Vaxjö University Press, Suecia, 2002
12. BJ Hiley: Información, teoría cuántica y el cerebro . En: Gordon G. Globus (ed.), Karl H. Pribram (ed.), Giuseppe Vitiello (ed.): Cerebro y ser: en la frontera entre ciencia, filosofía, lenguaje y artes, Advances in Consciousness Research, John Benjamins BV, 2004, ISBN 90-272-5194-0 , pp. 197-214, p. 207 
13. C. Philippidis, C. Dewdney, BJ Hiley: Interferencia cuántica y potencial cuántico , Il nuovo cimento B, vol. 52, núm. 1, 1979, pp.15-28, doi :10.1007/BF02743566
14. C. Philippidis, D. Bohm, RD Kaye: El efecto Aharonov-Bohm y el potencial cuántico , Il nuovo cimento B, vol. 71, núm. 1, págs. 75-88, 1982, doi :10.1007/BF02721695
15. Basil J. Hiley: El papel del potencial cuántico . En: G. Tarozzi, Alwyn Van der Merwe: Preguntas abiertas en física cuántica: artículos invitados sobre los fundamentos de la microfísica , Springer, 1985, páginas 237 y siguientes, página 239.
16. D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, págs. 323–348, 1987 (resumen) Archivado el 19 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
17. BJ Hiley: La estructura conceptual de la interpretación de Bohm de la mecánica cuántica , en: KV Laurikainen  [fi] , C. Montonen, K. Sunnarborg (eds.): Simposio sobre los fundamentos de la física moderna 1994 – 70 años de ondas de materia, Editions Frontières, pp. 99–118, ISBN 2-86332-169-2 , p. 106 
18. BJ Hiley: Información activa y teletransportación , pág. 10; apareció en: Perspectivas epistemológicas y experimentales sobre la física cuántica, D. Greenberger et al. (eds.), páginas 113-126, Kluwer, Países Bajos, 1999
19. Véase, por ejemplo, Detlef Dürr et al: Equilibrio cuántico y el origen de la incertidumbre absoluta , arXiv:quant-ph/0308039v1 6 de agosto de 2003, pág. 23 y siguientes.
20. David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 , transferido a impresión digital en 2005, en el capítulo 4.1. La interpretación ontológica del sistema de muchos cuerpos , pág. 59 
21. D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, pp. 323–348, 1987 (p. 351, ec. (12) Archivado el 19 de marzo de 2012 en Wayback Machine. <--page=31 p. 351 no es(!) un error tipográfico-->
22. Véase, por ejemplo, la sección Introducción de: Fernando Ogiba: Derivación fenomenológica de la ecuación de Schrödinger Archivado el 11 de octubre de 2011 en Wayback Machine , Progress in Physics (fecha indicada: octubre de 2011, pero recuperado en línea antes: 31 de julio de 2011)
23. Jeremy B. Maddox, Eric R. Bittner: Estimación de la fuerza cuántica de Bohm usando estadísticas bayesianas Archivado el 20 de noviembre de 2011 en Wayback Machine , Journal of Chemical Physics, octubre de 2003, vol. 119, núm. 13, pág. 6465–6474, en su lugar pág. 6472, ec.(38)
24. MR Brown: El potencial cuántico: la ruptura de la simetría simpléctica clásica y la energía de localización y dispersión , arXiv.org (enviado el 6 de marzo de 1997, versión del 5 de febrero de 2002, recuperado el 24 de julio de 2011) (resumen)
25. MR Brown, BJ Hiley: Schrodinger revisited: an algebraic approach , arXiv.org (enviado el 4 de mayo de 2000, versión del 19 de julio de 2004, consultado el 3 de junio de 2011) (resumen)
26. Maurice A. de Gosson: "Los principios de la mecánica newtoniana y cuántica: la necesidad de la constante de Planck, h" , Imperial College Press, World Scientific Publishing, 2001, ISBN 1-86094-274-1 
27. BJ Hiley: Geometría cuántica no conmutativa: una reevaluación del enfoque de Bohm a la teoría cuántica , en: A. Elitzur et al. (eds.): Quo vadis quantum mechanics , Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , pág. 299–324 
28. BJ Hiley: Geometría cuántica no conmutativa: una reevaluación del enfoque de Bohm sobre la teoría cuántica . En: Avshalom C. Elitzur, Shahar Dolev, Nancy Kolenda (eds.): Quo Vadis Quantum Mechanics? The Frontiers Collection , 2005, págs. 299-324, doi :10.1007/3-540-26669-0_16 (resumen, preimpresión)
29. BJ Hiley: Descripción del espacio de fases de la mecánica cuántica y la geometría no conmutativa: Wigner–Moyal y Bohm en un contexto más amplio , en: Theo M. Nieuwenhuizen et al (eds.): Beyond the quantum , World Scientific Publishing, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , págs. 203-211, en la pág. 204 
30. Basil J. Hiley: Hacia una dinámica de momentos: el papel de la deformación algebraica y los estados de vacío no equivalentes , publicado en: Correlations ed. KG Bowden, Proc. ANPA 23, 104-134, 2001 (PDF)
31. BJ Hiley, RE Callaghan: El enfoque del Álgebra de Clifford para la Mecánica Cuántica A: Las partículas de Schrödinger y Pauli , arXiv.org (enviado el 17 de noviembre de 2010 - resumen)
32. B. Hiley: Descripción del espacio de fases de la mecánica cuántica y la geometría no conmutativa: Wigner-Moyal y Bohm en un contexto más amplio , en: Th. M. Nieuwenhuizen et al. (eds.): Beyond the Quantum , World Scientific, 2007, ISBN 978-981-277-117-9 , pág. 203-211, allí: pág. 207 y siguientes. 
33. S. Nasiri : Potencial cuántico y simetrías en el espacio de fase extendido , SIGMA 2 (2006), 062, quant-ph/0511125
34. Marco Cezar B. Fernandes, J. David M. Vianna: Sobre el enfoque del espacio de fase generalizado para las partículas Duffin-Kemmer-Petiau, Revista Brasileña de Física, vol. 28, núm. 4 de diciembre de 1998, doi :10.1590/S0103-97331998000400024
35. MCB Fernandes, JDM Vianna: Sobre el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau y el espacio de fases generalizado , Fundamentos de la física, vol. 29, núm. 2, 1999 (resumen)
36. M. Reginatto, Phys. Rev. A 58, 1775 (1998), citado después de: Roumen Tsekov: Towards nonlinear quantum Fokker-Planck equations , Int. J. Theor. Phys. 48 (2009) 1431–1435 (arXiv 0808.0326, p. 4).
37. Robert Carroll: Sobre el tema emergente de la física , World Scientific, 2010, ISBN 981-4291-79-X , Capítulo 1 Algunos antecedentes cuánticos , pág. 1. 
38. G. Salesi, E. Recami, HE Hernández F., Luis C. Kretly: Hidrodinámica de partículas giratorias , enviado el 15 de febrero de 1998, arXiv.org, arXiv:hep-th/9802106v1
39. G. Salesi: Spin and Madelung fluid , enviado el 23 de junio de 2009, arXiv:quant-ph/0906.4147v1
40. Salvatore Esposito: Sobre el papel del espín en la mecánica cuántica , enviado el 5 de febrero de 1999, arXiv:quant-ph/9902019v1
41. pág. 7
42. S. Esposito: Mecánica ondulatoria de fotones: un enfoque de De Broglie-Bohm , pág. 8 y siguientes.
43. James R. Bogan: Spin: The classic to quantum connection (Espín: la conexión entre lo clásico y lo cuántico) , arXiv.org, enviado el 19 de diciembre de 2002, arXiv:quant-ph/0212110
44. B. Hiley, RE Callaghan: El enfoque del álgebra de Clifford para la mecánica cuántica A: Las partículas de Schrödinger y Pauli , 14 de marzo de 2010, pág. 6
45. B. Hiley, RE Callaghan: El enfoque del álgebra de Clifford para la mecánica cuántica A: Las partículas de Schrödinger y Pauli , 14 de marzo de 2010, pág. 1-29
46. B. Hiley: Álgebras de Clifford y la ecuación de Dirac–Bohm Hamilton–Jacobi , 2 de marzo de 2010, pág. 22
47. BJ Hiley: Geometría no conmutativa, la interpretación de Bohm y la relación mente-materia , pág. 14
48. D. Bohm, BJ Hiley: No localidad y localidad en la interpretación estocástica de la mecánica cuántica , Physics Reports, Volumen 172, Número 3, enero de 1989, Páginas 93-122, doi :10.1016/0370-1573(89)90160-9 (resumen)
49. PN Kaloyerou, Investigación del potencial cuántico en el dominio relativista , tesis doctoral, Birkbeck College, Londres (1985)
50. PN Kaloyerou, Informe médico 244, 288 (1994).
51. PN Kaloyerou, en "Mecánica bohmiana y teoría cuántica: una evaluación", eds. JT Cushing, A. Fine y S. Goldstein, Kluwer, Dordrecht, 155 (1996).
52. D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: Una base ontológica para la teoría cuántica , Physics Reports (sección de revisión de Physics Letters), volumen 144, número 6, págs. 323–348, 1987 (PDF) Archivado el 19 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
53. BJ Hiley, AH Aziz Muft: La interpretación ontológica de la teoría cuántica de campos aplicada en un contexto cosmológico . En: Miguel Ferrero, Alwyn Van der Merwe (eds.): Problemas fundamentales en física cuántica , Teorías fundamentales de la física, Kluwer Academic Publishers, 1995, ISBN 0-7923-3670-4 , páginas 141-156 
54. Carlo Castro, Jorge Mahecha: Sobre mecánica cuántica no lineal, movimiento browniano, geometría de Weyl e información de Fisher, enviado en febrero de 2005, en: F. Smarandache y V. Christianto (Eds.): Cuantización en astrofísica, movimiento browniano y supersimetría , pp.73–87, MathTiger, 2007, Chennai, Tamil Nadu, ISBN 81-902190-9-X , página 82, eq.(37) y siguientes. 
55. Rapoport, Diego L. (2007). "Campos de torsión, espacio-tiempo de Cartan-Weyl y geometrías cuánticas del espacio de estados, movimiento browniano y su dimensión topológica". En Smarandache, F.; Christianto, V. (eds.). Cuantización en astrofísica, movimiento browniano y supersimetría . Chennai, Tamil Nadu: MathTiger. págs. 276–328. CiteSeerX 10.1.1.75.6580 . ISBN.  978-81-902190-9-9.
56. Peter R. Holland: La teoría cuántica del movimiento , Cambridge University Press, 1993 (reimpreso en 2000, transferido a impresión digital en 2004), ISBN 0-521-48543-6 , pág. 498 y siguientes. 
57. Hrvoje Nikolić: Mecánica cuántica relativista y la interpretación bohmiana , Foundations of Physics Letters, vol. 18, núm. 6, noviembre de 2005, págs. 549-561, doi :10.1007/s10702-005-1128-1
58. Hrvoje Nikolić: El tiempo en la mecánica cuántica relativista y no relativista , arXiv :0811/0811.1905 (enviado el 12 de noviembre de 2008 (v1), revisado el 12 de enero de 2009)
59. Nikolic, H. 2010 "QFT como teoría de ondas piloto de creación y destrucción de partículas", Int. J. Mod. Phys. A 25, 1477 (2010)
60. Hrvoje Nikolić: Hacer que la realidad no local sea compatible con la relatividad , arXiv :1002.3226v2 [quant-ph] (enviado el 17 de febrero de 2010, versión del 31 de mayo de 2010)
61. Hrvoje Nikolić: Mecánica de Bohm en mecánica cuántica relativista, teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas , 2007 J. Phys.: Conf. Ser. 67 012035
62. Véase también: Teoría de De Broglie-Bohm#Relatividad
63. Peter R. Holland: La teoría cuántica del movimiento , Cambridge University Press, 1993 (reimpreso en 2000, transferido a impresión digital en 2004), ISBN 0-521-48543-6 , pág. 520 y siguientes. 
64. Basil Hiley: La estructura conceptual de la interpretación de Bohm de la mecánica cuántica , Kalervo Vihtori Laurikainen et al (ed.): Simposio sobre los fundamentos de la física moderna 1994: 70 años de ondas de materia , Editions Frontières, ISBN 2-86332-169-2 , pág. 99-117, pág. 144 
65. BJ Hiley: El enfoque de Bohm reevaluado (preimpresión de 2010), pág. 6
66. BJ Hiley (25 de marzo de 2013). "Dinámica no conmutativa de Bohm: historia y nuevos desarrollos".Preimpresión arXiv:1303.6057 (enviada el 25 de marzo de 2013)
67. Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de "variables ocultas" I". Physical Review . 85 (2): 166–179. Bibcode :1952PhRv...85..166B. doi :10.1103/PhysRev.85.166.p. 170 Archivado el 18 de octubre de 2012 en Wayback Machine.
68. David Bohm: significado e información Archivado el 9 de octubre de 2011 en archive.today , en: P. Pylkkänen (ed.): La búsqueda del significado: el nuevo espíritu en la ciencia y la filosofía , Crucible, The Aquarian Press, 1989, ISBN 978-1-85274-061-0 
69. BJ Hiley: Geometría cuántica no conmutativa: una reevaluación del enfoque de Bohm sobre la teoría cuántica . En: Avshalom C. Elitzur, Shahar Dolev, Nancy Kolenda (es.): Quo vadis quantum mechanics? Springer, 2005, ISBN 3-540-22188-3 , pp. 299 y siguientes, en la p. 310 
70. Basil Hiley y Taher Gozel, episodio 5, YouTube (descargado el 8 de septiembre de 2013)
71. BJ Hiley: Algunas observaciones sobre la evolución de las propuestas de Bohm para una alternativa a la mecánica cuántica, 30 de enero de 2010
72. Véase también: Basil Hiley#Potencial cuántico e información activa
73. Peter R. Holland : La teoría cuántica del movimiento , Cambridge University Press, 1993 (reimpreso en 2000, transferido a impresión digital en 2004), ISBN 0-521-48543-6 , pág. 72 
74. G. Iannaccone, G. Curatola, G. Fiori: Potencial cuántico de Bohm efectivo para simuladores de dispositivos basados ​​en difusión de deriva y transporte de energía , Simulación de procesos y dispositivos semiconductores, 2004, vol. 2004, págs. 275-278
75. Eric R. Bittner: Dinámica de tunelaje cuántico utilizando trayectorias hidrodinámicas , arXiv:quant-ph/0001119v2, 18 de febrero de 2000, pág. 3.
76. E. Gindensberger, C. Meier, JA Beswick: Mezcla de dinámicas cuánticas y clásicas mediante trayectorias bohmianas Archivado el 28 de marzo de 2012 en Wayback Machine , Journal of Chemical Physics, vol. 113, núm. 21, 1 de diciembre de 2000, pp. 9369–9372