Principio de superposición

Principio fundamental de física que establece que las soluciones físicas de los sistemas lineales son lineales.

Superposición de ondas casi planas (líneas diagonales) provenientes de una fuente distante y ondas provenientes de la estela de los patos . La linealidad se cumple sólo aproximadamente en el agua y sólo para ondas con amplitudes pequeñas en relación con sus longitudes de onda.

Movimiento de rodadura como superposición de dos movimientos. El movimiento de rodadura de la rueda puede describirse como una combinación de dos movimientos separados: traslación sin rotación y rotación sin traslación.

El principio de superposición , ^[1] también conocido como propiedad de superposición , establece que, para todos los sistemas lineales , la respuesta neta causada por dos o más estímulos es la suma de las respuestas que habrían sido causadas por cada estímulo individualmente. De modo que si la entrada A produce la respuesta X , y la entrada B produce la respuesta Y , entonces la entrada ( A + B ) produce la respuesta ( X + Y ).

Una función que satisface el principio de superposición se denomina función lineal . La superposición se puede definir mediante dos propiedades más simples: aditividad y homogeneidad para un escalar a . ${\displaystyle F(x)}$ $${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}$$ $${\displaystyle F(ax)=aF(x)}$$

Este principio tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería porque muchos sistemas físicos pueden modelarse como sistemas lineales. Por ejemplo, una viga puede modelarse como un sistema lineal donde el estímulo de entrada es la carga sobre la viga y la respuesta de salida es la deflexión de la viga. La importancia de los sistemas lineales es que son más fáciles de analizar matemáticamente; existe una gran cantidad de técnicas matemáticas, métodos de transformada lineal en el dominio de la frecuencia , como las transformadas de Fourier y Laplace , y la teoría de operadores lineales , que son aplicables. Debido a que los sistemas físicos generalmente son solo aproximadamente lineales, el principio de superposición es solo una aproximación del comportamiento físico verdadero.

El principio de superposición se aplica a cualquier sistema lineal, incluidas las ecuaciones algebraicas , las ecuaciones diferenciales lineales y los sistemas de ecuaciones de esas formas. Los estímulos y las respuestas pueden ser números, funciones, vectores, campos vectoriales , señales variables en el tiempo o cualquier otro objeto que satisfaga ciertos axiomas . Nótese que cuando se trata de vectores o campos vectoriales, una superposición se interpreta como una suma vectorial . Si la superposición se cumple, entonces automáticamente también se cumple para todas las operaciones lineales aplicadas sobre estas funciones (debido a la definición), como gradientes, diferenciales o integrales (si existen).

Relación con el análisis de Fourier y métodos similares

Al escribir un estímulo muy general (en un sistema lineal) como la superposición de estímulos de una forma específica y simple, a menudo la respuesta resulta más fácil de calcular.

Por ejemplo, en el análisis de Fourier , el estímulo se escribe como la superposición de infinitas senos . Debido al principio de superposición, cada una de estas senos se puede analizar por separado y se puede calcular su respuesta individual. (La respuesta es en sí misma una senoide, con la misma frecuencia que el estímulo, pero generalmente con una amplitud y una fase diferentes ). Según el principio de superposición, la respuesta al estímulo original es la suma (o integral) de todas las respuestas sinusoidales individuales.

Como otro ejemplo común, en el análisis de funciones de Green , el estímulo se escribe como la superposición de infinitas funciones de impulso , y la respuesta es entonces una superposición de respuestas de impulso .

El análisis de Fourier es particularmente común para las ondas . Por ejemplo, en la teoría electromagnética, la luz ordinaria se describe como una superposición de ondas planas (ondas de frecuencia , polarización y dirección fijas). Mientras se cumpla el principio de superposición (lo que sucede a menudo, pero no siempre; véase óptica no lineal ), el comportamiento de cualquier onda de luz puede entenderse como una superposición del comportamiento de estas ondas planas más simples .

Superposición de ondas

Dos ondas que viajan en direcciones opuestas a través del mismo medio se combinan linealmente. En esta animación, ambas ondas tienen la misma longitud de onda y la suma de amplitudes da como resultado una onda estacionaria .

Dos ondas se permean sin influirse mutuamente

Las ondas suelen describirse mediante variaciones de algunos parámetros a lo largo del espacio y el tiempo; por ejemplo, la altura en una onda de agua, la presión en una onda de sonido o el campo electromagnético en una onda de luz. El valor de este parámetro se denomina amplitud de la onda y la onda en sí es una función que especifica la amplitud en cada punto.

En cualquier sistema con ondas, la forma de onda en un momento dado es una función de las fuentes (es decir, fuerzas externas, si las hay, que crean o afectan la onda) y las condiciones iniciales del sistema. En muchos casos (por ejemplo, en la ecuación de onda clásica ), la ecuación que describe la onda es lineal. Cuando esto es cierto, se puede aplicar el principio de superposición. Eso significa que la amplitud neta causada por dos o más ondas que atraviesan el mismo espacio es la suma de las amplitudes que habrían sido producidas por las ondas individuales por separado. Por ejemplo, dos ondas que viajan una hacia la otra pasarán directamente a través de la otra sin ninguna distorsión en el otro lado. (Vea la imagen en la parte superior).

Difracción de ondas frente a interferencia de ondas

Con respecto a la superposición de ondas, Richard Feynman escribió: ^[2]

Nadie ha sido capaz de definir satisfactoriamente la diferencia entre interferencia y difracción. Es sólo una cuestión de uso y no existe ninguna diferencia física específica e importante entre ellas. Lo mejor que podemos hacer, en términos generales, es decir que cuando sólo hay unas pocas fuentes, por ejemplo dos, que interfieren, el resultado suele denominarse interferencia, pero si hay un gran número de ellas, parece que se utiliza con más frecuencia la palabra difracción.

Otros autores explican más detalladamente: ^[3]

La diferencia es de conveniencia y convención. Si las ondas que se van a superponer se originan a partir de unas pocas fuentes coherentes, digamos dos, el efecto se llama interferencia. Por otro lado, si las ondas que se van a superponer se originan al subdividir un frente de onda en ondículas coherentes infinitesimales (fuentes), el efecto se llama difracción. Es decir, la diferencia entre los dos fenómenos es solo de grado y, básicamente, son dos casos límite de efectos de superposición.

Otra fuente coincide: ^[4]

En la medida en que las franjas de interferencia observadas por Young eran el patrón de difracción de la doble rendija, este capítulo [Difracción de Fraunhofer] es, por lo tanto, una continuación del Capítulo 8 [Interferencia]. Por otra parte, pocos ópticos considerarían el interferómetro de Michelson como un ejemplo de difracción. Algunas de las categorías importantes de difracción se relacionan con la interferencia que acompaña a la división del frente de onda, por lo que la observación de Feynman refleja en cierta medida la dificultad que podemos tener para distinguir la división de amplitud y la división del frente de onda.

Interferencia de ondas

El fenómeno de la interferencia entre ondas se basa en esta idea. Cuando dos o más ondas atraviesan el mismo espacio, la amplitud neta en cada punto es la suma de las amplitudes de las ondas individuales. En algunos casos, como en los auriculares con cancelación de ruido , la variación sumada tiene una amplitud menor que las variaciones de los componentes; esto se llama interferencia destructiva . En otros casos, como en un arreglo lineal , la variación sumada tendrá una amplitud mayor que cualquiera de los componentes individualmente; esto se llama interferencia constructiva .

La onda verde se desplaza hacia la derecha mientras que la onda azul se desplaza hacia la izquierda; la amplitud neta de la onda roja en cada punto es la suma de las amplitudes de las ondas individuales.

Desviaciones de la linealidad

En la mayoría de las situaciones físicas realistas, la ecuación que rige la onda es solo aproximadamente lineal. En estas situaciones, el principio de superposición solo se cumple de manera aproximada. Por regla general, la precisión de la aproximación tiende a mejorar a medida que la amplitud de la onda se hace más pequeña. Para ver ejemplos de fenómenos que surgen cuando el principio de superposición no se cumple exactamente, consulte los artículos sobre óptica no lineal y acústica no lineal .

Superposición cuántica

En mecánica cuántica , una de las principales tareas es calcular cómo se propaga y se comporta un determinado tipo de onda. La onda se describe mediante una función de onda , y la ecuación que rige su comportamiento se denomina ecuación de Schrödinger . Un enfoque principal para calcular el comportamiento de una función de onda es escribirla como una superposición (llamada " superposición cuántica ") de (posiblemente infinitas) otras funciones de onda de un determinado tipo: estados estacionarios cuyo comportamiento es particularmente simple. Dado que la ecuación de Schrödinger es lineal, el comportamiento de la función de onda original se puede calcular de esta manera a través del principio de superposición. ^[5]

La naturaleza proyectiva del espacio de estados mecánico-cuánticos causa cierta confusión, porque un estado mecánico cuántico es un rayo en el espacio proyectivo de Hilbert , no un vector . Según Dirac : " si el vector ket correspondiente a un estado se multiplica por cualquier número complejo, no cero, el vector ket resultante corresponderá al mismo estado [cursiva en el original]". ^[6] Sin embargo, la suma de dos rayos para componer un rayo superpuesto no está definida. Como resultado, el propio Dirac usa representaciones vectoriales ket de estados para descomponer o dividir, por ejemplo, un vector ket en superposición de vectores ket componentes como: donde . La clase de equivalencia de permite dar un significado bien definido a las fases relativas de ., ^[7] pero un cambio de fase absoluto (la misma cantidad para todos los ) en no afecta la clase de equivalencia de . ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{j}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,}$$ ${\displaystyle C_{j}\in {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Existen correspondencias exactas entre la superposición presentada en el apartado principal de esta página y la superposición cuántica. Por ejemplo, la esfera de Bloch, que representa el estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ), también se conoce como esfera de Poincaré, que representa diferentes tipos de estados clásicos de polarización pura .

Sin embargo, sobre el tema de la superposición cuántica, Kramers escribe: "El principio de superposición [cuántica] ... no tiene analogía en la física clásica" ^{[ cita requerida ]} . Según Dirac : " la superposición que ocurre en la mecánica cuántica es de una naturaleza esencialmente diferente de cualquier otra que ocurra en la teoría clásica [cursiva en el original]". ^[8] Aunque el razonamiento de Dirac incluye la atomicidad de la observación, lo cual es válido, al igual que para la fase, en realidad se refieren a la simetría de traslación de fase derivada de la simetría de traslación de tiempo , que también es aplicable a los estados clásicos, como se muestra arriba con los estados de polarización clásicos.

Problemas de valores en la frontera

Un tipo común de problema de valor en el límite es (para decirlo de manera abstracta) encontrar una función y que satisfaga alguna ecuación con alguna especificación de límite. Por ejemplo, en la ecuación de Laplace con condiciones de límite de Dirichlet , F sería el operador laplaciano en una región R , G sería un operador que restringe y al límite de R , y z sería la función que se requiere que y sea igual en el límite de R. $${\displaystyle F(y)=0}$$ $${\displaystyle G(y)=z.}$$

En el caso de que F y G sean ambos operadores lineales, entonces el principio de superposición dice que una superposición de soluciones a la primera ecuación es otra solución a la primera ecuación: mientras que los valores de contorno se superponen: Utilizando estos hechos, si se puede compilar una lista de soluciones a la primera ecuación, entonces estas soluciones se pueden poner cuidadosamente en una superposición de tal manera que satisfaga la segunda ecuación. Este es un método común para abordar problemas de valores de contorno. $${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}$$ $${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}).}$$

Descomposición aditiva de estados

Consideremos un sistema lineal simple: $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

Por el principio de superposición, el sistema se puede descomponer en $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

El principio de superposición solo está disponible para sistemas lineales. Sin embargo, la descomposición de estados aditivos se puede aplicar tanto a sistemas lineales como no lineales. A continuación, considere un sistema no lineal donde es una función no lineal. Mediante la descomposición de estados aditivos, el sistema se puede descomponer de forma aditiva en con $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Esta descomposición puede ayudar a simplificar el diseño del controlador.

Otras aplicaciones de ejemplo

• En ingeniería eléctrica , en un circuito lineal , la entrada (una señal de voltaje que varía con el tiempo) se relaciona con la salida (una corriente o voltaje en cualquier parte del circuito) mediante una transformación lineal. Por lo tanto, una superposición (es decir, una suma) de señales de entrada dará como resultado la superposición de las respuestas.
• En física , las ecuaciones de Maxwell implican que las distribuciones (posiblemente variables en el tiempo) de cargas y corrientes están relacionadas con los campos eléctricos y magnéticos mediante una transformación lineal. Por lo tanto, el principio de superposición se puede utilizar para simplificar el cálculo de los campos que surgen de una distribución dada de carga y corriente. El principio también se aplica a otras ecuaciones diferenciales lineales que surgen en física, como la ecuación del calor .
• En ingeniería , la superposición se utiliza para resolver las deflexiones de vigas y estructuras de cargas combinadas cuando los efectos son lineales (es decir, cada carga no afecta los resultados de las otras cargas y el efecto de cada carga no altera significativamente la geometría del sistema estructural). ^[9] El método de superposición de modos utiliza las frecuencias naturales y las formas de los modos para caracterizar la respuesta dinámica de una estructura lineal. ^[10]
• En hidrogeología , el principio de superposición se aplica a la extracción de agua de dos o más pozos de bombeo en un acuífero ideal . Este principio se utiliza en el método de elementos analíticos para desarrollar elementos analíticos capaces de combinarse en un único modelo.
• En el control de procesos , el principio de superposición se utiliza en el control predictivo de modelos .
• El principio de superposición se puede aplicar cuando se analizan pequeñas desviaciones de una solución conocida de un sistema no lineal mediante linealización .

Historia

Según Léon Brillouin , el principio de superposición fue enunciado por primera vez por Daniel Bernoulli en 1753: «El movimiento general de un sistema vibratorio está dado por una superposición de sus vibraciones propias». El principio fue rechazado por Leonhard Euler y luego por Joseph Lagrange . Bernoulli argumentó que cualquier cuerpo sonoro podría vibrar en una serie de modos simples con una frecuencia de oscilación bien definida. Como había indicado anteriormente, estos modos podrían superponerse para producir vibraciones más complejas. En su reacción a las memorias de Bernoulli, Euler elogió a su colega por haber desarrollado mejor la parte física del problema de las cuerdas vibrantes, pero negó la generalidad y superioridad de la solución de modos múltiples. ^[11]

Más tarde fue aceptada, en gran parte gracias al trabajo de Joseph Fourier . ^[12]

Véase también

• Descomposición aditiva de estados
• Ritmo (acústica)
• Coherencia (física)
• Circunvolución
• Función de Green
• Respuesta al impulso
• Interferencia
• Superposición cuántica

Referencias

1. Diccionario Penguin de Física, ed. Valerie Illingworth, 1991, Penguin Books, Londres.
2. Conferencias de física, vol. 1, 1963, pág. 30-1, Addison Wesley Publishing Company Reading, Mass. [1]
3. NK VERMA, Física para ingenieros , PHI Learning Pvt. Ltd., 18 de octubre de 2013, pág. 361. [2]
4. Tim Freegarde, Introducción a la física de las ondas , Cambridge University Press, 8 de noviembre de 2012. [3]
5. Mecánica cuántica, Kramers, HA, editorial Dover, 1957, pág. 62, ISBN  978-0-486-66772-0
6. Dirac, PAM (1958). Principios de la mecánica cuántica , 4.ª edición, Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, pág. 17.
7. Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "Comprensión de las fases geométricas en mecánica cuántica: un ejemplo elemental". Fundamentos de la física . 23 (2): 185–195. Bibcode :1993FoPh...23..185S. ​​doi :10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
8. Dirac, PAM (1958). Principios de la mecánica cuántica , 4.ª edición, Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, pág. 14.
9. Diseño de ingeniería mecánica, por Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, publicado en 2004 en McGraw-Hill Professional, pág. 192, ISBN 0-07-252036-1 
10. Procedimientos de elementos finitos, Bathe, KJ, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, pág. 785 ISBN 0-13-301458-4 
11. Temas sobre numérica para propagación de ondas, Centro Vasco de Matemáticas Aplicadas, 2012, España, p. 39
12. Brillouin, L. (1946). Propagación de ondas en estructuras periódicas: filtros eléctricos y redes cristalinas , McGraw–Hill, Nueva York, pág. 2.

Lectura adicional

• Haberman, Richard (2004). Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-065243-0.
• Superposición de ondas sonoras

Enlaces externos

• Medios relacionados con Principio de superposición en Wikimedia Commons
• La definición del diccionario de interferencia en Wikcionario