Paravector

Suma de un escalar y un vector en el álgebra de Clifford

El nombre paravector se utiliza para la combinación de un escalar y un vector en cualquier álgebra de Clifford , conocida como álgebra geométrica entre los físicos.

Este nombre fue dado por JG Maks en una tesis doctoral en la Universidad Técnica de Delft, Países Bajos, en 1989.

El álgebra completa de paravectores junto con las correspondientes generalizaciones de grado superior, todo ello en el contexto del espacio euclidiano de tres dimensiones, es un enfoque alternativo al álgebra del espacio-tiempo (STA) introducida por David Hestenes . Esta álgebra alternativa se denomina álgebra del espacio físico (APS).

Axioma fundamental

Para los espacios euclidianos, el axioma fundamental indica que el producto de un vector consigo mismo es el valor escalar de la longitud al cuadrado (positivo).

${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$

Escribiendo

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,}$

e introduciendo esto en la expresión del axioma fundamental

${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,}$

Obtenemos la siguiente expresión después de apelar nuevamente al axioma fundamental

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,}$

que permite identificar el producto escalar de dos vectores como

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).}$

Como consecuencia importante concluimos que dos vectores ortogonales (con producto escalar cero) son anticonmutativos.

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0}$

El espacio euclidiano tridimensional

La siguiente lista representa un ejemplo de una base completa para el espacio, ${\displaystyle C\ell _{3}}$

${\displaystyle \{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},}$

que forma un espacio de ocho dimensiones, donde los índices múltiples indican el producto de los respectivos vectores base, por ejemplo

${\displaystyle \mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$

El grado de un elemento base se define en términos de la multiplicidad vectorial, de modo que

Según el axioma fundamental, dos vectores base diferentes se anticonmutan ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}}$

o en otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j}$

Esto significa que el elemento de volumen se eleva al cuadrado. ${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{123}^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1.}$

Además, el elemento de volumen conmuta con cualquier otro elemento del álgebra, de modo que puede identificarse con el número complejo , siempre que no haya peligro de confusión. De hecho, el elemento de volumen junto con el escalar real forma un álgebra isomorfa al álgebra compleja estándar. El elemento de volumen puede usarse para reescribir una forma equivalente de la base como ${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$ ${\displaystyle C\ell (3)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

Paravectores

La base paravectorial correspondiente que combina un escalar real y vectores es

${\displaystyle \{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$,

que forma un espacio lineal de cuatro dimensiones. El espacio paravectorial en el espacio euclidiano tridimensional se puede utilizar para representar el espacio-tiempo de la relatividad especial tal como se expresa en el álgebra del espacio físico (APS). ${\displaystyle C\ell _{3}}$

Es conveniente escribir el escalar unitario como , de modo que la base completa se pueda escribir en forma compacta como ${\displaystyle 1=\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\mu }\},}$

donde los índices griegos como van desde hasta . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 3}$

Antiautomorfismo

Conjugación de reversión

El antiautomorfismo de reversión se denota por . La acción de esta conjugación es invertir el orden del producto geométrico (producto entre números de Clifford en general). ${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$,

donde los vectores y los números escalares reales son invariantes bajo conjugación de reversión y se dice que son reales , por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a} }$

${\displaystyle 1^{\dagger }=1}$

Por otra parte, el trivector y los bivectores cambian de signo bajo la conjugación de reversión y se dice que son puramente imaginarios . La conjugación de reversión aplicada a cada elemento base se muestra a continuación.

Conjugación de Clifford

La conjugación de Clifford se indica con una barra sobre el objeto . Esta conjugación también se denomina conjugación de barra . ${\displaystyle {\bar {}}}$

La conjugación de Clifford es la acción combinada de involución y reversión de grado.

La acción de la conjugación de Clifford sobre un paravector es invertir el signo de los vectores, manteniendo el signo de los números escalares reales, por ejemplo

${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\bar {1}}=1}$

Esto se debe a que tanto los escalares como los vectores son invariantes a la reversión (es imposible invertir el orden de una o ninguna cosa) y los escalares son de orden cero y, por lo tanto, son de grado par, mientras que los vectores son de grado impar y, por lo tanto, experimentan un cambio de signo bajo involución de grado.

Como antiautomorfismo, la conjugación de Clifford se distribuye como

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}}$

La conjugación de barras aplicada a cada elemento base se da a continuación

• Nota.- El elemento de volumen es invariante bajo la conjugación de barras.

Automorfismo de grado

El automorfismo de grado

${\displaystyle {\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }}$

se define como la inversión del signo de los multivectores de grado impar, manteniendo invariantes los multivectores de grado par:

Subespacios invariantes según las conjugaciones

Se pueden definir cuatro subespacios especiales en el espacio en función de sus simetrías bajo la reversión y la conjugación de Clifford. ${\displaystyle C\ell _{3}}$

• Subespacio escalar : invariante bajo la conjugación de Clifford.
• Subespacio vectorial : invierte el signo bajo la conjugación de Clifford.
• Subespacio real : Invariante bajo conjugación de reversión.
• Subespacio imaginario : invierte el signo bajo conjugación de reversión.

Dado como un número de Clifford general, las partes escalares y vectoriales complementarias de se dan mediante combinaciones simétricas y antisimétricas con la conjugación de Clifford. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})}$.

De manera similar, las partes Real e Imaginaria complementarias de se dan mediante combinaciones simétricas y antisimétricas con la conjugación de Reversión. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })}$.

Es posible definir cuatro intersecciones, enumeradas a continuación

${\displaystyle \langle p\rangle _{RS}=\langle p\rangle _{SR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{S}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{RV}=\langle p\rangle _{VR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{V}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{IV}=\langle p\rangle _{VI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{V}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{IS}=\langle p\rangle _{SI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{S}}$

La siguiente tabla resume las calificaciones de los respectivos subespacios, donde por ejemplo, la calificación 0 puede verse como la intersección de los subespacios Real y Escalar.

• Observación: El término "imaginario" se utiliza en el contexto del álgebra y no implica la introducción de los números complejos estándar en ninguna forma. ${\displaystyle C\ell _{3}}$

Subespacios cerrados respecto del producto

Existen dos subespacios que son cerrados respecto del producto, son el espacio escalar y el espacio par, que son isomorfos con las conocidas álgebras de números complejos y cuaterniones.

• El espacio escalar formado por los grados 0 y 3 es isomorfo con el álgebra estándar de números complejos con la identificación de

  ${\displaystyle \mathbf {e} _{123}=i.}$

• El espacio par, formado por elementos de grados 0 y 2, es isomorfo con el álgebra de cuaterniones con la identificación de

  ${\displaystyle -\mathbf {e} _{23}=i}$

  ${\displaystyle -\mathbf {e} _{31}=j}$

  ${\displaystyle -\mathbf {e} _{12}=k.}$

Producto escalar

Dados dos paravectores y , la generalización del producto escalar es ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \langle u{\bar {v}}\rangle _{S}.}$

El cuadrado de la magnitud de un paravector es ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \langle u{\bar {u}}\rangle _{S},}$

que no es una forma bilineal definida y puede ser igual a cero incluso si el paravector no es igual a cero.

Es muy sugerente que el espacio paravectorial obedezca automáticamente la métrica del espacio de Minkowski porque

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{S}}$

y en particular:

${\displaystyle \eta _{00}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle _{S}=1,}$

${\displaystyle \eta _{11}=\langle \mathbf {e} _{1}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} _{1}(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=-1,}$

${\displaystyle \eta _{01}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=0.}$

Biparavectores

Dados dos paravectores y , el biparavector B se define como: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle B=\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}}$.

La base biparavectorial se puede escribir como

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{V}\},}$

que contiene seis elementos independientes, incluidos términos reales e imaginarios. Tres elementos reales (vectores) como

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{k},}$

y tres elementos imaginarios (bivectores) como

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{jk}}$

donde corre del 1 al 3. ${\displaystyle j,k}$

En el Álgebra del espacio físico , el campo electromagnético se expresa como un biparavector como

${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},}$

donde tanto el campo eléctrico como el magnético son vectores reales

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B} }$

y representa el elemento de volumen pseudoescalar. ${\displaystyle i}$

Otro ejemplo de biparavector es la representación de la tasa de rotación del espacio-tiempo que se puede expresar como

${\displaystyle W=i\theta ^{j}\mathbf {e} _{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

con tres variables de ángulo de rotación ordinario y tres rapideces . ${\displaystyle \theta ^{j}}$ ${\displaystyle \eta ^{j}}$

Triparavectores

Dados tres paravectores , y , el triparavector T se define como: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle T=\langle u{\bar {v}}w\rangle _{I}}$.

La base triparavectorial se puede escribir como

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }\rangle _{I}\},}$

pero sólo hay cuatro triparavectores independientes, por lo que se puede reducir a

${\displaystyle \{i\mathbf {e} _{\rho }\}}$.

Pseudoescalar

La base pseudoescalar es

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}_{\rho }\rangle _{IS}\},}$

Pero un cálculo revela que contiene un solo término. Este término es el elemento de volumen . ${\displaystyle i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}$

Los cuatro grados, tomados en combinación de pares generan los espacios paravector, biparavector y triparavector como se muestra en la siguiente tabla, donde por ejemplo, vemos que el paravector está formado por los grados 0 y 1.

Paragradiente

El operador de paragradiente es la generalización del operador de gradiente en el espacio paravectorial. El paragradiente en la base paravectorial estándar es

${\displaystyle \partial =\mathbf {e} _{0}\partial _{0}-\mathbf {e} _{1}\partial _{1}-\mathbf {e} _{2}\partial _{2}-\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}$

lo que permite escribir el operador d'Alembert como

${\displaystyle \square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle _{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle _{S}}$

El operador de gradiente estándar se puede definir naturalmente como

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{1}\partial _{1}+\mathbf {e} _{2}\partial _{2}+\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}$

de modo que el paragradiente se puede escribir como

${\displaystyle \partial =\partial _{0}-\nabla ,}$

dónde . ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=1}$

La aplicación del operador paragradiente debe hacerse con cuidado, respetando siempre su naturaleza no conmutativa. Por ejemplo, una derivada muy utilizada es

${\displaystyle \partial e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{3},}$

donde es una función escalar de las coordenadas. ${\displaystyle f(x)}$

El paragradiente es un operador que siempre actúa desde la izquierda si la función es una función escalar. Sin embargo, si la función no es escalar, el paragradiente también puede actuar desde la derecha. Por ejemplo, la siguiente expresión se expande como

${\displaystyle (L\partial )=\mathbf {e} _{0}\partial _{0}L+(\partial _{1}L)\mathbf {e} _{1}+(\partial _{2}L)\mathbf {e} _{2}+(\partial _{3}L)\mathbf {e} _{3}}$

Paravectores nulos como proyectores

Los paravectores nulos son elementos que no son necesariamente cero pero que tienen magnitud idéntica a cero. Para un paravector nulo , esta propiedad implica necesariamente la siguiente identidad ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p{\bar {p}}=0.}$

En el contexto de la relatividad especial también se denominan paravectores similares a la luz.

Los proyectores son paravectores nulos de la forma

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),}$

donde es un vector unitario. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Un proyector de esta forma tiene un proyector complementario ${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),}$

de tal manera que

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=1}$

Como proyectores, son idempotentes.

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=...}$

y la proyección de uno sobre el otro es cero porque son paravectores nulos

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=0.}$

El vector unitario asociado del proyector se puede extraer como

${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=P_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}_{\mathbf {k} },}$

Esto significa que es un operador con funciones propias y , con respectivos valores propios y . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle P_{\mathbf {\mathbf {k} } }}$ ${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {\mathbf {k} } }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

Del resultado anterior, la siguiente identidad es válida suponiendo que es analítica alrededor de cero ${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})}$

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}$

Esto da origen a la propiedad pacwoman , de modo que se satisfacen las siguientes identidades

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})P_{\mathbf {k} }=f(1)P_{\mathbf {k} },}$

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}$

Base nula para el espacio paravectorial

Se puede construir una base de elementos, cada uno de ellos nulo, para el espacio completo. La base de interés es la siguiente ${\displaystyle C\ell _{3}}$

${\displaystyle \{{\bar {P}}_{3},P_{3}\mathbf {e} _{1},P_{3},\mathbf {e} _{1}P_{3}\}}$

de modo que un paravector arbitrario

${\displaystyle p=p^{0}\mathbf {e} _{0}+p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}}$

se puede escribir como

${\displaystyle p=(p^{0}+p^{3})P_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} _{1}P_{3}+(p^{1}-ip^{2})P_{3}\mathbf {e} _{1}}$

Esta representación es útil para algunos sistemas que se expresan naturalmente en términos de las variables del cono de luz que son los coeficientes de y respectivamente. ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle {\bar {P}}_{3}}$

Toda expresión en el espacio paravectorial puede escribirse en términos de la base nula. En general, un paravectorial está parametrizado por dos números escalares reales y un número escalar general (incluidos los números escalares y pseudoescalares). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{u,v\}}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle p=u{\bar {P}}_{3}+vP_{3}+w\mathbf {e} _{1}P_{3}+w^{\dagger }P_{3}\mathbf {e} _{1}}$

El paragradiente en la base nula es

${\displaystyle \partial =2P_{3}\partial _{u}+2{\bar {P}}_{3}\partial _{v}-2\mathbf {e} _{1}P_{3}\partial _{w^{\dagger }}-2P_{3}\mathbf {e} _{1}\partial _{w}}$

Dimensiones superiores

Un espacio euclidiano n-dimensional permite la existencia de multivectores de grado n (n-vectores). La dimensión del espacio vectorial es evidentemente igual a n y un análisis combinatorio simple muestra que la dimensión del espacio bivectorial es . En general, la dimensión del espacio multivectorial de grado m es y la dimensión de toda el álgebra de Clifford es . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle C\ell (n)}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Un multivector dado con grado homogéneo es invariante o cambia de signo bajo la acción de la conjugación de reversión . Los elementos que permanecen invariantes se definen como hermíticos y los que cambian de signo como antihermíticos. Los grados se pueden clasificar así: ${\displaystyle \dagger }$

Representación matricial

El álgebra del espacio es isomorfa al álgebra matricial de Pauli tal que ${\displaystyle C\ell (3)}$

de donde se obtienen los elementos de base nula

${\displaystyle {P_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P_{3}}\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} _{1}{P}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Un número de Clifford general en 3D se puede escribir como

${\displaystyle \Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},}$

donde los coeficientes son elementos escalares (incluidos los pseudoescalares). Los índices se eligieron de manera que la representación de este número de Clifford en términos de las matrices de Pauli sea ${\displaystyle \psi _{jk}}$

${\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}}$

Conjugaciones

La conjugación de reversión se traduce a la conjugación hermítica y la conjugación de barra se traduce a la siguiente matriz:

${\displaystyle {\bar {\Psi }}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}&-\psi _{12}\\-\psi _{21}&\psi _{11}\end{pmatrix}},}$

de modo que la parte escalar se traduce como

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{S}\rightarrow {\frac {\psi _{11}+\psi _{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} _{2\times 2}}$

El resto de los subespacios se traducen como

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi _{12}\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}+\psi _{11}^{*}&\psi _{12}+\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}+\psi _{12}^{*}&\psi _{22}+\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}-\psi _{11}^{*}&\psi _{12}-\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}-\psi _{12}^{*}&\psi _{22}-\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}$

Dimensiones superiores

La representación matricial de un espacio euclidiano en dimensiones superiores se puede construir en términos del producto de Kronecker de las matrices de Pauli, lo que da como resultado matrices complejas de dimensión . La representación 4D podría tomarse como ${\displaystyle 2^{n}}$

La representación 7D podría tomarse como

Álgebras de Lie

Las álgebras de Clifford se pueden utilizar para representar cualquier álgebra de Lie clásica. En general, es posible identificar álgebras de Lie de grupos compactos mediante el uso de elementos antihermíticos, que se pueden extender a grupos no compactos mediante la adición de elementos hermíticos.

Los bivectores de un espacio euclidiano n-dimensional son elementos hermíticos y pueden usarse para representar el álgebra de Lie. ${\displaystyle \mathrm {spin} (n)}$

Los bivectores del espacio euclidiano tridimensional forman el álgebra de Lie, que es isomorfa al álgebra de Lie. Este isomorfismo accidental permite representar una interpretación geométrica de los estados del espacio de Hilbert bidimensional utilizando la esfera de Bloch . Uno de esos sistemas es la partícula de espín 1/2. ${\displaystyle \mathrm {spin} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

El álgebra de Lie se puede extender añadiendo los tres vectores unitarios para formar un álgebra de Lie isomorfa al álgebra de Lie, que es la doble cobertura del grupo de Lorentz . Este isomorfismo permite la posibilidad de desarrollar un formalismo de la relatividad especial basado en , que se lleva a cabo en la forma del álgebra del espacio físico . ${\displaystyle \mathrm {spin} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,C)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,C)}$

Solo hay un isomorfismo accidental adicional entre un álgebra de Lie de espín y un álgebra de Lie. Se trata del isomorfismo entre y . ${\displaystyle \mathrm {su} (N)}$ ${\displaystyle \mathrm {spin} (6)}$ ${\displaystyle \mathrm {su} (4)}$

Existe otro isomorfismo interesante entre y . Por lo tanto, se puede utilizar el álgebra de Lie para generar el grupo. A pesar de que este grupo es más pequeño que el grupo, se ve que es suficiente para abarcar el espacio de Hilbert de cuatro dimensiones. ${\displaystyle \mathrm {spin} (5)}$ ${\displaystyle \mathrm {sp} (4)}$ ${\displaystyle \mathrm {sp} (4)}$ ${\displaystyle USp(4)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (4)}$

Véase también

• Álgebra del espacio físico
• Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico

Referencias

Libros de texto

• Baylis, William (2002). Electrodinámica: un enfoque geométrico moderno (2.ª ed.). Birkhäuser. ISBN  0-8176-4025-8
• Baylis, William, Álgebras de Clifford (geométricas) con aplicaciones en física, matemáticas e ingeniería, Birkhauser (1999)
• [H1999] David Hestenes: Nuevos fundamentos para la mecánica clásica (segunda edición). ISBN 0-7923-5514-8 , Kluwer Academic Publishers (1999) 
• Chris Doran y Antony Lasenby, Álgebra geométrica para físicos, Cambridge, 2003

Artículos

• Baylis, WE (1 de noviembre de 2004). "Relatividad en la física introductoria". Revista Canadiense de Física . 82 (11). Canadian Science Publishing: 853–873. arXiv : physics/0406158 . Código Bibliográfico :2004CaJPh..82..853B. doi :10.1139/p04-058. ISSN  0008-4204. S2CID  35027499.
• Doran, C.; Hestenes, D.; Sommen, F.; Van Acker, N. (1993). "Grupos de Lie como grupos de espín". Journal of Mathematical Physics . 34 (8). AIP Publishing: 3642–3669. Bibcode :1993JMP....34.3642D. doi :10.1063/1.530050. ISSN  0022-2488.
• Cabrera, R.; Rangan, C.; Baylis, WE (4 de septiembre de 2007). "Condición suficiente para el control coherente de sistemas de n-qubits". Physical Review A . 76 (3). American Physical Society (APS): 033401. arXiv : quant-ph/0703220 . Bibcode :2007PhRvA..76c3401C. doi :10.1103/physreva.76.033401. ISSN  1050-2947. S2CID  45060566.
• Vaz, Jayme; Mann, Stephen (2018). "Paravectores y la geometría del espacio euclidiano 3D". Avances en álgebras de Clifford aplicadas . 28 (5). Springer Science and Business Media LLC: 99. arXiv : 1810.09389 . doi :10.1007/s00006-018-0916-1. ISSN  0188-7009. S2CID  253600966.