Campo de Schrödinger

Campos físicos que obedecen a la ecuación de Schrödinger

En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos , un campo de Schrödinger , llamado así por Erwin Schrödinger , es un campo cuántico que obedece a la ecuación de Schrödinger . ^[1] Si bien cualquier situación descrita por un campo de Schrödinger también puede describirse mediante una ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos para partículas idénticas, la teoría de campos es más adecuada para situaciones en las que cambia el número de partículas .

Un campo de Schrödinger es también el límite clásico de un campo de Schrödinger cuántico, una onda clásica que satisface la ecuación de Schrödinger. A diferencia de la función de onda mecánica cuántica, si hay interacciones entre las partículas, la ecuación será no lineal . Estas ecuaciones no lineales describen el límite de onda clásico de un sistema de partículas idénticas que interactúan.

La integral de trayectoria de un campo de Schrödinger también se conoce como integral de trayectoria de estado coherente, porque el campo en sí es un operador de aniquilación cuyos estados propios pueden considerarse como estados coherentes de las oscilaciones armónicas de los modos de campo.

Los campos de Schrödinger son útiles para describir la condensación de Bose-Einstein , la ecuación de superconductividad de Bogolyubov - de Gennes , la superfluidez y la teoría de muchos cuerpos en general. También son un formalismo alternativo útil para la mecánica cuántica no relativista.

Un campo de Schrödinger es el límite no relativista de un campo de Klein-Gordon .

Resumen

Un campo de Schrödinger es un campo cuántico cuyos cuantos obedecen a la ecuación de Schrödinger . En el límite clásico, puede entenderse como la ecuación de onda cuantizada de un condensado de Bose-Einstein o de un superfluido .

Campo libre

Un campo de Schrödinger tiene el campo libre Lagrangiano

${\displaystyle L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi .}$

Cuando es un campo de valor complejo en una integral de trayectoria, o equivalentemente un operador con relaciones de conmutación canónicas, describe una colección de bosones no relativistas idénticos. Cuando es un campo de valor Grassmann , o equivalentemente un operador con relaciones de anticonmutación canónicas, el campo describe fermiones idénticos. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Potencial externo

Si las partículas interactúan con un potencial externo , la interacción hace una contribución local a la acción: ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)V(x).}$

Los operadores de campo obedecen a las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, correspondientes a la densidad lagrangiana del campo de Schrödinger:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi ^{\dagger }\partial _{o}\psi -{\frac {1}{2m}}(\partial _{i}\psi ^{\dagger }\partial ^{i}\psi )-V\psi ^{\dagger }\psi }$

Obtenemos las ecuaciones de movimiento de Schrödinger:

${\displaystyle \,\,i\partial _{o}\psi (x^{\mu })=\left({\frac {-\Delta }{2m}}+V({\vec {x}})\right)\psi (x^{\mu })}$

${\displaystyle -i\partial _{o}\psi ^{\dagger }(x^{\mu })=\left({\frac {-\Delta }{2m}}+V({\vec {x}})\right)\psi ^{\dagger }(x^{\mu })}$

Si la ecuación ordinaria de Schrödinger para V tiene estados propios de energía conocidos con energías , entonces el campo en la acción se puede rotar en una base diagonal mediante una expansión de modo: ${\displaystyle \phi _{i}(x)}$ ${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{i}\psi _{i}\phi _{i}(x).\,}$

La acción se convierte en:

${\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}\psi _{i}^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}-E_{i}\right)\psi _{i}\,}$

que es la integral de trayectoria de posición-momento para una colección de osciladores armónicos independientes.

Para ver la equivalencia, note que descompuesta en partes reales e imaginarias la acción es:

${\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}2\psi _{r}{d\psi _{i} \over dt}-E_{i}(\psi _{r}^{2}+\psi _{i}^{2})}$

después de una integración por partes. Integrando sobre se obtiene la acción ${\displaystyle \psi _{r}}$

${\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}{1 \over E_{i}}\left({\frac {d\psi _{i}}{dt}}\right)^{2}-E_{i}\psi _{i}^{2}}$

que, reescalando , es una acción de oscilador armónico con frecuencia . ${\textstyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Potencial de par

Cuando las partículas interactúan con un potencial de par , la interacción es una contribución no local a la acción: ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\int _{xy}\psi ^{\dagger }(y)\psi ^{\dagger }(x)V(x,y)\psi (x)\psi (y).}$

Un par de potenciales es el límite no relativista de un campo relativista acoplado a la electrodinámica. Ignorando los grados de libertad que se propagan, la interacción entre electrones no relativistas es la repulsión de Coulomb. En 2+1 dimensiones, esto es:

${\displaystyle V(x,y)={j^{2} \over |y-x|}.}$

Cuando se combina con un potencial externo para modelar las posiciones clásicas de los núcleos, un campo de Schrödinger con este potencial de par describe casi toda la física de la materia condensada. Las excepciones son efectos como la superfluidez, donde la interferencia mecánica cuántica de los núcleos es importante, y los electrones de la capa interna, donde el movimiento de los electrones puede ser relativista.

Ecuación no lineal de Schrödinger

Un caso especial de interacción de una función delta se ha estudiado ampliamente y se conoce como ecuación de Schrödinger no lineal . Debido a que las interacciones siempre ocurren cuando dos partículas ocupan el mismo punto, la acción de la ecuación de Schrödinger no lineal es local: ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})=\lambda \delta (x_{1}-x_{2})}$

${\displaystyle S=\int _{x}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi +\lambda \int _{x}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi }$

La fuerza de la interacción requiere renormalización en dimensiones mayores que 2 y en dos dimensiones tiene divergencia logarítmica. En cualquier dimensión, e incluso con divergencia de ley de potencia, la teoría está bien definida. Si las partículas son fermiones, la interacción se anula. ${\displaystyle \lambda }$

Potenciales de muchos cuerpos

Los potenciales pueden incluir contribuciones de muchos cuerpos. El lagrangiano interactuante es entonces:

${\displaystyle L_{i}=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2})\cdots \psi ^{\dagger }(x_{n})V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\psi (x_{1})\psi (x_{2})\cdots \psi (x_{n}).\,}$

Estos tipos de potenciales son importantes en algunas descripciones eficaces de átomos compactados. Las interacciones de orden superior son cada vez menos importantes.

Formalismo canónico

La asociación del momento canónico con el campo es ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \Pi (x)=i\psi ^{\dagger }.\,}$

Las relaciones de conmutación canónica son como un oscilador armónico independiente en cada punto:

${\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y).}$

El hamiltoniano de campo es

${\displaystyle H=S-\int \Pi (x){d \over dt}\psi =\int {|\nabla \psi |^{2} \over 2m}+\int _{xy}\psi ^{\dagger }(x)\psi ^{\dagger }(y)V(x,y)\psi (x)\psi (y)\,}$

y la ecuación de campo para cualquier interacción es una versión no lineal y no local de la ecuación de Schrödinger. Para interacciones por pares:

${\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi =-{\nabla ^{2} \over 2m}\psi +\left(\int _{y}V(x,y)\psi ^{\dagger }(y)\psi (y)\right)\psi (x).\,}$

Teoría de la perturbación

La expansión en los diagramas de Feynman se denomina teoría de perturbación de muchos cuerpos . El propagador es

${\displaystyle G(k)={1 \over i\omega -{k^{2} \over 2m}}.\,}$

El vértice de interacción es la transformada de Fourier del par potencial. En todas las interacciones, el número de líneas entrantes y salientes es igual.

Exposición

Partículas idénticas

La ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos para partículas idénticas describe la evolución temporal de la función de onda de muchos cuerpos ψ ( x ₁ , x ₂ ... x _N ) que es la amplitud de probabilidad de que N partículas tengan las posiciones indicadas. La ecuación de Schrödinger para ψ es:

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =\left({\frac {\nabla _{1}^{2}}{2m}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {\nabla _{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})\right)\psi \,}$

con hamiltoniano

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {p_{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},\dots ,x_{N}).\,}$

Dado que las partículas son indistinguibles, la función de onda tiene cierta simetría al cambiar de posición.

1. ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots )=\psi (x_{2},x_{1},\dots )\qquad \quad {\text{for bosons}}}$,
2. ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots )=-\psi (x_{2},x_{1},\dots )\qquad {\text{for fermions}}}$.

Dado que las partículas son indistinguibles, el potencial V debe permanecer invariable ante permutaciones. Si

${\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{N})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+\cdots +V_{N}(x_{N})\,}$

Entonces debe ser el caso que . Si ${\displaystyle V_{1}=V_{2}=\cdots =V_{N}}$

${\displaystyle V(x_{1}...,x_{N})=V_{1,2}(x_{1},x_{2})+V_{1,3}(x_{2},x_{3})+V_{2,3}(x_{1},x_{2})\,}$

luego y así sucesivamente. ${\displaystyle V_{1,2}=V_{1,3}=V_{2,3}}$

En el formalismo de la ecuación de Schrödinger, las restricciones sobre el potencial son ad hoc y el límite de onda clásico es difícil de alcanzar. También tiene una utilidad limitada si un sistema está abierto al entorno, porque las partículas pueden entrar y salir de manera coherente.

Espacio de Fock no relativista

Un campo de Schrödinger se define ampliando el espacio de Hilbert de estados para incluir configuraciones con un número arbitrario de partículas. Una base casi completa para este conjunto de estados es la colección:

${\displaystyle |N;x_{1},\ldots ,x_{N}\rangle \,}$

Se etiqueta por el número total de partículas y su posición. Un estado arbitrario con partículas en posiciones separadas se describe por una superposición de estados de esta forma.

${\displaystyle \psi _{0}|0\rangle +\int _{x}\psi _{1}(x)|1;x\rangle +\int _{x_{1}x_{2}}\psi _{2}(x_{1},x_{2})|2;x_{1}x_{2}\rangle +\ldots \,}$

En este formalismo, hay que tener en cuenta que dos estados cualesquiera cuyas posiciones se pueden permutar entre sí son en realidad iguales, por lo que los dominios de integración deben evitar la doble contabilización. También hay que tener en cuenta que los estados con más de una partícula en el mismo punto aún no se han definido. La cantidad es la amplitud en la que no hay partículas presentes y su cuadrado absoluto es la probabilidad de que el sistema esté en el vacío. ${\displaystyle \psi _{0}}$

Para reproducir la descripción de Schrödinger, el producto interno sobre los estados base debe ser

${\displaystyle \langle 1;x_{1}|1;y_{1}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\,}$

${\displaystyle \langle 2;x_{1}x_{2}|2;y_{1}y_{2}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\delta (x_{2}-y_{2})\pm \delta (x_{1}-y_{2})\delta (x_{2}-y_{1})\,}$

y así sucesivamente. Dado que la discusión es casi formalmente idéntica para bosones y fermiones, aunque las propiedades físicas son diferentes, de aquí en adelante las partículas serán bosones.

Existen operadores naturales en este espacio de Hilbert. Un operador, llamado , es el operador que introduce una partícula adicional en x. Se define en cada estado base: ${\textstyle \psi ^{\dagger }(x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\left|N;x_{1},\dots ,x_{n}\right\rangle =\left|N+1;x_{1},\dots ,x_{n},x\right\rangle }$

con ligera ambigüedad cuando una partícula ya está en x.

Otro operador elimina una partícula en x y se llama . Este operador es el conjugado del operador . Como no tiene elementos de matriz que se conecten a estados sin partículas en x, debe dar cero cuando actúa sobre dicho estado. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ ${\textstyle \psi ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x)\left|N;x_{1},\dots ,x_{N}\right\rangle =\delta (x-x_{1})\left|N-1;x_{2},\dots ,x_{N}\right\rangle +\delta (x-x_{2})\left|N-1;x_{1},x_{3},\dots ,x_{N}\right\rangle +\cdots }$

La base de posición es una forma incómoda de entender las partículas coincidentes porque los estados con una partícula localizada en un punto tienen energía infinita, por lo que la intuición es difícil. Para ver qué sucede cuando dos partículas están exactamente en el mismo punto, es matemáticamente más simple o bien convertir el espacio en una red discreta o bien aplicar la transformada de Fourier del campo en un volumen finito.

El operador

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)=\int _{x}e^{-ikx}\psi ^{\dagger }(x)\,}$

crea una superposición de estados de una partícula en un estado de onda plana con momento k , en otras palabras, produce una nueva partícula con momento k . El operador

${\displaystyle \psi (k)=\int _{x}e^{ikx}\psi (x)\,}$

aniquila una partícula con momento k .

Si la energía potencial para la interacción de partículas infinitamente distantes se anula, los operadores de la transformada de Fourier en un volumen infinito crean estados que no interactúan. Los estados están infinitamente dispersos y la probabilidad de que las partículas estén cerca es cero.

Los elementos de la matriz de los operadores entre puntos no coincidentes reconstruyen los elementos de la matriz de la transformada de Fourier entre todos los modos:

1. ${\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi ^{\dagger }(k')\psi ^{\dagger }(k)=0\,}$
2. ${\displaystyle \psi (k)\psi (k')-\psi (k')\psi (k)=0\,}$
3. ${\displaystyle \psi (k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi (k')\psi ^{\dagger }(k)=\delta (k-k')\,}$

donde la función delta es la función delta de Dirac o la delta de Kronecker , dependiendo de si el volumen es infinito o finito.

Las relaciones de conmutación determinan ahora completamente los operadores y, cuando el volumen espacial es finito, no existen obstáculos conceptuales para comprender los momentos coincidentes porque los momentos son discretos. En una base de momento discreto, los estados base son:

${\displaystyle |n_{1},n_{2},...n_{k}\rangle \,}$

donde las n son el número de partículas en cada momento. Para fermiones y aniones, el número de partículas en cualquier momento es siempre cero o uno. Los operadores tienen elementos de matriz similares a los de un oscilador armónico entre estados, independientemente de la interacción: ${\textstyle \psi _{k}}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)|\dots ,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|\dots ,n_{k}+1,\ldots \rangle }$

${\displaystyle \psi (k)\left|\dots ,n_{k},\ldots \right\rangle ={\sqrt {n_{k}}}\left|\dots ,n_{k}-1,\ldots \right\rangle }$

Para que el operador

${\displaystyle \sum _{k}\psi ^{\dagger }(k)\psi (k)=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)}$

cuenta el número total de partículas.

Ahora es fácil ver que los elementos de la matriz de y también tienen relaciones de conmutación del oscilador armónico. ${\textstyle \psi (x)}$ ${\textstyle \psi ^{\dagger }(x)}$

1. ${\displaystyle [\psi (x),\psi (y)]=[\psi ^{\dagger }(x),\psi ^{\dagger }(y)]=0}$
2. ${\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y)}$

De modo que realmente no hay ninguna dificultad con partículas coincidentes en el espacio de posiciones.

El operador que elimina y reemplaza una partícula actúa como un sensor para detectar si una partícula está presente en x . El operador actúa para multiplicar el estado por el gradiente de la función de onda de muchos cuerpos. El operador ${\textstyle \psi ^{\dagger }(x)\psi (x)}$ ${\textstyle \psi ^{\dagger }\nabla \psi }$

${\displaystyle H=-\int _{x}\psi ^{\dagger }(x){\nabla ^{2} \over 2m}\psi (x)\,}$

actúa para reproducir el lado derecho de la ecuación de Schrödinger cuando actúa sobre cualquier estado base, de modo que

${\displaystyle \psi ^{\dagger }i{d \over dt}\psi =\psi ^{\dagger }{-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,}$

se cumple como una ecuación de operador. Dado que esto es cierto para un estado arbitrario, también es cierto sin el . ${\textstyle \psi ^{\dagger }}$

${\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi ={-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,}$

Para agregar interacciones, agregue términos no lineales en las ecuaciones de campo. La forma de campo garantiza automáticamente que los potenciales obedezcan las restricciones de simetría.

Hamiltoniano de campo

El hamiltoniano de campo que reproduce las ecuaciones de movimiento es

${\displaystyle H={\nabla \psi ^{\dagger }\nabla \psi \over 2m}}$

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para este operador reproducen la ecuación de movimiento del campo.

Para encontrar el campo clásico Lagrangiano, aplique una transformada de Legendre al límite clásico del hamiltoniano.

${\displaystyle L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi \,}$

Aunque esto es correcto clásicamente, la transformación mecánica cuántica no es completamente sencilla desde el punto de vista conceptual porque la integral de trayectoria se realiza sobre valores propios de operadores ψ que no son hermíticos y cuyos vectores propios no son ortogonales. Por lo tanto, la integral de trayectoria sobre estados de campo parece ingenuamente un recuento excesivo. Este no es el caso, porque el término de la derivada temporal en L incluye la superposición entre los diferentes estados de campo.

Relación con el campo Klein-Gordon

El límite no relativista de cualquier campo de Klein-Gordon son dos campos de Schrödinger, que representan la partícula y la antipartícula. Para mayor claridad, en esta derivación se conservan todas las unidades y constantes. A partir de los operadores de aniquilación del espacio de momento del campo relativista, se define ${\displaystyle c\to \infty }$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {b}}_{\mathbf {p} }}$

${\displaystyle {\hat {a}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x},\quad {\hat {b}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x}}$,

tal que . Definiendo dos campos "no relativistas" y , ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)}$ ${\displaystyle {\hat {A}}(x)}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(x)}$

${\displaystyle {\hat {a}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)}$,

que elimina una fase de oscilación rápida debido a la masa en reposo más un vestigio de la medida relativista, la densidad lagrangiana se convierte en ${\displaystyle L=(\hbar c)^{2}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\left(\hbar c\right)^{2}\left(\partial _{\mu }{\hat {a}}\partial ^{\mu }{\hat {a}}^{\dagger }+\partial _{\mu }{\hat {b}}\partial ^{\mu }{\hat {b}}^{\dagger }+\cdots \right)-\left(mc^{2}\right)^{2}\left({\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }+\cdots \right)\\&={\frac {1}{2mc^{2}}}\left[\left(\hbar c\right)^{2}\left({\frac {-imc}{\hbar }}{\hat {A}}+\partial _{0}{\hat {A}}\right)\left({\frac {imc}{\hbar }}{\hat {A}}^{\dagger }+\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger }\right)-\left(\hbar c\right)^{2}\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\cdots -\left(mc^{2}\right)^{2}\left({\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }+{\hat {B}}{\hat {B}}^{\dagger }+\cdots \right)\right]\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {imc}{\hbar }}\left(\partial _{0}{\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }-{\hat {A}}\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger }\right)+\partial _{\mu }{\hat {A}}\partial ^{\mu }{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\cdots \right]\end{aligned}}}$

donde los términos proporcionales a se representan con elipses y desaparecen en el límite no relativista. ^{[nota 1]} Cuando se expande el gradiente de cuatro , se ignora la divergencia total y los términos proporcionales a también desaparecen en el límite no relativista. Después de una integración por partes, ${\displaystyle e^{\pm 2imc^{2}t/\hbar }}$ ${\textstyle {1}/{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{A}&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\hat {A}}'{{\hat {A}}'}^{\dagger }-\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[-\left(\partial _{x}\left({\hat {A}}\,\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right)-{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right)\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }.\end{aligned}}}$

El lagrangiano final toma la forma ^[2]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left[{\hat {A}}^{\dagger }\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}\right){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}\right){\hat {B}}+{\text{h.c.}}\right].}$

Notas

1. es una función armónica que oscila muy rápido, en comparación con otros términos, y su valor medio es cero. Por lo tanto, al integrar, sus contribuciones pueden despreciarse en comparación con otros términos. Compárese, por ejemplo, con . ${\displaystyle e^{\pm 2imc^{2}t/\hbar }}$ ${\displaystyle F(x)=\sin(x)+\sin(10x)/10}$

Referencias

1. G, Harris, Edward (2014). Un enfoque pedestre a la teoría cuántica de campos . Publicaciones de Dover. ISBN 9780486793290.OCLC 968989532  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Padmanabhan, T. (9 de julio de 2018). "Obtención de la mecánica cuántica no relativista a partir de la teoría cuántica de campos: problemas, folclores y hechos". The European Physical Journal C . 78 (7): 563. arXiv : 1712.06605 . doi :10.1140/epjc/s10052-018-6039-y. S2CID  119057898.