gas fermi

Modelo físico de gases compuestos por muchos fermiones idénticos que no interactúan.

Un gas de Fermi es un modelo idealizado, un conjunto de muchos fermiones que no interactúan . Los fermiones son partículas que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac , como los electrones , los protones y los neutrones , y, en general, las partículas con espín semientero . Estas estadísticas determinan la distribución de energía de los fermiones en un gas de Fermi en equilibrio térmico , y se caracteriza por su densidad numérica , temperatura y el conjunto de estados energéticos disponibles. El modelo lleva el nombre del físico italiano Enrico Fermi . ^{[1] [2]}

Este modelo físico es útil para ciertos sistemas con muchos fermiones. Algunos ejemplos clave son el comportamiento de los portadores de carga en un metal , los nucleones en un núcleo atómico , los neutrones en una estrella de neutrones y los electrones en una enana blanca .

Descripción

Un gas Fermi ideal o gas Fermi libre es un modelo físico que supone una colección de fermiones que no interactúan en un pozo de potencial constante . Los fermiones son partículas elementales o compuestas con espín semientero , por lo que siguen la estadística de Fermi-Dirac . El modelo equivalente para partículas de espín entero se llama gas de Bose (un conjunto de bosones que no interactúan ). Con una densidad de número de partículas suficientemente baja y una temperatura alta, tanto el gas Fermi como el gas Bose se comportan como un gas ideal clásico . ^[3]

Según el principio de exclusión de Pauli , ningún estado cuántico puede estar ocupado por más de un fermión con un conjunto idéntico de números cuánticos . Así, un gas Fermi que no interactúa, a diferencia de un gas Bose, concentra una pequeña cantidad de partículas por energía. Por lo tanto, se prohíbe que un gas Fermi se condense en un condensado de Bose-Einstein , aunque los gases Fermi que interactúan débilmente podrían formar un par de Cooper y un condensado (también conocido como régimen cruzado BCS -BEC). ^[4] La energía total del gas Fermi en el cero absoluto es mayor que la suma de los estados fundamentales de una sola partícula porque el principio de Pauli implica una especie de interacción o presión que mantiene a los fermiones separados y en movimiento. Por esta razón, la presión de un gas de Fermi es distinta de cero incluso a temperatura cero, a diferencia de la de un gas ideal clásico. Por ejemplo, esta llamada presión de degeneración estabiliza una estrella de neutrones (un gas Fermi de neutrones) o una estrella enana blanca (un gas Fermi de electrones) contra la atracción interna de la gravedad , que aparentemente colapsaría la estrella en un agujero negro . Sólo cuando una estrella es lo suficientemente masiva como para superar la presión de degeneración puede colapsar y convertirse en una singularidad.

Es posible definir una temperatura de Fermi por debajo de la cual el gas puede considerarse degenerado (su presión deriva casi exclusivamente del principio de Pauli). Esta temperatura depende de la masa de los fermiones y de la densidad de los estados energéticos .

El supuesto principal del modelo de electrones libres para describir los electrones deslocalizados en un metal puede derivarse del gas de Fermi. Dado que las interacciones se desprecian debido al efecto de detección , el problema de tratar las propiedades de equilibrio y la dinámica de un gas de Fermi ideal se reduce al estudio del comportamiento de partículas independientes individuales. En estos sistemas la temperatura de Fermi es generalmente de muchos miles de kelvins , por lo que en aplicaciones humanas el gas de electrones puede considerarse degenerado. La energía máxima de los fermiones a temperatura cero se llama energía de Fermi . La superficie de energía de Fermi en el espacio recíproco se conoce como superficie de Fermi .

El modelo de electrones casi libres adapta el modelo de gas de Fermi para considerar la estructura cristalina de metales y semiconductores , donde los electrones en una red cristalina son sustituidos por electrones de Bloch con un momento cristalino correspondiente . Como tales, los sistemas periódicos son todavía relativamente manejables y el modelo constituye el punto de partida para teorías más avanzadas que se ocupan de las interacciones, por ejemplo, utilizando la teoría de la perturbación .

gas uniforme 1D

El pozo cuadrado infinito unidimensional de longitud L es un modelo para una caja unidimensional con la energía potencial:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Es un sistema modelo estándar en mecánica cuántica cuya solución para una sola partícula es bien conocida. Dado que el potencial dentro de la caja es uniforme, este modelo se conoce como gas uniforme 1D, ^[5] aunque el perfil de densidad numérica real del gas puede tener nodos y antinodos cuando el número total de partículas es pequeño.

Los niveles están etiquetados por un único número cuántico n y las energías están dadas por:

$${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.}$$

fijación de calibreconstante de Planck ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$

Para N fermiones con espín- 1 ⁄ 2 en la caja, no más de dos partículas pueden tener la misma energía, es decir, dos partículas pueden tener la energía de , otras dos partículas pueden tener energía y así sucesivamente. Las dos partículas de la misma energía tienen un espín 1 ⁄ 2 (giro hacia arriba) o − 1 ⁄ 2 (giro hacia abajo), lo que lleva a dos estados para cada nivel de energía. En la configuración para la cual la energía total es más baja (el estado fundamental), todos los niveles de energía hasta n  =  N /2 están ocupados y todos los niveles superiores están vacíos. ${\textstyle E_{1}}$ ${\textstyle E_{2}}$

Al definir la referencia para la energía de Fermi como , la energía de Fermi viene dada por ${\displaystyle E_{0}}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$$

función suelonN ${\textstyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$

Límite termodinámico

En el límite termodinámico , el número total de partículas N es tan grande que el número cuántico n puede tratarse como una variable continua. En este caso, el perfil general de densidad numérica en el cuadro es efectivamente uniforme.

El número de estados cuánticos en el rango es: ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+dn}$

$${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2\,dn\,.}$$

Sin pérdida de generalidad , se elige que la energía del punto cero sea cero, con el siguiente resultado:

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies dE={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\,dn={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}dn\,.}$$

Por tanto, en el rango:

$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+dE\,,}$$

$${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2{\frac {dE}{dE/dn}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\,dE\equiv D(E_{1})\,dE\,.}$$

Aquí, el grado de degeneración es:

$${\displaystyle D(E)={\frac {2}{dE/dn}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

Y la densidad de estados es:

$${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

En la literatura moderna, ^[5] lo anterior a veces también se denomina "densidad de estados". Sin embargo, difiere en un factor del volumen del sistema (que en este caso es 1D). ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle L}$

Basado en la siguiente fórmula:

$${\displaystyle \int _{0}^{E_{\mathrm {F} }}D(E)\,dE=N\,,}$$

La energía de Fermi en el límite termodinámico se puede calcular como:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$$

gas uniforme 3D

Un modelo del núcleo atómico que lo muestra como un haz compacto de dos tipos de nucleones : protones (rojo) y neutrones (azul). Como primera aproximación, se puede considerar que el núcleo está compuesto de gases de protones y neutrones que no interactúan.

El caso del gas de Fermi, uniforme, tridimensional, isotrópico y no relativista , se conoce como esfera de Fermi .

Un pozo cuadrado infinito tridimensional (es decir, una caja cúbica que tiene una longitud de lado L ) tiene la energía potencial

$${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Los estados ahora están etiquetados por tres números cuánticos n _x , n _y y n _z . Las energías de una sola partícula son

$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$$

n _xn _yn _zniveles de energía degenerados ${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$

Límite termodinámico

Cuando la caja contiene N fermiones de _espín ½ que no interactúan, es interesante calcular la energía en el límite termodinámico, donde N es tan grande que los números cuánticos n _x , n _y , nz pueden tratarse como variables continuas.

Con el vector , cada estado cuántico corresponde a un punto en el 'espacio n' con energía ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$

$${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$$

Con que denota el cuadrado de la longitud euclidiana habitual . El número de estados con energía menor que E _F  +   E ₀ es igual al número de estados que se encuentran dentro de una esfera de radio en la región del espacio n donde n _x , n _y , n _z son positivos. En el estado fundamental, este número es igual al número de fermiones en el sistema: ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} |={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$

$${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}}$$

Los fermiones libres que ocupan los estados de menor energía forman una esfera en el espacio recíproco . La superficie de esta esfera es la superficie de Fermi .

El factor de dos expresa los dos estados de espín y el factor de 1/8 expresa la fracción de la esfera que se encuentra en la región donde todos los n son positivos.

$${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$$

energía de Fermi

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$$

Lo que resulta en una relación entre la energía de Fermi y el número de partículas por volumen (cuando L ² se reemplaza por V ^2/3 ):

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}}$

Esta es también la energía de la partícula de mayor energía (la partícula enésima), por encima de la energía del punto cero . La partícula enésima tiene una energía de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle N'}$

$${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$$

La energía total de una esfera de Fermi de fermiones (que ocupan todos los estados energéticos dentro de la esfera de Fermi) viene dada por: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}\,dN'=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$$

Por tanto, la energía media por partícula viene dada por:

$${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$$

Densidad de estados

Densidad de estados (DOS) de un gas Fermi en 3 dimensiones

Para el gas Fermi uniforme 3D, con fermiones de espín-½, el número de partículas en función de la energía se obtiene sustituyendo la energía de Fermi por una energía variable : ${\textstyle N(E)}$ ${\textstyle (E-E_{0})}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2},}$$

de donde se puede obtener la densidad de estados (número de estados de energía por energía por volumen) . Se puede calcular diferenciando el número de partículas con respecto a la energía: ${\displaystyle g(E)}$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}.}$$

Este resultado proporciona una forma alternativa de calcular la energía total de una esfera de fermiones de Fermi (que ocupan todos los estados energéticos dentro de la esfera de Fermi): ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$$

Cantidades termodinámicas

Presión de degeneración

Curvas de presión vs temperatura de gases ideales clásicos y cuánticos (gas Fermi, gas Bose ) en tres dimensiones. La repulsión de Pauli en los fermiones (como los electrones) les da una presión adicional sobre un gas clásico equivalente, más significativamente a baja temperatura.

Utilizando la primera ley de la termodinámica , esta energía interna se puede expresar como una presión, es decir

$${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$$

presión de degeneraciónmateria degenerada

Las estrellas estándar evitan el colapso equilibrando la presión térmica ( plasma y radiación) con las fuerzas gravitacionales. Al final de la vida de la estrella, cuando los procesos térmicos son más débiles, algunas estrellas pueden convertirse en enanas blancas, que sólo se sostienen contra la gravedad mediante la presión de degeneración de electrones . Utilizando el gas Fermi como modelo, es posible calcular el límite de Chandrasekhar , es decir, la masa máxima que cualquier estrella puede adquirir (sin una presión térmica significativa) antes de colapsar en un agujero negro o una estrella de neutrones. Esta última es una estrella compuesta principalmente de neutrones, cuyo colapso también se evita por la presión de degeneración de los neutrones.

Para el caso de los metales, la presión de degeneración de electrones contribuye a la compresibilidad o módulo de volumen del material.

Potencial químico

Suponiendo que la concentración de fermiones no cambia con la temperatura, entonces el potencial químico total µ (nivel de Fermi) del gas Fermi ideal tridimensional está relacionado con la energía de Fermi de temperatura cero E _F mediante una expansión de Sommerfeld (suponiendo ): ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$

$${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right],}$$

Ttemperatura^{[6] [7]}

Por lo tanto, el potencial químico interno , µ - E ₀ , es aproximadamente igual a la energía de Fermi a temperaturas mucho más bajas que la temperatura característica de Fermi T _F. Esta temperatura característica es del orden de 10 ⁵ K para un metal, por lo que a temperatura ambiente (300 K), la energía de Fermi y el potencial químico interno son esencialmente equivalentes.

Valores típicos

Rieles

Según el modelo de electrones libres , se puede considerar que los electrones de un metal forman un gas de Fermi uniforme. La densidad numérica de los electrones de conducción en los metales oscila entre aproximadamente 10 ²⁸ y 10 ²⁹ electrones por m ³ , que es también la densidad típica de los átomos en la materia sólida ordinaria. Esta densidad numérica produce una energía de Fermi del orden: ${\displaystyle N/V}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m^{-3}} \right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} ,}$$

m _emasa en reposo del electrón^[8]6SolT _F

enanas blancas

Las estrellas conocidas como enanas blancas tienen una masa comparable a la del Sol , pero tienen aproximadamente una centésima parte de su radio. Las altas densidades significan que los electrones ya no están unidos a núcleos individuales y, en su lugar, forman un gas de electrones degenerado. La densidad numérica de electrones en una enana blanca es del orden de 10 ³⁶ electrones/m ³ . Esto significa que su energía de Fermi es:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m^{3}} }}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$$

Núcleo

Otro ejemplo típico es el de las partículas del núcleo de un átomo. El radio del núcleo es aproximadamente:

$${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$$

Anucleones

Por tanto, la densidad numérica de nucleones en un núcleo es:

$${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m^{-3}} }$$

Esta densidad debe dividirse por dos, porque la energía de Fermi sólo se aplica a fermiones del mismo tipo. La presencia de neutrones no afecta la energía de Fermi de los protones en el núcleo y viceversa.

La energía de Fermi de un núcleo es aproximadamente:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} ,}$$

m _p

El radio del núcleo admite desviaciones en torno al valor mencionado anteriormente, por lo que un valor típico para la energía de Fermi se suele dar como 38 MeV .

Gas uniforme de dimensiones arbitrarias

Densidad de estados

Usando una integral de volumen en dimensiones, la densidad de estados es: ${\textstyle d}$

$${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$$

La energía de Fermi se obtiene buscando la densidad numérica de las partículas:

$${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,dE}$$

Llegar:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{g_{s}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$$

d ${\textstyle V}$ ${\textstyle g_{s}}$ ${\textstyle g_{s}=2}$

Se obtiene un resultado particular para , donde la densidad de estados se vuelve constante (no depende de la energía): ${\displaystyle d=2}$

$${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}.}$$

Gas Fermi en trampa armónica

El potencial de trampa armónica :

$${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$$

es un sistema modelo con muchas aplicaciones ^[5] en la física moderna. La densidad de estados (o más exactamente, el grado de degeneración) para una especie de espín determinada es:

$${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$$

¿ Dónde está la frecuencia de oscilación armónica? ${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$

La energía de Fermi para una determinada especie de espín es:

$${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$$

Cantidades de Fermi relacionadas

En relación con la energía de Fermi, algunas cantidades útiles también aparecen a menudo en la literatura moderna.

La temperatura de Fermi se define como , donde es la constante de Boltzmann . Se puede considerar la temperatura de Fermi como la temperatura a la que los efectos térmicos son comparables a los efectos cuánticos asociados con las estadísticas de Fermi. ^[9] La temperatura de Fermi para un metal es un par de órdenes de magnitud superior a la temperatura ambiente. Otras cantidades definidas en este contexto son el momento de Fermi y la velocidad de Fermi ^[10] , que son el momento y la velocidad de grupo , respectivamente, de un fermión en la superficie de Fermi . El impulso de Fermi también se puede describir como donde es el radio de la esfera de Fermi y se llama vector de onda de Fermi . ^[11] ${\textstyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\textstyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$ ${\textstyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$

Tenga en cuenta que estas cantidades no están bien definidas en los casos en que la superficie de Fermi no es esférica.

Tratamiento a temperatura finita

Gran conjunto canónico

La mayoría de los cálculos anteriores son exactos a temperatura cero, pero siguen siendo buenas aproximaciones para temperaturas inferiores a la temperatura de Fermi. Para otras variables termodinámicas es necesario escribir un potencial termodinámico . Para un conjunto de fermiones idénticos , la mejor manera de derivar un potencial es a partir del gran conjunto canónico con temperatura, volumen y potencial químico fijos µ . La razón se debe al principio de exclusión de Pauli, ya que los números de ocupación de cada estado cuántico están dados por 1 o 0 (hay un electrón ocupando el estado o no), por lo que la (gran) función de partición se puede escribir como ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

donde , indexa los conjuntos de todos los microestados posibles que dan la misma energía total y número de partículas , es la energía de una sola partícula del estado (cuenta dos veces si la energía del estado es degenerada) y , su ocupación. Por tanto, el gran potencial se escribe como ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$ ${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$ ${\textstyle \varepsilon _{q}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right).}$

El mismo resultado se puede obtener en el conjunto canónico y microcanónico , ya que el resultado de cada conjunto debe dar el mismo valor en el límite termodinámico . Se recomienda aquí el gran conjunto canónico ya que evita el uso de combinatoria y factoriales . ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

Como se exploró en secciones anteriores, en el límite macroscópico podemos usar una aproximación continua ( aproximación de Thomas-Fermi ) para convertir esta suma en una integral:

$${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )}\right)\,d\varepsilon }$$

D ( ε )

Relación con la distribución de Fermi-Dirac

El gran potencial está relacionado con el número de partículas a temperatura finita de la siguiente manera

$${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$$

$${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$$

distribución de Fermi-Dirac

De manera similar, la energía interna total es

$${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\!\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,d\varepsilon .}$$

Solución exacta para la densidad de estados según la ley de potencias

Muchos sistemas de interés tienen una densidad total de estados con la forma de ley de potencia:

$${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$$

g ₀αε ₀d

• α = d /2 para partículas no relativistas en una caja d -dimensional,
• α = d para partículas no relativistas en un pozo de potencial armónico d -dimensional,
• α = d para partículas hiperrelativistas en una caja d -dimensional.

Para tal densidad de estados de ley potencial, la integral de gran potencial se evalúa exactamente como: ^[12]

$${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$

integral completa de Fermi-Diracpolilogaritmo ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$

Extensiones al modelo.

Gas relativista de Fermi

Relaciones radio-masa para un modelo de enana blanca, relación relativista versus no relativista. El límite de Chandrasekhar se indica como M _Ch .

El artículo sólo ha tratado el caso en el que las partículas tienen una relación parabólica entre energía y momento, como es el caso de la mecánica no relativista. Para partículas con energías cercanas a su respectiva masa en reposo , son aplicables las ecuaciones de la relatividad especial . Donde la energía de una sola partícula viene dada por:

$${\displaystyle E={\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}.}$$

Para este sistema, la energía de Fermi viene dada por:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {(p_{\mathrm {F} }c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c,}$$

límite ultrarelativista^[13] ${\displaystyle \approx }$

$${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}.}$$

El modelo relativista de gases de Fermi también se utiliza para la descripción de enanas blancas masivas que están cerca del límite de Chandrasekhar . Para el caso ultrarelativista, la presión de degeneración es proporcional a . ${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$

líquido fermi

En 1956, Lev Landau desarrolló la teoría del líquido de Fermi , donde trató el caso de un líquido de Fermi, es decir, un sistema con interacciones repulsivas, no necesariamente pequeñas, entre fermiones. La teoría muestra que las propiedades termodinámicas de un gas Fermi ideal y un líquido Fermi no difieren mucho. Se puede demostrar que el líquido de Fermi es equivalente a un gas de Fermi compuesto de excitaciones colectivas o cuasipartículas , cada una con una masa efectiva y un momento magnético diferentes .

Ver también

• gas bosé
• Condensado fermiónico
• Gas en una caja
• gelatina
• Gas de electrones bidimensional

Referencias

1. Fermi, E. (1 de noviembre de 1926). "Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases" (PDF) . Zeitschrift für Physik (en alemán). 36 (11–12): 902–912. Código bibliográfico : 1926ZPhy...36..902F. doi :10.1007/BF01400221. ISSN  0044-3328. S2CID  123334672. Archivado desde el original (PDF) el 6 de abril de 2019.
2. Zannoni, Alberto (1999). "Sobre la cuantificación del gas ideal monoatómico". arXiv : cond-mat/9912229 . En este artículo se proporciona una traducción al inglés del trabajo original de Enrico Fermi sobre la cuantificación del gas ideal monoatómico.
3. Schwabl, Franz (9 de marzo de 2013). Mecánica estadística. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-04702-6.
4. Real, California; Greiner, M.; Jin, DS (28 de enero de 2004). "Observación de la condensación de resonancia de pares de átomos fermiónicos". Cartas de revisión física . 92 (4): 040403. arXiv : cond-mat/0401554 . Código bibliográfico : 2004PhRvL..92d0403R. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.040403. PMID  14995356. S2CID  10799388.
5. Giorgini, Stefano; Pitaevskii, Lev P.; Stringari, Sandro (2 de octubre de 2008). "Teoría de los gases Fermi atómicos ultrafríos". Reseñas de Física Moderna . 80 (4): 1215-1274. arXiv : 0706.3360 . Código Bib : 2008RvMP...80.1215G. doi :10.1103/RevModPhys.80.1215. S2CID  117755089.
6. Kelly, James J. (1996). "Mecánica estadística de sistemas ideales de Fermi" (PDF) . Universidad Autónoma de Madrid . Archivado desde el original (PDF) el 12 de abril de 2018 . Consultado el 15 de marzo de 2018 .
7. "Gases Fermi ideales degenerados" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de septiembre de 2008 . Consultado el 13 de abril de 2014 .
8. Nave, varilla. "Energías de Fermi, temperaturas de Fermi y velocidades de Fermi". Hiperfísica . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
9. Torre, Charles (21 de abril de 2015). "PHYS 3700: Introducción a la termodinámica estadística cuántica" (PDF) . Universidad Estatal de Utah . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
10. Nave, varilla. "Nivel de Fermi y función de Fermi". Hiperfísica . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
11. Ashcroft, Neil W.; Mermín, N. David (1976). Física del Estado Sólido . Holt, Rinehart y Winston . ISBN 978-0-03-083993-1.
12. Blundell (2006). "Capítulo 30: Gases y condensados ​​cuánticos". Conceptos de Física Térmica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780198567707.
13. Greiner, Walter ; Neise, Ludwig; Stöcker, Horst (1995). Termodinámica y Mecánica Estadística. Física Teórica Clásica. Springer, Nueva York, Nueva York. págs. 341–386. doi :10.1007/978-1-4612-0827-3_14. ISBN 9780387942995.

Otras lecturas

• Neil W. Ashcroft y N. David Mermin , Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
• Charles Kittel , Introducción a la Física del Estado Sólido , 1ª ed. 1953 - 8ª ed. 2005, ISBN 0-471-41526-X