Módulo de volumen

Resistencia de un material a una presión uniforme.

Ilustración de compresión uniforme

El módulo volumétrico ( o o ) de una sustancia es una medida de la resistencia de una sustancia a la compresión volumétrica . Se define como la relación entre el aumento de presión infinitesimal y la disminución relativa resultante del volumen . ^[1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Otros módulos describen la respuesta del material ( deformación ) a otros tipos de tensión : el módulo de corte describe la respuesta a la tensión de corte , y el módulo de Young describe la respuesta a la tensión normal (estiramiento longitudinal). Para un fluido , sólo el módulo volumétrico es significativo. Para un sólido anisotrópico complejo como la madera o el papel , estos tres módulos no contienen suficiente información para describir su comportamiento, y se debe utilizar la ley de Hooke generalizada completa . El recíproco del módulo volumétrico a temperatura fija se llama compresibilidad isotérmica .

Definición

El módulo de volumen (que suele ser positivo) se puede definir formalmente mediante la ecuación ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}$

donde es la presión, es el volumen inicial de la sustancia y denota la derivada de la presión con respecto al volumen. Como el volumen es inversamente proporcional a la densidad, se deduce que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dP/dV}$

${\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}$

donde es la densidad inicial y denota la derivada de la presión con respecto a la densidad. El inverso del módulo volumétrico da la compresibilidad de una sustancia . Generalmente, el módulo de volumen se define a temperatura constante como módulo de volumen isotérmico, pero también se puede definir a entropía constante como módulo de volumen adiabático . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle dP/d\rho }$

Relación termodinámica

Estrictamente hablando, el módulo volumétrico es una cantidad termodinámica , y para especificar un módulo volumétrico es necesario especificar cómo varía la presión durante la compresión: temperatura constante (isotérmica ), entropía constante ( isentrópica ) y otras variaciones son posibles. . Estas distinciones son especialmente relevantes para los gases . ${\displaystyle K_{T}}$ ${\displaystyle K_{S}}$

Para un gas ideal , un proceso isentrópico tiene:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },}$

¿Dónde está la relación de capacidad calorífica ? Por lo tanto, el módulo de volumen isentrópico viene dado por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{S}}$

${\displaystyle K_{S}=\gamma P.}$

De manera similar, un proceso isotérmico de un gas ideal tiene:

${\displaystyle PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

Por lo tanto, el módulo de volumen isotérmico viene dado por ${\displaystyle K_{T}}$

${\displaystyle K_{T}=P}$.

Cuando el gas no es ideal, estas ecuaciones dan sólo una aproximación del módulo volumétrico. En un fluido, el módulo volumétrico y la densidad determinan la velocidad del sonido ( ondas de presión ), según la fórmula de Newton-Laplace. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

En sólidos, y tienen valores muy similares. Los sólidos también pueden soportar ondas transversales : para estos materiales se necesita un módulo elástico adicional , por ejemplo el módulo de corte, para determinar la velocidad de las ondas. ${\displaystyle K_{S}}$ ${\displaystyle K_{T}}$

Medición

Es posible medir el módulo volumétrico mediante difracción de polvo bajo presión aplicada. Es una propiedad de un fluido que muestra su capacidad de cambiar su volumen bajo su presión.

Valores seleccionados

Influencias de las adiciones de componentes de vidrio seleccionados en el módulo volumétrico de un vidrio base específico. ^[6]

Un material con un módulo volumétrico de 35 GPa pierde uno por ciento de su volumen cuando se somete a una presión externa de 0,35 GPa (~3500 bar ) (se supone un módulo volumétrico constante o débilmente dependiente de la presión).

Origen microscópico

Potencial interatómico y elasticidad lineal.

Potencial y fuerza interatómicos.

Dado que la elasticidad lineal es un resultado directo de la interacción interatómica, está relacionada con la extensión/compresión de los enlaces. Luego puede derivarse del potencial interatómico de materiales cristalinos. ^[9] Primero, examinemos la energía potencial de dos átomos que interactúan. Partiendo de puntos muy lejanos, sentirán una atracción mutua. A medida que se acerquen, su energía potencial disminuirá. Por otro lado, cuando dos átomos están muy cerca uno del otro, su energía total será muy alta debido a la interacción repulsiva. Juntos, estos potenciales garantizan una distancia interatómica que logra un estado energético mínimo. Esto ocurre a cierta distancia a ₀ , donde la fuerza total es cero:

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

Donde U es el potencial interatómico y r es la distancia interatómica. Esto significa que los átomos están en equilibrio.

Para extender el enfoque de dos átomos al sólido, considere un modelo simple, digamos, una matriz unidimensional de un elemento con una distancia interatómica de a, y la distancia de equilibrio es a ₀ . Su relación energía potencial-distancia interatómica tiene una forma similar a la del caso de los dos átomos, que alcanza el mínimo en a _0. La expansión de Taylor para esto es:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$

En equilibrio, la primera derivada es 0, por lo que el término dominante es el cuadrático. Cuando el desplazamiento es pequeño, se deben omitir los términos de orden superior. La expresión queda:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

Lo cual es claramente elasticidad lineal.

Tenga en cuenta que la derivación se realiza considerando dos átomos vecinos, por lo que el coeficiente de Hook es:

${\displaystyle K=a_{0}{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Esta forma se puede extender fácilmente al caso tridimensional, con volumen por átomo (Ω) en lugar de distancia interatómica.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Relación con el radio atómico

Como se derivó anteriormente, el módulo volumétrico está directamente relacionado con el potencial interatómico y el volumen por átomo. Podemos evaluar más a fondo el potencial interatómico para conectar K con otras propiedades. Por lo general, el potencial del par interatómico se puede expresar como una función de la distancia que tiene dos términos, un término para atracción y otro término para repulsión. Por ejemplo,

${\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}$

donde el término que involucra a A representa el término de atracción y el término B representa la repulsión. A y B se eligen como positivos y n y m suelen ser números enteros, siendo m normalmente mayor que n debido a la naturaleza de corto alcance de la repulsión. En la posición de equilibrio, u está en su mínimo y por lo tanto la primera derivada es 0. Tenemos

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}}$

${\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)}$

cuando r está cerca de, recuerde que n (generalmente de 1 a 6) es menor que m (generalmente de 9 a 12), ignore el segundo término, evalúe la segunda derivada

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}}$

Recuerde la relación entre r y Ω.

${\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}}$

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}}$

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}}$

En muchos casos, como en metal o material iónico, la fuerza de atracción es electrostática, por lo que n = 1, tenemos

${\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}$

Esto se aplica a átomos con naturaleza de enlace similar. Esta relación se verifica en los metales alcalinos y en muchos compuestos iónicos. ^[10]

Ver también

• tensor de elasticidad
• cepa volumétrica

Referencias

1. "Propiedades elásticas masivas". hiperfísica . Universidad Estatal de Georgia.
2. Página 52 de " Introducción a la física del estado sólido , octava edición" de Charles Kittel, 2005, ISBN 0-471-41526-X 
3. Gallas, Marcia R.; Piermarini, Gasper J. (1994). "Módulo de masa y módulo de Young de γ-alúmina nanocristalina". Revista de la Sociedad Estadounidense de Cerámica . 77 (11): 2917–2920. doi :10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. ISSN  1551-2916.
4. "Página de propiedades del grafito de John A. Jaszczak". páginas.mtu.edu . Consultado el 16 de julio de 2021 .
5. "Caucho de silicona". Materiales AZO .
6. Fluegel, Alejandro. "Cálculo del módulo volumétrico de vidrios". glassproperties.com .
7. Liu, AY; Cohen, ML (1989). "Predicción de nuevos sólidos de baja compresibilidad". Ciencia. 245 (4920): 841–842.
8. Beau, señor (2018). "Sobre la naturaleza del espacio-tiempo, la inflación cosmológica y la expansión del universo". Preimpresión. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364
9. H., Courtney, Thomas (2013). Comportamiento mecánico de materiales (2ª ed. Reimp ed.). Nueva Delhi: McGraw Hill Education (India). ISBN 978-1259027512. OCLC  929663641.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
10. Gilman, JJ (1969). Micromecánica del Flujo en Sólidos . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 29.

Otras lecturas

• De Jong, Martín; Chen, Wei (2015). "Trazar las propiedades elásticas completas de compuestos cristalinos inorgánicos". Datos científicos . 2 : 150009. Código Bib : 2013NatSD...2E0009D. doi :10.1038/sdata.2015.9. PMC  4432655 . PMID  25984348.