Gas en una caja

Modelo estadístico básico

En mecánica cuántica , los resultados de la partícula cuántica en una caja se pueden utilizar para observar la situación de equilibrio de un gas cuántico ideal en una caja que contiene una gran cantidad de moléculas que no interactúan entre sí excepto de manera instantánea. colisiones termalizantes. Este modelo simple se puede utilizar para describir el gas ideal clásico , así como los diversos gases ideales cuánticos, como el gas Fermi masivo ideal , el gas Bose masivo ideal y la radiación del cuerpo negro ( gas fotónico ), que puede tratarse como un gas sin masa. Gas Bose, en el que generalmente se supone que la termalización se ve facilitada por la interacción de los fotones con una masa equilibrada.

Utilizando los resultados de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , de Bose-Einstein o de Fermi-Dirac , y considerando el límite de una caja muy grande, se utiliza la aproximación de Thomas-Fermi (llamada así en honor a Enrico Fermi y Llewellyn Thomas ) para expresar la degeneración. de los estados de energía como diferencial y las sumas de estados como integrales. Esto permite calcular las propiedades termodinámicas del gas con el uso de la función de partición o la función de gran partición . Estos resultados se aplicarán tanto a partículas masivas como a partículas sin masa. Los cálculos más completos se dejarán para artículos separados, pero en este artículo se darán algunos ejemplos simples.

Aproximación de Thomas-Fermi para la degeneración de los estados

Tanto para partículas masivas como sin masa en una caja , los estados de una partícula se enumeran mediante un conjunto de números cuánticos [ n _x , n _y , n _z ] . La magnitud del impulso está dada por

${\displaystyle p={\frac {h}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3,\ldots }$

donde h es la constante de Planck y L es la longitud de un lado de la caja. Cada estado posible de una partícula puede considerarse como un punto en una cuadrícula tridimensional de números enteros positivos. La distancia desde el origen a cualquier punto será

${\displaystyle n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {2Lp}{h}}}$

Supongamos que cada conjunto de números cuánticos especifica f estados donde f es el número de grados de libertad internos de la partícula que pueden alterarse por colisión. Por ejemplo, una partícula de espín 1 ⁄ 2 tendría f = 2 , uno para cada estado de espín. Para valores grandes de n , el número de estados con magnitud de impulso menor o igual a p de la ecuación anterior es aproximadamente

${\displaystyle g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}}$

que es justo f veces el volumen de una esfera de radio n dividido por ocho ya que solo se considera el octante con n _i positivo. Utilizando una aproximación continua, el número de estados con magnitud de impulso entre p y p + dp es, por tanto,

${\displaystyle dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp}$

donde V = L ³ es el volumen de la caja. Tenga en cuenta que al utilizar esta aproximación del continuo, también conocida como aproximación de Thomas-Fermi , se pierde la capacidad de caracterizar los estados de baja energía, incluido el estado fundamental donde n _i = 1 . En la mayoría de los casos esto no será un problema, pero cuando se considera la condensación de Bose-Einstein , en la que una gran parte del gas está en el estado fundamental o cerca de él, la capacidad de lidiar con estados de baja energía se vuelve importante.

Sin utilizar ninguna aproximación, el número de partículas con energía ε _i viene dado por

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\varepsilon _{i})}}}$

¿Dónde está la degeneración del estado i y ${\displaystyle g_{i}}$

$${\displaystyle \Phi (\varepsilon _{i})={\begin{cases}e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )},&{\text{for particles obeying Maxwell-Boltzmann statistics}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}-1,&{\text{for particles obeying Bose-Einstein statistics}}\\e^{\beta (\varepsilon _{i}-\mu )}+1,&{\text{for particles obeying Fermi-Dirac statistics}}\\\end{cases}}}$$

β = 1/ k _B Tconstante de Boltzmann k _Bla temperatura Tel potencial químico μlas estadísticas de Maxwell-Boltzmannlas estadísticas de Bose-Einsteinlas estadísticas de Fermi-Dirac

Usando la aproximación de Thomas-Fermi, el número de partículas dN _E con energía entre E y E + dE es:

${\displaystyle dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}}$

donde es el número de estados con energía entre E y E + dE . ${\displaystyle dg_{E}}$

Distribución de energía

Utilizando los resultados derivados de las secciones anteriores de este artículo, ahora se pueden determinar algunas distribuciones del gas en una caja. Para un sistema de partículas, la distribución de una variable se define mediante la expresión cuál es la fracción de partículas que tienen valores entre y ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{A}dA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}}$

dónde

• ${\displaystyle dN_{A}}$, número de partículas que tienen valores entre y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$
• ${\displaystyle dg_{A}}$, número de estados que tienen valores para entre y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$
• ${\displaystyle \Phi _{A}^{-1}}$, probabilidad de que un estado que tiene el valor esté ocupado por una partícula ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle N}$, número total de partículas.

Resulta que:

${\displaystyle \int _{A}P_{A}~dA=1}$

Para una distribución de momento , la fracción de partículas con magnitud de momento entre y es: ${\displaystyle P_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p+dp}$

${\displaystyle P_{p}~dp={\frac {Vf}{N}}~{\frac {4\pi }{h^{3}\Phi _{p}}}~p^{2}dp}$

y para una distribución de energía , la fracción de partículas con energía entre y es: ${\displaystyle P_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$

${\displaystyle P_{E}~dE=P_{p}{\frac {dp}{dE}}~dE}$

Para una partícula en una caja (y también para una partícula libre), la relación entre energía y momento es diferente para partículas masivas y sin masa. Para partículas masivas, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

mientras que para partículas sin masa,

${\displaystyle E=pc}$

donde es la masa de la partícula y es la velocidad de la luz. Usando estas relaciones, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$

• Para partículas masivas
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$
  donde Λ es la longitud de onda térmica del gas.
  $${\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}}$$
  Esta es una cantidad importante, ya que cuando Λ es del orden de la distancia entre partículas , los efectos cuánticos comienzan a dominar y el gas ya no puede considerarse como un gas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle (V/N)^{1/3}}$
• Para partículas sin masa
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}$$
  donde Λ es ahora la longitud de onda térmica para partículas sin masa.
  $${\displaystyle \Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}}$$

Ejemplos específicos

Las siguientes secciones dan un ejemplo de resultados para algunos casos específicos.

Partículas masivas de Maxwell-Boltzmann

Para este caso:

${\displaystyle \Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}}$

Integrando la función de distribución de energía y resolviendo N se obtiene

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\,\,e^{\beta \mu }}$

Sustituyendo en la función de distribución de energía original se obtiene

${\displaystyle P_{E}~dE=2{\sqrt {\frac {\beta ^{3}E}{\pi }}}~e^{-\beta E}~dE}$

que son los mismos resultados obtenidos clásicamente para la distribución de Maxwell-Boltzmann . Se pueden encontrar más resultados en la sección clásica del artículo sobre el gas ideal .

Partículas masivas de Bose-Einstein

Para este caso:

${\displaystyle \Phi (E)={\frac {e^{\beta E}}{z}}-1}$

dónde ${\displaystyle z=e^{\beta \mu }.}$

Integrar la función de distribución de energía y resolver N da el número de partículas

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)}$

donde Li _s ( z ) es la función polilogaritmo . El término del polilogaritmo siempre debe ser positivo y real, lo que significa que su valor irá de 0 a ζ (3/2) a medida que z pasa de 0 a 1. A medida que la temperatura desciende hacia cero, Λ se hará cada vez más grande, hasta finalmente Λ alcanzará un valor crítico Λ _c donde z = 1 y

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda _{\rm {c}}^{3}}}\right)\zeta (3/2),}$

donde denota la función zeta de Riemann . La temperatura a la que Λ = Λ _c es la temperatura crítica. Para temperaturas por debajo de esta temperatura crítica, la ecuación anterior para el número de partículas no tiene solución. La temperatura crítica es la temperatura a la que comienza a formarse un condensado de Bose-Einstein. El problema es, como se mencionó anteriormente, que el estado fundamental se ha ignorado en la aproximación del continuo. Sin embargo, resulta que la ecuación anterior para el número de partículas expresa bastante bien el número de bosones en estados excitados y, por tanto: ${\displaystyle \zeta (z)}$

${\displaystyle N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\operatorname {Li} _{3/2}(z)}$

donde el término agregado es el número de partículas en el estado fundamental. Se ha ignorado la energía del estado fundamental. Esta ecuación se mantendrá a temperatura cero. Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas Bose ideal .

Partículas de Bose-Einstein sin masa (por ejemplo, radiación de cuerpo negro)

Para el caso de partículas sin masa, se debe utilizar la función de distribución de energía sin masa. Es conveniente convertir esta función a una función de distribución de frecuencia:

${\displaystyle P_{\nu }~d\nu ={\frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu }$

donde Λ es la longitud de onda térmica para partículas sin masa. La densidad de energía espectral (energía por unidad de volumen por unidad de frecuencia) es entonces

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N\,h\nu }{V}}\right)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu .}$

De manera análoga al caso de las partículas masivas, se pueden derivar otros parámetros termodinámicos. Por ejemplo, integrando la función de distribución de frecuencia y resolviendo N se obtiene el número de partículas:

${\displaystyle N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /k_{\rm {B}}T}\right).}$

El gas Bose sin masa más común es un gas fotónico en un cuerpo negro . Tomando la "caja" como una cavidad de un cuerpo negro, las paredes absorben y reemiten continuamente los fotones. Cuando este es el caso, el número de fotones no se conserva. En la derivación de la estadística de Bose-Einstein , cuando se elimina la restricción sobre el número de partículas, esto es efectivamente lo mismo que establecer el potencial químico ( μ ) en cero. Además, dado que los fotones tienen dos estados de espín, el valor de f es 2. La densidad de energía espectral es entonces

${\displaystyle U_{\nu }~d\nu ={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\rm {B}}T}-1}}~d\nu }$

que es simplemente la densidad de energía espectral de la ley de radiación del cuerpo negro de Planck . Tenga en cuenta que la distribución de Wien se recupera si este procedimiento se lleva a cabo para partículas de Maxwell-Boltzmann sin masa, que se aproxima a una distribución de Planck para altas temperaturas o bajas densidades.

En determinadas situaciones, las reacciones que implican fotones tendrán como resultado la conservación del número de fotones (por ejemplo, diodos emisores de luz , cavidades "blancas"). En estos casos, la función de distribución de fotones implicará un potencial químico distinto de cero. (Hermann 2005)

Otro gas Bose sin masa lo proporciona el modelo de Debye para la capacidad calorífica . Este modelo considera un gas de fonones en una caja y se diferencia del desarrollo para fotones en que la velocidad de los fonones es menor que la velocidad de la luz y hay una longitud de onda máxima permitida para cada eje de la caja. Esto significa que la integración sobre el espacio de fases no se puede llevar a cabo hasta el infinito, y en lugar de expresar los resultados en polilogaritmos, se expresan en las funciones de Debye relacionadas .

Partículas masivas de Fermi-Dirac (por ejemplo, electrones en un metal)

Para este caso:

${\displaystyle \Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}+1.\,}$

La integración de la función de distribución de energía proporciona

${\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]}$

donde nuevamente, Li _s ( z ) es la función polilogaritmo y Λ es la longitud de onda térmica de De Broglie . Se pueden encontrar más resultados en el artículo sobre el gas ideal de Fermi . Las aplicaciones del gas de Fermi se encuentran en el modelo de electrones libres , la teoría de las enanas blancas y en la materia degenerada en general.

Ver también

• Gas en una trampa armónica

Referencias

• Herrmann, F.; Würfel, P. (agosto de 2005). "Luz con potencial químico distinto de cero". Revista Estadounidense de Física . 73 (8): 717–723. Código Bib : 2005AmJPh..73..717H. doi : 10.1119/1.1904623 . Consultado el 20 de noviembre de 2006 .
• Huang, Kerson (1967). Mecánica estadística . Nueva York: John Wiley & Sons.
• Isihara, A. (1971). Física Estadística . Nueva York: Academic Press.
• Landau, LD; EM Lifshitz (1996). Física estadística (3.ª edición, parte 1 ed.). Oxford: Butterworth-Heinemann.
• Yan, Zijun (2000). "Longitud de onda térmica general y sus aplicaciones". EUR. J. Física . 21 (6): 625–631. Código Bib : 2000EJPh...21..625Y. doi :10.1088/0143-0807/21/6/314. S2CID  250870934.
• Vu-Quoc, L., Configuración integral (mecánica estadística), 2008. Este sitio wiki no funciona; consulte este artículo en el archivo web del 28 de abril de 2012.