Flujo potencial

Campo de velocidad como gradiente de una función escalar

Líneas de flujo potencial alrededor de un perfil aerodinámico NACA 0012 con un ángulo de ataque de 11° , con tubos de corriente superior e inferior identificados. El flujo es bidimensional y el perfil aerodinámico tiene una envergadura infinita.

En dinámica de fluidos , el flujo potencial o flujo irrotacional se refiere a una descripción de un flujo de fluido sin vorticidad en él. Dicha descripción surge típicamente en el límite de viscosidad evanescente , es decir, para un fluido no viscoso y sin vorticidad presente en el flujo.

El flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad . Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidad irrotacional , que es una aproximación válida para varias aplicaciones. La irrotacionalidad de un flujo potencial se debe a que el rizo del gradiente de un escalar siempre es igual a cero.

En el caso de un flujo incompresible, el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace y la teoría del potencial es aplicable. Sin embargo, los flujos potenciales también se han utilizado para describir flujos compresibles y flujos de Hele-Shaw . El enfoque del flujo potencial se utiliza en el modelado de flujos tanto estacionarios como no estacionarios.

Las aplicaciones del flujo potencial incluyen: el campo de flujo exterior para perfiles aerodinámicos , ondas de agua , flujo electroosmótico y flujo de agua subterránea . Para flujos (o partes de ellos) con fuertes efectos de vorticidad , la aproximación de flujo potencial no es aplicable. En regiones de flujo donde se sabe que la vorticidad es importante, como estelas y capas límite , la teoría del flujo potencial no puede proporcionar predicciones razonables del flujo. ^[1] Afortunadamente, a menudo hay grandes regiones de un flujo donde el supuesto de irrotacionalidad es válido, por lo que el flujo potencial se utiliza para varias aplicaciones. Por ejemplo, en: flujo alrededor de aeronaves , flujo de agua subterránea , acústica , ondas de agua y flujo electroosmótico . ^[2]

Descripción y características

Un flujo potencial se construye sumando flujos elementales simples y observando el resultado.

Líneas de corriente para el flujo potencial incompresible alrededor de un cilindro circular en un flujo uniforme.

En el flujo potencial o irrotacional, el campo vectorial de vorticidad es cero, es decir,

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0}$,

donde es el campo de velocidad y es el campo de vorticidad . Como cualquier campo vectorial que tenga un rotacional cero, el campo de velocidad se puede expresar como el gradiente de cierto escalar, por ejemplo, que se denomina potencial de velocidad , ya que el rotacional del gradiente siempre es cero. Por lo tanto, tenemos ^[3] ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

El potencial de velocidad no está definido de manera única, ya que se le puede agregar una función arbitraria del tiempo, por ejemplo , sin afectar la cantidad física relevante que es . La falta de unicidad generalmente se elimina seleccionando adecuadamente las condiciones iniciales o de contorno adecuadas que satisface y, como tal, el procedimiento puede variar de un problema a otro. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$

En el flujo potencial, la circulación alrededor de cualquier contorno simplemente conexo es cero. Esto se puede demostrar mediante el teorema de Stokes . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0}$

donde es el elemento de línea en el contorno y es el elemento de área de cualquier superficie limitada por el contorno. En un espacio conexo múltiple (por ejemplo, alrededor de un contorno que encierra un cuerpo sólido en dos dimensiones o alrededor de un contorno que encierra un toro en tres dimensiones) o en presencia de vórtices concentrados (por ejemplo, en los llamados vórtices irrotacionales o vórtices puntuales, o en anillos de humo), la circulación no necesita ser cero. En el primer caso, el teorema de Stokes no se puede aplicar y en el segundo caso, es distinto de cero dentro de la región limitada por el contorno. Alrededor de un contorno que rodea un cilindro sólido infinitamente largo con el que el contorno se enlaza varias veces, tenemos ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Gamma =N\kappa }$

donde es una constante cíclica. Este ejemplo pertenece a un espacio doblemente conectado. En un espacio doblemente conectado, existen constantes cíclicas, a saber: ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.}$

Flujo incompresible

En el caso de un flujo incompresible —por ejemplo, de un líquido o de un gas con números de Mach bajos , pero no para ondas sonoras— la velocidad v tiene divergencia cero : ^[3]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}$

Sustituyendo aquí se muestra que satisface la ecuación de Laplace ^[3] ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}$

donde ∇ ² = ∇ ⋅ ∇ es el operador de Laplace (a veces también escrito Δ ). Dado que las soluciones de la ecuación de Laplace son funciones armónicas , cada función armónica representa una solución de flujo potencial. Como es evidente, en el caso incompresible, el campo de velocidad se determina completamente a partir de su cinemática : los supuestos de irrotacionalidad y divergencia cero del flujo. La dinámica en conexión con las ecuaciones de momento solo se debe aplicar después, si uno está interesado en calcular el campo de presión: por ejemplo, para el flujo alrededor de superficies aerodinámicas mediante el uso del principio de Bernoulli .

En flujos incompresibles, contrariamente a la idea errónea común, el flujo potencial satisface de hecho las ecuaciones de Navier-Stokes completas , no solo las ecuaciones de Euler , porque el término viscoso

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$

es idénticamente cero. La incapacidad del flujo potencial para satisfacer las condiciones de contorno requeridas, especialmente cerca de límites sólidos, lo hace inválido para representar el campo de flujo requerido. Si el flujo potencial satisface las condiciones necesarias, entonces es la solución requerida de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes.

En dos dimensiones, con la ayuda de la función armónica y su función armónica conjugada (función de corriente), el flujo potencial incompresible se reduce a un sistema muy simple que se analiza mediante análisis complejo (ver más abajo). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Flujo compresible

Flujo constante

La teoría del flujo potencial también se puede utilizar para modelar el flujo compresible irrotacional. La derivación de la ecuación que rige para a partir de la ecuación de Euler es bastante sencilla. Las ecuaciones de continuidad y de momento (flujo potencial) para flujos estacionarios se dan mediante ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }$

donde la última ecuación se deduce del hecho de que la entropía es constante para una partícula de fluido y que el cuadrado de la velocidad del sonido es . La eliminación de las dos ecuaciones gobernantes da como resultado ${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$ ${\displaystyle \nabla \rho }$

${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}$

La versión incompresible surge en el límite . Sustituyendo aquí resulta ^{[4] [5]} ${\displaystyle c\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}$

donde se expresa como una función de la magnitud de la velocidad . Para un gas politrópico , , donde es la relación de calor específico y es la entalpía de estancamiento . En dos dimensiones, la ecuación se simplifica a ${\displaystyle c=c(v)}$ ${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{0}}$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$

Validez: Tal como está, la ecuación es válida para cualquier flujo potencial no viscoso, independientemente de si el flujo es subsónico o supersónico (por ejemplo, flujo de Prandtl-Meyer ). Sin embargo, en flujos supersónicos y también transónicos, pueden producirse ondas de choque que pueden introducir entropía y vorticidad en el flujo, haciendo que el flujo sea rotacional. No obstante, hay dos casos en los que prevalece el flujo potencial incluso en presencia de ondas de choque, que se explican a partir de la ecuación de momento (no necesariamente potencial) escrita en la siguiente forma

${\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}$

donde es la entalpía específica , es el campo de vorticidad , es la temperatura y es la entropía específica. Como delante de la onda de choque principal, tenemos un flujo potencial, la ecuación de Bernoulli muestra que es constante, que también es constante a lo largo de la onda de choque ( condiciones de Rankine-Hugoniot ) y, por lo tanto, podemos escribir ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h+v^{2}/2}$

${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}$

1) Cuando la onda de choque es de intensidad constante, la discontinuidad de entropía a través de la onda de choque también es constante, es decir, y por lo tanto la producción de vorticidad es cero. Las ondas de choque en el borde delantero puntiagudo de una cuña bidimensional o un cono tridimensional ( flujo de Taylor-Maccoll ) tienen una intensidad constante. 2) Para ondas de choque débiles, el salto de entropía a través de la onda de choque es una cantidad de tercer orden en términos de la fuerza de la onda de choque y, por lo tanto, se puede descuidar. Las ondas de choque en cuerpos delgados se encuentran casi paralelas al cuerpo y son débiles. ${\displaystyle \nabla s=0}$ ${\displaystyle \nabla s}$

Flujos casi paralelos: cuando el flujo es predominantemente unidireccional con pequeñas desviaciones, como en el flujo que pasa por cuerpos delgados, la ecuación completa se puede simplificar aún más. Sea la corriente principal y considere pequeñas desviaciones de este campo de velocidad. El potencial de velocidad correspondiente se puede escribir como donde caracteriza la pequeña desviación del flujo uniforme y satisface la versión linealizada de la ecuación completa. Esto se da por ${\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}$ ${\displaystyle \varphi =xU+\phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$

donde es el número de Mach constante correspondiente al flujo uniforme. Esta ecuación es válida siempre que no sea cercana a la unidad. Cuando es pequeña (flujo transónico), tenemos la siguiente ecuación no lineal ^[4] ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

donde es el valor crítico de la derivada de Landau ^{[6] [7]} y es el volumen específico. El flujo transónico está completamente caracterizado por el parámetro único , que para el gas politrópico toma el valor . Bajo la transformación hodógrafa , la ecuación transónica en dos dimensiones se convierte en la ecuación de Euler-Tricomi . ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}}$ ${\displaystyle \upsilon =1/\rho }$ ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}$

Flujo inestable

Las ecuaciones de continuidad y de momento (flujo potencial) para flujos inestables se dan por

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}$

La primera integral de la ecuación de momento (flujo potencial) está dada por

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}$

donde es una función arbitraria. Sin pérdida de generalidad, podemos establecer que ya que no está definida de forma única. Combinando estas ecuaciones, obtenemos ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)=0}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}$

Sustituyendo aquí el resultado es ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{tt}+{\frac {1}{2}}(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}$

Flujos casi paralelos: Como antes, para flujos casi paralelos, podemos escribir (después de introducir un tiempo reescalado ) ${\displaystyle \tau =c_{\infty }t}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

siempre que el número de Mach constante no sea cercano a la unidad. Cuando es pequeño (flujo transónico), tenemos la siguiente ecuación no lineal ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}$

Ondas sonoras: En las ondas sonoras, la magnitud de la velocidad (o el número de Mach) es muy pequeña, aunque el término inestable ahora es comparable a los otros términos principales en la ecuación. Por lo tanto, ignorando todos los términos cuadráticos y de orden superior y notando que en la misma aproximación, es una constante (por ejemplo, en un gas politrópico ), tenemos ^{[8] [4]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}$

que es una ecuación de onda lineal para el potencial de velocidad φ . Nuevamente, la parte oscilatoria del vector de velocidad v está relacionada con el potencial de velocidad por v = ∇ φ , mientras que como antes Δ es el operador de Laplace , y c es la velocidad promedio del sonido en el medio homogéneo . Nótese que también las partes oscilatorias de la presión p y la densidad ρ satisfacen individualmente la ecuación de onda, en esta aproximación.

Aplicabilidad y limitaciones

El flujo potencial no incluye todas las características de los flujos que se encuentran en el mundo real. La teoría del flujo potencial no se puede aplicar a flujos internos viscosos , ^[1] excepto para flujos entre placas muy espaciadas . Richard Feynman consideró que el flujo potencial era tan poco físico que el único fluido que obedecía a los supuestos era el "agua seca" (citando a John von Neumann). ^[9] El flujo potencial incompresible también hace una serie de predicciones inválidas, como la paradoja de d'Alembert , que establece que la resistencia de cualquier objeto que se mueva a través de un fluido infinito que de otro modo estaría en reposo es cero. ^[10] Más precisamente, el flujo potencial no puede explicar el comportamiento de los flujos que incluyen una capa límite . ^[1] Sin embargo, comprender el flujo potencial es importante en muchas ramas de la mecánica de fluidos. En particular, los flujos potenciales simples (llamados flujos elementales ) como el vórtice libre y la fuente puntual poseen soluciones analíticas fáciles. Estas soluciones se pueden superponer para crear flujos más complejos que satisfacen una variedad de condiciones de contorno. Estos flujos se corresponden estrechamente con los flujos de la vida real en toda la mecánica de fluidos; Además, surgen muchos conocimientos valiosos al considerar la desviación (a menudo leve) entre un flujo observado y el flujo potencial correspondiente. El flujo potencial encuentra muchas aplicaciones en campos como el diseño de aeronaves. Por ejemplo, en dinámica de fluidos computacional , una técnica es acoplar una solución de flujo potencial fuera de la capa límite a una solución de las ecuaciones de la capa límite dentro de la capa límite. La ausencia de efectos de la capa límite significa que cualquier línea de corriente puede reemplazarse por un límite sólido sin cambios en el campo de flujo, una técnica utilizada en muchos enfoques de diseño aerodinámico. Otra técnica sería el uso de sólidos de Riabouchinsky . ^{[ dudoso – discutir ]}

Análisis de flujo incompresible bidimensional

El flujo potencial en dos dimensiones es fácil de analizar mediante el uso de la función conforme , mediante el uso de transformaciones del plano complejo . Sin embargo, no se requiere el uso de números complejos, como por ejemplo en el análisis clásico del flujo de fluidos que pasa por un cilindro. No es posible resolver un flujo potencial utilizando números complejos en tres dimensiones. ^[11]

La idea básica es utilizar una función holomorfa (también llamada analítica ) o meromórfica f , que mapea el dominio físico ( x , y ) al dominio transformado ( φ , ψ ) . Si bien x , y , φ y ψ son valores reales , es conveniente definir las cantidades complejas.

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}$

Ahora, si escribimos la función f como ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}$

Entonces, debido a que f es una función holomorfa o meromórfica, tiene que satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Los componentes de velocidad ( u , v ) , en las direcciones ( x , y ) respectivamente, se pueden obtener directamente de f diferenciando con respecto a z . Es decir ^[11]

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}$

Por lo tanto, el campo de velocidad v = ( u , v ) se especifica mediante ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Tanto φ como ψ satisfacen entonces la ecuación de Laplace : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, φ puede identificarse como el potencial de velocidad y ψ se denomina función de corriente . ^[11] Las líneas de ψ constante se conocen como líneas de corriente y las líneas de φ constante se conocen como líneas equipotenciales (ver superficie equipotencial ).

Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales entre sí, ya que ^[11]

${\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}$

Por lo tanto, el flujo se produce a lo largo de las líneas de constante ψ y en ángulos rectos con las líneas de constante φ . ^[11]

También se cumple Δ ψ = 0 , siendo esta relación equivalente a ∇ × v = 0 . Por lo tanto, el flujo es irrotacional. La condición automática ⁠∂ ² Ψ/∂x∂y​​​⁠ = ⁠∂ ² Ψ/∂ y ∂ x⁠ entonces da la restricción de incompresibilidad ∇ · v = 0 .

Ejemplos de flujos incompresibles bidimensionales

Se puede utilizar cualquier función diferenciable para f . Los ejemplos que siguen utilizan una variedad de funciones elementales ; también se pueden utilizar funciones especiales . Tenga en cuenta que se pueden utilizar funciones multivaluadas , como el logaritmo natural , pero la atención debe limitarse a una única superficie de Riemann .

Leyes de potencia

Ejemplos de mapas conformes para la ley de potencia w = Az ⁿ

Ejemplos de mapas conformes para la ley de potencia w = Az ⁿ , para diferentes valores de la potencia n . Se muestra el plano z , que muestra líneas de potencial constante φ y función de corriente ψ , mientras que w = φ + iψ .

En caso de que se aplique el siguiente mapa conforme de ley de potencia , de z = x + iy a w = φ + iψ : ^[12]

${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$

entonces, escribiendo z en coordenadas polares como z = x + iy = re ^iθ , tenemos ^[12]

${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$

En las figuras de la derecha se dan ejemplos para varios valores de n . La línea negra es el límite del flujo, mientras que las líneas azules más oscuras son líneas de corriente y las líneas azules más claras son líneas equipotenciales. Algunas potencias n interesantes son: ^[12]

• n = ⁠1/2⁠ : esto corresponde al flujo alrededor de una placa semi-infinita,
• n = ⁠2/3: fluir alrededor de una esquina derecha,
• n = 1 : un caso trivial de flujo uniforme,
• n = 2 : flujo a través de una esquina, o cerca de un punto de estancamiento, y
• n = −1 : flujo debido a un doblete de fuente

La constante A es un parámetro de escala: su valor absoluto | A | determina la escala, mientras que su argumento arg( A ) introduce una rotación (si no es cero).

Leyes de potencia conn = 1:flujo uniforme

Si w = Az ¹ , es decir, una ley de potencia con n = 1 , las líneas de corriente (es decir, líneas de constante ψ ) son un sistema de líneas rectas paralelas al eje x . Esto se ve más fácilmente si se escribe en términos de componentes reales e imaginarios:

${\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}$

obteniéndose así φ = Ax y ψ = Ay . Este flujo puede interpretarse como un flujo uniforme paralelo al eje x .

Leyes de potencia conn = 2

Si n = 2 , entonces w = Az ² y la línea de corriente correspondiente a un valor particular de ψ son aquellos puntos que satisfacen

${\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}$

que es un sistema de hipérbolas rectangulares . Esto se puede ver reescribiendo nuevamente en términos de componentes reales e imaginarios. Notando que sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y reescribiendo sen θ = ⁠y/a⁠ y cos θ = ⁠incógnita/aSe ve (simplificando) que las líneas de corriente están dadas por

${\displaystyle \psi =2Axy\,.}$

El campo de velocidad está dado por ∇ φ , o

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}$

En dinámica de fluidos, el campo de flujo cerca del origen corresponde a un punto de estancamiento . Nótese que el fluido en el origen está en reposo (esto se deduce de la diferenciación de f (z) = z ² en z = 0 ). La línea de corriente ψ = 0 es particularmente interesante: tiene dos (o cuatro) ramas, siguiendo los ejes de coordenadas, es decir, x = 0 e y = 0. Como ningún fluido fluye a través del eje x , este (el eje x ) puede tratarse como un límite sólido. Por lo tanto, es posible ignorar el flujo en el semiplano inferior donde y < 0 y centrarse en el flujo en el semiplano superior. Con esta interpretación, el flujo es el de un chorro dirigido verticalmente que incide sobre una placa plana horizontal. El flujo también puede interpretarse como flujo en una esquina de 90 grados si se ignoran las regiones especificadas por (por ejemplo) x , y < 0 .

Leyes de potencia conn = 3

Si n = 3 , el flujo resultante es una especie de versión hexagonal del caso n = 2 considerado anteriormente. Las líneas de corriente se dan por ψ = 3 x ² y − y ³ y el flujo en este caso puede interpretarse como flujo en una esquina de 60°.

Leyes de potencia conn = −1:doblete

Si n = −1 , las líneas de corriente están dadas por

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}$

Esto se interpreta más fácilmente en términos de componentes reales e imaginarios:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las líneas de corriente son círculos tangentes al eje x en el origen. Los círculos en el semiplano superior fluyen en el sentido de las agujas del reloj, los del semiplano inferior en el sentido contrario. Nótese que los componentes de velocidad son proporcionales a r ⁻² ; y sus valores en el origen son infinitos. Este patrón de flujo se conoce generalmente como doblete o dipolo y se puede interpretar como la combinación de un par fuente-sumidero de fuerza infinita que se mantiene a una distancia infinitesimalmente pequeña. El campo de velocidad está dado por

${\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}$

o en coordenadas polares:

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}$

Leyes de potencia conn = −2: cuadrupolo

Si n = −2 , las líneas de corriente están dadas por

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}$

Éste es el campo de flujo asociado con un cuadrupolo . ^[13]

Línea fuente y sumidero

Una línea fuente o sumidero de fuerza ( para fuente y para sumidero) viene dada por el potencial ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$

donde de hecho es el flujo de volumen por unidad de longitud a través de una superficie que encierra la fuente o el sumidero. El campo de velocidad en coordenadas polares es ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$

es decir, un flujo puramente radial.

Vórtice lineal

Un vórtice lineal de fuerza está dado por ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$

donde es la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado simple que encierra el vórtice. El campo de velocidad en coordenadas polares es ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

es decir, un flujo puramente azimutal.

Análisis de flujos incompresibles tridimensionales

Para flujos tridimensionales, no se puede obtener el potencial complejo.

Fuente puntual y sumidero

El potencial de velocidad de una fuente o sumidero puntual de fuerza ( para la fuente y para el sumidero) en coordenadas polares esféricas viene dado por ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$

donde de hecho es el flujo de volumen a través de una superficie cerrada que encierra la fuente o el sumidero. El campo de velocidad en coordenadas polares esféricas es ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$

Véase también

• Flujo potencial alrededor de un cilindro circular
• Código de flujo potencial aerodinámico
• Mapeo conforme
• Deriva de Darwin
• Red de flujo
• Campo laplaciano
• Ecuación de Laplace para flujo irrotacional
• Teoría del potencial
• Función de transmisión
• Potencial de velocidad
• Descomposición de Helmholtz

Notas

1. Batchelor (1973) págs. 378–380.
2. Kirby, BJ (2010), Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
3. Batchelor (1973) págs. 99–101.
4. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. Sección 114, página 436.
5. Anderson, JD (2002). Flujo compresible moderno . McGraw-Hill. págs. 358-359. ISBN. 0-07-242443-5.
6. 1942, Landau, LD "Sobre las ondas de choque" J. Phys. URSS 6 229-230
7. Thompson, PA (1971). Una derivada fundamental en dinámica de gases. Física de fluidos, 14(9), 1843-1849.
8. Lamb (1994) §287, págs. 492–495.
9. Feynman, RP ; Leighton, RB ; Sands, M. (1964), Las conferencias Feynman sobre física , vol. 2, Addison-Wesley, pág. 40-3. El capítulo 40 tiene por título: El flujo del agua seca .
10. Batchelor (1973) págs. 404–405.
11. Batchelor (1973) págs. 106–108.
12. Batchelor (1973) págs. 409–413.
13. Kyrala, A. (1972). Funciones aplicadas de una variable compleja . Wiley-Interscience. págs. 116-117. ISBN. 9780471511298.

Referencias

• Batchelor, GK (1973), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
• Lamb, H. (1994) [1932], Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, LM (1996) [1968], Hidrodinámica teórica (5.ª ed.), Dover, ISBN 0-486-68970-0

Lectura adicional

• Chanson, H. (2007), "Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la junction de Joseph-Louis Lagrange [Potencial de velocidad en flujos de fluidos reales: la contribución de Joseph-Louis Lagrange]", La Houille Blanche (en francés) , 93 (5): 127–131, doi : 10.1051/lhb:2007072
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Ondas superficiales", en Flügge, S. ; Truesdell, C. (eds.), Encyclopedia of Physics, vol. IX, Springer Verlag, pp. 446–778, archivado desde el original el 2009-01-05 , consultado el 2009-03-29

Enlaces externos

• "Flujo irrotacional de un fluido no viscoso". Universidad de Génova , Facultad de Ingeniería . Consultado el 29 de marzo de 2009 .
• "Galería de mapas conformes". 3D-XplorMath . Consultado el 29 de marzo de 2009 .— Applets de Java para explorar mapas conformes
• Visualizaciones de flujo potencial: aplicaciones web interactivas