Flujo potencial alrededor de un cilindro circular

Solución clásica para flujo no viscoso e incompresible alrededor de un cilindro

Flujo potencial con circulación cero

En matemáticas , el flujo potencial alrededor de un cilindro circular es una solución clásica para el flujo de un fluido no viscoso e incompresible alrededor de un cilindro que es transversal al flujo. Lejos del cilindro, el flujo es unidireccional y uniforme. El flujo no tiene vorticidad y, por lo tanto, el campo de velocidad es irrotacional y se puede modelar como un flujo potencial . A diferencia de un fluido real, esta solución indica un arrastre neto cero sobre el cuerpo, un resultado conocido como paradoja de d'Alembert .

Solución matemática

Colores: campo de presión. El rojo es alto y el azul es bajo. Vectores de velocidad.

Vista en primer plano de un cuadrante del flujo. Colores: campo de presión. El rojo es alto y el azul es bajo. Vectores de velocidad.

Campo de presión (colores), función de corriente ( negro ) con intervalo de contorno de 0,2 Ur de abajo a arriba, potencial de velocidad ( blanco ) con intervalo de contorno de 0,2 Ur de izquierda a derecha.

Un cilindro (o disco) de radio R se coloca en un flujo bidimensional, incompresible y no viscoso. El objetivo es encontrar el vector de velocidad constante V y la presión p en un plano, sujeto a la condición de que lejos del cilindro el vector de velocidad (en relación con los vectores unitarios i y j ) sea: ^[1]

${\displaystyle \mathbf {V} =U\mathbf {i} +0\mathbf {j} \,,}$

donde U es una constante, y en el límite del cilindro

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {\hat {n}} =0\,,}$

donde n̂ es el vector normal a la superficie del cilindro. El flujo ascendente es uniforme y no tiene vorticidad. El flujo es no viscoso, incompresible y tiene una densidad de masa constante ρ . Por lo tanto, el flujo permanece sin vorticidad, o se dice que es irrotacional , con ∇ × V = 0 en todas partes. Al ser irrotacional, debe existir un potencial de velocidad φ :

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \phi \,.}$

Al ser incompresible, ∇ · V = 0 , por lo que φ debe satisfacer la ecuación de Laplace :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0\,.}$

La solución para φ se obtiene más fácilmente en coordenadas polares r y θ , relacionadas con las coordenadas cartesianas convencionales por x = r cos θ e y = r sen θ . En coordenadas polares, la ecuación de Laplace es (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas ):

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \theta ^{2}}}=0\,.}$

La solución que satisface las condiciones de contorno es ^[2]

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$

Los componentes de velocidad en coordenadas polares se obtienen a partir de los componentes de ∇ φ en coordenadas polares:

${\displaystyle V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta }$

y

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}=-U\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta \,.}$

Al ser no viscosa e irrotacional, la ecuación de Bernoulli permite obtener la solución del campo de presión directamente del campo de velocidad:

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\rho \left(U^{2}-V^{2}\right)+p_{\infty },}$

donde las constantes U y p _∞ aparecen de manera que p → p _∞ lejos del cilindro, donde V = U . Utilizando V ² = V²
_r+ V^2θ
_​,

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}\left(2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)+p_{\infty }\,.}$

En las figuras, el campo coloreado denominado "presión" es un gráfico de

${\displaystyle 2{\frac {p-p_{\infty }}{\rho U^{2}}}=2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}\,}}.}$

En la superficie del cilindro, o r = R , la presión varía desde un máximo de 1 (mostrado en el diagrama en rojo ) en los puntos de estancamiento en θ = 0 y θ = π hasta un mínimo de −3 (mostrado en azul ) en los lados del cilindro, en θ = ⁠π/2⁠ y θ = ⁠3π/2⁠ . Asimismo, V varía desde V = 0 en los puntos de estancamiento hasta V = 2 U en los lados, en la baja presión. ^[1]

Función de transmisión

Como el flujo es incompresible, se puede encontrar una función de corriente tal que

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \psi \times \mathbf {k} \,.}$

De esta definición se deduce que, utilizando identidades vectoriales ,

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \nabla {\psi }=0\,.}$

Por lo tanto, un contorno de valor constante de ψ también será una línea de corriente, una línea tangente a V. Para el flujo que pasa por un cilindro, encontramos:

${\displaystyle \psi =U\left(r-{\frac {R^{2}}{r}}\right)\sin \theta \,.}$

Interpretación física

La ecuación de Laplace es lineal y es una de las ecuaciones diferenciales parciales más elementales . Esta sencilla ecuación proporciona la solución completa tanto para V como para p debido a la restricción de irrotacionalidad e incompresibilidad. Una vez obtenida la solución para V y p , se puede observar la coherencia del gradiente de presión con las aceleraciones.

La presión dinámica en el punto de estancamiento aguas arriba tiene un valor de ⁠1/2⁠ ρU ² . un valor necesario para desacelerar el flujo libre de velocidad U . Este mismo valor aparece en el punto de estancamiento aguas abajo, esta alta presión es nuevamente necesaria para desacelerar el flujo a velocidad cero. Esta simetría surge solo porque el flujo es completamente sin fricción.

La baja presión en los lados del cilindro es necesaria para proporcionar la aceleración centrípeta del flujo:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}={\frac {\rho V^{2}}{L}}\,,}$

donde L es el radio de curvatura del flujo. ^[3] Pero L ≈ R y V ≈ U . La integral de la ecuación para la aceleración centrípeta sobre una distancia Δ r ≈ R dará como resultado

${\displaystyle p-p_{\infty }\approx -\rho U^{2}\,.}$

La solución exacta tiene, para la presión más baja,

${\displaystyle p-p_{\infty }=-{\tfrac {3}{2}}\rho U^{2}\,.}$

La baja presión, que debe estar presente para proporcionar la aceleración centrípeta, también aumentará la velocidad del flujo a medida que el fluido se desplaza desde valores de presión más altos a valores más bajos. Por lo tanto, encontramos la velocidad máxima en el flujo, V = 2 U , en la baja presión en los lados del cilindro.

Un valor de V > U es compatible con la conservación del volumen del fluido. Como el cilindro bloquea parte del flujo, V debe ser mayor que U en algún punto del plano que pasa por el centro del cilindro y es transversal al flujo.

Comparación con el flujo de un fluido real que pasa por un cilindro

La simetría de esta solución ideal tiene un punto de estancamiento en el lado trasero del cilindro, así como en el lado delantero. La distribución de la presión sobre los lados delantero y trasero es idéntica, lo que conduce a la propiedad peculiar de tener cero arrastre en el cilindro, una propiedad conocida como la paradoja de d'Alembert . A diferencia de un fluido no viscoso ideal, un flujo viscoso más allá de un cilindro, sin importar cuán pequeña sea la viscosidad, adquirirá una capa límite delgada adyacente a la superficie del cilindro. Se producirá una separación de la capa límite y existirá una estela en el flujo detrás del cilindro. La presión en cada punto en el lado de la estela del cilindro será menor que en el lado aguas arriba, lo que resulta en una fuerza de arrastre en la dirección aguas abajo.

Expansión de Janzen-Rayleigh

El problema del flujo compresible potencial sobre un cilindro circular fue estudiado por primera vez por O. Janzen en 1913 ^[4] y por Lord Rayleigh en 1916 ^[5] con pequeños efectos compresibles. Aquí, el parámetro pequeño es el cuadrado del número de Mach , donde c es la velocidad del sonido . Entonces la solución para la aproximación de primer orden en términos del potencial de velocidad es ${\displaystyle \mathrm {M} ^{2}=U^{2}/c^{2}\ll 1}$

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -\mathrm {M} ^{2}{\frac {Ur}{12}}\left[\left({\frac {13a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {6a^{4}}{r^{4}}}+{\frac {a^{6}}{r^{6}}}\right)\cos \theta +\left({\frac {a^{4}}{r^{4}}}-{\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos 3\theta \right]+\mathrm {O} \left(\mathrm {M} ^{4}\right)\,}$

¿Dónde está el radio del cilindro? ${\displaystyle a}$

Flujo potencial sobre un cilindro circular con ligeras variaciones

El análisis de perturbaciones regulares para un flujo alrededor de un cilindro con una ligera perturbación en las configuraciones se puede encontrar en Milton Van Dyke (1975). ^[6] En lo sucesivo, ε representará un pequeño parámetro positivo y a es el radio del cilindro. Para análisis y debates más detallados, se remite a los lectores al libro de Milton Van Dyke de 1975 Perturbation Methods in Fluid Mechanics . ^[6]

Cilindro ligeramente deformado

Aquí el radio del cilindro no es r = a , sino una forma ligeramente distorsionada r = a (1 − ε sen ² θ ) . Entonces la solución de la aproximación de primer orden es

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{2}}\left({\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\sin \theta -{\frac {a^{4}}{r^{4}}}\sin 3\theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

Círculo ligeramente pulsante

Aquí el radio del cilindro varía ligeramente con el tiempo, por lo que r = a (1 + ε  f ( t )) . Entonces, la solución de la aproximación de primer orden es

${\displaystyle \psi (r,\theta ,t)=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon Ur\left({\frac {a^{2}}{Ur}}\theta f'(t)-{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}f(t)\sin \theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

Flujo con ligera vorticidad

En general, la velocidad de corriente libre U es uniforme, es decir ψ = Uy , pero aquí se impone una pequeña vorticidad en el flujo exterior.

cizallamiento lineal

Aquí se introduce un efecto cortante lineal en la velocidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {y^{2}}{a}}\right)\,,\\[3pt]\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon {\frac {U}{a}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,,\end{aligned}}}$

donde ε es el parámetro pequeño. La ecuación que gobierna es

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi )\,.}$

Entonces la solución de la aproximación de primer orden es

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{4}}\left({\frac {r}{a}}(1-\cos 2\theta )+{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\cos 2\theta -{\frac {a}{r}}\right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

Cizalladura parabólica

Aquí se introduce una cizalladura parabólica en la velocidad exterior.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\tfrac {1}{6}}\varepsilon {\frac {y^{3}}{a^{2}}}\right)\,,\\\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon U{\frac {y}{a^{2}}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,.\end{aligned}}}$

Entonces la solución de la aproximación de primer orden es

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{6}}\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta -3r\ln r\sin \theta +\chi \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

donde χ es la solución homogénea de la ecuación de Laplace que restablece las condiciones de contorno.

Cilindro ligeramente poroso

Sea C _ps el coeficiente de presión superficial de un cilindro impermeable:

${\displaystyle C_{\mathrm {ps} }={\frac {p_{s}-p_{\infty }}{{\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}}}=1-4\sin ^{2}\theta =2\cos 2\theta -1\,,}$

donde p _s es la presión superficial del cilindro impermeable. Ahora, si C _pi es el coeficiente de presión interna dentro del cilindro, entonces una ligera velocidad normal debido a la ligera porosidad viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }-C_{\mathrm {ps} }\right)=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }+1-2\cos 2\theta \right)\quad {\text{at }}r=a\,,}$

pero la condición de flujo neto cero

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\,\mathrm {d} \theta =0}$

requiere que C _pi = −1 . Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=-2\varepsilon rU\cos 2\theta \quad {\text{at }}r=a\,.}$

Entonces la solución de la aproximación de primer orden es

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta -\varepsilon U{\frac {a^{3}}{r^{2}}}\sin 2\theta +\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

Cuasi cilindro corrugado

Si el cilindro tiene radio variable en la dirección axial, el eje z , r = a ( 1 + ε sin ⁠el/b⁠ ) ​​, entonces la solución de la aproximación de primer orden en términos del potencial de velocidad tridimensional es

${\displaystyle \phi (r,\theta ,z)=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -2\varepsilon Ub{\frac {K_{1}\left({\frac {r}{b}}\right)}{K_{1}'\left({\frac {r}{b}}\right)}}\cos \theta \sin {\frac {z}{b}}+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

donde K ₁ ( ⁠a/b⁠ ) ​​es la función de Bessel modificada del primer tipo de orden uno.

Véase también

• Transformada de Joukowsky
• Condición de Kutta
• Efecto magnus

Referencias

1. Batchelor, George Keith (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. pág. 424. ISBN 9780521663960.
2. Acheson, David J. (1990). Dinámica de fluidos elemental . Oxford University Press. pág. 130 y siguientes. ISBN 9780198596790.
3. Babinsky, Holger (noviembre de 2003), "¿Cómo funcionan las alas?", Physics Education , 38 (6): 497, Bibcode :2003PhyEd..38..497B, doi :10.1088/0031-9120/38/6/001, S2CID  1657792
4. O. JANZEN, Beitrag zu eincr Theorie der stationaren Stromung kompressibler Flussigkeiten. Física. Zeits., 14 (1913)
5. Rayleigh, L. (1916). I. Sobre el flujo de fluido compresible que pasa frente a un obstáculo. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 32(187), 1-6.
6. Van Dyke, Milton (1975). Métodos de perturbación en mecánica de fluidos (edición anotada). Stanford, CA: Parabolic Press. ISBN 978-0-915760-01-5.^{[ página necesaria ]}