En álgebra abstracta , la equivalencia de Morita es una relación definida entre anillos que conserva muchas propiedades de la teoría de los anillos . Más precisamente, dos anillos como R , S son equivalentes de Morita (denotados por ) si sus categorías de módulos son aditivamente equivalentes (denotados por [a] ). [2] Lleva el nombre del matemático japonés Kiiti Morita, quien definió la equivalencia y una noción similar de dualidad en 1958.
Los anillos se estudian comúnmente en términos de sus módulos , ya que los módulos pueden verse como representaciones de anillos. Cada anillo R tiene una estructura de módulo R natural en sí mismo donde la acción del módulo se define como la multiplicación en el anillo, por lo que el enfoque a través de módulos es más general y proporciona información útil. Debido a esto, a menudo se estudia un anillo estudiando la categoría de módulos sobre ese anillo. La equivalencia de Morita lleva este punto de vista a una conclusión natural al definir los anillos como equivalentes de Morita si sus categorías de módulos son equivalentes . Esta noción es de interés sólo cuando se trata de anillos no conmutativos , ya que se puede demostrar que dos anillos conmutativos son equivalentes de Morita si y sólo si son isomorfos .
Se dice que dos anillos R y S (asociativos, con 1) son ( Morita ) equivalentes si existe una equivalencia de la categoría de módulos (izquierdos) sobre R , R-Mod , y la categoría de módulos (izquierdos) sobre S , S-Mod . Se puede demostrar que las categorías del módulo izquierdo R-Mod y S-Mod son equivalentes si y sólo si las categorías del módulo derecho Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede demostrar que cualquier functor de R-Mod a S-Mod que produzca una equivalencia es automáticamente aditivo .
Dos anillos isomórficos cualesquiera son equivalentes de Morita.
El anillo de matrices n por n con elementos en R , denotado M n ( R ), es equivalente a R en Morita para cualquier n > 0 . Tenga en cuenta que esto generaliza la clasificación de anillos artinianos simples dada por la teoría de Artin-Wedderburn . Para ver la equivalencia, observe que si X es un módulo R izquierdo, entonces X n es un módulo M n ( R ) donde la estructura del módulo viene dada por la multiplicación de matrices a la izquierda de los vectores de columna de X . Esto permite la definición de un functor desde la categoría de módulos R izquierdos hasta la categoría de módulos M n ( R ) izquierdos. El functor inverso se define al darse cuenta de que para cualquier módulo M n ( R ) hay un módulo R izquierdo X tal que el módulo M n ( R ) se obtiene de X como se describió anteriormente.
Las equivalencias se pueden caracterizar de la siguiente manera: si F : R-Mod S-Mod y G : S-Mod R-Mod son functores aditivos (covariantes) , entonces F y G son una equivalencia si y solo si hay un equilibrio ( S , R )- bimódulo P tal que S P y P R son generadores proyectivos generados finitamente y existen isomorfismos naturales de los funtores , y de los functores. Los generadores proyectivos generados finitamente también se denominan a veces progeneradores por su categoría de módulo. [3]
Para cada funtor F exacto a la derecha desde la categoría de módulos R izquierdos hasta la categoría de módulos S izquierdos que conmuta con sumas directas , un teorema de álgebra homológica muestra que existe un (S,R) -bimódulo E tal que el El funtor es naturalmente isomorfo al funtor . Dado que las equivalencias son necesariamente exactas y conmutan con sumas directas, esto implica que R y S son equivalentes de Morita si y sólo si hay bimódulos R M S y S N R tales que como (R,R) bimódulos y como (S,S ) bimódulos. Además, N y M están relacionados mediante un isomorfismo de bimódulo (S,R) : .
Más concretamente, dos anillos R y S son equivalentes de Morita si y sólo si para un módulo progenerador P R , [4] que es el caso si y sólo si
(isomorfismo de anillos) para algún entero positivo n e idempotente completo e en el anillo de matriz M n ( R ).
Se sabe que si R es equivalente de Morita a S , entonces el anillo Z( R ) es isomorfo al anillo Z( S ), donde Z(-) denota el centro del anillo , y además R / J ( R ) es Morita equivale a S / J ( S ), donde J (-) denota el radical de Jacobson .
Si bien los anillos isomorfos son equivalentes de Morita, los anillos equivalentes de Morita pueden ser no isomorfos. Un ejemplo sencillo es que un anillo de división D es equivalente de Morita a todos sus anillos matriciales M n ( D ), pero no puede ser isomorfo cuando n > 1. En el caso especial de los anillos conmutativos, los anillos equivalentes de Morita son en realidad isomorfos. Esto se sigue inmediatamente del comentario anterior, porque si R es equivalente a Morita S ,.
El funtor de equivalencia de los objetos de la categoría del módulo conserva muchas propiedades. En términos generales, cualquier propiedad de módulos definidos puramente en términos de módulos y sus homomorfismos (y no de sus elementos subyacentes o anillo) es una propiedad categórica que será preservada por el funtor de equivalencia. Por ejemplo, si F (-) es el funtor de equivalencia de R-Mod a S-Mod , entonces el módulo R M tiene cualquiera de las siguientes propiedades si y solo si el módulo S F ( M ) las tiene: inyectivo , proyectivo , plano. , fiel , simple , semisimple , finitamente generado , finitamente presentado , artiniano y noetheriano . Ejemplos de propiedades que no necesariamente se conservan incluyen ser libre y cíclico .
Muchas propiedades teóricas de los anillos se expresan en términos de sus módulos, por lo que estas propiedades se conservan entre anillos equivalentes de Morita. Las propiedades compartidas entre anillos equivalentes se denominan propiedades invariantes de Morita . Por ejemplo, un anillo R es semisimple si y sólo si todos sus módulos son semisimples, y dado que los módulos semisimples se conservan bajo la equivalencia de Morita, un anillo S equivalente también debe tener todos sus módulos semisimples y, por lo tanto, ser un anillo semisimple en sí mismo.
A veces no resulta inmediatamente obvio por qué se debe preservar una propiedad. Por ejemplo, utilizando una definición estándar de anillo regular de von Neumann (para todo a en R , existe x en R tal que a = axa ), no está claro que un anillo equivalente también deba ser regular de von Neumann. Sin embargo, otra formulación es: un anillo es regular de von Neumann si y sólo si todos sus módulos son planos. Dado que la planitud se conserva en toda la equivalencia de Morita, ahora está claro que la regularidad de von Neumann es invariante de Morita.
Las siguientes propiedades son invariantes de Morita:
Ejemplos de propiedades que no son invariantes de Morita incluyen conmutativa , local , reducida , de dominio , Goldie derecha (o izquierda) , Frobenius , número de base invariante y finita de Dedekind .
Existen al menos otras dos pruebas para determinar si una propiedad del anillo es invariante de Morita o no. Un elemento e en un anillo R es idempotente completo cuando e 2 = e y ReR = R .
o
Dual a la teoría de equivalencias es la teoría de dualidades entre las categorías de módulos, donde los functores utilizados son contravariantes en lugar de covariantes. Esta teoría, aunque similar en forma, tiene diferencias significativas porque no existe dualidad entre las categorías de módulos para ningún anillo, aunque pueden existir dualidades para subcategorías. En otras palabras, debido a que los módulos de dimensión infinita [ se necesita aclaración ] generalmente no son reflexivos , la teoría de las dualidades se aplica más fácilmente a álgebras generadas de forma finita sobre anillos noetherianos. Quizás no sea sorprendente que el criterio anterior tenga una analogía para las dualidades, donde el isomorfismo natural se da en términos del funtor hom en lugar del funtor tensorial.
La equivalencia de Morita también se puede definir en situaciones más estructuradas, como para grupoides simplécticos y álgebras C* . En el caso de las álgebras C*, se necesita una equivalencia de tipos más fuerte, llamada equivalencia de Morita fuerte , para obtener resultados útiles en las aplicaciones, debido a la estructura adicional de las álgebras C* (que provienen de la operación involutiva *) y también porque Las álgebras C* no necesariamente tienen un elemento de identidad.
Si dos anillos son equivalentes de Morita, existe una equivalencia inducida de las respectivas categorías de módulos proyectivos ya que las equivalencias de Morita preservarán secuencias exactas (y por tanto módulos proyectivos). Dado que la teoría K algebraica de un anillo se define (en el enfoque de Quillen ) en términos de los grupos de homotopía de (aproximadamente) el espacio de clasificación del nervio de la categoría (pequeña) de módulos proyectivos generados finitamente sobre el anillo, anillos equivalentes de Morita debe tener grupos K isomórficos.
